람베르트 W 함수

3. 용어

여기서 선택된 표기법(''W''₀ 및 ''W''₋₁)은 크누스 등의 람베르트 W 함수에 대한 표준 참고 자료를 따릅니다.^[3]

람베르트 W 함수는 무수히 많은 가지를 가지며, 정수 ''k''에 대해 ''W_k''(''z'')로 표시됩니다. ''W''₀(''z'')는 주 가지(또는 주요 가지)입니다.

Digital Library of Mathematical Functions에서는 주 가지 ''W''₀를 ''Wp'', 가지 ''W''₋₁를 ''Wm''으로 표기하고 있습니다. 여기서 사용하는 표기 규약(''W''₀, ''W''₋₁)은 람베르트 W 함수에 대한 표준적인 참고 문헌을 따랐습니다.^[67]

4. 성질

람베르트 W 함수는 무수히 많은 가지를 가지며, 정수 k에 대해 로 표시된다. 는 주 가지(또는 주요 가지)이다. 는 모든 복소수 ''z''에 대해 정의되며, 인 는 0이 아닌 모든 ''z''에 대해 정의된다. 이고 는 모든 에 대해 성립한다.^[13]

주 가지의 가지점은 에 있으며, 음의 실수축을 따라 까지 확장되는 가지 절단이 있다. 이 가지 절단은 주 가지를 과 두 가지와 분리한다. 인 모든 가지 에는 에 가지점이 있고 음의 실수축 전체에 걸쳐 가지 절단이 있다.

함수 는 모두 일대일 함수이며, 그 치역은 서로소이다. 다가 함수 전체의 치역은 복소 평면이다. 실수축의 상은 실수축과 히피아스의 사각곡선의 합집합이며, 매개변수 곡선 이다.

4. 1. 도함수

4. 2. 부정적분

4. 3. 점근 전개

5. 특수값

다음은 람베르트 W 함수의 특수값이다.

• $W\_0\backslash left(-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{i\backslash pi\}\{2\}$
• $W\_0\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{e\}\backslash right)\; =\; -1$
• $W\_0\backslash left(2\; \backslash ln\; 2\; \backslash right)\; =\; \backslash ln\; 2$
• $W\_0\backslash left(x\; \backslash ln\; x\; \backslash right)\; =\; \backslash ln\; x\; \backslash quad\; \backslash left(x\; \backslash geqslant\; \backslash tfrac\{1\}\{e\}\; \backslash approx\; 0.36788\backslash right)$
• $W\_0\backslash left(x^\{x+1\}\; \backslash ln\; x\; \backslash right)\; =\; x\; \backslash ln\; x\; \backslash quad\; \backslash left(x\; >\; 0\backslash right)$
• $W\_0(0)\; =\; 0$
• $W\_0(1)\; =\; \backslash Omega\; \backslash approx\; 0.56714329\; \backslash quad$ (오메가 상수)
• $W\_0(1)\; =\; e^\{-W\_0(1)\}\; =\; \backslash ln\backslash frac\{1\}\{W\_0(1)\}\; =\; -\backslash ln\; W\_0(1)$
• $W\_0(e)\; =\; 1$
• $W\_0\backslash left(e^\{1+e\}\backslash right)\; =\; e$
• $W\_0\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{e\}\}\{2\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$
• $W\_0\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt[n]\{e\}\}\{n\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}$
• $W\_0(-1)\; \backslash approx\; -0.31813+1.33723i$
• $W\_\{-1\}\backslash left(-\backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{2\}\backslash right)\; =\; -\backslash ln\; 4$
• $W(-\backslash pi/2)\; =\; i\backslash pi/2$
• $W(\{\backslash ln\; 4\})=\; \backslash ln\; 2$
• $W\_0(-(\backslash ln\; 2)/2)\; =\; -\backslash ln\; 2$
• $W\_\{-1\}(-(\backslash ln\; 2)/2)=\; W\_\{-1\}(-(\backslash ln\; 4)/4)=\; -\backslash ln\; 4$
• $W(-(\backslash ln\; a)/a)=\; -\backslash ln\; a\; \backslash quad(1/e\backslash le\; a\backslash le\; e)$
• $W(-1/e)\; =\; -1$
• $W(0)\; =\; 0$
• $W(1)\; =\; \backslash Omega\backslash approx\; 0.56714329\backslash dots$ (오메가 상수)
• $W(1)\; =\; e^\{-W(1)\}\; =\; -\backslash ln\; W(1)$
• $-W(-1)\; =\; e^\{-W(-1)\}\; =\; \backslash ln(\; -\{W(-1)\})\; \backslash approx\; 0.31813\backslash dots\backslash \; +1.33723\backslash dots\backslash ,i$
• $W\text{'}(0)\; =\; 1$

6. 응용

람베르트 W 함수는 지수 함수를 포함하는 방정식을 푸는 데 사용된다. 예를 들어, $3^x=2x+2$ 와 같은 방정식은 람베르트 W 함수를 이용하여 풀 수 있다.^[1] 이러한 방정식은 $x = a+b\,e^{cx}$ 형태로 변환하여 람베르트 W 함수를 적용할 수 있다.

람베르트 W 함수는 다음과 같은 다양한 분야에서 활용된다.

• 유체 흐름: 입자 및 잔해류 전면과 퇴적물, 점성 유체의 전면을 설명하는 데 사용된다.^[29]
• 신경 영상: 뇌 복셀 내의 대뇌 혈류량 및 산소 소비량 변화를 혈중 산소화 수준 의존성(BOLD) 신호와 연결하는 데 사용된다.^[23]
• 화학 공학: 전기화학적 에너지 저장을 위한 유리질 탄소 기반 슈퍼커패시터의 다공성 전극 필름 두께 모델링에 사용된다.^[24][25]
• 재료 과학: 에피택셜 박막 성장 분야에서 임계 전위 발생 박막 두께를 결정하는 데 사용된다.^[28]
• 전염병 역학: SIR 모델에서 감수성 인구와 회복된 인구의 비율을 구하는 데 사용된다.^[43]

• 베르누이 수와 토드 종수의 생성 함수와 관련된 방정식을 풀 수 있다.^[30]
• 양자색역학 결합 상수의 정확한 해를 제공한다.^[37]
• 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해를 구하는데 사용된다.^[36]

7. 일반화

람베르트 W 함수는 다음과 같은 형태의 초월 대수 방정식의 해를 나타내도록 일반화될 수 있다.^[45][46][47]

:$$e^\{-c\; x\}\; =\; a\_0\; (x-r)$$

여기서 a₀, c, r은 실수 상수이다.

람베르트 W 함수의 일반화는 다음과 같다.

• 저차원의 일반 상대성이론 및 양자역학(양자 중력)에 응용. 2007년 이전에는 알려지지 않았던^[48] 이 두 영역 간의 연결이 존재한다. 여기서 위의 방정식의 우변은 x에 대한 이차 다항식으로 대체된다.

• 양자역학적 3체 문제의 특수한 경우, 즉 (3차원) 수소 분자 이온의 고유 에너지에 대한 해석적 해.^[49] 여기서 원래 방정식의 우변은 x에 대한 무한 차수 다항식의 비로 대체된다.

8. 수치적 평가

람베르트 W 함수는 뉴턴-랩슨 방법을 사용하여 수치적으로 근사할 수 있다. (따라서 )에 대한 연속적인 근사는 다음과 같다.^[3]

:$w\_\{j+1\}=w\_j-\backslash frac\{w\_j\; e^\{w\_j\}-z\}\{e^\{w\_j\}+w\_j\; e^\{w\_j\}\}.$

할리 방법을 사용하여 람베르트 W 함수를 근사할 수도 있다.^[3]

:$$

w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}\left(w_j+1\right)-\dfrac{\left(w_j+2\right)\left(w_je^{w_j}-z\right)}{2w_j+2}}



실수 $x\; \backslash ge\; -1/e$에 대해, R. Iacono와 J.P. Boyd의 2차 수렴 반복 공식을 사용하여 근사할 수 있다.^[12]

:$w\_\{n+1\}\; (x)\; =\; \backslash frac\{w\_\{n\}\; (x)\}\{1\; +\; w\_\{n\}\; (x)\}\; \backslash left(\; 1\; +\; \backslash log\; \backslash left(\backslash frac\{x\}\{w\_\{n\}\; (x)\}\; \backslash right)\; \backslash right).$

Lajos Lóczi는 적절한 초기값 $w\_0\; (x)$을 사용하여 이 반복을 통해 다음을 증명했다.^[52]

• 주 가지 $W\_0:$의 경우
• * $x\; \backslash in\; (e,\backslash infty)$이면: $w\_0\; (x)\; =\; \backslash log(x)\; -\; \backslash log(\backslash log(x)),$
• * $x\; \backslash in\; (0,\; e):$이면: $w\_0\; (x)\; =\; x/e,$
• * $x\; \backslash in\; (-1/e,\; 0):$이면: $w\_0\; (x)\; =\; \backslash frac\{\; ex\; \backslash log(1+\backslash sqrt\{1+ex\})\; \}\{\; 1+\; ex\; +\; \backslash sqrt\{1+ex\}\; \},$
• 가지 $W\_\{-1\}:$의 경우
• * $x\; \backslash in\; (-1/4,\; 0):$이면: $w\_0\; (x)\; =\; \backslash log(-x)\; -\; \backslash log(-\backslash log(-x)),$
• * $x\; \backslash in\; (-1/e,\; -1/4]:$이면: $w\_0\; (x)\; =\; -1\; -\; \backslash sqrt\{2\}\backslash sqrt\{1+ex\},$

• $x\; \backslash in\; (e,\backslash infty)$이면 (정리 2.4):
• $x\; \backslash in\; (0,\; e)$이면 (정리 2.9):
• $x\; \backslash in\; (-1/e,\; 0):$이면
• * 주 가지 $W\_0$의 경우 (정리 2.17):
• * 가지 $W\_\{-1\}$의 경우 (정리 2.23):

9. 소프트웨어 구현

람베르트 W 함수는 다음과 같은 여러 소프트웨어에서 구현되어 제공된다.

• 메이플: `LambertW`^[84]
• GP: `lambertw` (PARI에서는 `glambertW`)
• 매트랩: `lambertw`^[85]
• GNU 옥타브: specfun 패키지의 `lambertw`^[86]
• 맥시마: `lambert_w`^[87]
• 매스매티카: `ProductLog` (다른 이름으로 `LambertW`가 준비되어 있음)^[88]
• 사이파이: 특수 함수 패키지의 `lambertw`^[89]
• GNU 과학 도서관: `gsl_sf_lambert_W0` 및 `gsl_sf_lambert_Wm1` 함수^[90]

참조

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