평균값 정리

1. 개요

평균값 정리는 미분 가능한 함수의 성질에 대한 중요한 정리로, 함수의 변화율과 접선의 기울기 사이의 관계를 설명한다. 닫힌 구간에서 연속이고 열린 구간에서 미분 가능한 함수에 대해, 함수의 양 끝점을 잇는 직선과 평행한 접선이 구간 내에 적어도 하나 존재한다는 것을 의미한다. 롤의 정리는 평균값 정리의 특수한 경우이며, 코시의 평균값 정리는 평균값 정리의 일반화된 형태로, 두 함수의 관계를 다룬다. 적분 평균값 정리는 함수의 적분값을 평균값으로 나타내는 정리이며, 제1, 제2 적분 평균값 정리와 가우스의 평균값 정리 등의 여러 형태가 존재한다. 평균값 정리는 다양한 명제를 유도하는 데 사용되며, 상수함수, 단조증가 함수 등을 증명하는 데 활용된다. 이 정리는 바타세리 파라메슈바라에 의해 처음 입안되었으며, 미셸 롤, 오귀스탱 루이 코시 등에 의해 발전되었다.

2. 정의

연속 함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $(a,b)$에서 미분 가능 함수일 때, 다음을 만족하는 $c\backslash in(a,b)$가 적어도 하나 존재한다.

:$f\text{'}(c)=\backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}$

이를 평균값 정리라고 한다. 평균값 정리에 따라, 충분히 매끄러운 함수의 그래프 $t\backslash mapsto(t,f(t))$에 대하여, 양 끝점을 잇는 직선과 평행하는 그래프의 접선이 존재한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서 $f(a)=f(b)$인 특수한 경우이다.

코시 평균값 정리(Cauchy's mean value theorem^영어) 또는 확장 평균값 정리(extended mean value theorem^영어)에 따르면, 연속 함수 $f,g\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $(a,b)$에서 미분 가능 함수이고, $g\text{'}\backslash ne0$일 때, 다음을 만족시키는 $c\backslash in(a,b)$가 존재한다.

:$\backslash frac\{f\text{'}(c)\}\{g\text{'}(c)\}=\backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{g(b)-g(a)\}$

기하학적으로, 코시 평균값 정리에 따르면, 충분히 매끄러운 단순 곡선 $t\backslash mapsto(f(t),g(t))$이 임계점을 갖지 않는다면, 두 끝점을 잇는 직선과 평행하는 접선을 갖는다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 $g(x)=x$인 특수한 경우이다.

함수 $f,g,h\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $[a,b]$에서 연속 함수, $(a,b)$에서 미분 가능 함수라고 할 때, 다음을 만족시키는 $x\backslash in(a,b)$가 존재한다.

:

코시 평균값 정리는 여기서 $h(x)=1$을 취한 특수한 경우이다.

미분 가능 함수인 다변수 함수 $f\backslash colon\; U\backslash to\backslash mathbb\; R$ ($U$는 볼록 열린집합이며, $\backslash mathbb\; R^n$의 부분집합)에서, 두 점 $\backslash mathbf\; x,\backslash mathbf\; y\backslash in\; U$에 대해 다음 식을 만족하는 $t\_0\backslash in(0,1)$가 존재한다.

:$f(\backslash mathbf\; y)-f(\backslash mathbf\; x)=\backslash nabla\; f((1-t\_0)\backslash mathbf\; x+t\_0\backslash mathbf\; y)\backslash cdot(\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; x)$

이는 일변수 함수에 대한 평균값 정리에서 $n=1$을 취한 특수한 경우이다.

2.1. 롤의 정리

연속 함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $(a,b)$에서 미분 가능 함수이고, $f(a)=f(b)$이면, $f\text{'}(c)=0$인 $c\backslash in(a,b)$가 존재한다. 이를 롤의 정리라고 한다. 평균값 정리는 $f(a)=f(b)$를 가정하여 위 식의 우변이 0이 되는 롤의 정리의 일반화이다.

2.2. 평균값 정리 (라그랑주의 평균값 정리)

연속 함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $(a,b)$에서 미분 가능 함수일 때, 다음을 만족하는 $c\backslash in(a,b)$가 적어도 하나 존재한다.

:$f\text{'}(c)=\backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}$

이를 평균값 정리라고 한다. 평균값 정리에 따라, 충분히 매끄러운 함수의 그래프 $t\backslash mapsto(t,f(t))$에 대하여, 양 끝점을 잇는 직선과 평행하는 그래프의 접선이 존재한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서 $f(a)=f(b)$인 특수한 경우이다.

$f:[a,b]\backslash to\backslash R$를 닫힌 구간에서 연속 함수이고, 열린 구간에서 미분 가능한 함수라고 하고,

:$f\text{'}(c)=\backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}.$

평균값 정리는 $f(a)=f(b)$를 가정하여 위 식의 우변이 0이 되는 롤의 정리의 일반화이다.

평균값 정리는 약간 더 일반적인 설정에서도 유효하다. $f:[a,b]\backslash to\backslash R$가 $[a,b]$에서 연속 함수이고, $(a,b)$에 있는 모든 $x$에 대해 함수의 극한

:$\backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}\backslash frac\{f(x+h)-f(x)\}\{h\}$

가 유한한 수로 존재하거나 $\backslash infty$ 또는 $-\backslash infty$와 같다고 가정하기만 하면 된다. 유한하면, 그 극한은 $f\text{'}(x)$와 같다. 이 버전이 적용되는 예시는 원점에서 무한대로 가는 도함수를 갖는 $x\; \backslash mapsto\; x^\{1/3\}$를 매핑하는 실수 값 세제곱근 함수가 있다.

$\backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}$는 점 $(a,f(a))$와 $(b,f(b))$를 잇는 직선의 기울기를 나타내며, 이는 $f$의 그래프의 현이다. 반면 $f\text{'}(x)$는 곡선 위의 점 $(x,f(x))$에서의 접선의 기울기를 나타낸다. 따라서 평균값 정리는 매끄러운 곡선의 임의의 현에 대해, 현의 양 끝점 사이에 곡선 위의 점을 찾아 그 점에서 곡선의 접선이 현과 평행하게 되도록 할 수 있다는 것을 의미한다.


: $\backslash frac\{f(b)\; -\; f(a)\}\{b\; -\; a\}\; =\; f\text{'}(c)$
가 성립한다. 이것을 미분에 관한 라그랑주 평균값 정리라고 한다. 좌변은 그래프에서 $(a,\; f(a))$, $(b,\; f(b))$를 잇는 선분(곡선의 현)의 기울기(= 평균 변화율)이므로, 라그랑주 평균값 정리는 현과 평행한 접선(= 순간 변화율)을 갖는 점이 $a$와 $b$ 사이에 존재한다는 것을 주장한다. 즉, 평균값 정리는 존재형 정리이다.

또한 라그랑주 평균값 정리는 $b=a+h$, $c=a+\backslash theta\; h$라고 하면 (단, )
: $f(a+h)=f(a)+hf\text{'}(a+\backslash theta\; h)$
로도 나타낼 수 있다.

2.3. 코시의 평균값 정리

코시의 평균값 정리는 확장 평균값 정리라고도 하며, 평균값 정리를 일반화한 것이다. 함수 $f$와 $g$가 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속 함수이고 열린 구간 $(a,b)$에서 미분 가능 함수이면, 다음을 만족하는 $c\; \backslash in\; (a,b)$가 존재한다.

:$(f(b)-f(a))g\text{'}(c)=(g(b)-g(a))f\text{'}(c).$

$g(a)\; \backslash neq\; g(b)$이고 $g\text{'}(c)\; \backslash neq\; 0$이면, 위 식은 다음과 동치이다.

:$\backslash frac\{f\text{'}(c)\}\{g\text{'}(c)\}=\backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{g(b)-g(a)\}.$

기하학적으로, 이는 다음으로 정의된 곡선의 그래프에 접선이 존재한다는 것을 의미한다.

:$\backslash begin\{cases\}[a,b]\; \backslash to\; \backslash R^2\backslash \backslash t\backslash mapsto\; (f(t),g(t))\backslash end\{cases\}$

이 접선은 점 $(f(a),\; g(a))$와 $(f(b),\; g(b))$로 정의된 선과 평행하다. 그러나 코시 정리는 $(f(a),\; g(a))$와 $(f(b),\; g(b))$가 서로 다른 점인 모든 경우에 그러한 접선의 존재를 주장하지는 않는다. 왜냐하면 이는 $f\text{'}(c)\; =\; g\text{'}(c)\; =\; 0$인 어떤 값 $c$에 대해서만 만족될 수 있기 때문이며, 다시 말해 언급된 곡선이 정지점인 값이기 때문이다. 이러한 점에서는 곡선에 대한 접선이 전혀 정의되지 않을 가능성이 높다.

예를 들어, 다음과 같이 주어지는 곡선은

:$t\; \backslash mapsto\; \backslash left(t^3,1-t^2\backslash right),$

구간 $[-1,1]$에서 점 $(-1,\; 0)$에서 $(1,\; 0)$으로 이동하지만 수평 접선을 갖지 않는다. 그러나 $t\; =\; 0$에서 정지점(첨점)을 갖는다.

코시 평균값 정리는 로피탈의 규칙을 증명하는 데 사용할 수 있다. 평균값 정리는 $g(t)\; =\; t$일 때 코시 평균값 정리의 특수한 경우이다.

코시 평균값 정리의 증명은 평균값 정리의 증명과 동일한 아이디어를 기반으로 한다.

* $g(a)\; \backslash neq\; g(b)$라고 가정한다. $h(x)\; =\; f(x)\; -\; rg(x)$를 정의하고, 여기서 $r$은 $h(a)\; =\; h(b)$가 되도록 고정한다. 즉,
:

* $f$와 $g$는 $[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분 가능하므로, $h$에 대해서도 마찬가지이다. 결국, $h$는 롤의 정리의 조건을 만족하므로, $(a,b)$ 안에 $h\text{'}(c)\; =\; 0$인 $c$가 존재한다. 이제 $h$의 정의를 사용하면 다음을 얻는다.

:$0=h\text{'}(c)=f\text{'}(c)-rg\text{'}(c)\; =\; f\text{'}(c)-\; \backslash left\; (\backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{g(b)-g(a)\}\; \backslash right\; )\; g\text{'}(c),$

따라서

:$f\text{'}(c)=\; \backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{g(b)-g(a)\}\; g\text{'}(c).$

* 만약 $g(a)\; =\; g(b)$이면, $g$에 롤의 정리를 적용하여 $(a,b)$ 안에 $g\text{'}(c)\; =\; 0$인 $c$가 존재한다. 이 $c$를 선택하면 코시 평균값 정리가 (자명하게) 성립한다.

코시의 이름을 따서 코시의 평균값 정리라고 부르기도 한다. 특히 g(x) = x일 때가 평균값 정리(라그랑주의 평균값 정리)이다.

코시의 평균값 정리에서 극한을 취하면, 로피탈의 정리 (베르누이의 정리)가 유도된다.

2.4. 행렬식 평균값 정리

함수 $f,g,h\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $[a,b]$에서 연속 함수이고, $(a,b)$에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 $x\backslash in(a,b)$가 존재한다.

:

코시 평균값 정리는 여기서 $h(x)=1$을 취한 특수한 경우이다.

함수
:$D\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$
:$D(x)=\backslash begin\{vmatrix\}$
f(x)&g(x)&h(x)\\
f(a)&g(a)&h(a)\\
f(b)&g(b)&h(b)
\end{vmatrix}

에 롤의 정리를 적용한다.

$f,\; g,$와 $h$가 $(a,b)$에서 미분 가능하고 $[a,b]$에서 연속인 함수라고 가정하면,

:$D(x)\; =\; \backslash begin\{vmatrix\}$
f(x) & g(x) & h(x)\\
f(a) & g(a) & h(a)\\
f(b) & g(b) & h(b)
\end{vmatrix}

이고, $D\text{'}(c)=0$인 $c\backslash in(a,b)$가 존재한다.

:$D\text{'}(x)\; =\; \backslash begin\{vmatrix\}$
f'(x) & g'(x)& h'(x)\\
f(a) & g(a) & h(a)\\
f(b) & g(b)& h(b)
\end{vmatrix}

만약 $h(x)=1$로 놓으면, 코시 평균값 정리를 얻는다. 만약 $h(x)=1$과 $g(x)=x$로 놓으면, 라그랑주 평균값 정리를 얻는다.

일반화된 정리의 증명은 매우 간단하다. $D(a)$와 $D(b)$는 모두 두 개의 동일한 행을 가진 행렬식이므로, $D(a)=D(b)=0$이다. 롤의 정리는 $D\text{'}(c)=0$인 $c\backslash in\; (a,b)$가 존재함을 의미한다.

2.5. 다변수 함수의 경우

미분 가능 함수인 다변수 함수 $f\backslash colon\; U\backslash to\backslash mathbb\; R$ ($U$는 볼록 열린집합이며, $\backslash mathbb\; R^n$의 부분집합)에서, 두 점 $\backslash mathbf\; x,\backslash mathbf\; y\backslash in\; U$에 대해 다음 식을 만족하는 $t\_0\backslash in(0,1)$가 존재한다.

:$f(\backslash mathbf\; y)-f(\backslash mathbf\; x)=\backslash nabla\; f((1-t\_0)\backslash mathbf\; x+t\_0\backslash mathbf\; y)\backslash cdot(\backslash mathbf\; y-\backslash mathbf\; x)$

이는 일변수 함수에 대한 평균값 정리에서 $n=1$을 취한 특수한 경우이다.

평균값 정리는 여러 변수의 실수 함수로 일반화될 수 있다. 핵심은 매개변수를 사용하여 한 변수의 실수 함수를 만들고, 한 변수 정리를 적용하는 것이다.

$G$를 $\backslash R^n$의 열린 부분 집합, $f:G\backslash to\backslash R$을 미분 가능한 함수라고 하자. $x,y\backslash in\; G$를 고정하고 $x,\; y$ 사이의 선분이 $G$에 속하도록 한다. 그리고 $g(t)=f\backslash big((1-t)x+ty\backslash big)$로 정의한다. $g$는 한 변수의 미분 가능한 함수이므로, 평균값 정리에 따라 다음이 성립한다.

:$g(1)-g(0)=g\text{'}(c)$ (여기서 $c$는 0과 1 사이의 값)

$g(1)=f(y)$이고 $g(0)=f(x)$이므로, $g\text{'}(c)$를 계산하면 다음과 같다.

:$f(y)-f(x)=\backslash nabla\; f\backslash big((1-c)x+cy\backslash big)\backslash cdot\; (y-x)$

여기서 $\backslash nabla$는 경사도를, $\backslash cdot$는 내적을 나타낸다. $n=1$인 경우, 이는 한 변수에서의 정리와 동일하다. 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면 다음을 얻는다.

:$\backslash Bigl|f(y)-f(x)\backslash Bigr|\; \backslash le\; \backslash Bigl|\backslash nabla\; f\backslash big((1-c)x+cy\backslash big)\backslash Bigr|\backslash \; \backslash Bigl|y\; -\; x\backslash Bigr|.$

$G$가 볼록하고 $f$의 편도함수가 유계이면, $f$는 립시츠 연속이며, 균등 연속이다.

열린 부분 집합 $G$가 연결되어 있고 $f$의 모든 편도함수가 0이면 $f$는 상수 함수이다. 이를 증명하기 위해 $x\_0\backslash in\; G$를 선택하고, $g(x)=f(x)-f(x\_0)$라 하자. 모든 $x\backslash in\; G$에 대해 $g(x)=0$임을 보이면 된다. $E=\backslash \{x\backslash in\; G:g(x)=0\backslash \}$라고 하면, $E$는 $G$에서 닫혀 있고 공집합이 아니다. 또한, 모든 $x\backslash in\; E$에 대해,

:$\backslash Big|g(y)\backslash Big|=\backslash Big|g(y)-g(x)\backslash Big|\backslash le\; (0)\backslash Big|y-x\backslash Big|=0$

가 성립한다. ($y$는 $x$를 중심으로 하고 $G$에 포함된 열린 공 안에 존재) $G$가 연결되어 있으므로, $E=G$이다.

위의 논증은 좌표에 의존하지 않으므로, $G$가 바나흐 공간의 부분 집합인 경우로 일반화할 수 있다.

3. 적분 평균값 정리

Mittelwertsatz der Integralrechnung^독일어는 함수 f(x)가 유한한 부피 vol(E)를 갖는 집합 E 위에서 유계이고 적분 가능하다면, f(x)의 E에서의 적분값을 E에서 평균화한 값은 E에서의 f(x)의 상한과 하한 사이에 있다는 정리이다.

:$$
\inf_{x \in E} f(x) \leq \frac{1}{\mathrm{vol}(E)}\int_E f(x)\, dx \leq \sup_{x \in E} f(x).


이를 적분의 제1 평균값 정리라고 한다.

좀 더 일반화된 형태는 다음과 같다. 집합 E 위에서 f(x)가 유계이고 g(x)가 적분 가능하다면, 곱 f(x)g(x)는 적분 가능하며,

:$\backslash inf\_\{x\; \backslash in\; E\}\; f(x)\; \backslash leq\; \backslash mu\; \backslash leq\; \backslash sup\_\{x\; \backslash in\; E\}\; f(x)$

를 만족하고, 다음 등식을 만족하는 상수 μ가 존재한다.

:$\backslash int\_E\; f(x)|g(x)|\backslash ,dx\; =\; \backslash mu\; \backslash int\_E\; |g(x)|\backslash ,\; dx$

만약 f(x)가 연속이라면, 중간값 정리에 의해 μ = f(ξ)를 만족하는 E의 점 ξ가 존재한다.

특히 일변수의 경우, 유계 함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 연속이고 적분 가능하다면, 다음 식을 만족하는 ξ가 a < ξ < b에 존재한다.

:$\backslash frac\{1\}\{b-a\}\; \backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx\; =\; f(\backslash xi)$

이 식에서 좌변은 함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 훑는 “부호가 있는” 면적 ∫_a^b f(x) dx를 구간의 길이 b − a로 나눈 값이다. 즉, 이 등식은 함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 훑는 도형의 평균 “부호가 있는” 높이를 실현하는 점이 구간 내에 존재함을 의미한다.

제2 평균값 정리는 열린 구간 (a,b)에서 유계 변동이고 연속인 함수 F(x)와 유계인 단조 함수 φ(x)에 대해, φ(x)는 르베그-스틸체스 의미로 F(x)에 관하여 적분 가능하며, 다음 식을 만족하는 ξ (a < ξ < b)가 존재함을 의미한다.

:$\backslash int\_a^b\; \backslash varphi(x)\backslash ,\; dF(x)$
= \varphi(a+0)\{F(\xi) - F(a+0)\} + \varphi(b-0)\{F(b-0) - F(\xi)\}


특히, 열린 구간 (a,b)에서 f(x)가 적분 가능하고 φ(x)가 유계이고 단조 함수라면, f(x)의 부정 적분이 F(x)의 조건을 만족하므로, 제2 평균값 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash varphi(x)dx$
= \varphi(a+0) \int_a^\xi f(x)\,dx + \varphi(b-0) \int_\xi^b f(x)\,dx

3.1. 제1 적분 평균값 정리

연속 함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\backslash in(a,b)$가 존재한다.

:$\backslash int\_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$

이에 따라, $f$의 그래프와 x축 사이의 영역의 넓이는 그래프의 한 점을 지나는 직선과 x축 사이의 직사각형의 넓이와 같다. --

보다 일반적으로, 임의의 연속 함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$ 및 리만 적분 가능 함수 $g\backslash colon[a,b]\backslash to[0,\backslash infty)$ (또는 $g\backslash colon[a,b]\backslash to(-\backslash infty,0]$)에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\backslash in(a,b)$가 존재한다.

:$\backslash int\_a^bf(x)g(x)dx=f(c)\backslash int\_a^bg(x)dx$

이를 제1 적분 평균값 정리(first mean value theorem for integrals^영어)라고 한다. $c\backslash in[a,b]$의 존재는 중간값 정리를 사용하여 쉽게 보일 수 있다.

3.2. 제2 적분 평균값 정리

second mean value theorem for integrals^영어에 따르면, 다음 세 명제가 성립한다.

* 임의의 증가함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to[0,\backslash infty)$ 및 리만 적분 가능 함수 $g\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\backslash in[a,b]$가 존재한다.
*:$\backslash int\_a^bf(x)g(x)\backslash ,dx=f(b)\backslash int\_c^bg(x)\backslash ,dx$
* 임의의 감소함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to[0,\backslash infty)$ 및 리만 적분 가능 함수 $g\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\backslash in[a,b]$가 존재한다.
*:$\backslash int\_a^bf(x)g(x)\backslash ,dx=f(a)\backslash int\_a^cg(x)\backslash ,dx$
* 임의의 단조함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$ 및 리만 적분 가능 함수 $g\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\backslash in[a,b]$가 존재한다.
*:$\backslash int\_a^bf(x)g(x)\backslash ,dx=f(a)\backslash int\_a^cg(x)\backslash ,dx+f(b)\backslash int\_c^bg(x)\backslash ,dx$

첫 번째·두 번째 명제는 $f$가 음이 아닌 값을 갖는다고 가정한다. 세 번째 명제에서, $f$는 부호가 변화하는 함수일 수 있으며, 증가함수일 수도 감소함수일 수도 있다. 세 명제 모두 $g$에 대해서는 리만 적분 가능성밖에 가정하지 않는다. 제2 적분 평균값 정리의 증명 역시 중간값 정리를 사용한다. 이를 위해서는 적분 값의 상계와 하계를 주는 부등식을 증명해야 하는데, 만약 $g$가 음이 아닌 실수 값을 갖는다면 이는 자명하다. 만약 $g$의 연속성과 $f$의 1차 연속 미분 가능성을 가정하면, 부분 적분을 사용할 수 있다. 일반적인 경우는 더 복잡하며, 리만 적분을 유한합의 극한으로 전개한 뒤 아벨 변환을 가한다.

다음과 같이 약간씩 다른 여러 개의 정리가 있는데, 이를 정적분 제2 평균값 정리라고 부른다.

만약 $G\; :\; [a,b]\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ 가 양의 단조 감소 함수이고 $\backslash varphi\; :\; [a,b]\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ 가 적분 가능한 함수라면, (a, b] 내에 숫자 x가 존재하여
::$\backslash int\_a^b\; G(t)\backslash varphi(t)\backslash ,dt\; =\; G(a^+)\; \backslash int\_a^x\; \backslash varphi(t)\backslash ,dt.$
이다.

여기서 $G(a^+)$는 $\{\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^+\}G(x)\}$를 나타내며, 그 존재는 조건으로부터 따른다.

만약 $G\; :\; [a,b]\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ 가 단조 (감소하고 양수일 필요는 없음) 함수이고 $\backslash varphi\; :\; [a,b]\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ 가 적분 가능한 함수라면, (a, b) 내에 숫자 x가 존재하여
::$\backslash int\_a^b\; G(t)\backslash varphi(t)\backslash ,dt\; =\; G(a^+)\; \backslash int\_a^x\; \backslash varphi(t)\backslash ,dt\; +\; G(b^-)\; \backslash int\_x^b\; \backslash varphi(t)\backslash ,dt.$
이다.

열린 구간 (a,b)에서, f(x)가 적분 가능하고 φ(x)가 유계이고 단조 함수라면, f(x)의 부정 적분이 제2 평균값 정리에 언급된 F(x)의 조건을 만족하므로, 이 경우의 제2 평균값 정리의 등식은
: $\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash varphi(x)dx$
= \varphi(a+0) \int_a^\xi f(x)\,dx + \varphi(b-0) \int_\xi^b f(x)\,dx

의 형태로 나타낼 수 있다.

3.3. 복소 적분 형태

복소평면 상에서 어떤 점 $z\_0$을 중심으로 하는 반지름 $r$인 원 내에서 정칙인 함수 $f$에 대하여, 다음 식이 성립한다.

:$f(z\_0)=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\; f(z\_0+re^\{it\})dt$

이를 가우스의 평균값 정리라고 한다.

코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 위 식을 바로 얻을 수 있다.

$f(z)=u(z)+iv(z)$일 때, 양변에 실수부를 취하면 다음과 같은 조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리를 얻는다.

:$u(z\_0)=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\; u(z\_0+re^\{it\})dt$

위에 언급된 바와 같이, 이 정리는 미분 가능한 복소수 값을 갖는 함수에 대해서는 성립하지 않는다. 대신, 이 정리의 일반화는 다음과 같이 진술된다.

열린 볼록 집합 Ω에서 f : Ω → C가 정칙 함수이고, a와 b가 Ω의 서로 다른 점이라고 하자. 그러면 a에서 b까지의 선분 내부에 다음을 만족하는 점 u, v가 존재한다.

:$\backslash operatorname\{Re\}(f\text{'}(u))\; =\; \backslash operatorname\{Re\}\backslash left\; (\; \backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}\; \backslash right),$
:$\backslash operatorname\{Im\}(f\text{'}(v))\; =\; \backslash operatorname\{Im\}\backslash left\; (\; \backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}\; \backslash right).$

여기서 Re()는 복소수 값 함수의 실수 부분이고 Im()은 허수 부분이다.

4. 응용

평균값 정리는 다음과 같은 명제들을 유도하는 데 활용된다.

* 구간 위에 정의된 실수값 함수 가 에서 연속이고, 의 내부에서 미분 가능하며 모든 점에서 이면, 는 에서 상수함수이다.
* 두 함수 가 에서 연속이고, 내부의 모든 점에서 이면, 와 는 에서 상수 차이가 난다.
* 함수 가 에서 연속이고, 내부의 모든 점에서 이면, 는 에서 단조 증가한다.

이 명제들은 평균값 정리를 이용하여 증명할 수 있으며, 그 과정은 서로 유사하다. 첫 번째 명제를 예로 들어 증명하면 다음과 같다. 내부의 임의의 두 점 에 대하여, 는 구간 에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 가 구간 안에 존재한다.

:

즉, 이다. 이는 가 내부에서 상수 값을 갖는다는 것을 의미한다. 또한, 함수는 연속이므로 전체에서 상수 함수가 된다.

5. 역사

이 정리의 최초 입안자는 인도의 바타세리 파라메슈바라로 기록되어 있으며 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다.

이 정리의 특수한 경우는 인도 케랄라 천문 수학 학파의 파라메슈바라(1380–1460)가 고빈다스와미와 바스카라 II에 대한 해설에서 처음 기술했다. 1691년 미셸 롤은 이 정리의 제한된 형태인 롤의 정리를 미적분학 기술 없이 다항식에 대해서만 증명하였다. 현대적 형태의 평균값 정리는 1823년 오귀스탱 루이 코시에 의해 제시되고 증명되었다.

6. 같이 보기

로피탈의 정리