평균값 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 적분 평균값 정리
4. 응용
5. 역사
6. 같이 보기
참조

1. 개요

평균값 정리는 미분 가능한 함수의 성질에 대한 중요한 정리로, 함수의 변화율과 접선의 기울기 사이의 관계를 설명한다. 닫힌 구간에서 연속이고 열린 구간에서 미분 가능한 함수에 대해, 함수의 양 끝점을 잇는 직선과 평행한 접선이 구간 내에 적어도 하나 존재한다는 것을 의미한다. 롤의 정리는 평균값 정리의 특수한 경우이며, 코시의 평균값 정리는 평균값 정리의 일반화된 형태로, 두 함수의 관계를 다룬다. 적분 평균값 정리는 함수의 적분값을 평균값으로 나타내는 정리이며, 제1, 제2 적분 평균값 정리와 가우스의 평균값 정리 등의 여러 형태가 존재한다. 평균값 정리는 다양한 명제를 유도하는 데 사용되며, 상수함수, 단조증가 함수 등을 증명하는 데 활용된다. 이 정리는 바타세리 파라메슈바라에 의해 처음 입안되었으며, 미셸 롤, 오귀스탱 루이 코시 등에 의해 발전되었다.

2. 정의

연속 함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ 가 $(a,b)$ 에서 미분 가능 함수일 때, 다음을 만족하는 $c\in(a,b)$ 가 적어도 하나 존재한다.^[18]

: $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

이를 '''평균값 정리'''라고 한다. 평균값 정리에 따라, 충분히 매끄러운 함수의 그래프 $t\mapsto(t,f(t))$ 에 대하여, 양 끝점을 잇는 직선과 평행하는 그래프의 접선이 존재한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서 $f(a)=f(b)$ 인 특수한 경우이다.

함수 $f$ 는 $a$ 와 $b$ 사이의 할선의 기울기를 점 $\xi\in(a,b)$ 에서의 도함수로 얻는다.

'''코시 평균값 정리'''(Cauchy's mean value theorem^영어) 또는 '''확장 평균값 정리'''(extended mean value theorem^영어)에 따르면, 연속 함수

f,g\colon[a,b]\to\mathbb R

가

(a,b)

에서 미분 가능 함수이고,

g'\ne0

일 때, 다음을 만족시키는

c\in(a,b)

가 존재한다.

:

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

기하학적으로, 코시 평균값 정리에 따르면, 충분히 매끄러운 단순 곡선

t\mapsto(f(t),g(t))

이 임계점을 갖지 않는다면, 두 끝점을 잇는 직선과 평행하는 접선을 갖는다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서

g(x)=x

인 특수한 경우이다.

함수

f,g,h\colon[a,b]\to\mathbb R

가

[a,b]

에서 연속 함수,

(a,b)

에서 미분 가능 함수라고 할 때, 다음을 만족시키는

x\in(a,b)

가 존재한다.

:

\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}=0

코시 평균값 정리는 여기서

h(x)=1

을 취한 특수한 경우이다.

미분 가능 함수인 다변수 함수

f\colon U\to\mathbb R

(

U

는 볼록 열린집합이며,

\mathbb R^n

의 부분집합)에서, 두 점

\mathbf x,\mathbf y\in U

에 대해 다음 식을 만족하는

t_0\in(0,1)

가 존재한다.

:

f(\mathbf y)-f(\mathbf x)=\nabla f((1-t_0)\mathbf x+t_0\mathbf y)\cdot(\mathbf y-\mathbf x)

이는 일변수 함수에 대한 평균값 정리에서

n=1

을 취한 특수한 경우이다.

2. 1. 롤의 정리

연속 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

가

(a,b)

에서 미분 가능 함수이고,

f(a)=f(b)

이면,

f'(c)=0

인

c\in(a,b)

가 존재한다. 이를 '''롤의 정리'''라고 한다. 평균값 정리는

f(a)=f(b)

를 가정하여 위 식의 우변이 0이 되는 롤의 정리의 일반화이다.

2. 2. 평균값 정리 (라그랑주의 평균값 정리)

연속 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

가

(a,b)

에서 미분 가능 함수일 때, 다음을 만족하는

c\in(a,b)

가 적어도 하나 존재한다.^[18]

:

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

이를 '''평균값 정리'''라고 한다. 평균값 정리에 따라, 충분히 매끄러운 함수의 그래프

t\mapsto(t,f(t))

에 대하여, 양 끝점을 잇는 직선과 평행하는 그래프의 접선이 존재한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서

f(a)=f(b)

인 특수한 경우이다.

f:[a,b]\to\R

를 닫힌 구간에서 연속 함수이고, 열린 구간에서 미분 가능한 함수라고 하고,

a 라고 하자. 그러면 (a,b) 안에 다음을 만족하는 c 가 존재한다.

:

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

평균값 정리는

f(a)=f(b)

를 가정하여 위 식의 우변이 0이 되는 롤의 정리의 일반화이다.

평균값 정리는 약간 더 일반적인 설정에서도 유효하다.

f:[a,b]\to\R

가

[a,b]

에서 연속 함수이고,

(a,b)

에 있는 모든

x

에 대해 함수의 극한

:

\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

가 유한한 수로 존재하거나

\infty

또는

-\infty

와 같다고 가정하기만 하면 된다. 유한하면, 그 극한은

f'(x)

와 같다. 이 버전이 적용되는 예시는 원점에서 무한대로 가는 도함수를 갖는

x \mapsto x^{1/3}

를 매핑하는 실수 값 세제곱근 함수가 있다.

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

는 점

(a,f(a))

와

(b,f(b))

를 잇는 직선의 기울기를 나타내며, 이는

f

의 그래프의 현이다. 반면

f'(x)

는 곡선 위의 점

(x,f(x))

에서의 접선의 기울기를 나타낸다. 따라서 평균값 정리는 매끄러운 곡선의 임의의 현에 대해, 현의 양 끝점 사이에 곡선 위의 점을 찾아 그 점에서 곡선의 접선이 현과 평행하게 되도록 할 수 있다는 것을 의미한다.

a 이고, f(x) 를 닫힌 구간 [a, b] 에서 연속이고, 열린 구간 (a, b) 에서 미분 가능한 함수라고 하자. 이 때 열린 구간 (a, b) 위에 어떤 점 c 가 존재하여

:

\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

가 성립한다. 이것을 미분에 관한 '''라그랑주 평균값 정리'''라고 한다. 좌변은 그래프에서

(a, f(a))

,

(b, f(b))

를 잇는 선분(곡선의 현)의 기울기(= 평균 변화율)이므로, 라그랑주 평균값 정리는 현과 평행한 접선(= 순간 변화율)을 갖는 점이

a

와

b

사이에 존재한다는 것을 주장한다. 즉, 평균값 정리는 존재형 정리이다.

또한 라그랑주 평균값 정리는

b=a+h

,

c=a+\theta h

라고 하면 (단,

0 < \theta < 1

)

:

f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)

로도 나타낼 수 있다.

2. 3. 코시의 평균값 정리

'''코시의 평균값 정리'''는 '''확장 평균값 정리'''라고도 하며, 평균값 정리를 일반화한 것이다.^[5] 함수

f

와

g

가 닫힌 구간

[a,b]

에서 연속 함수이고 열린 구간

(a,b)

에서 미분 가능 함수이면, 다음을 만족하는

c \in (a,b)

가 존재한다.

:

(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).

g(a) \neq g(b)

이고

g'(c) \neq 0

이면, 위 식은 다음과 동치이다.

:

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.

기하학적으로, 이는 다음으로 정의된 곡선의 그래프에 접선이 존재한다는 것을 의미한다.^[6]

:

\begin{cases}[a,b] \to \R^2\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}

이 접선은 점

(f(a), g(a))

와

(f(b), g(b))

로 정의된 선과 평행하다. 그러나 코시 정리는

(f(a), g(a))

와

(f(b), g(b))

가 서로 다른 점인 모든 경우에 그러한 접선의 존재를 주장하지는 않는다. 왜냐하면 이는

f'(c) = g'(c) = 0

인 어떤 값

c

에 대해서만 만족될 수 있기 때문이며, 다시 말해 언급된 곡선이 정지점인 값이기 때문이다. 이러한 점에서는 곡선에 대한 접선이 전혀 정의되지 않을 가능성이 높다.

예를 들어, 다음과 같이 주어지는 곡선은

:

t \mapsto \left(t^3,1-t^2\right),

구간

[-1,1]

에서 점

(-1, 0)

에서

(1, 0)

으로 이동하지만 수평 접선을 갖지 않는다. 그러나

t = 0

에서 정지점(첨점)을 갖는다.

코시 평균값 정리는 로피탈의 규칙을 증명하는 데 사용할 수 있다. 평균값 정리는

g(t) = t

일 때 코시 평균값 정리의 특수한 경우이다.

코시 평균값 정리의 증명은 평균값 정리의 증명과 동일한 아이디어를 기반으로 한다.

$g(a) \neq g(b)$ 라고 가정한다. $h(x) = f(x) - rg(x)$ 를 정의하고, 여기서 $r$ 은 $h(a) = h(b)$ 가 되도록 고정한다. 즉,

:

\begin{align}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\ &\iff r (g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\\ &\iff r=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\end{align}

$f$ 와 $g$ 는 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분 가능하므로, $h$ 에 대해서도 마찬가지이다. 결국, $h$ 는 롤의 정리의 조건을 만족하므로, $(a,b)$ 안에 $h'(c) = 0$ 인 $c$ 가 존재한다. 이제 $h$ 의 정의를 사용하면 다음을 얻는다.

:

0=h'(c)=f'(c)-rg'(c) = f'(c)- \left (\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \right ) g'(c),

따라서

:

f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} g'(c).

만약 $g(a) = g(b)$ 이면, $g$ 에 롤의 정리를 적용하여 $(a,b)$ 안에 $g'(c) = 0$ 인 $c$ 가 존재한다. 이 $c$ 를 선택하면 코시 평균값 정리가 (자명하게) 성립한다.

코시의 이름을 따서 '''코시의 평균값 정리'''라고 부르기도 한다. 특히 ''g''(''x'') = ''x''일 때가 평균값 정리(라그랑주의 평균값 정리)이다.

코시의 평균값 정리에서 극한을 취하면, 로피탈의 정리 ('''베르누이의 정리''')가 유도된다.

2. 4. 행렬식 평균값 정리

함수

f,g,h\colon[a,b]\to\mathbb R

가

[a,b]

에서 연속 함수이고,

(a,b)

에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는

x\in(a,b)

가 존재한다.

:

\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}=0

코시 평균값 정리는 여기서

h(x)=1

을 취한 특수한 경우이다.

함수

:

D\colon[a,b]\to\mathbb R

:

D(x)=\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}

에 롤의 정리를 적용한다.

f, g,

와

h

가

(a,b)

에서 미분 가능하고

[a,b]

에서 연속인 함수라고 가정하면,

:

D(x) = \begin{vmatrix}f(x) & g(x) & h(x)\\f(a) & g(a) & h(a)\\f(b) & g(b) & h(b)\end{vmatrix}

이고,

D'(c)=0

인

c\in(a,b)

가 존재한다.

:

D'(x) = \begin{vmatrix}f'(x) & g'(x)& h'(x)\\f(a) & g(a) & h(a)\\f(b) & g(b)& h(b)\end{vmatrix}

만약

h(x)=1

로 놓으면, '''코시 평균값 정리'''를 얻는다. 만약

h(x)=1

과

g(x)=x

로 놓으면, '''라그랑주 평균값 정리'''를 얻는다.

일반화된 정리의 증명은 매우 간단하다.

D(a)

와

D(b)

는 모두 두 개의 동일한 행을 가진 행렬식이므로,

D(a)=D(b)=0

이다. 롤의 정리는

D'(c)=0

인

c\in (a,b)

가 존재함을 의미한다.

2. 5. 다변수 함수의 경우

미분 가능 함수인 다변수 함수

f\colon U\to\mathbb R

(

U

는 볼록 열린집합이며,

\mathbb R^n

의 부분집합)에서, 두 점

\mathbf x,\mathbf y\in U

에 대해 다음 식을 만족하는

t_0\in(0,1)

가 존재한다.

:

f(\mathbf y)-f(\mathbf x)=\nabla f((1-t_0)\mathbf x+t_0\mathbf y)\cdot(\mathbf y-\mathbf x)

이는 일변수 함수에 대한 평균값 정리에서

n=1

을 취한 특수한 경우이다.

평균값 정리는 여러 변수의 실수 함수로 일반화될 수 있다. 핵심은 매개변수를 사용하여 한 변수의 실수 함수를 만들고, 한 변수 정리를 적용하는 것이다.

G

를

\R^n

의 열린 부분 집합,

f:G\to\R

을 미분 가능한 함수라고 하자.

x,y\in G

를 고정하고

x, y

사이의 선분이

G

에 속하도록 한다. 그리고

g(t)=f\big((1-t)x+ty\big)

로 정의한다.

g

는 한 변수의 미분 가능한 함수이므로, 평균값 정리에 따라 다음이 성립한다.

:

g(1)-g(0)=g'(c)

(여기서

c

는 0과 1 사이의 값)

g(1)=f(y)

이고

g(0)=f(x)

이므로,

g'(c)

를 계산하면 다음과 같다.

:

f(y)-f(x)=\nabla f\big((1-c)x+cy\big)\cdot (y-x)

여기서

\nabla

는 경사도를,

\cdot

는 내적을 나타낸다.

n=1

인 경우, 이는 한 변수에서의 정리와 동일하다. 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면 다음을 얻는다.

:

\Bigl|f(y)-f(x)\Bigr| \le \Bigl|\nabla f\big((1-c)x+cy\big)\Bigr|\ \Bigl|y - x\Bigr|.

G

가 볼록하고

f

의 편도함수가 유계이면,

f

는 립시츠 연속이며, 균등 연속이다.

열린 부분 집합

G

가 연결되어 있고

f

의 모든 편도함수가 0이면

f

는 상수 함수이다. 이를 증명하기 위해

x_0\in G

를 선택하고,

g(x)=f(x)-f(x_0)

라 하자. 모든

x\in G

에 대해

g(x)=0

임을 보이면 된다.

E=\{x\in G:g(x)=0\}

라고 하면,

E

는

G

에서 닫혀 있고 공집합이 아니다. 또한, 모든

x\in E

에 대해,

:

\Big|g(y)\Big|=\Big|g(y)-g(x)\Big|\le (0)\Big|y-x\Big|=0

가 성립한다. (

y

는

x

를 중심으로 하고

G

에 포함된 열린 공 안에 존재)

G

가 연결되어 있으므로,

E=G

이다.

위의 논증은 좌표에 의존하지 않으므로,

G

가 바나흐 공간의 부분 집합인 경우로 일반화할 수 있다.

3. 적분 평균값 정리

Mittelwertsatz der Integralrechnung|적분의 평균값 정리^de는 함수 ''f''(''x'')가 유한한 부피 vol(''E'')를 갖는 집합 ''E'' 위에서 유계이고 적분 가능하다면, ''f''(''x'')의 ''E''에서의 적분값을 ''E''에서 평균화한 값은 ''E''에서의 ''f''(''x'')의 상한과 하한 사이에 있다는 정리이다.

: $\inf_{x \in E} f(x) \leq \frac{1}{\mathrm{vol}(E)}\int_E f(x)\, dx \leq \sup_{x \in E} f(x).$

이를 적분의 '''제1 평균값 정리'''라고 한다.

좀 더 일반화된 형태는 다음과 같다. 집합 ''E'' 위에서 ''f''(''x'')가 유계이고 ''g''(''x'')가 적분 가능하다면, 곱 ''f''(''x'')''g''(''x'')는 적분 가능하며,

: $\inf_{x \in E} f(x) \leq \mu \leq \sup_{x \in E} f(x)$

를 만족하고, 다음 등식을 만족하는 상수 μ가 존재한다.

: $\int_E f(x)|g(x)|\,dx = \mu \int_E |g(x)|\, dx$

만약 ''f''(''x'')가 연속이라면, 중간값 정리에 의해 μ = ''f''(ξ)를 만족하는 ''E''의 점 ξ가 존재한다.

특히 일변수의 경우, 유계 함수 ''f''(''x'')가 구간 [''a'', ''b'']에서 연속이고 적분 가능하다면, 다음 식을 만족하는 ξ가 ''a'' < ξ < ''b''에 존재한다.

: $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)$

이 식에서 좌변은 함수 ''f''(''x'')가 구간 [''a'', ''b'']에서 훑는 “부호가 있는” 면적 ∫_''a''^''b'' ''f''(''x'') ''dx''를 구간의 길이 ''b'' − ''a''로 나눈 값이다. 즉, 이 등식은 함수 ''f''(''x'')가 구간 [''a'', ''b'']에서 훑는 도형의 평균 “부호가 있는” 높이를 실현하는 점이 구간 내에 존재함을 의미한다.

'''제2 평균값 정리'''는 열린 구간 (''a'',''b'')에서 유계 변동이고 연속인 함수 ''F''(''x'')와 유계인 단조 함수 φ(''x'')에 대해, φ(''x'')는 르베그-스틸체스 의미로 ''F''(''x'')에 관하여 적분 가능하며, 다음 식을 만족하는 ξ (''a'' < ξ < ''b'')가 존재함을 의미한다.

: $\int_a^b \varphi(x)\, dF(x)= \varphi(a+0)\{F(\xi) - F(a+0)\} + \varphi(b-0)\{F(b-0) - F(\xi)\}$

특히, 열린 구간 (''a'',''b'')에서 ''f''(''x'')가 적분 가능하고 φ(''x'')가 유계이고 단조 함수라면, ''f''(''x'')의 부정 적분이 ''F''(''x'')의 조건을 만족하므로, 제2 평균값 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\int_a^b f(x)\varphi(x)dx= \varphi(a+0) \int_a^\xi f(x)\,dx + \varphi(b-0) \int_\xi^b f(x)\,dx$

3. 1. 제1 적분 평균값 정리

연속 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

에 대하여, 다음을 만족시키는

c\in(a,b)

가 존재한다.

:

\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)

이에 따라,

f

의 그래프와 x축 사이의 영역의 넓이는 그래프의 한 점을 지나는 직선과 x축 사이의 직사각형의 넓이와 같다. --

보다 일반적으로, 임의의 연속 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

및 리만 적분 가능 함수

g\colon[a,b]\to[0,\infty)

(또는

g\colon[a,b]\to(-\infty,0]

)에 대하여, 다음을 만족시키는

c\in(a,b)

가 존재한다.

:

\int_a^bf(x)g(x)dx=f(c)\int_a^bg(x)dx

이를 '''제1 적분 평균값 정리'''(first mean value theorem for integrals^영어)라고 한다.

c\in[a,b]

의 존재는 중간값 정리를 사용하여 쉽게 보일 수 있다.^[9]

3. 2. 제2 적분 평균값 정리

second mean value theorem for integrals^영어에 따르면, 다음 세 명제가 성립한다.

임의의 증가함수 $f\colon[a,b]\to[0,\infty)$ 및 리만 적분 가능 함수 $g\colon[a,b]\to\mathbb R$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\in[a,b]$ 가 존재한다.
: $\int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(b)\int_c^bg(x)\,dx$
임의의 감소함수 $f\colon[a,b]\to[0,\infty)$ 및 리만 적분 가능 함수 $g\colon[a,b]\to\mathbb R$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\in[a,b]$ 가 존재한다.
: $\int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(a)\int_a^cg(x)\,dx$
임의의 단조함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ 및 리만 적분 가능 함수 $g\colon[a,b]\to\mathbb R$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\in[a,b]$ 가 존재한다.
: $\int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(a)\int_a^cg(x)\,dx+f(b)\int_c^bg(x)\,dx$

첫 번째·두 번째 명제는

f

가 음이 아닌 값을 갖는다고 가정한다. 세 번째 명제에서,

f

는 부호가 변화하는 함수일 수 있으며, 증가함수일 수도 감소함수일 수도 있다. 세 명제 모두

g

에 대해서는 리만 적분 가능성밖에 가정하지 않는다. 제2 적분 평균값 정리의 증명 역시 중간값 정리를 사용한다. 이를 위해서는 적분 값의 상계와 하계를 주는 부등식을 증명해야 하는데, 만약

g

가 음이 아닌 실수 값을 갖는다면 이는 자명하다. 만약

g

의 연속성과

f

의 1차 연속 미분 가능성을 가정하면, 부분 적분을 사용할 수 있다. 일반적인 경우는 더 복잡하며, 리만 적분을 유한합의 극한으로 전개한 뒤 아벨 변환을 가한다.^[10]

다음과 같이 약간씩 다른 여러 개의 정리가 있는데, 이를 '''정적분 제2 평균값 정리'''라고 부른다.

만약

G : [a,b]\to \mathbb{R}

가 양의 단조 감소 함수이고

\varphi : [a,b]\to \mathbb{R}

가 적분 가능한 함수라면, (''a'', ''b''] 내에 숫자 ''x''가 존재하여

::

\int_a^b G(t)\varphi(t)\,dt = G(a^+) \int_a^x \varphi(t)\,dt.

이다.

여기서

G(a^+)

는

{\lim_{x\to a^+}G(x)}

를 나타내며, 그 존재는 조건으로부터 따른다.

만약

G : [a,b]\to \mathbb{R}

가 단조 (감소하고 양수일 필요는 없음) 함수이고

\varphi : [a,b]\to \mathbb{R}

가 적분 가능한 함수라면, (''a'', ''b'') 내에 숫자 ''x''가 존재하여

::

\int_a^b G(t)\varphi(t)\,dt = G(a^+) \int_a^x \varphi(t)\,dt + G(b^-) \int_x^b \varphi(t)\,dt.

이다.

열린 구간 (''a'',''b'')에서, ''f''(''x'')가 적분 가능하고 φ(''x'')가 유계이고 단조 함수라면, ''f''(''x'')의 부정 적분이 제2 평균값 정리에 언급된 ''F''(''x'')의 조건을 만족하므로, 이 경우의 제2 평균값 정리의 등식은

:

\int_a^b f(x)\varphi(x)dx= \varphi(a+0) \int_a^\xi f(x)\,dx + \varphi(b-0) \int_\xi^b f(x)\,dx

의 형태로 나타낼 수 있다.

3. 3. 복소 적분 형태

복소평면 상에서 어떤 점

z_0

을 중심으로 하는 반지름

r

인 원 내에서 정칙인 함수

f

에 대하여, 다음 식이 성립한다.

:

f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0+re^{it})dt

이를 '''가우스의 평균값 정리'''라고 한다.

코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 위 식을 바로 얻을 수 있다.

f(z)=u(z)+iv(z)

일 때, 양변에 실수부를 취하면 다음과 같은 '''조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리'''를 얻는다.

:

u(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(z_0+re^{it})dt

위에 언급된 바와 같이, 이 정리는 미분 가능한 복소수 값을 갖는 함수에 대해서는 성립하지 않는다.^[12] 대신, 이 정리의 일반화는 다음과 같이 진술된다.

열린 볼록 집합 Ω에서 ''f'' : Ω → '''C'''가 정칙 함수이고, ''a''와 ''b''가 Ω의 서로 다른 점이라고 하자. 그러면 ''a''에서 ''b''까지의 선분 내부에 다음을 만족하는 점 ''u'', ''v''가 존재한다.

:

\operatorname{Re}(f'(u)) = \operatorname{Re}\left ( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right),

:

\operatorname{Im}(f'(v)) = \operatorname{Im}\left ( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right).

여기서 Re()는 복소수 값 함수의 실수 부분이고 Im()은 허수 부분이다.

4. 응용

평균값 정리는 다음과 같은 명제들을 유도하는 데 활용된다.

구간 위에 정의된 실수값 함수 가 에서 연속이고, 의 내부에서 미분 가능하며 모든 점에서 이면, 는 에서 상수함수이다.^[18]
두 함수 가 에서 연속이고, 내부의 모든 점에서 이면, 와 는 에서 상수 차이가 난다.^[18]
함수 가 에서 연속이고, 내부의 모든 점에서 이면, 는 에서 단조 증가한다.^[18]

이 명제들은 평균값 정리를 이용하여 증명할 수 있으며, 그 과정은 서로 유사하다. 첫 번째 명제를 예로 들어 증명하면 다음과 같다. 내부의 임의의 두 점 에 대하여, 는 구간 에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 가 구간 안에 존재한다.

:

즉, 이다. 이는 가 내부에서 상수 값을 갖는다는 것을 의미한다. 또한, 함수는 연속이므로 전체에서 상수 함수가 된다.

5. 역사

이 정리의 최초 입안자는 인도의 바타세리 파라메슈바라로 기록되어 있으며^[19] 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다.

이 정리의 특수한 경우는 인도 케랄라 천문 수학 학파의 파라메슈바라(1380–1460)가 고빈다스와미와 바스카라 II에 대한 해설에서 처음 기술했다.^[1] 1691년 미셸 롤은 이 정리의 제한된 형태인 롤의 정리를 미적분학 기술 없이 다항식에 대해서만 증명하였다.^[2] 현대적 형태의 평균값 정리는 1823년 오귀스탱 루이 코시에 의해 제시되고 증명되었다.^[3]^[4]

6. 같이 보기

로피탈의 정리

참조

_[1] 웹사이트 Paramesvara https://mathshistory[...] 2000
_[2] 웹사이트 Historical development of the mean value theorem http://abesenyei.web[...]
_[3] 논문 Some variants of Cauchy's mean value theorem https://www.tandfonl[...] 2020-10-02
_[4] 서적 Mean value theorems and functional equations https://www.worldcat[...] World Scientific 1998
_[5] 웹사이트 Extended Mean-Value Theorem http://mathworld.wol[...] 2018-10-08
_[6] 뉴스 Cauchy's Mean Value Theorem https://www.math24.n[...] 2018-10-08
_[7] 문서 2015
_[8] 웹사이트 Mathwords: Mean Value Theorem for Integrals http://www.mathwords[...]
_[9] 서적 Calculus: The Elements World Scientific 2002
_[10] 논문 On the Second Mean-Value Theorem of the Integral Calculus https://zenodo.org/r[...]
_[11] 논문 A Probabilistic Analogue of the Mean Value Theorem and Its Applications to Reliability Theory
_[12] 문서 A Complex Rolle’s Theorem 1992-11
_[13] 웹사이트 Paramesvara http://www-groups.dc[...] 2000
_[14] 웹사이트 Historical development of the mean value theorem http://abesenyei.web[...]
_[15] 문서 解析概論
_[16] 문서 実一変数関数
_[17] 서적 대학수학 기전연구사 2008
_[18] 서적 An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach 학산미디어 2013
_[19] 웹사이트 Paramesvara http://www-groups.dc[...] 2000

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