레일리-테일러 불안정

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1. 개요
2. 발달 단계 및 난류 혼합으로의 진화
3. 와도(Vorticity)를 이용한 설명
참조

1. 개요

레일리-테일러 불안정은 밀도가 다른 두 유체 사이의 경계면에서 나타나는 불안정 현상으로, 무거운 유체가 가벼운 유체 위에 위치할 때 중력의 영향으로 발생한다. 이 불안정은 초기 단계, 비선형 성장 단계, 상호 작용 단계, 난류 혼합 단계의 네 단계를 거쳐 진화하며, 특히 초기 단계는 선형 안정성 분석을 통해 설명된다. 표면 장력이 없는 경우, 무거운 유체가 가벼운 유체 위에 있으면 모든 파수에서 불안정성이 발생하며, 표면 장력이 있는 경우에는 특정 파수 범위에서만 불안정이 나타난다. 와도를 이용한 설명에 따르면, 레일리-테일러 불안정은 경계면에서 압력과 밀도 기울기의 불일치로 인해 생성된 바클리닉 토크의 결과로 볼 수 있다.

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레일리-테일러 불안정
개요
클로버 시뮬레이션
유형	유체 역학적 불안정
관련 분야	유체 역학 플라스마 물리학 천체 물리학
발견자	레일리 경 제프리 잉그램 테일러 경
발견 시기	1883년 (레일리) 1950년 (테일러)
설명
정의	밀도가 다른 두 유체 사이의 계면에서 발생하는 불안정 현상
발생 조건	무거운 유체가 가벼운 유체 위에 놓일 때
원인	중력 또는 가속도
특징	계면의 작은 교란이 시간이 지남에 따라 증폭됨 무거운 유체가 가벼운 유체 속으로 침투하는 형태로 발전
안정화 요인	표면 장력 점성
수학적 설명
선형 성장률	'√(Akg)' (A: 아트우드 수, k: 파수, g: 중력 가속도)
아트우드 수	'(ρ₂ - ρ₁) / (ρ₂ + ρ₁)' (ρ₁: 가벼운 유체 밀도, ρ₂: 무거운 유체 밀도)
응용
천체 물리학	초신성 폭발 성운 형성 항성풍 상호작용
관성 가둠 핵융합	연료 펠릿 압축
수중 폭발	버블 붕괴
산업 공정	액체 혼합
지질학	염분 돔 형성
관련 현상
유사 현상	켈빈-헬름홀츠 불안정성 사프로노프-툼레 불안정성
불안정성	불안정성
참고 문헌
참고 문헌	Sharp, D.H. (1984). An Overview of Rayleigh–Taylor Instability. Physica D, 12(1), 3–18. Chandrasekhar, S. (1981). Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Oxford: Clarendon Press. Betti, R. et al. (1998). Growth rates of the ablative Rayleigh–Taylor instability in inertial confinement fusion. Physics of Plasmas, 5(5), 1446–1454.
기타
관련 링크	ロスアラモス国立研究所の並列AMRコードの紹介 (영어) Why Nuclear Bombs Create Mushroom Clouds (영어) Scholarpedia: Rayleigh-Taylor instability and mixing (영어)

2. 발달 단계 및 난류 혼합으로의 진화

경계면의 작은 파장 섭동(a)에서 시작하여 버섯 모양의 스파이크(무거운 유체가 가벼운 유체로 형성된 구조)와 거품(가벼운 유체가 무거운 유체로 형성된 구조)으로 성장하는 레일리-테일러 불안정의 진화를 나타낸다(b). 이러한 유체 구조는 거품 합병 및 경쟁(c)으로 인해 상호 작용하여 결국 혼합 영역(d)으로 발전한다. 여기서 ρ2는 무거운 유체, ρ1은 가벼운 유체를 나타낸다. 중력은 아래로 작용하며 시스템은 RT 불안정하다.

레일리-테일러 불안정(RTI)은 크게 네 단계를 거쳐 발생한다.^[2]

1. 초기 단계: 섭동(어떤 물리량이 평형값에서 약간 벗어난 상태)의 진폭이 파장에 비해 매우 작아, 운동 방정식을 선형화하여 분석할 수 있다. 이 단계에서는 섭동이 지수 함수 형태로 성장하며, 초기에는 정현파(사인 곡선) 형태를 유지한다.

2. 비선형 성장 단계: 섭동의 진폭이 커지면서 비선형 효과가 나타난다. 무거운 유체가 가벼운 유체 쪽으로 침투하는 "스파이크"와 가벼운 유체가 무거운 유체 쪽으로 올라가는 "거품"이 형성되며, 이들은 버섯 모양을 띤다. 이 단계의 성장은 부력 항력 모델로 설명할 수 있으며, 성장률은 시간에 따라 거의 일정하다.

3. 상호 작용 단계: 스파이크와 거품이 서로 상호 작용한다. 작은 스파이크와 거품들이 합쳐져 더 큰 구조를 형성하는 "거품 합병" 현상과, 큰 스파이크와 거품이 작은 것들을 흡수하는 "거품 경쟁" 현상이 나타난다.

4. 난류 혼합 단계: 앞선 단계들을 거치면서 유체는 결국 난류 상태로 섞이게 된다. 레이놀즈 수가 충분히 크다면, 이 혼합 영역은 자기 유사성(self-similar)을 띠는 난류가 된다.^[15]

2. 1. 초기 단계 (선형 안정성 분석)

비점성 2차원 레일리-테일러 불안정(RT 불안정)은 그 기본 상태가 단순하여 안정성 연구에 있어 중요한 수학적 기반을 제공한다.^[16] 밀도가 다른 두 유체가

z=0

을 경계로 분리되어 있다고 가정한다.

z<0

인 영역에서는 밀도가

\rho_1

이고,

z>0

인 영역에서는 밀도가

\rho_2

이다. 중력 가속도는 벡터

\mathbf g = -g\, \mathbf{e}_z

로 나타낼 수 있다. 이러한 평형 상태에서 속도장(

\overline{\mathbf v}

)과 압력장(

\overline p

)은 다음과 같이 표현된다.

:

\overline{\mathbf v}=\mathbf{0}, \quad \overline p = \begin{cases}-\rho_1 g z \quad \text{for  }z<0,\\ -\rho_2 g z \quad \text{for  }z>0,\end{cases}

여기서 압력의 기준 위치는

z=0

으로 설정된다.

이 경계면이 약간 교란을 받아

z=f(x,t)

의 위치를 갖게 되면, 기본 상태 역시 약간 교란을 받는다. 선형 이론에 따르면, 이러한 교란은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\mathbf{v} = \overline{\mathbf v} + \hat{\mathbf{v}}(z) e^{ikx+\sigma t}, \quad p = \overline{p} + \hat p(z) e^{ikx+\sigma t}, \quad f =\hat{f} e^{ikx+\sigma t}

여기서

k

는

x

방향으로의 실수 파수(wave number)를 나타내며,

\sigma

는 섭동(perturbation)의 성장률을 의미한다.

비점성 지배 방정식을 이용한 선형 안정성 분석 결과는 다음과 같다.

:

\sigma^2 =  \frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_2+\rho_1} gk.

이 결과는

\rho_2<\rho_1

일 경우, 즉 밀도가 낮은 유체가 위쪽에 위치할 경우 기본 상태가 안정적임을 보여준다. 반대로

\rho_2>\rho_1

일 경우, 즉 밀도가 높은 유체가 위쪽에 위치할 경우에는 모든 파수(

k

)에 대해 불안정성이 발생한다.

인터페이스에 표면 장력 $\gamma$가 존재하면, 분산 관계는 다음과 같이 수정된다.

:$\sigma^2 = \frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_2+\rho_1}gk - \frac{\gamma k^3}{\rho_2+\rho_1}$

이는 불안정이 $0 < k < k_c$ 범위의 파수에서만 발생함을 의미하며, 여기서 $k_c^2 = (\rho_2 - \rho_1)g / \gamma$이다. 즉, 표면 장력은 파수가 크거나, 파장이 작은 경우를 안정화시키는 역할을 한다.

최대 성장률은 $k_m = k_c / \sqrt{3}$에서 나타나며, 이때 성장률의 값은 다음과 같다.

:$\sigma_m^2 = \frac{2\gamma}{\rho_2 - \rho_1} \left[ \frac{(\rho_2 - \rho_1)g}{3\gamma} \right]^{3/2}$

두 유체 층에 상대 속도가 있는 경우에는 불안정성이 켈빈-헬름홀츠 불안정과 레일리-테일러 불안정을 모두 포함하는 켈빈-헬름홀츠-레일리-테일러 불안정으로 일반화된다. 최근 연구에 따르면, 시스템의 선형 역학을 지배하는 유체 방정식은 패리티-시간 대칭을 가지며, 켈빈-헬름홀츠-레일리-테일러 불안정은 이러한 패리티-시간 대칭이 자발적으로 깨질 때 발생한다.^[17]

2. 1. 1. 표면 장력이 없을 때

비점성 2차원 레일리-테일러 불안정성(RT 불안정성)은 기본 상태가 단순하여 안정성 연구에 유용한 수학적 기반을 제공한다.^[16] 밀도가 다른 두 유체가

z=0

을 기준으로 분리되어 있고,

z<0

에서는 밀도가

\rho_1

,

z>0

에서는

\rho_2

라고 가정한다. 중력 가속도는

\mathbf g = -g\, \mathbf{e}_z

로 표현된다. 이 평형 상태에서 속도장과 압력장은 다음과 같다.

:

\overline{\mathbf v}=\mathbf{0}, \quad \overline p = \begin{cases}-\rho_1 g z \quad \text{for  }z<0,\\ -\rho_2 g z \quad \text{for  }z>0,\end{cases}

여기서 압력의 기준은

z=0

이다. 이 인터페이스가 약간 교란되어

z=f(x,t)

위치가 되면, 기본 상태도 약간 교란된다. 선형 이론에서는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathbf{v} = \overline{\mathbf v} + \hat{\mathbf{v}}(z) e^{ikx+\sigma t}, \quad p = \overline{p} + \hat p(z) e^{ikx+\sigma t}, \quad f =\hat{f} e^{ikx+\sigma t}

여기서

k

는

x

방향의 실수 파수이고,

\sigma

는 섭동의 성장률이다. 비점성 지배 방정식을 기반으로 한 선형 안정성 분석은 다음 결과를 보여준다.

:

\sigma^2 =  \frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_2+\rho_1} gk.

따라서

\rho_2<\rho_1

이면 기본 상태는 안정적이고,

\rho_2>\rho_1

이면 모든 파수에 대해 불안정하다.

2. 1. 2. 표면 장력을 고려할 때

인터페이스에 표면 장력 $\gamma$가 존재하면, 분산 관계는 다음과 같이 주어진다.

:$\sigma^2 = \frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_2+\rho_1}gk - \frac{\gamma k^3}{\rho_2+\rho_1}$

이는 불안정이 $0 < k < k_c$의 파수 범위에서만 발생함을 의미한다. 여기서 $k_c^2 = (\rho_2 - \rho_1)g / \gamma$이다. 즉, 표면 장력은 큰 파수(또는 작은 길이 스케일)를 안정화시키는 역할을 한다.

최대 성장률은 파수 $k_m = k_c / \sqrt{3}$에서 나타나며, 그 값은 다음과 같다.

:$\sigma_m^2 = \frac{2\gamma}{\rho_2 - \rho_1} \left[ \frac{(\rho_2 - \rho_1)g}{3\gamma} \right]^{3/2}$

2. 2. 비선형 성장 단계

레일리-테일러 불안정(RTI)의 진화 과정에서 섭동의 진폭이 커지면, 선형 성장 단계의 분석은 더 이상 유효하지 않게 된다. 이 단계에서는 불안정의 스파이크와 버블이 서로 얽히고 소용돌이 형태로 말리면서 비선형적으로 성장한다.^[2]

이러한 비선형 단계를 정확하게 설명하기 위해서는 수치 시뮬레이션을 통한 접근이 필수적이다. 수치 시뮬레이션은 복잡한 유동 현상을 계산하고 예측하는 데 사용되는 방법으로, 레일리-테일러 불안정의 비선형 성장 단계를 이해하는 데 중요한 도구이다.

2. 3. 상호 작용 단계

레일리-테일러 불안정(RTI)의 진화는 네 가지 주요 단계를 거친다.^[2] 세 번째 단계에서 스파이크와 거품은 서로 상호 작용하기 시작한다. 모드 결합의 비선형 상호 작용으로 거품 합병이 일어나 더 작은 스파이크와 거품이 결합하여 더 큰 것을 생성한다. 또한, 아직 포화되지 않은 더 큰 스파이크와 거품에 의해 포화된 더 작은 파장의 스파이크와 거품이 휩싸이는 거품 경쟁이 일어난다. 이것은 결국 난류 혼합 영역으로 발전하며, 이는 진화의 네 번째이자 마지막 단계이다. 최종적으로 발생하는 혼합 영역은 레이놀즈 수가 충분히 크다면 자기 유사하고 난류인 것으로 일반적으로 추정된다.^[15]

2. 4. 난류 혼합 단계

레일리-테일러 불안정(RTI)의 진화는 네 가지 주요 단계를 거친다.^[2] 첫 번째 단계에서 섭동 진폭은 파장에 비해 작으며, 운동 방정식을 선형화할 수 있어 지수적인 불안정 성장을 보인다. 이 단계 초기에는 정현파 초기 섭동이 정현파 모양을 유지한다. 그러나 첫 번째 단계가 끝나고 비선형 효과가 나타나면, 버섯 모양의 스파이크(무거운 유체가 가벼운 유체로 성장하는 유체 구조)와 거품(가벼운 유체가 무거운 유체로 성장하는 유체 구조)이 형성되기 시작한다.

두 번째 단계에서는 버섯 구조의 성장이 계속되며, 부력 항력 모델을 사용하여 모델링할 수 있고, 시간적으로 대략 일정한 성장률을 보인다. 이 시점에서는 운동 방정식의 비선형 항을 더 이상 무시할 수 없다.

세 번째 단계에서는 스파이크와 거품이 서로 상호 작용한다. 거품 합병이 일어나, 모드 결합의 비선형 상호 작용이 더 작은 스파이크와 거품을 결합하여 더 큰 것을 생성한다. 또한, 아직 포화되지 않은 더 큰 스파이크와 거품에 의해 포화된 더 작은 파장의 스파이크와 거품이 휩싸이는 거품 경쟁이 일어난다.

이것은 결국 난류 혼합 영역으로 발전하며, 이는 진화의 네 번째이자 마지막 단계이다. 최종적으로 발생하는 혼합 영역은 레이놀즈 수가 충분히 크다면 자기 유사하고 난류인 것으로 일반적으로 추정된다.^[15]

3. 와도(Vorticity)를 이용한 설명

RT 불안정은 2차원 비점성 와도 방정식 $\frac{D\omega}{Dt} = \frac{1}{\rho ^2}\nabla \rho \times \nabla p$ 에 의해 설명된 대로, 교란된 계면에서 압력 및 밀도 기울기의 불일치로 생성된 바클리닉 토크의 결과로 볼 수 있다. 여기서 ω는 와도, ρ는 밀도, ''p''는 압력이다. 이 경우 지배적인 압력 기울기는 정수압이며, 가속도에서 비롯된다.^[15]^[18]

불안정한 레일리-테일러 불안정 구성의 시각화. 계면에서 바클리닉 토크가 와도를 생성하고 바클리닉 토크를 증가시키는 속도장을 유도한다. 여기서 ω는 와도, ''p''는 압력, ρ는 밀도, ''u''는 속도, ''g''는 중력이다. 굵은 원형 화살표는 와류에 의해 생성된 속도장을 나타낸다.

불안정한 구성에서 초기 섭동의 특정 고조파 성분에 대해 계면의 토크는 기울기 벡터의 불일치를 증가시키는 경향이 있는 와도를 생성한다. 이것은 차례로 추가 와도를 생성하여 더 많은 불일치를 초래한다. 이 개념은 그림에 묘사되어 있으며, 여기서 두 개의 반대 회전 와류가 교란된 계면의 피크와 트로프에서 합산되는 속도장을 갖는 것으로 관찰된다. 안정적인 구성에서 와도, 즉 유도된 속도장은 불일치를 감소시키고 시스템을 안정시키는 방향으로 작용한다.^[15]^[18]

참조

_[1] 웹사이트 Parallel AMR Code for Compressible MHD or HD Equations http://math.lanl.gov[...] Los Alamos National Laboratory 2006-09-05
_[2] 논문 An Overview of Rayleigh–Taylor Instability https://digital.libr[...] 1984
_[3] 문서 Drazin 2002
_[4] 간행물 Rayleigh–Taylor instability and mixing
_[5] 웹사이트 Why Nuclear Bombs Create Mushroom Clouds https://gizmodo.com/[...] 2013-11-20
_[6] 논문 Instabilities and Clumping in Type Ia Supernova Remnants 2000
_[7] 서적 Stellar Astrophysics CRC Press 1992
_[8] 논문 The Rayleigh–Taylor instability in the spherical pinch 1994
_[9] 논문 Growth rates of the ablative Rayleigh–Taylor instability in inertial confinement fusion 1998
_[10] 웹사이트 EVALUATION OF VARIOUS THEORETICAL MODELS FOR UNDERWATER EXPLOSION http://www.dtic.mil/[...] U.S. Government 1971
_[11] 논문 The Crab Nebula: an Astrophysical Chimera 2008
_[12] 논문 Quiescent Prominence Dynamics Observed with the Hinode Solar Optical Telescope. I. Turbulent Upflow Plumes 2010
_[13] 논문 Numerical Simulations of the Magnetic Rayleigh–Taylor Instability in the Kippenhahn-Schlüter Prominence Model. I. Formation of Upflows
_[14] 논문 Single-mode instability of a ferrofluid-mercury interface under a nonuniform magnetic field
_[15] 논문 The effects of forced small-wavelength, finite-bandwidth initial perturbations and miscibility on the turbulent Rayleigh Taylor instability 2015
_[16] 문서 Drazin 2002
_[17] 논문 Kelvin–Helmholtz instability is the result of parity-time symmetry breaking 2019
_[18] 학위논문 Experiments and Simulations on the Incompressible, Rayleigh–Taylor Instability with Small Wavelength Initial Perturbations University of Arizona Dissertations 2012
_[19] 웹사이트 Parallel AMR Code for Compressible MHD or HD Equations http://math.lanl.gov[...] Los Alamos National Laboratory 2019-10-16

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