유클리드 벡터

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1. 개요

유클리드 벡터는 고전적인 유클리드 기하학에서 크기와 방향을 갖는 양으로, 평행선분 쌍의 동치류로 정의된다. 19세기에 벨라비티스, 해밀턴, 그라스만 등에 의해 개념이 발전했으며, 기브스와 윌슨에 의해 현대적인 벡터 분석 시스템의 기초가 마련되었다. 유클리드 벡터는 수학적으로 순서쌍으로 표현되며, 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱, 내적, 외적 등의 연산을 수행할 수 있다. 물리학과 공학에서 위치, 속도, 힘 등을 나타내는 데 사용되며, 데카르트 좌표계에서 좌표 벡터로 표현된다. 또한, 좌표 변환에 따라 변환되는 방식에 따라 공변 벡터, 유사 벡터 등으로 구분된다.

2. 역사

벡터 개념은 19세기에 이르러 점진적으로 발전하였다. 1835년, 주스토 벨라비티스는 유클리드 평면에서 동등한 방향과 길이를 가진 평행선분 쌍을 동등으로 정의하며 벡터의 기본 개념을 추상화했다.^[9] 윌리엄 로언 해밀턴은 사원수의 일부로 벡터를 도입하며, 사원수의 허수 부분으로 간주했다.^[10] 이는 복소수가 허수 단위를 통해 실수선을 보완하는 것과 유사하다.

오귀스탱 코시, 헤르만 그라스만, 아우구스트 뫼비우스, 생 베낭 백작, 매튜 오브라이언 (수학자) 등 여러 수학자들이 19세기 중반에 벡터와 유사한 시스템을 개발했다. 그라스만의 1840년 저서 ''Theorie der Ebbe und Flut''(조수 이론)는 오늘날의 시스템과 유사한 최초의 공간 분석 시스템이었으며, 외적, 점곱 및 벡터 미분에 해당하는 아이디어를 담고 있었다. 그러나 그라스만의 연구는 1870년대까지 거의 주목받지 못했다.^[9] 피터 거스리 테이트는 해밀턴의 사원수 연구를 계승하여 델 연산자를 포함한 사원수 표준을 제시했다.

1878년, 윌리엄 킹던 클리포드는 사원수 곱에서 점곱과 외적을 분리하여 사원수 연구를 단순화하고, 벡터 계산을 3차원에 적용 가능하게 만들었다. 조시아 윌라드 기브스는 제임스 클레르크 맥스웰의 전자기학 연구를 통해 사원수에서 벡터 부분을 분리하여 현대적인 벡터 분석 시스템의 기초를 마련했다.^[9]^[6] 1901년, 에드윈 비드웰 윌슨은 기브스의 강의를 바탕으로 한 저서를 통해 벡터 미적분 개발에서 사원수 언급을 제거했다.

한국에서는 주로 이공계 학문을 중심으로 벡터 개념이 활발하게 사용되어 왔으며, 특히 컴퓨터 그래픽스 등의 분야에서 3차원 공간 프로그래밍에 사원수가 다시 활용되기도 한다.

3. 수학적 기술

물리학과 공학에서 벡터는 주로 크기와 방향을 가진 기하학적 대상으로, 유클리드 공간에서 유향선분 또는 화살표로 표현된다.^[11] 순수 수학에서는 벡터 공간의 원소로 더 일반적으로 정의되며, 이 경우 크기와 방향을 가질 수도, 가지지 않을 수도 있다.

유클리드 벡터는 시작점과 종점을 가지며, 이 점들이 명확히 구분될 때 '결합 벡터'라고 한다.^[12] 반면, 시작점과 종점이 중요하지 않은 경우 '자유 벡터'라고 한다. 공간에서 두 화살표 $\stackrel {\,\longrightarrow}{AB}$ 와 $\stackrel {\,\longrightarrow}{A'B'}$ 가 크기와 방향이 같으면, 즉 사변형 ''ABB′A′''가 평행 사변형이면 같은 자유 벡터를 나타낸다.

벡터는 동치류의 개념으로도 설명된다. 두 점의 순서쌍 (''A'', ''B'')와 (''C'', ''D'')가 있을 때, 점 ''A'', ''B'', ''D'', ''C''가 평행사변형을 이루면 두 순서쌍은 동등하다. 이러한 동치류를 유클리드 벡터라고 하며,

\overrightarrow{AB}

로 표기한다.^[13]

벡터 '''a'''와 같은 방향이고 크기가 ''k''배인 벡터는 ''k'''''a'''로 나타낸다. '''a'''와 반대 방향이고 크기가 ''k''배인 벡터는 −''k'''''a'''로 나타낸다. 이를 벡터 '''a'''의 '''스칼라 곱'''이라고 한다.

두 벡터 '''a''', '''b'''의 합 '''a''' + '''b'''는 시작점을 공유하는 평행사변형의 대각선 벡터로 정의된다.

피타고라스 정리를 이용하면, 벡터 '''v'''의 크기 ||'''v'''||는 다음과 같이 계산된다.

:

\lVert\mathbf{v}\rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}

벡터의 시작점을 ''xyz''-좌표계의 원점에 맞추면, 임의의 벡터는 그 종점의 좌표로 유일하게 나타낼 수 있다.

:

\mathbf{v} := v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k}\leftrightarrow (v_x, v_y, v_z) =: P(\mathbf{v}).

이때, 공간 내의 점 ''Q''에 대하여 ''Q'' = ''P''('''v''')가 되는 벡터 '''v'''를 점 ''Q''의 '''위치 벡터'''라고 부른다.

3. 1. 벡터의 차원

스칼라는 크기만 표현할 수 있지만, 벡터는 방향과 크기를 모두 표현할 수 있다. x축의 단위벡터 e₁ 방향과 y축의 단위벡터 e₂ 방향, 그리고 각각의 크기 a, b를 나타내는 2차원 벡터 (a, b)와, 여기에 z축의 단위벡터 e₃과 크기 c를 추가하면 3차원 벡터 (a, b, c)를 표현할 수 있다. 이와 같이 이론적으로는 n차원 벡터를 표현하는 것이 가능하지만, 물리학이나 화학 등 실제 자연 현상을 다루는 학문에서는 2차원 벡터와 3차원 벡터로 충분하다.

3. 2. 차원 벡터의 성분

n차원 벡터의 성분은 다음과 같이 표기한다.

2차원 벡터의 성분이 (a, b)이고, 그 점이 A일 때:

:

\vec{A} =

3차원 벡터의 성분이 (a, b, c)이고, 단위벡터에서 원점(O)으로부터 점 A까지의 벡터일 때:

:

\vec{OA} =

영벡터:

:

\vec{0} = <0,0,0>

3. 3. 벡터의 연산

벡터의 덧셈과 뺄셈은 일반적으로 삼각형법과 평행사변형법으로 표현할 수 있다.^[7]

삼각형법은 꼬리 물기라고도 하며, 한 벡터의 종점과 나머지 벡터의 시점을 일치시켜 두 벡터의 합을 구하는 방법이다. 이때 두 벡터의 합은 일치하는 점이 아닌 시점에서 종점까지 이은 벡터와 같다. 뺄셈 또한 이항하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$

평행사변형법은 두 벡터와 각각 평행한 벡터를 만들어 평행사변형을 그리고, 원래의 두 벡터가 만나는 점을 시점으로 평행사변형의 대각선을 끝까지 이은 벡터가 두 벡터의 합이 된다.

원래의 두 벡터 $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ 와 각각의 벡터와 크기와 모양이 같은 새로운 두 벡터인 $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CD}$ 를 만들어 평행사변형을 이룰 때, 대각선인 $\overrightarrow{OD}$ 벡터가 이 두 벡터의 합이다.

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}$

두 벡터 '''a'''와 '''b'''의 합은 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_1+b_1)\mathbf{e}_1+(a_2+b_2)\mathbf{e}_2+(a_3+b_3)\mathbf{e}_3.

결과로 나오는 벡터는 때때로 '''결과 벡터'''라고 불린다.

'''a'''와 '''b'''의 차는 다음과 같다.

:

\mathbf{a}-\mathbf{b}=(a_1-b_1)\mathbf{e}_1+(a_2-b_2)\mathbf{e}_2+(a_3-b_3)\mathbf{e}_3.

3. 4. 거리와 각도

Euclidean vector^영어의 크기(절대값)는

\left\vert \vec{A} \right\vert = (a,b,c) = \sqrt{a^2+b^2+c^2}

으로 표현된다. 두 벡터의 사이각은

\vec{A} \cdot \vec{B} = \left\vert \vec{A} \right\vert \left\vert \vec{B} \right\vert \cos \theta

이며, 따라서

\over { \left\vert \vec{A} \right\vert \left\vert \vec{B} \right\vert }} = \cos \theta

이다.

기하학적 및 물리적 환경에서 벡터는 길이(크기)와 방향을 가지며, 두 벡터 사이의 각도 개념과 연관된다. 두 벡터의 내적이 정의되면 길이도 정의할 수 있다. 내적은 각도와 길이의 대수적 특징을 제공한다.

벡터 '''a'''의 길이, 크기, 노름은 ‖'''a'''‖ 또는 |'''a'''|로 표시하며, 유클리드 노름을 사용하여 계산할 수 있다.

:

\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}

이는 피타고라스 정리의 결과이다. 이것은 벡터 자체의 내적의 제곱근과 같다.

:

\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}

두 벡터 '''a'''와 '''b'''의 내적(스칼라 곱)은 '''a''' ∙ '''b'''로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta

여기서 ''θ''는 '''a'''와 '''b''' 사이의 각도이다. 기하학적으로 이것은 '''a'''와 '''b'''가 공통 시작점을 가지고 그려진 다음, '''a'''의 길이와 '''a'''와 같은 방향을 가리키는 '''b'''의 성분 길이를 곱한다는 것을 의미한다. 내적은 또한 각 벡터의 성분 곱의 합으로 정의할 수 있다.

:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

4. 물리학 및 공학에서의 벡터

벡터는 물리학 및 공학에서 기본적으로 사용된다. 벡터는 크기와 방향을 가지며 벡터 덧셈 규칙을 따르는 모든 양을 나타내는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 속도는 크기가 있고, "초당 5미터 위쪽"의 속도는 2차원에서 양의 ''y''축을 '위'로 할 때, 벡터 (0, 5)로 표현될 수 있다. 힘은 크기와 방향을 가지며 벡터 덧셈 규칙을 따르기 때문에 벡터로 표현되는 또 다른 양이다.^[7]

벡터는 선형 변위, 변위, 선형 가속도, 각가속도, 선형 운동량, 각운동량과 같은 많은 다른 물리량을 설명한다. 전기장 및 자기장과 같은 다른 물리적 벡터는 물리적 공간의 각 지점에서 벡터의 시스템, 즉 벡터장으로 표현된다.

각변위 및 전류는 크기와 방향을 갖지만 벡터 덧셈 규칙을 따르지 않으므로 벡터가 아니다.

4. 1. 1차원 예시

물리학에서 힘은 방향과 크기를 가지므로 벡터로 표현할 수 있다. 예를 들어, 오른쪽으로 작용하는 15 뉴턴의 힘 ''F''가 있다고 가정하자. 만약 양의 축이 오른쪽을 향한다면, ''F''는 15 N으로 표현된다. 반대로 양의 축이 왼쪽을 향한다면, ''F''는 -15 N으로 표현된다. 어느 경우든, 벡터의 크기는 15 N이다.^[7]

마찬가지로, 4 미터의 변위 Δ''s''를 벡터로 표현하면 방향에 따라 4 m 또는 -4 m가 된다. 이때 크기는 방향과 관계없이 4 m이다.^[7]

4. 2. 데카르트 공간에서

데카르트 좌표계에서 유계 벡터는 시작점과 종점의 좌표를 식별하여 나타낼 수 있다. 예를 들어, 공간상의 점 A|A^영어 = (1, 0, 0) 및 B|B^영어 = (0, 1, 0)는 ''x''축의 점에서 ''y''축의 점을 가리키는 유계 벡터

\overrightarrow{AB}

를 결정한다.

데카르트 좌표에서 자유 벡터는 시점이 원점 O|O^영어 = (0, 0, 0)의 좌표를 갖는 해당 유계 벡터의 관점에서 생각할 수 있다. 그런 다음 해당 유계 벡터의 종점 좌표에 의해 결정된다. 따라서 (1, 0, 0)으로 표시되는 자유 벡터는 단위 길이를 가진 벡터이며, 양의 ''x''축 방향을 가리킨다.

자유 벡터의 이러한 좌표 표현을 통해 대수적 특징을 편리한 수치적 방식으로 표현할 수 있다. 예를 들어, 두 (자유) 벡터 (1, 2, 3)과 (−2, 0, 4)의 합은 (자유) 벡터이다.

:(1, 2, 3) + (-2, 0, 4) = (1-2, 2+0, 3+4) = (-1, 2, 7)

4. 3. 유클리드 및 아핀 벡터

물리학과 공학에서 벡터는 보통 크기와 상대적 방향으로 특징지어지는 기하학적 개체로, 유클리드 공간에서 유향 선분 또는 화살표로 정의된다.^[1] 순수 수학에서 벡터는 벡터 공간의 임의의 원소로 정의되며, 크기와 방향을 가질 수도, 가지지 않을 수도 있는 추상적인 개체이다. 기하학적 개체는 추상 벡터의 특수한 종류로, 유클리드 공간이라는 특수한 벡터 공간의 원소이다. 이러한 특수한 벡터를 순수 수학에서 정의된 벡터와 구별하기 위해 '''''기하학적''''', '''''공간''''', 또는 '''''유클리드''''' 벡터라고도 한다.

유클리드 벡터는 특정 ''시작점''과 ''종료점''을 가질 수 있으며, 이를 '''''결합 벡터'''''라고 한다.^[12] 벡터의 크기와 방향만 중요하고 특정 시작점이나 종료점이 중요하지 않은 경우, 해당 벡터를 '''''자유 벡터'''''라고 한다.

공간에서 두 개의 화살표

\stackrel {\,\longrightarrow}{AB}

및

\stackrel {\,\longrightarrow}{A'B'}

는 크기와 방향이 같으면 동일한 자유 벡터를 나타낸다. 즉, 사변형 ''ABB′A′''가 평행 사변형이면 등가이다. 유클리드 공간에 원점을 선택하면, 자유 벡터는 시작점이 원점인 동일한 크기와 방향의 결합 벡터와 동일하다.

고전 유클리드 기하학(종합 기하학)에서 벡터는 19세기 동안 동치류로 도입되었으며, 동등 하에서 점들의 순서쌍에 해당한다. 두 쌍 (A, B)와 (C, D)는 점 A, B, D, C가 이 순서대로 평행사변형을 형성할 때 동등하다. 이러한 동치류는 "벡터"라고 하며, 더 정확하게는 유클리드 벡터라고 한다.^[13] (A, B)의 동치류는 종종

\overrightarrow{AB}

로 표기된다.

유클리드 벡터는 동일한 크기(예: 선분 (A, B)의 길이)와 동일한 방향(예: A에서 B로의 방향)을 갖는 방향성 있는 선분의 동치류이다.^[14] 물리학에서 유클리드 벡터는 크기와 방향을 모두 가지고 특정 위치에 있지 않은 물리량을 나타내는 데 사용된다. 반면에 스칼라는 방향이 없다.^[7] 예를 들어, 속도, 힘 및 가속도는 벡터로 표현된다.

현대 기하학에서 유클리드 공간은 종종 선형대수학으로부터 정의된다. 유클리드 공간 E는 실수에 대한 유한 차원의 내적 공간

\overrightarrow{E}

와

\overrightarrow{E}

의 가법군의 군 작용이 연관된 집합으로 정의되며, 이는 자유 작용 및 추이 작용이다 (아핀 공간 참조).

\overrightarrow{E}

의 원소를 평행 이동이라고 한다. 유클리드 공간의 두 정의가 동등하며, 동등 하에서의 동치류는 평행 이동과 동일시될 수 있음이 증명되었다.

때때로 유클리드 벡터는 유클리드 공간에 대한 참조 없이 고려된다. 이 경우 유클리드 벡터는 실수에 대한 유한 차원의 노름 벡터 공간의 원소이거나, 점 곱을 갖춘 실수 좌표 공간

\mathbb R^n

의 원소이다. 이러한 벡터 공간에서의 덧셈은 벡터 공간 자체에 자유롭고 추이적으로 작용한다.

\mathbb R^n

는 자신을 연관된 벡터 공간으로 하고 점 곱을 내적으로 하는 유클리드 공간이다.

유클리드 공간

\mathbb R^n

은 종종 차원 n의 "표준 유클리드 공간"으로 제시된다. 이는 차원 n의 모든 유클리드 공간이 유클리드 공간

\mathbb R^n

과 동형이라는 사실에 의해 동기 부여된다. 임의의 점 O를 원점으로 선택하고, 그람-슈미트 과정을 통해 연관된 벡터 공간의 정규 직교 기저를 찾을 수 있다. 이는 공간의 임의의 점 P의 데카르트 좌표를 벡터

\overrightarrow{OP}

의 이 기저에 대한 좌표로 정의한다. 이러한 선택은 모든 점을 데카르트 좌표의 n-튜플로, 모든 벡터를 해당 좌표 벡터로 매핑하여 주어진 유클리드 공간을

\mathbb R^n

으로의 동형을 정의한다.

5. 표현

벡터는 보통 $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w}$ 와 같이 소문자 굵은 글씨체나, '''''a'''''와 같이 소문자 이탤릭체 굵은 글씨체로 표기한다.^[1] 필기에서는 $\vec{a}$ 또는 ''a''와 같이 화살표나 밑줄을 사용하기도 한다. 벡터가 점 ''A''에서 점 ''B''로의 변위를 나타내는 경우 $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ 또는 ''AB'' 로 표기할 수 있다.

벡터는 그림에서 화살표로 표시된다. 점 ''A''는 시작점, 점 ''B''는 끝점으로, 화살표 길이는 벡터의 크기에 비례하고 화살표 방향은 벡터의 방향을 나타낸다.

2차원 그림에서 평면에 수직인 벡터는 작은 원으로 표시된다. 점이 있는 원(⊙)은 뷰어를 향하는 벡터를, 십자가가 있는 원(⊗)은 그림 안쪽을 향하는 벡터를 나타낸다.

데카르트 좌표계에서 벡터는 좌표 벡터로 표현될 수 있다. 예를 들어, 2차원에서 원점 ''O'' = (0, 0)에서 점 ''A'' = (2, 3)까지의 벡터는 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

$\mathbf{a} = (2,3).$

3차원 벡터는 스칼라 성분의 삼중항으로 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 또는 $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ 와 같이 표현된다.

''n''차원 유클리드 공간에서 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{n-1}, a_n).$

이 숫자들은 열 벡터 또는 행 벡터로 배열될 수 있다.

$\mathbf{a} =\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\\\end{bmatrix} =[ a_1\ a_2\ a_3 ]^{\operatorname{T}}.$

3차원 공간에서는 표준 기저 벡터 ${\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1)$ 를 사용하여 벡터를 표현할 수 있다.

$\mathbf{a} = (a_1,a_2,a_3) = a_1(1,0,0) + a_2(0,1,0) + a_3(0,0,1) = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3.$

여기서 $a_1{\mathbf e}_1, a_2{\mathbf e}_2, a_3{\mathbf e}_3$ 는 벡터 성분, $a_1, a_2, a_3$ 는 스칼라 성분이다.

물리학 교과서에서는 표준 기저 벡터를 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 로 표기하기도 한다. 이 경우,

$\mathbf{a} = \mathbf{a}_x + \mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z = a_x{\mathbf i} + a_y{\mathbf j} + a_z{\mathbf k}.$

와 같이 표현된다.

공간에서 두 점 ''S''와 ''T''를 잡고, ''S''에서 ''T''로 향하는 선분을 유향선분이라 한다. ''S''를 시작점, ''T''를 종점이라고 하며, 종점 ''T'' 쪽에 뾰족한 부분을 그려 화살표로 만든다.

thumb

점 ''S''에 방향과 크기를 가진 양 '''v'''가 작용할 때, '''v'''와 같은 방향, 길이를 가지는 유향선분 $\overrightarrow{ST}$ 를 취하여 '''v'''를 $\mathbf{v} = \overrightarrow{ST}$ 로 표현한다. 다른 점 ''S''′에 '''v'''와 같은 방향, 크기를 가진 유향선분 $\overrightarrow{S'T'}$ 를 만들면, 이들은 서로 평행하며 같은 벡터를 나타낸다.

: $\mathbf{v} = \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{S'T'}$

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벡터 '''a'''와 같은 방향이고 크기의 비율이 ''k''인 벡터는 ''k'''''a'''로 나타낸다. '''a'''와 반대 방향이고 크기의 비율이 ''k''인 벡터는 −''k'''''a'''로 표기한다. 이를 벡터 '''a'''의 스칼라 곱이라 한다.

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두 벡터 '''a''', '''b'''의 합 '''a''' + '''b'''는 시작점을 합쳤을 때 생기는 평행사변형의 대각선에 대응하는 벡터로 정의된다. '''a''' + '''b''' = '''b''' + '''a'''가 성립한다.

5. 1. 분해

벡터는 일반적으로 서로 수직인 기준 축(기저 벡터)에 대한 벡터 투영으로 분해될 수 있다. 이러한 분해는 벡터가 투영되는 축의 선택에 따라 달라지므로 고유하지 않다.

\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}}

와 같은 데카르트 단위 벡터를 기저로 사용하는 것이 필수적인 것은 아니다. 벡터는 원통 좌표계 (

\boldsymbol{\hat{\rho}}, \boldsymbol{\hat{\phi}}, \mathbf{\hat{z}}

) 또는 구면 좌표계 (

\mathbf{\hat{r}}, \boldsymbol{\hat{\theta}}, \boldsymbol{\hat{\phi}}

)의 단위 벡터를 포함한 임의의 기저를 사용하여 표현할 수도 있다.

벡터는 "고정되지 않은" 기저 벡터에 대해서도 분해될 수 있다. 예를 들어, 3차원 공간의 벡터는 표면에 각각 ''수직'' 및 ''접선''인 두 개의 축에 대해 분해될 수 있다(그림 참조). 또한 벡터의 ''반경'' 및 ''접선 성분''은 물체의 회전 ''반경''과 관련된다. 전자는 반경에 평행하고 후자는 이에 수직이다.

어떤 벡터를 두 개 이상의 다른 벡터의 합으로 분해할 수 있다. 특히 ''xyz''-공간의 각 축의 방향으로 길이가 1인 유향선분에 대응하는 벡터('''기본 벡터''', 단위 벡터)를 ''x'', ''y'', ''z''의 각 축에서 각각 '''i''', '''j''', '''k'''로 놓으면, 임의의 벡터 '''v'''는

:

\mathbf{v} = v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k}

의 형태로 나타낼 수 있다.^[1]

6. 성질 및 연산

데카르트 좌표계에서 기저 벡터를 다음과 같이 정의한다.

: $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0), \mathbf{e}_3 = (0, 0, 1)$

모든 벡터는 원점을 공통 기준점으로 갖는다고 가정하면, 벡터 '''a'''는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\mathbf{a} = a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3$

두 벡터는 크기와 방향이 같으면 같다. 따라서 두 벡터

: $\mathbf{a} = a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3$

: $\mathbf{b} = b_1\mathbf{e}_1 + b_2\mathbf{e}_2 + b_3\mathbf{e}_3$

는 다음 조건을 만족하면 같다.^[18]

: $a_1 = b_1, \quad a_2 = b_2, \quad a_3 = b_3$

두 벡터는 크기는 같지만 반대 방향을 가질 경우 ''반대''라고 한다.^[18] 따라서 다음 두 벡터는

: $\mathbf{a} = a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3$

: $\mathbf{b} = b_1\mathbf{e}_1 + b_2\mathbf{e}_2 + b_3\mathbf{e}_3$

다음 조건을 만족하면 반대이다.

: $a_1 = -b_1, \quad a_2 = -b_2, \quad a_3 = -b_3$

두 벡터는 방향이 같을 경우 등방향 (또는 공방향)이라고 하며, 반드시 크기가 같을 필요는 없다.^[18] 두 벡터는 방향이 같거나 반대일 경우 ''평행''이라고 하며, 두 벡터가 엄격히 반대 방향을 가질 경우 ''반평행''이라고 한다.^[18]

6. 1. 덧셈과 뺄셈

두 벡터 '''a'''와 '''b'''의 합은 다음과 같이 정의된다.^[7]

\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_1+b_1)\mathbf{e}_1+(a_2+b_2)\mathbf{e}_2+(a_3+b_3)\mathbf{e}_3.

결과 벡터는 때때로 '''결과 벡터'''라고 불린다.

벡터 덧셈은 화살표 '''b'''의 꼬리를 화살표 '''a'''의 머리에 놓고, '''a'''의 꼬리에서 '''b'''의 머리까지 화살표를 그려서 시각적으로 나타낼 수 있다. 새로 그려진 화살표는 '''a''' + '''b''' 벡터를 나타낸다.

이 덧셈 방법은 '''평행사변형 규칙'''이라고도 불리는데, '''a'''와 '''b'''가 평행사변형의 변을 이루고 '''a''' + '''b'''가 그 대각선 중 하나를 이루기 때문이다. '''a'''와 '''b'''가 같은 시작점을 갖는 결합 벡터라면, 이 점은 또한 '''a''' + '''b'''의 시작점이 된다. 기하학적으로 '''a''' + '''b''' = '''b''' + '''a'''이고 ('''a''' + '''b''') + '''c''' = '''a''' + ('''b''' + '''c''')임을 확인할 수 있다.

'''a'''와 '''b'''의 차는 다음과 같다.

\mathbf{a}-\mathbf{b}=(a_1-b_1)\mathbf{e}_1+(a_2-b_2)\mathbf{e}_2+(a_3-b_3)\mathbf{e}_3.

두 벡터의 뺄셈은 다음과 같이 기하학적으로 나타낼 수 있다. '''a'''에서 '''b'''를 빼려면, '''a'''와 '''b'''의 꼬리를 같은 점에 놓고, '''b'''의 머리에서 '''a'''의 머리까지 화살표를 그린다. 이 새로운 화살표는 벡터 '''(-b)''' + '''a'''를 나타내며, '''(-b)'''는 '''b'''의 반대 방향을 나타낸다. 그리고 '''(-b)''' + '''a''' = '''a''' − '''b'''이다.

6. 2. 스칼라 곱

벡터는 임의의 실수 ''r''을 곱하여 크기를 조절할 수 있다. 전통적인 벡터 대수학에서 이러한 실수들을 벡터와 구별하기 위해 '''스칼라''' (''척도''에서 유래)라고 부른다. 벡터에 스칼라를 곱하는 연산을 ''스칼라 곱''이라고 한다. 결과로 나오는 벡터는 다음과 같다.

:

r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{e}_1+(ra_2)\mathbf{e}_2+(ra_3)\mathbf{e}_3.

직관적으로, 스칼라 ''r''을 곱하는 것은 벡터를 ''r''만큼 늘리는 것이다.

만약 ''r''이 음수라면, 벡터는 180° 각도로 뒤집혀 방향을 바꾼다.

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스칼라 곱은 분배 법칙을 따른다. 즉, 모든 벡터 '''a''', '''b''' 및 모든 스칼라 ''r''에 대해 ''r''('''a''' + '''b''') = ''r'''''a''' + ''r'''''b'''가 성립한다. 또한 '''a''' − '''b''' = '''a''' + (−1)'''b'''임을 보일 수 있다.

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어떤 벡터 '''a'''와 같은 방향이고 크기의 비율('''스칼라''')이 ''k''인 벡터를 ''k'''''a'''로 나타낸다. 또한, '''a'''와 같은 크기이고 반대 방향을 가진 벡터는 −'''a'''로 나타낸다. 마찬가지로, '''a'''와 반대 방향을 가지고 크기의 비율이 ''k''인 벡터는 −''k'''''a'''로 표기한다. 이를 벡터 '''a'''의 스칼라 ''k''배 또는 단순히 '''스칼라 곱'''(스칼라 곱셈)이라고 부른다.

6. 3. 길이

벡터 '''a'''의 길이, 크기 또는 노름은 ‖'''a'''‖ 또는 덜 일반적으로 |'''a'''|로 표시하며, 절댓값 (스칼라 "노름")과 혼동해서는 안 된다.

벡터 '''a'''의 길이는 유클리드 노름을 사용하여 계산할 수 있으며, 다음과 같다.

:

\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2},

이는 피타고라스 정리의 결과이며, 기저 벡터 '''e'''₁, '''e'''₂, '''e'''₃는 직교하는 단위 벡터이기 때문이다.

이것은 벡터 자체의 내적의 제곱근과 같다.

:

\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}.

단위 벡터는 길이가 1인 모든 벡터를 의미하며, 일반적으로 단위 벡터는 방향을 나타내는 데 사용된다. 임의의 길이의 벡터는 그 길이를 나누어 단위 벡터를 만들 수 있다.^[14] 이는 벡터를 ''정규화''하는 것으로 알려져 있다. 단위 벡터는 종종 '''â'''와 같이 모자 기호(^)로 표시된다.

벡터 를 정규화하려면, 벡터를 그 길이 ‖'''a'''‖의 역수로 스케일링한다. 즉, 다음과 같다.

:

\mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a}\right\|} = \frac{a_1}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e}_1 + \frac{a_2}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e}_2 + \frac{a_3}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e}_3

영벡터는 길이가 0인 벡터이다. 좌표로 나타내면 벡터는 (0, 0, 0)이고, 일반적으로

\vec{0}

, '''0''', 또는 단순히 0으로 표기한다. 다른 벡터와 달리 임의의 방향 또는 불확정적인 방향을 가지며, 정규화될 수 없다(즉, 영벡터의 배수인 단위 벡터는 없다). 영벡터와 임의의 벡터 '''a'''의 합은 '''a'''이다(즉, ).

6. 4. 내적

두 벡터 '''a'''와 '''b'''의 내적(스칼라 곱이라고도 함)은 '''a''' ∙ '''b'''로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta,

여기서 ''θ''는 '''a'''와 '''b''' 사이의 각도이다. (코사인에 대한 설명은 삼각 함수 참조) 기하학적으로 이것은 '''a'''와 '''b'''가 공통 시작점을 가지고 그려진 다음, '''a'''의 길이와 '''a'''와 같은 방향을 가리키는 '''b'''의 성분 길이를 곱한다는 것을 의미한다.

내적은 각 벡터의 성분 곱의 합으로도 정의할 수 있다.

:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.

6. 5. 외적

'''외적'''(벡터곱 또는 외부곱)은 3차원 또는 7차원에서만 정의된다. 외적은 두 벡터의 결과가 벡터라는 점에서 주로 내적과 다르다. '''a''' × '''b'''로 표시되는 외적은 '''a'''와 '''b''' 모두에 수직인 벡터이며 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}

여기서 ''θ''는 '''a'''와 '''b''' 사이의 각도이며, '''n'''은 '''a'''와 '''b''' 모두에 수직이고 오른손 좌표계를 완성하는 단위 벡터이다. 오른손 좌표계 제약은 '''a'''와 '''b''' 모두에 수직인 ''두'' 개의 단위 벡터, 즉 '''n'''과 (−'''n''')이 존재하기 때문에 필요하다.

외적 '''a''' × '''b'''는 '''a''', '''b''', '''a''' × '''b'''가 또한 오른손 좌표계가 되도록 정의된다('''a'''와 '''b'''가 반드시 직교할 필요는 없지만). 이것이 바로 오른손 법칙이다.

'''a''' × '''b'''의 길이는 '''a'''와 '''b'''를 변으로 하는 평행사변형의 넓이로 해석될 수 있다.

외적은 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\mathbf a}\times{\mathbf b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2) {\mathbf e}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) {\mathbf e}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) {\mathbf e}_3.

임의의 공간 방향 선택(즉, 왼손 좌표계와 오른손 좌표계 모두 허용)의 경우, 두 벡터의 외적은 벡터 대신 유사 벡터가 된다.

6. 6. 스칼라 삼중곱

'''스칼라 삼중곱'''(scalar triple product)은 '''상자곱''' 또는 '''혼합 삼중곱'''이라고도 하며, 세 개의 벡터에 두 곱셈 연산자를 적용하는 방법이다. 스칼라 삼중곱은 때때로 ('''a''' '''b''' '''c''')로 표시되며 다음과 같이 정의된다.

:

(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).

스칼라 삼중곱은 세 가지 주요 용도로 사용된다.

# 상자곱의 절댓값은 세 벡터로 정의된 모서리를 갖는 평행육면체의 부피이다.

# 세 벡터가 선형 종속일 때에만 스칼라 삼중곱이 0이 된다. 이는 세 벡터가 부피를 만들지 않으려면 모두 같은 평면에 있어야 한다는 점을 고려하면 쉽게 증명할 수 있다.

# 상자곱은 세 벡터 '''a''', '''b''', '''c'''가 오른손 좌표계일 때에만 양수이다.

성분에서 (''오른손 정규 직교 기저에 대해'') 세 벡터가 행(또는 열, 그러나 같은 순서로)으로 간주되면, 스칼라 삼중곱은 단순히 세 벡터를 행으로 갖는 3x3 행렬의 행렬식이다.

:

(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})=\begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3 \\b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \\\end{vmatrix}

스칼라 삼중곱은 세 개의 모든 항목에서 선형이며 다음과 같은 반대칭성을 갖는다.

:

(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) = (\mathbf{c}\ \mathbf{a}\ \mathbf{b}) = (\mathbf{b}\ \mathbf{c}\ \mathbf{a})=

(\mathbf{a}\ \mathbf{c}\ \mathbf{b}) = -(\mathbf{b}\ \mathbf{a}\ \mathbf{c}) = -(\mathbf{c}\ \mathbf{b}\ \mathbf{a}).

6. 7. 다중 데카르트 기저 간 변환

벡터는 서로 정렬될 필요가 없는 여러 다른 기저로 표현될 수 있으며, 그럼에도 불구하고 동일한 벡터로 유지된다. ''e'' 기저에서 벡터 '''a'''는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{a} = p\mathbf{e}_1 + q\mathbf{e}_2 + r\mathbf{e}_3.

''e''와 반드시 일치하지 않는 다른 정규 직교 기저 ''n'' = {'''n'''₁, '''n'''₂, '''n'''₃}에서 벡터 '''a'''는 다음과 같이 표현된다.

:

\mathbf{a} = u\mathbf{n}_1 + v\mathbf{n}_2 + w\mathbf{n}_3

''p'', ''q'', ''r'', ''u'', ''v'', ''w''의 값은 결과 벡터 합이 두 경우 모두에서 정확히 동일한 물리적 벡터 '''a'''가 되도록 단위 벡터와 관련된다. 서로 다른 기저로 알려진 벡터(예: 지구에 고정된 하나의 기저와 움직이는 차량에 고정된 두 번째 기저)를 접하는 경우가 흔하다. 이러한 경우 덧셈 및 뺄셈과 같은 기본 벡터 연산을 수행할 수 있도록 기저 간 변환 방법을 개발해야 한다. ''p'', ''q'', ''r''에 대한 ''u'', ''v'', ''w''를 표현하는 한 가지 방법은 방향 코사인 행렬과 함께 열 행렬을 사용하는 것이다.

:

\begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix}.

이 행렬 방정식은 ''n'' 기저(''u'', ''v'', ''w'')의 '''a''' 스칼라 성분과 ''e'' 기저(''p'', ''q'', ''r'')의 스칼라 성분을 관련시킨다. 각 행렬 요소 ''c''_''jk''는 '''n'''_''j''를 '''e'''_''k''와 관련된 방향 코사인이다.^[19] "방향 코사인"이라는 용어는 두 단위 벡터 사이의 각도의 코사인을 의미하며, 이는 해당 벡터의 점 곱과 같다.^[19]

'''e'''₁, '''e'''₂, '''e'''₃를 통칭하여 ''e'' 기저라고 하고 '''n'''₁, '''n'''₂, '''n'''₃를 ''n'' 기저라고 하면, 모든 ''c''_''jk''를 포함하는 행렬을 "''e''에서 ''n''으로의 변환 행렬", 또는 "''e''에서 ''n''으로의 회전 행렬"(벡터가 한 기저에서 다른 기저로 "회전"하는 것으로 간주할 수 있기 때문), 또는 "''e''에서 ''n''으로의 방향 코사인 행렬"^[19](방향 코사인을 포함하기 때문)이라고 한다. 회전 행렬의 속성은 역행렬이 전치 행렬과 같다는 것이다. 즉, "''e''에서 ''n''으로의 회전 행렬"은 "''n''에서 ''e''로의 회전 행렬"의 전치 행렬이다.

방향 코사인 행렬 C의 속성은 다음과 같다.^[20]

행렬식은 1이다. (|C| = 1)
역행렬은 전치 행렬과 같다.
행과 열은 직교 단위 벡터이므로 점 곱은 0이다.

이 방법의 장점은 방향 코사인 행렬이 일반적으로 오일러 각 또는 사원수를 사용하여 두 벡터 기저를 관련시킴으로써 독립적으로 얻을 수 있으므로, 위에서 설명한 모든 점 곱을 계산하지 않고도 기저 변환을 직접 수행할 수 있다는 것이다.

여러 행렬 곱셈을 연속적으로 적용하면, 일련의 방향 코사인이 연관된 모든 벡터는 모든 기저로 표현될 수 있다.^[19]

7. 추가 차원

덧셈과 내적은 2차원 및 더 높은 차원으로 일반화된다. 예를 들어 덧셈은 2차원에서 다음과 같이 일반화된다.

: (a₁'''e'''₁ + a₂'''e'''₂) + (b₁'''e'''₁ + b₂'''e'''₂) = (a₁+b₁)'''e'''₁ + (a₂+b₂)'''e'''₂

그리고 4차원에서는 다음과 같다.

: (a₁'''e'''₁ + a₂'''e'''₂ + a₃'''e'''₃ + a₄'''e'''₄) + (b₁'''e'''₁ + b₂'''e'''₂ + b₃'''e'''₃ + b₄'''e'''₄) =

: (a₁+b₁)'''e'''₁ + (a₂+b₂)'''e'''₂ + (a₃+b₃)'''e'''₃ + (a₄+b₄)'''e'''₄

외적은 다른 차원으로 쉽게 일반화되지 않지만, 이중 벡터가 되는 외대수 곱은 일반화된다. 2차원에서 이것은 단순히 유사 스칼라이다.

: (a₁'''e'''₁ + a₂'''e'''₂)∧(b₁'''e'''₁ + b₂'''e'''₂) = (a₁b₂ - a₂b₁)'''e'''₁'''e'''₂

7차원 교차곱은 결과가 두 인수에 직교하는 벡터라는 점에서 교차곱과 유사하다. 그러나 가능한 이러한 곱 중 하나를 선택하는 자연스러운 방법은 없다.

8. 물리학

벡터는 물리학 및 기타 과학 분야에서 다양한 용도로 사용된다.Vector|벡터^영어는 힘, 위치, 속도, 가속도 등 물리량을 나타내는 데 사용되며, 시간 매개변수 ''t''에 따라 변하는 벡터 값 함수로 표현될 수 있다.^[1] 벡터 값 함수는 미분 및 적분이 가능하며, 미적분학의 여러 규칙이 적용된다.^[1]

8. 1. 길이 및 단위

추상적인 벡터 공간에서 화살표의 길이는 무차원수 척도에 따라 달라진다. 예를 들어 힘을 나타내는 경우, "척도"는 물리적 차원 길이/힘이다. 따라서 일반적으로 동일한 차원의 양 사이에는 척도의 일관성이 있지만, 그렇지 않은 경우 척도 비율이 다를 수 있다. 예를 들어 "1 뉴턴"과 "5 m"가 모두 2 cm의 화살표로 표현되는 경우 척도는 각각 1 m:50 N 및 1:250이다. 다른 차원의 벡터가 같은 길이를 갖는 것은 다이어그램이 나타내는 시스템에 내재된 비례 상수가 없는 한 특별한 의미가 없다. 또한, 단위 벡터(길이/힘 등이 아닌 길이 차원)의 길이는 좌표계 불변의 의미가 없다.

8. 2. 벡터 값 함수

물리학과 수학 분야에서 벡터는 시간이 지남에 따라 변화하는 경우가 많으며, 이는 시간 매개변수 ''t''에 따라 달라짐을 의미한다.^[1] 예를 들어, '''r'''이 입자의 위치 벡터를 나타내는 경우, '''r'''(''t'')는 입자 궤도의 매개변수 표현을 제공한다.^[1] 벡터 값 함수는 벡터의 성분을 미분하거나 적분하여 미분 및 적분될 수 있으며, 미적분학에서 익숙한 많은 규칙이 벡터 값 함수의 미분과 적분에 계속 적용된다.^[1]

8. 3. 위치, 속도 및 가속도

3차원 공간에서 점 '''x''' = (''x''₁, ''x''₂, ''x''₃)의 위치는 시점을 원점으로 하는 위치 벡터로 나타낼 수 있으며, 위치 벡터는 길이의 차원을 갖는다.

두 점 '''x''' = (''x''₁, ''x''₂, ''x''₃), '''y''' = (''y''₁, ''y''₂, ''y''₃)가 주어졌을 때, 이들의 변위는 ''x''를 기준으로 한 ''y''의 위치를 나타낸다. 이 벡터의 길이는 ''x''에서 ''y''까지의 직선 거리를 제공한다. 변위는 길이의 차원을 갖는다.

속도 '''v'''는 벡터이며, 그 길이는 속력을 나타낸다. 속도는 위치의 시간 미분이다. 그 차원은 길이/시간이다.

가속도 '''a'''는 속도의 시간 미분인 벡터이다. 그 차원은 길이/시간²이다.

공간 내의 점 ''Q''에 대하여 ''Q'' = ''P''('''v''')가 되는 벡터 '''v'''를 점 ''Q''의 위치 벡터라고 부른다.

8. 4. 힘, 에너지, 일

힘은 질량×길이/시간² 차원을 가진 벡터이며, 뉴턴의 운동 제2법칙은 스칼라 곱이다.

일은 힘과 변위의 내적이다.

9. 벡터, 유사 벡터 및 변환

물리학 및 수학에서 벡터는 튜플 형태의 성분, 또는 일련의 기저 벡터에 대한 스칼라 계수로 작용하는 숫자 목록으로 표현된다. 기저가 회전이나 늘이기와 같은 변환을 거치면, 해당 기저를 기준으로 하는 벡터의 성분은 반대 방향으로 변환된다. 벡터 자체는 변하지 않지만, 기저는 변했으므로 벡터의 성분은 이를 보상하기 위해 변해야 한다. 벡터의 성분 변환이 기저의 변환과 어떻게 관련되는지에 따라 해당 벡터는 ''공변'' 또는 ''반변''이라고 한다. 일반적으로 반변 벡터는 거리 단위(변위 등) 또는 거리에 다른 단위를 곱한 값(속도 또는 가속도 등)을 갖는 "정규 벡터"이다. 반면에 공변 벡터는 기울기와 같이 거리의 역수 단위를 갖는다.

공변 벡터는 기저의 변화에 따라 "기저와 반대 방향으로 변환"되는 성분을 가져야 한다. 기저가 변환될 때 벡터 자체는 변하지 않는다. 대신, 벡터의 성분은 기저의 변화를 상쇄하는 변화를 만든다. 즉, 기준 축이 한 방향으로 회전하면 벡터의 성분 표현은 반대 방향으로 회전하여 동일한 최종 벡터를 생성한다. 마찬가지로, 기준 축이 한 방향으로 늘어나면 벡터의 성분은 정확히 보상하는 방식으로 감소한다.^[1] 공변 벡터의 예로는 변위, 속도, 전기장, 운동량, 힘, 가속도가 있다.^[1]

일부 벡터는 공변 벡터처럼 변환되지만, 거울에 반사될 때 마이너스 부호를 얻는다. 공간의 ''방향''을 변경하는 변환에서 마이너스 부호를 얻는 벡터를 ''유사 벡터'' 또는 ''축 벡터''라고 한다. 일반적인 벡터는 때때로 유사 벡터와 구별하기 위해 ''진짜 벡터'' 또는 ''극성 벡터''라고 한다. 유사 벡터는 두 개의 일반 벡터의 외적으로 가장 자주 발생한다.^[2] 유사 벡터의 예로는 각속도, 자기장, 토크가 있다.^[2]

벡터와 유사 벡터 사이의 이러한 구분은 대칭성 속성을 연구할 때 중요해진다.^[2]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
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_[3] 서적
_[4] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics http://jeff560.tripo[...] 2007-05-25
_[5] 서적 The Oxford English Dictionary. Clarendon Press
_[6] 웹사이트 vector ! Definition & Facts https://www.britanni[...] 2020-08-19
_[7] 웹사이트 Vectors https://www.mathsisf[...] 2020-08-19
_[8] 웹사이트 Vector https://mathworld.wo[...] 2020-08-19
_[9] 웹사이트 lecture notes http://www.nku.edu/~[...] 2010-09-04
_[10] 간행물 London, Edinburgh & Dublin Philosophical Magazine
_[11] 서적
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_[13] 문서
_[14] 웹사이트 1.1: Vectors https://math.librete[...] 2020-08-19
_[15] 웹사이트 Thermodynamics and Differential Forms http://www.av8n.com/[...]
_[16] 서적 Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, Founded upon the Lectures of J. Willard Gibbs Chares Scribner's Sons
_[17] 웹사이트 U. Guelph Physics Dept., "Torque and Angular Acceleration" http://www.physics.u[...] 2007-01-05
_[18] 서적 Handbook of mathematics and computational science https://books.google[...] Birkhäuser
_[19] 서적
_[20] 서적 Applied mathematics in integrated navigation systems American Institute of Aeronautics and Astronautics 2007
_[21] 웹사이트 lecture notes https://web.archive.[...]
_[22] 간행물 London, Edinburgh & Dublin Philosophical Magazine

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