기울기

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 계산
- 2.2. 기울기각
3. 성질
4. 일차 함수
5. 방향 벡터
6. 미분적분학
- 6.1. 도함수
7. 통계학
8. 기타 응용
9. 같이 보기
참조

1. 개요

기울기는 평면에서 x축과 y축을 포함하는 선의 기울기를 나타내는 용어이다. 이는 y 좌표의 변화를 x 좌표의 변화로 나눈 값으로 정의되며, 두 점의 좌표를 이용하여 계산할 수 있다. 기울기는 선형 함수, 일차 함수, 미분 적분학, 통계학 등 다양한 분야에서 활용되며, 경사도나 전단 변환, 경사 하강법과 같은 개념과도 관련이 있다.

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기울기
정의
기울기 (slope)	수학에서 기울기는 직선의 방향과 가파름을 나타내는 척도이다.
다른 이름	경사 구배 (gradient)
계산
공식	m = Δy/Δx
변수 설명	m: 기울기 Δy: y의 변화량 (수직 방향 변화) Δx: x의 변화량 (수평 방향 변화)
해석	기울기는 직선 상의 두 점 사이의 수직 거리 변화량을 수평 거리 변화량으로 나눈 값이다.
각도	기울기는 각도 θ의 탄젠트 값과 같다 (m = tan(θ)).
직선의 방정식
기울기-절편 형태	y = mx + b
변수 설명 (기울기-절편 형태)	y: y 좌표 m: 기울기 x: x 좌표 b: y절편 (직선이 y축과 만나는 점)
특징
양의 기울기	직선이 오른쪽 위로 향함
음의 기울기	직선이 오른쪽 아래로 향함
기울기 0	수평선
정의되지 않은 기울기	수직선
활용
함수	함수 그래프의 접선 기울기 계산
물리학	속도-시간 그래프에서 기울기는 가속도를 나타냄
공학	도로, 지붕 등의 경사도 설계

2. 정의

평면에서 ''x''축과 ''y''축을 포함하는 선의 기울기는 일반적으로 문자 ''m''으로 표시되며,^[5] 선 위의 두 개의 서로 다른 점 사이에서 ''y'' 좌표의 변화를 해당 ''x'' 좌표의 변화로 나눈 값으로 정의된다. 이는 다음 방정식으로 설명된다.

: $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\text{수직} \, \text{변화} }{\text{수평} \, \text{변화} }= \frac{\text{상승}}{\text{이동}}.$

(여기서 델타(Δ)는 수학에서 "차이" 또는 "변화"를 의미한다.)

데카르트는 기하학의 제반 개념을 대수적으로 해결하려 하였고, 직선 역시 데카르트 좌표계에서 일차방정식으로 나타내게 되었다. 삼각형의 닮음 조건에 따라, 데카르트 좌표계에서 임의의 일차방정식이 나타내는 직선에서 x의 변화량에 대한 y의 변화량의 비는 언제나 일정하기 때문에, 기울기는 직선의 고유량이라고 할 수 있다.^[10]

기울기가 m인 일차방정식은 다음과 같이 표기할 수 있다.

: $y = mx + b$

위의 그래프와 같이 데카르트 좌표계에 위치한 직선을 생각하면 기울기 m은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

m = \frac { b-0 } {0- a }

한편, 이러한 기울기는 이 직선이 x축과 교차하여 이루는 각

\phi

의 탄젠트 값과 같다.

2. 1. 계산

''xy'' 평면 상의 직선의 기울기는, ''x'' 좌표의 증가량에 대한 ''y'' 좌표의 증가량의 비율로 정의된다. 식으로 나타내면, 직선의 기울기 ''m''은 다음과 같다.

:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}

여기서 Δ(델타)는 수학에서 "증가량"이나 "증분"을 나타내는 기호로 자주 사용된다. 증가량은 차이를 의미하므로, 직선 상의 두 점을 임의로 잡아 (''x''₁, ''y''₁), (''x''₂, ''y''₂)라고 하면, ''m''은 다음과 같이 구할 수 있다.

:

m=\frac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1}

이 식에서 알 수 있듯이, y축에 평행한 연직선의 기울기는 0으로 나누기가 되어 정의되지 않는다.

예시

직선이 두 점 P(1, 2), Q(13, 8)을 지난다고 가정하면, 기울기 ''m''은 다음과 같다.

:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} =\frac{8-2}{13-1}=\frac{6}{12} =\frac{1}{2}

직선이 두 점 P(4, 15), Q(3, 21)을 지난다면, 기울기는 다음과 같다.

:

m =\frac{21-15}{3-4} =\frac{6}{-1} =-6

(2,8)과 (3,20)을 지나는 선은 기울기가 다음과 같다.

:

\frac {(20 - 8)}{(3 - 2)} = 12.

점-기울기 형식으로 이 선의 방정식을 쓸 수 있다.

:

y - 8 = 12(x - 2) = 12x - 24.

또는:

:

y = 12x - 16.

이 선이 x축과 이루는 각 θ는 -90°에서 90° 사이이며, 다음과 같다.

:

\theta = \arctan(12) \approx 85.2^{\circ} .

두 선 y = −3x + 1과 y = −3x − 2는 모두 기울기 m = −3을 가진다. 이들은 같은 선이 아니므로 서로 평행하다.

두 선 y = −3x + 1과 y = (1/3)x − 2에서, 첫 번째 선의 기울기는 m₁ = −3이고, 두 번째 선의 기울기는 m₂ = 1/3이다. 이 두 기울기의 곱은 -1이므로 두 선은 수직이다.

왼쪽의 교통 표지판에 나타난 경사도 10%는 주행거리에 대한 고도 상승의 비를 나타낸다. 즉, 100m를 주행할 때 고도가 10m 상승한다는 의미이다.^[11] 따라서 기울기는 10m / 100m 로 10%가 된다. 이때의 경사각도는 다음의 식으로 구할 수 있다.

: 경사각

= \arctan \frac{10}{100} = 0.1 radian \approx 5.7 ^\circ

2. 2. 기울기각

기울기는 직선이 x축과 교차하여 이루는 각

\phi

의 탄젠트 값과 같다.

:

m = \frac { b-0 } {0- a } = \tan \phi

역삼각함수를 사용하여 각도(θ)로 표현할 수 있다.

:

m=\tan \theta \ (\iff \theta =\arctan m)

기울기각은 직선과 ''x''축의 양의 부분이 이루는 각(시계 반대 방향이 양의 방향)으로 정의된다. 가질 수 있는 범위로는 0° ≤ ''θ'' < 180° 또는 -90° < ''θ'' ≤ 90°의 두 가지 방식이 있다(상황에 따라 구분하여 사용). 예를 들어 기울기 1인 직선의 기울기각은 45°이다. 기울기가 -1이라면 기울기각을 0°~180°의 범위로 생각하면 135°, -90°~90°의 범위로 생각하면 -45°이다. 또한, 수직선의 기울기는 정의되지 않지만, 기울기각은 정의되어 90°이다.

왼쪽의 교통 표지판에 나타난 경사도 10%는 주행거리에 대한 고도 상승의 비를 나타낸다. 즉, 100m를 주행할 때 고도가 10m 상승한다는 의미이다.^[11] 따라서 기울기는

\frac {10 m} {100 m}

로 10%가 된다. 이 때의 경사각도는 다음의 식에 의해 구할 수 있다.

: 경사각

= \arctan \frac{10}{100} = 0.1 radian \approx 5.7 ^\circ

3. 성질

서로 다른 두 직선이 평행하기 위한 필요충분조건은 두 직선의 기울기가 같거나, 기울기가 모두 정의되지 않는 것이다.
서로 다른 두 직선이 수직이기 위한 필요충분조건은 기울기의 곱이 -1이거나, 기울기가 0으로 정의되지 않는 경우이다.

두 직선이 평행할 조건두 직선이 일치하지 않고 기울기가 같거나, 두 직선 모두 기울기가 정의되지 않는 경우(y축에 평행한 수직선) 두 직선은 평행하다.
두 직선이 수직일 조건두 직선의 기울기의 곱이 -1이거나, 한 직선의 기울기가 0(x축에 평행한 수평선)이고 다른 직선의 기울기가 정의되지 않는 경우(y축에 평행한 수직선) 두 직선은 수직이다.

예를 들어, 기울기가 2/7^영어인 직선에 수직인 직선의 기울기는 -7/2^영어이다.
두 직선이 이루는 각기울기가 ''m''인 직선과 기울기가 ''m' ''인 직선이 이루는 각 ''θ''는

:tan θ = ± (m-m')/(1+mm')^영어

로 구할 수 있다. (삼각 함수의 덧셈 정리).

4. 일차 함수

유클리드 기하학에서 직선은 두 점 사이를 지나는 가장 짧은 경로인 선분의 양 끝을 무한히 연장한 개념이다. 아르키메데스가 제시한 이러한 개념은 오랫동안 기하학의 공리로서 취급되어 왔다. 17세기 데카르트는 기하학의 제반 개념을 대수적으로 해결하려 하였고 직선 역시 데카르트 좌표계에서 일차방정식으로 나타내게 되었다. 삼각형의 닮음 조건에 따라, 데카르트 좌표계에서 임의의 일차방정식이 나타내는 직선에서 x의 변화량에 대한 y의 변화량의 비는 언제나 일정하기 때문에, 기울기는 직선의 고유량이라고 할 수 있다.^[10]

기울기가 m인 일차방정식은 다음과 같이 표기할 수 있다.

: $y = mx + b$

기울기에 왜 문자 ''m''이 사용되는지에 대한 명확한 답은 없지만, 이는 오브라이언(1844)에 처음 등장했으며, 그는 직선의 방정식을 ''y'' = ''mx'' + ''b'' 로 소개했다.^[2] 또한 토드헌터(1888)에서도 "''y'' = ''mx'' + ''c''"로 찾아볼 수 있다.^[4]

두 직선이 동일한 직선(일치)이 아니고 기울기가 같거나 둘 다 수직이어서 기울기가 정의되지 않은 경우에만 두 직선은 평행하다.
두 직선의 기울기의 곱이 −1이거나, 한 직선의 기울기가 0(수평선)이고 다른 직선의 기울기가 정의되지 않은 경우(수직선) 두 직선은 수직이다.
직선이 x축과 이루는 각 θ(–90°에서 90° 사이)는 기울기 ''m''과 다음과 같이 관련되어 있다.

:

m = \tan(\theta)

그리고

:

\theta = \arctan (m)

(이것은 탄젠트의 역함수이다. 역 삼각 함수 참조).

4. 1. 기울기-절편 형식

y

가

x

의 선형 함수이면,

x

의 계수는 함수를 그래프로 그렸을 때 만들어지는 직선의 기울기이다.^[10] 따라서 직선의 방정식이 다음과 같은 형태로 주어지면

:

y = mx + b

m

은 기울기이다. 이 직선의 방정식 형태는 '기울기-절편 형식'이라고 불리는데,

b

는 직선의 y절편, 즉 직선이 y축과 교차하는 y 좌표로 해석될 수 있기 때문이다.^[2]^[4]

예를 들어, (2,8)과 (3,20)을 지나는 선의 기울기는 다음과 같다.

:

\frac {(20 - 8)}{(3 - 2)} = 12.

일차 함수 ''y'' = ''ax'' + ''b''에서, ''a''를 기울기라고 부르는 것에 대해, ''b''를 '''y절편'''이라고 부른다. 일차 함수의 y절편은 그래프(직선)가 y축과 교차하는 점의 y좌표와 같다. 따라서, ''y'' = ''ax'' + ''b'' 형태의 방정식을 "기울기-절편 표준형"이라고 부르기도 한다.

4. 2. 점-기울기 형식

직선의 기울기

m

과 직선 위의 한 점

(x_1, y_1)

이 모두 알려져 있다면, 점-기울기 공식을 사용하여 직선의 방정식을 찾을 수 있다.

:

y - y_1 = m(x - x_1).

예를 들어, (2, 8)과 (3, 20)을 지나는 선을 생각해 보자. 이 선의 기울기

m

은 다음과 같다.

:

\frac {(20 - 8)}{(3 - 2)} = 12.

그러면 점-기울기 형식으로 이 선의 방정식을 쓸 수 있다.

:

y - 8 = 12(x - 2) = 12x - 24.

또는:

:

y = 12x - 16.

4. 3. 일반형 및 절편형

선형 방정식으로 정의된 직선의 기울기는 다음과 같다.^[10]

:

ax + by + c = 0

:기울기는

-\frac{a}{b}

이다.

:

\frac{x}{a} +\frac{y}{b} =1

형태의 방정식은 절편형이라고 불린다. 이때 x절편은 a, y절편은 b가 되며, 이 직선의 기울기는

-\tfrac{b}{a}

이다.

5. 방향 벡터

직선의 기울기가 m이라는 것은, 그 직선의 방향 벡터가 (1, m)인 것과 동치이다.

6. 미분적분학

미분 적분학에서 기울기 개념은 도함수로 확장된다. 도함수는 한 점에서의 함수의 변화율을 나타내며, 그 점에서의 곡선에 접선인 선의 기울기와 같다.

각 점에서 도함수는 해당 점에서 곡선에 접선인 선의 기울기이다. 참고: 점 A에서의 도함수는 녹색과 쇄선-점선에서 양수, 빨간색과 점선에서 음수, 검은색과 실선에서 영이다.

Δ''x''와 Δ''y''를 곡선 위의 두 점 사이의 거리(각각 ''x''축과 ''y''축을 따라)라고 하면, 곡선에 대한 할선의 기울기는 다음과 같다.

:

m = \frac{\Delta y}{\Delta x}

두 점을 Δ''y''와 Δ''x''가 감소하도록 더 가깝게 이동시키면, 할선은 곡선에 대한 접선에 더 가깝게 근사되며, 따라서 할선의 기울기는 접선의 기울기에 접근한다. 미분 적분학을 사용하여, Δ''y''/Δ''x''가 영에 가까워짐에 따라 Δ''y''/Δ''x''가 접근하는 값, 즉 극한을 결정할 수 있다. 이 극한은 접선의 정확한 기울기이다. 만약 ''y''가 ''x''에 종속된다면, Δ''x''만 0에 접근하는 극한을 취하는 것으로 충분하다. 따라서 접선의 기울기는 Δ''x''가 0에 접근할 때 Δ''y''/Δ''x''의 극한, 즉 d''y''/d''x''이다.

예를 들어, ''y'' = ''x''²를 (0,0)과 (3,9)에서 교차하는 할선의 기울기는 3이다. (에서의 접선의 기울기 또한 3이며, 이는 평균값 정리의 결과이다.)^[10]

6. 1. 도함수

각 점에서의 미분계수는 해당 점에서의 곡선의 접선의 기울기를 의미한다. 각 점에 대해 그림의 직선은 항상 곡선(파란색)의 접선을 나타낸다. 접선을 미분계수가 양수일 때는 녹색, 음수일 때는 빨간색, 0일 때는 검은색으로 표시한다.

곡선 위의 한 점에서 미분 가능하다면, 기울기의 정도를 나타내는 수치로서 기울기를 정의할 수 있다.

만약 ''Δx''와 ''Δy''를 곡선 위의 두 점 사이의 ''x''좌표, ''y''좌표의 증가량이라고 하면, 그 두 점을 지나는 직선(현)의 기울기 ''m''은 다음과 같다.

:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}

이 두 점 사이를 좁혔을 때의 ''m''의 극한은 그 부분을 직선으로 근사한 기울기라고 생각할 수 있다. 이것은 접선의 기울기이며, '''미분계수'''라고 불린다. 위치 ''x''를 변수로 한

:

\frac{dy}{dx} =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

를 곡선의 '''도함수'''라고 부른다.

미분계수를 정의할 수 없는 예는 다음과 같다.

삼각 지붕형: ''y'' = |''x''| 에서 ''x'' = 0 인 경우
진동형: $y=\left\{ \begin{array}{ll}$

x\sin \frac{1}{x} &(x\neq 0)\\0 &(x=0)\end{array} \right. (이것은 ''x'' = 0에서 연속)에서 ''x'' = 0 인 경우

바이어슈트라스 함수

7. 통계학

통계학에서 주어진 데이터 표본에 대한 최소제곱 회귀 최적 적합선의 기울기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $m = \frac{rs_y}{s_x}$

이 양 ''m''은 선 $y=mx+c$ 의 ''회귀 기울기''라고 불린다. 여기서 $r$ 는 피어슨 상관 계수, $s_y$ 는 y 값의 표준 편차, $s_x$ 는 x 값의 표준 편차이다. 이것은 공분산의 비율로도 쓸 수 있다.^[6]

: $m = \frac{\operatorname{cov}(Y,X)}{\operatorname{cov}(X,X)}$

8. 기타 응용

왼쪽의 교통 표지판에 나타난 경사도 10%는 주행거리에 대한 고도 상승의 비를 나타낸다. 즉, 100m를 주행할 때 고도가 10m 상승한다는 의미이다.^[11] 따라서 기울기는 10m / 100m로 10%가 된다. 이때의 경사각도는 다음의 식으로 구할 수 있다.

: 경사각 $= \arctan \frac{10}{100} = 0.1 \text{radian} \approx 5.7 ^\circ$

파란색과 빨간색 삼각형이 만나는 지점의 기울기를 비교하여 면적의 역설에 대한 환상을 없앤다.

각도 개념의 확장은 기울기의 차이에서 비롯된다. 전단 변환을 고려해 보자.

:

(u,v) = (x,y) \begin{pmatrix}1 & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

그렇다면

(1,0)

은

(1,v)

로 매핑된다.

(1,0)

의 기울기는 0이고,

(1,v)

의 기울기는

v

이다. 전단 변환은

v

의 기울기를 더했다.

\{(1,y):y\in\R\}

위의 기울기가

m

과

n

인 두 점에 대해, 이미지

:

(1,y)\begin{pmatrix}1 & v \\ 0 & 1\end{pmatrix} = (1, y + v)

는 기울기가

v

만큼 증가하지만, 기울기의 차이

n-m

은 전단 변환 전후 동일하다. 이러한 기울기 차이의 불변성은 기울기를 원형 각도(회전에 불변) 및 쌍곡선 각도와 동등한 각 불변 측정으로 만들며, 압착 사상의 불변 그룹을 갖는다.^[7]^[8]

목공 및 건축에서 전통적으로 "지붕 경사"라고 불리는 지붕의 경사는 미국에서 일반적으로 1피트의 정수 분수(기하학적 탄젠트, 상승/수평 이동)로 설명되며, 이는 영국 제국의 척도의 유산이다. 다른 지역에서는 유사한 관례를 사용하여 다른 단위를 사용한다.

도로 또는 철도의 경사도를 설명하는 데는 두 가지 일반적인 방법이 있다. 하나는 0°에서 90° 사이의 각도(도)로 표시하는 것이고, 다른 하나는 백분율로 표시하는 경사이다. 급경사 철도 및 랙 철도도 참조.

백분율로 주어진 경사를 각도로 변환하는 공식은 다음과 같다.

:

\text{angle} = \arctan \left( \frac{\text{slope}}{100\%} \right)

(이것은 탄젠트의 역함수이다. 삼각법 참조)

그리고

:

\mbox{slope} = 100\% \times \tan( \mbox{angle}),

여기서 ''각도''는 도 단위이며 삼각 함수는 도 단위로 작동한다. 예를 들어, 100% 또는 1000‰의 경사는 45°의 각도이다.

세 번째 방법은 10, 20, 50 또는 100개의 수평 단위당 1단위의 상승을 제공하는 것이다. 예: 1:10, 1:20, 1:50 또는 1:100 (또는 "1 ''in'' 10", "1 ''in'' 20" 등). 1:10은 1:20보다 가파르다. 예를 들어, 20%의 경사는 1:5 또는 11.3°의 각도를 가진 경사를 의미한다.

도로와 철도는 종방향 경사와 횡단 경사를 모두 가지고 있다.

기울기 또는 구배의 개념은 수학의 다른 응용 분야를 개발하는 기반으로도 사용된다.

경사 하강법: 함수의 최솟값을 찾는 데 사용되는 1차 반복 최적화 알고리즘
구배 정리: 구배장을 통과하는 선적분은 곡선의 끝점에서 원래 스칼라장을 평가하여 계산할 수 있다는 정리
구배법: 현재 지점에서 함수의 기울기에 의해 정의된 탐색 방향으로 문제를 해결하는 알고리즘
켤레 기울기법: 특정 선형 방정식 시스템의 수치 해법을 위한 알고리즘
비선형 켤레 기울기법: 켤레 기울기법을 비선형 최적화로 일반화
확률적 경사 하강법: 미분 가능한 목적 함수를 최적화하기 위한 반복적 방법

9. 같이 보기

각 (수학)
미분
선형 방정식
직선

참조

_[1] 웹사이트 Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient http://web.cortland.[...] Addison-Wesley 2013-09-01
_[2] 간행물 A Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry or the Application of the Method of Co-Ordinates in the Solution of Problems in Plane Geometry Deightons
_[3] 간행물 Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry as Applied to the Straight Line and Conic Sections Macmillan
_[4] 웹사이트 Slope http://mathworld.wol[...] MathWorld--A Wolfram Web Resource 2016-10-30
_[5] 서적 A Treatise on Conic Sections https://archive.org/[...] Hodges and Smith
_[6] 서적 Further Mathematics Units 3&4 VCE (Revised) Cambridge Senior Mathematics
_[7] 논문 The most general planar transformations that map parabolas into parabolas https://projecteucli[...] 2009
_[8] Wikibooks Abstract Algebra/Shear and Slope
_[9] 웹인용 직선의 기울기 http://www.mathteach[...] 2011-01-04
_[10] 논문 직선의 대수적 표현과 직선성으로서의 기울기
_[11] 뉴스 엄지손톱으로 산을 재는 방법?! http://www.hani.co.k[...] 한겨레신문 2010-03-30

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