로그 평균

1. 개요

로그 평균은 두 양수 x와 y에 대해 정의되는 평균의 한 종류로, (y - x) / (ln y - ln x)로 계산된다. x와 y가 같을 경우에는 x로 정의된다. 로그 평균은 기하 평균 이상이고 산술 평균 이하이며, 조화 평균 이상이고 이차 평균 이하이다. 로그 평균은 미적분학의 평균값 정리와 적분을 통해 유도될 수 있으며, 여러 변수로 일반화할 수 있다.

2. 정의

로그 평균은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash begin\{align\}$
M_\text{lm}(x, y)
&= \lim_{(\xi, \eta) \to (x, y)} \frac{\eta - \xi}{\ln(\eta) - \ln(\xi)} \\[6pt]
&= \begin{cases}
x & \text{if }x = y ,\\[2pt]
\dfrac{y - x}{\ln y - \ln x} & \text{otherwise,}
\end{cases}
\end{align}

여기서 $x$와 $y$는 양의 실수이다.

3. 부등식

로그 평균은 다른 평균들과 다음과 같은 부등식 관계를 갖는다. 즉, 로그 평균은 조화 평균보다 크거나 같고, 기하 평균보다 크거나 같으며, 산술 평균보다 작거나 같고, 이차 평균보다 작거나 같다. 이 부등식은 $x$와 $y$가 같지 않을 때 엄격하게 성립한다.

:$\backslash frac\{2\}\{\backslash displaystyle\; \backslash frac1\{x\}\; +\; \backslash frac1\{y\}\}$
\leq \sqrt{x y} \leq \frac{x - y}{\ln x - \ln y} \leq \frac{x + y}{2} \leq \left(\frac{x^2+y^2}2\right)^{1/2} \qquad \text{ for all } x > 0 \text{ and } y > 0.

토예시 프라카시 샤르마는 산술 로그 기하 평균 부등식을 일반화하여 발표한 바 있다.

:$\backslash sqrt\{xy\}\backslash \; \backslash left(\; \backslash ln\; \backslash sqrt\{xy\}\; \backslash right)^\{n-1\}\; \backslash left(n\; +\; \backslash ln\; \backslash sqrt\{xy\}\backslash right)$
\leq \frac{x(\ln x)^n - y(\ln y)^n}{\ln x - \ln y}
\leq \frac{x(\ln x)^{n-1} (n + \ln x) + y(\ln y)^{n-1} (n + \ln y)} {2}

예를 들어 $n=0$인 경우,

:$\backslash sqrt\{xy\}$
\leq \dfrac{x-y}{\ln x - \ln y}
\leq \dfrac{x + y}{2}

이고, $n=1$인 경우,

:$\backslash sqrt\{xy\}\; \backslash left(1\; +\; \backslash ln\; \backslash sqrt\{xy\}\; \backslash right)$
\leq \frac{x\ln x - y\ln y}{\ln x - \ln y}
\leq \frac{x (1 + \ln x) + y(1 + \ln y)}{2}

이다.

또한, 다음 관계식도 성립한다.

* 산술 평균: $\backslash frac\{M\_\backslash text\{lm\}\backslash left(x^2,\; y^2\backslash right)\}\{M\_\backslash text\{lm\}(x,\; y)\}\; =\; \backslash frac\{x\; +\; y\}\{2\}$
* 기하 평균: $\backslash sqrt\{\backslash frac\{M\_\backslash text\{lm\}\backslash left(x,\; y\backslash right)\}\{M\_\backslash text\{lm\}\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{x\},\; \backslash frac\{1\}\{y\}\; \backslash right)\}\}\; =\; \backslash sqrt\{x\; y\}$
* 조화 평균: $\backslash frac\{M\_\backslash text\{lm\}\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{x\},\; \backslash frac\{1\}\{y\}\; \backslash right)\}\{M\_\backslash text\{lm\}\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{x^2\},\; \backslash frac\{1\}\{y^2\}\; \backslash right)\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash frac\{1\}\{x\}+\backslash frac\{1\}\{y\}\}$

4. 다른 평균과의 관계

로그 평균은 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균과 관련된 여러 가지 관계식을 갖는다.

* 산술 평균: $\backslash frac\{L\backslash left(x^2,\; y^2\backslash right)\}\{L(x,\; y)\}\; =\; \backslash frac\{x\; +\; y\}\{2\}$
* 기하 평균: $\backslash sqrt\{\backslash frac\{L\backslash left(x,\; y\backslash right)\}\{L\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{x\},\; \backslash frac\{1\}\{y\}\; \backslash right)\}\}\; =\; \backslash sqrt\{x\; y\}$
* 조화 평균: $\backslash frac\{\; L\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{x\},\; \backslash frac\{1\}\{y\}\; \backslash right)\; \}\{L\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{x^2\},\; \backslash frac\{1\}\{y^2\}\; \backslash right)\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash frac\{1\}\{x\}+\backslash frac\{1\}\{y\}\}$

이들 평균 사이에는 다음과 같은 부등식이 성립한다.

:$\backslash sqrt\{x\; y\}\; \backslash leq\; M\_\backslash text\{lm\}(x,\; y)\; \backslash leq\; \backslash frac\{x\; +\; y\}\{2\}\; \backslash qquad\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; x\; \backslash geq\; 0\; \backslash text\{\; and\; \}\; y\; \backslash geq\; 0.$

4.1. 산술 평균

두 수의 로그 평균은 산술 평균보다는 작지만 기하 평균보다는 크다. (수들이 동일하지 않은 경우)

:$\backslash sqrt\{x\; y\}\; \backslash leq\; M\_\backslash text\{lm\}(x,\; y)\; \backslash leq\; \backslash frac\{x\; +\; y\}\{2\}\; \backslash qquad\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; x\; \backslash geq\; 0\; \backslash text\{\; and\; \}\; y\; \backslash geq\; 0.$

* $\backslash frac\{L\backslash left(x^2,\; y^2\backslash right)\}\{L(x,\; y)\}\; =\; \backslash frac\{x\; +\; y\}\{2\}$ (산술 평균)

또한, 다음 관계식도 성립한다.

* 산술 평균: $\backslash frac\{M\_\backslash text\{lm\}\backslash left(x^2,\; y^2\backslash right)\}\{M\_\backslash text\{lm\}(x,\; y)\}\; =\; \backslash frac\{x\; +\; y\}\{2\}$

기하 평균 ≤ 대수 평균 ≤ 산술 평균이 성립한다.

4.2. 기하 평균

두 수의 로그 평균은 산술 평균보다는 작지만 기하 평균보다는 크다. (수들이 동일하지 않은 경우)

: $\backslash sqrt\{x\; y\}\; \backslash leq\; M\_\backslash text\{lm\}(x,\; y)\; \backslash leq\; \backslash frac\{x\; +\; y\}\{2\}\; \backslash qquad\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; x\; \backslash geq\; 0\; \backslash text\{\; and\; \}\; y\; \backslash geq\; 0.$

기하 평균, 로그 평균(대수 평균), 산술 평균 사이에는 다음 부등식이 성립한다.

: $\backslash sqrt\{x\; y\}\; \backslash leq\; M\_\backslash text\{lm\}(x,\; y)\; \backslash leq\; \backslash frac\{x\; +\; y\}\{2\}\; \backslash qquad\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; x\; \backslash geq\; 0\; \backslash text\{\; and\; \}\; y\; \backslash geq\; 0.$

또한, 기하 평균에 대해 다음 관계식도 성립한다.

* $\backslash sqrt\{\backslash frac\{M\_\backslash text\{lm\}\backslash left(x,\; y\backslash right)\}\{M\_\backslash text\{lm\}\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{x\},\; \backslash frac\{1\}\{y\}\; \backslash right)\}\}\; =\; \backslash sqrt\{x\; y\}$

4.3. 조화 평균

$\backslash frac\{\; L\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{x\},\; \backslash frac\{1\}\{y\}\; \backslash right)\; \}\{L\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{x^2\},\; \backslash frac\{1\}\{y^2\}\; \backslash right)\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash frac\{1\}\{x\}+\backslash frac\{1\}\{y\}\}$

기하 평균 ≤ 로그 평균 ≤ 산술 평균이 성립한다.

또한, 다음 관계식도 성립한다.

* 조화 평균: $\backslash frac\{M\_\backslash text\{lm\}\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{x\},\; \backslash frac\{1\}\{y\}\; \backslash right)\}\{M\_\backslash text\{lm\}\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{x^2\},\; \backslash frac\{1\}\{y^2\}\; \backslash right)\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash frac\{1\}\{x\}+\backslash frac\{1\}\{y\}\}$

5. 유도

평균값 정리에 따르면, 도함수 f′가 할선의 기울기와 같아지는 실수 ξ가 구간 (x, y) 안에 존재한다.

:$\backslash exists\; \backslash xi\; \backslash in\; (x,\; y):\; \backslash \; f\text{'}(\backslash xi)\; =\; \backslash frac\{f(x)\; -\; f(y)\}\{x\; -\; y\}.$

로그 평균은 함수 f에 자연 로그 ln을, 그리고 그 도함수 f′에 를 대입하고, ξ에 대해 풀어서 얻을 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
& \frac{1}{\xi} = \frac{\ln{x} - \ln{y}}{x - y}\\
\therefore \quad & M_\text{lm}=\xi = \frac{x - y}{\ln{x} - \ln{y}}
\end{align}

로그 평균은 지수 함수를 사용한 면적으로 해석할 수도 있다. 이 해석을 통해 지수 함수는 단조이므로 길이가 1인 구간에서의 적분은 에 의해 제한되는등 로그 평균의 기본적인 특성을 쉽게 도출할 수 있다.

5.1. 미적분학의 평균값 정리

평균값 정리에 따르면, 어떤 구간 내에서 함수의 미분값이 구간 양 끝점의 함숫값의 차이를 구간의 길이로 나눈 값과 같아지는 점이 존재한다. 즉, 미분 f′^영어가 할선의 기울기와 같은 값 ξ^영어가 x^영어와 y^영어 사이의 구간에 존재한다.

:$\backslash exists\; \backslash xi\; \backslash in\; (x,\; y):\; \backslash \; f\text{'}(\backslash xi)\; =\; \backslash frac\{f(x)\; -\; f(y)\}\{x\; -\; y\}$

로그 평균은 f^영어에 ln^한국어를 대입하고, 이에 대응하는 도함수에 대해서도 유사하게 대입하여 ξ^영어의 값으로 얻어진다.

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash xi\}\; =\; \backslash frac\{\backslash ln\; x\; -\; \backslash ln\; y\}\{x-y\}$

그리고 ξ^영어에 대해 풀면 다음과 같다.

:$\backslash xi\; =\; \backslash frac\{x-y\}\{\backslash ln\; x\; -\; \backslash ln\; y\}$

5.2. 적분

로그 평균은 지수 함수 곡선 아래의 면적으로 해석될 수 있다.

:$M\_\backslash text\{lm\}(x,\; y)\; =\; \backslash int\_0^1\; x^\{1-t\}\; y^t\backslash \; \backslash mathrm\{d\}t\; =\; \backslash frac\{y\; -\; x\}\{\backslash ln\{y\}\; -\; \backslash ln\{x\}\}.$

이러한 면적 해석은 로그 평균의 몇 가지 기본적인 속성을 쉽게 도출할 수 있게 해준다. 지수 함수는 단조이므로 길이가 1인 구간에서의 적분은 x, y에 의해 제한된다. 적분 연산자의 제차성도 로그 평균에 반영되어,

:$M\_\backslash text\{lm\}(cx,\; cy)\; =\; cM\_\backslash text\{lm\}(x,\; y)$

가 된다.

이 외에도 로그 평균을 유도하는 유용한 적분 표현은 다음과 같다.

*$\{1\; \backslash over\; M\_\backslash text\{lm\}(x,y)\}\; =\; \backslash int\_0^1\; \{\backslash operatorname\{d\}\backslash !t\; \backslash over\; t\; x\; +\; (1-t)y\}$
*$\{1\; \backslash over\; M\_\backslash text\{lm\}(x,y)\}\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \{\backslash operatorname\{d\}\backslash !t\; \backslash over\; (t+x)\backslash ,(t+y)\}$

6. 일반화

로그 평균은 두 변수뿐만 아니라 여러 변수에 대해서도 일반화할 수 있다. 로그 평균을 일반화하는 방법에는 두 가지가 있으며, 각각 다른 결과를 낸다.

* 평균값 정리를 이용한 일반화: 대수의 n계 도함수에 대한 차상에 대한 평균값 정리를 고려하여 로그 평균을 n+1 변수로 일반화할 수 있다.
* 적분을 이용한 일반화: n+1개의 실수 집합을 생각하여 로그 평균을 적분 형태로 일반화할 수 있다.

이 두 가지 일반화 방법은 각각 === 평균값 정리 ===, === 적분 === 하위 섹션에서 자세히 설명된다.

6.1. 평균값 정리

로그 평균은 로그 함수의 나눗셈 차분에 대한 평균값 정리를 이용하여 여러 변수로 확장할 수 있다.

n^영어 + 1개의 변수에 대한 나눗셈 차분에 대한 평균값 정리를 이용하면 다음 식을 얻는다.

:$L\_\backslash text\{MV\}(x\_0,\backslash ,\; \backslash dots,\backslash ,\; x\_n)\; =\; \backslash sqrt[-n]\{(-1)^\{n+1\}\; n\; \backslash ln\backslash left(\backslash left[x\_0,\backslash ,\; \backslash dots,\backslash ,\; x\_n\backslash right]\backslash right)\}$

여기서 $\backslash ln\backslash left(\backslash left[x\_0,\backslash ,\; \backslash dots,\backslash ,\; x\_n\backslash right]\backslash right)$은 로그의 나눗셈 차분을 나타낸다.

n^영어 = 2인 경우 다음을 얻는다.

:$L\_\backslash text\{MV\}(x,\; y,\; z)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(x-y)(y-z)(z-x)\}\{2\; \backslash bigl((y-z)\; \backslash ln\; x\; +\; (z-x)\; \backslash ln\; y\; +\; (x-y)\; \backslash ln\; z\; \backslash bigr)\}\}.$

6.2. 적분

단순체 $S$가 주어지고, $S\; =\; \backslash \{(\backslash alpha\_0,\; \backslash dots,\; \backslash alpha\_n)\; :\; (\backslash alpha\_0\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash alpha\_n\; =\; 1)\; \backslash land\; (\backslash alpha\_0\; \backslash ge\; 0)\; \backslash land\; \backslash dots\; \backslash land\; (\backslash alpha\_n\; \backslash ge\; 0)\backslash \}$이며, 단순체에 부피 1을 할당하는 적절한 측도 $\backslash mathrm\{d\}\backslash alpha$가 있을 때, 다음을 얻는다.

:$L\_\backslash text\{I\}(x\_0,\; \backslash dots,\; x\_n)\; =\; \backslash int\_S\; x\_0^\{\backslash alpha\_0\}\; \backslash cdot\; \backslash ,\backslash cdots\backslash ,\; \backslash cdot\; x\_n^\{\backslash alpha\_n\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash alpha$

이것은 지수 함수의 차분으로 간소화될 수 있다.

:$L\_\backslash text\{I\}(x\_0,\; \backslash dots,\; x\_n)\; =\; n!\; \backslash exp[\backslash ln(x\_0),\; \backslash dots,\; \backslash ln(x\_n)]$

예를 들어 $n\; =\; 2$일 때:

:$L\_\backslash text\{I\}(x,\; y,\; z)\; =\; -2\; \backslash frac\{x(\backslash ln\; y\; -\; \backslash ln\; z)\; +\; y(\backslash ln\; z\; -\; \backslash ln\; x)\; +\; z(\backslash ln\; x\; -\; \backslash ln\; y)\}\{(\backslash ln\; x\; -\; \backslash ln\; y)(\backslash ln\; y\; -\; \backslash ln\; z)(\backslash ln\; z\; -\; \backslash ln\; x)\}$