로그 평균

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1. 개요
2. 정의
3. 부등식
4. 다른 평균과의 관계
5. 유도
- 5.1. 미적분학의 평균값 정리
- 5.2. 적분
6. 일반화
- 6.1. 평균값 정리
- 6.2. 적분
참조

1. 개요

로그 평균은 두 양수 x와 y에 대해 정의되는 평균의 한 종류로, (y - x) / (ln y - ln x)로 계산된다. x와 y가 같을 경우에는 x로 정의된다. 로그 평균은 기하 평균 이상이고 산술 평균 이하이며, 조화 평균 이상이고 이차 평균 이하이다. 로그 평균은 미적분학의 평균값 정리와 적분을 통해 유도될 수 있으며, 여러 변수로 일반화할 수 있다.

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로그 평균
개요
정의	두 숫자의 차이를 그 숫자들의 몫의 로그로 나눈 값
응용 분야	열전달, 질량 전달 등의 공학 문제
정의
두 양수 x, y의 로그 평균 Mlv(x, y)	Mlv(x, y) = (x - y) / (ln(x) - ln(y))
x = y인 경우	Mlv(x, y) = x = y
다른 평균과의 관계
두 수의 조화 평균 H(x, y), 기하 평균 G(x, y), 산술 평균 A(x, y)의 관계	H(x, y) ≤ G(x, y) ≤ Mlv(x, y) ≤ A(x, y)
일반화된 로그 평균
정의	Lm,p(x, y) = [(x^m - y^m) / (m(x^p - y^p))]^(1/(p-m))
p = 2, m = 1인 경우	산술-기하 평균
p = 1, m = 0인 경우	로그 평균
p = -1, m = -2인 경우	기하-조화 평균

2. 정의

로그 평균은 다음과 같이 정의된다.^[7]^[8]

: $\begin{align}M_\text{lm}(x, y)&= \lim_{(\xi, \eta) \to (x, y)} \frac{\eta - \xi}{\ln(\eta) - \ln(\xi)} \\[6pt]&= \begin{cases}x & \text{if }x = y ,\\[2pt]\dfrac{y - x}{\ln y - \ln x} & \text{otherwise,}\end{cases}\end{align}$

여기서 $x$ 와 $y$ 는 양의 실수이다.

3. 부등식

로그 평균은 다른 평균들과 다음과 같은 부등식 관계를 갖는다. 즉, 로그 평균은 조화 평균보다 크거나 같고, 기하 평균보다 크거나 같으며, 산술 평균보다 작거나 같고, 이차 평균보다 작거나 같다. 이 부등식은 $x$ 와 $y$ 가 같지 않을 때 엄격하게 성립한다.^[1]^[2]^[3]^[4]

: $\frac{2}{\displaystyle \frac1{x} + \frac1{y}}\leq \sqrt{x y} \leq \frac{x - y}{\ln x - \ln y} \leq \frac{x + y}{2} \leq \left(\frac{x^2+y^2}2\right)^{1/2} \qquad \text{ for all } x > 0 \text{ and } y > 0.$

토예시 프라카시 샤르마는 산술 로그 기하 평균 부등식을 일반화하여 발표한 바 있다.^[5]^[6]

: $\sqrt{xy}\ \left( \ln \sqrt{xy} \right)^{n-1} \left(n + \ln \sqrt{xy}\right)\leq \frac{x(\ln x)^n - y(\ln y)^n}{\ln x - \ln y}\leq \frac{x(\ln x)^{n-1} (n + \ln x) + y(\ln y)^{n-1} (n + \ln y)} {2}$

예를 들어 $n=0$ 인 경우,

: $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x-y}{\ln x - \ln y}\leq \dfrac{x + y}{2}$

이고, $n=1$ 인 경우,

: $\sqrt{xy} \left(1 + \ln \sqrt{xy} \right)\leq \frac{x\ln x - y\ln y}{\ln x - \ln y}\leq \frac{x (1 + \ln x) + y(1 + \ln y)}{2}$

이다.

또한, 다음 관계식도 성립한다.

산술 평균: $\frac{M_\text{lm}\left(x^2, y^2\right)}{M_\text{lm}(x, y)} = \frac{x + y}{2}$
기하 평균: $\sqrt{\frac{M_\text{lm}\left(x, y\right)}{M_\text{lm}\left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right)}} = \sqrt{x y}$
조화 평균: $\frac{M_\text{lm}\left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right)}{M_\text{lm}\left( \frac{1}{x^2}, \frac{1}{y^2} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

4. 다른 평균과의 관계

로그 평균은 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균과 관련된 여러 가지 관계식을 갖는다.

'''산술 평균''': $\frac{L\left(x^2, y^2\right)}{L(x, y)} = \frac{x + y}{2}$
'''기하 평균''': $\sqrt{\frac{L\left(x, y\right)}{L\left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right)}} = \sqrt{x y}$
'''조화 평균''': $\frac{ L\left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right) }{L\left( \frac{1}{x^2}, \frac{1}{y^2} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

이들 평균 사이에는 다음과 같은 부등식이 성립한다.^[5]^[6]

:

\sqrt{x y} \leq M_\text{lm}(x, y) \leq \frac{x + y}{2} \qquad \text{ for all } x \geq 0 \text{ and } y \geq 0.

4. 1. 산술 평균

두 수의 로그 평균은 산술 평균보다는 작지만 기하 평균보다는 크다. (수들이 동일하지 않은 경우)^[7]^[8]

:

\sqrt{x y} \leq M_\text{lm}(x, y) \leq \frac{x + y}{2} \qquad \text{ for all } x \geq 0 \text{ and } y \geq 0.

$\frac{L\left(x^2, y^2\right)}{L(x, y)} = \frac{x + y}{2}$ (산술 평균)

또한, 다음 관계식도 성립한다.

산술 평균: $\frac{M_\text{lm}\left(x^2, y^2\right)}{M_\text{lm}(x, y)} = \frac{x + y}{2}$

기하 평균 ≤ 대수 평균 ≤ 산술 평균이 성립한다.^[5]^[6]

4. 2. 기하 평균

두 수의 로그 평균은 산술 평균보다는 작지만 기하 평균보다는 크다. (수들이 동일하지 않은 경우)^[7]^[8]

:

\sqrt{x y} \leq M_\text{lm}(x, y) \leq \frac{x + y}{2} \qquad \text{ for all } x \geq 0 \text{ and } y \geq 0.

기하 평균, 로그 평균(대수 평균), 산술 평균 사이에는 다음 부등식이 성립한다.^[5]^[6]

:

\sqrt{x y} \leq M_\text{lm}(x, y) \leq \frac{x + y}{2} \qquad \text{ for all } x \geq 0 \text{ and } y \geq 0.

또한, 기하 평균에 대해 다음 관계식도 성립한다.

$\sqrt{\frac{M_\text{lm}\left(x, y\right)}{M_\text{lm}\left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right)}} = \sqrt{x y}$

4. 3. 조화 평균

\frac{ L\left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right)  }{L\left( \frac{1}{x^2}, \frac{1}{y^2} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}

기하 평균 ≤ 로그 평균 ≤ 산술 평균이 성립한다.

또한, 다음 관계식도 성립한다.

조화 평균: $\frac{M_\text{lm}\left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right)}{M_\text{lm}\left( \frac{1}{x^2}, \frac{1}{y^2} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

5. 유도

평균값 정리에 따르면, 도함수 ''f''′가 할선의 기울기와 같아지는 실수 ξ가 구간 (''x'', ''y'') 안에 존재한다.

: $\exists \xi \in (x, y): \ f'(\xi) = \frac{f(x) - f(y)}{x - y}.$

로그 평균은 함수 ''f''에 자연 로그 ln을, 그리고 그 도함수 ''f''′에 를 대입하고, ξ에 대해 풀어서 얻을 수 있다.

: $\begin{align}& \frac{1}{\xi} = \frac{\ln{x} - \ln{y}}{x - y}\\\therefore \quad & M_\text{lm}=\xi = \frac{x - y}{\ln{x} - \ln{y}}\end{align}$

로그 평균은 지수 함수를 사용한 면적으로 해석할 수도 있다. 이 해석을 통해 지수 함수는 단조이므로 길이가 1인 구간에서의 적분은 에 의해 제한되는등 로그 평균의 기본적인 특성을 쉽게 도출할 수 있다.

5. 1. 미적분학의 평균값 정리

평균값 정리에 따르면, 어떤 구간 내에서 함수의 미분값이 구간 양 끝점의 함숫값의 차이를 구간의 길이로 나눈 값과 같아지는 점이 존재한다. 즉, 미분 f′^영어가 할선의 기울기와 같은 값 ξ^영어가 x^영어와 y^영어 사이의 구간에 존재한다.

:

\exists \xi \in (x, y): \ f'(\xi) = \frac{f(x) - f(y)}{x - y}

로그 평균은 f^영어에 ln|로그^한국어를 대입하고, 이에 대응하는 도함수에 대해서도 유사하게 대입하여 ξ^영어의 값으로 얻어진다.

:

\frac{1}{\xi} = \frac{\ln x - \ln y}{x-y}

그리고 ξ^영어에 대해 풀면 다음과 같다.

:

\xi = \frac{x-y}{\ln x - \ln y}

5. 2. 적분

로그 평균은 지수 함수 곡선 아래의 면적으로 해석될 수 있다.

:

M_\text{lm}(x, y) = \int_0^1 x^{1-t} y^t\ \mathrm{d}t = \frac{y - x}{\ln{y} - \ln{x}}.

이러한 면적 해석은 로그 평균의 몇 가지 기본적인 속성을 쉽게 도출할 수 있게 해준다. 지수 함수는 단조이므로 길이가 1인 구간에서의 적분은 x, y에 의해 제한된다. 적분 연산자의 제차성도 로그 평균에 반영되어,

:

M_\text{lm}(cx, cy) = cM_\text{lm}(x, y)

가 된다.

이 외에도 로그 평균을 유도하는 유용한 적분 표현은 다음과 같다.

${1 \over M_\text{lm}(x,y)} = \int_0^1 {\operatorname{d}\!t \over t x + (1-t)y}$
${1 \over M_\text{lm}(x,y)} = \int_0^\infty {\operatorname{d}\!t \over (t+x)\,(t+y)}$

6. 일반화

로그 평균은 두 변수뿐만 아니라 여러 변수에 대해서도 일반화할 수 있다. 로그 평균을 일반화하는 방법에는 두 가지가 있으며, 각각 다른 결과를 낸다.

평균값 정리를 이용한 일반화: 대수의 n계 도함수에 대한 차상에 대한 평균값 정리를 고려하여 로그 평균을 n+1 변수로 일반화할 수 있다.
적분을 이용한 일반화: n+1개의 실수 집합을 생각하여 로그 평균을 적분 형태로 일반화할 수 있다.

이 두 가지 일반화 방법은 각각 === 평균값 정리 ===, === 적분 === 하위 섹션에서 자세히 설명된다.

6. 1. 평균값 정리

로그 평균은 로그 함수의 나눗셈 차분에 대한 평균값 정리를 이용하여 여러 변수로 확장할 수 있다.^[1]

n^영어 + 1개의 변수에 대한 나눗셈 차분에 대한 평균값 정리를 이용하면 다음 식을 얻는다.^[1]

:

L_\text{MV}(x_0,\, \dots,\, x_n) = \sqrt[-n]{(-1)^{n+1} n \ln\left(\left[x_0,\, \dots,\, x_n\right]\right)}

여기서

\ln\left(\left[x_0,\, \dots,\, x_n\right]\right)

은 로그의 나눗셈 차분을 나타낸다.^[1]

n^영어 = 2인 경우 다음을 얻는다.^[1]

:

L_\text{MV}(x, y, z) = \sqrt{\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{2 \bigl((y-z) \ln x + (z-x) \ln y + (x-y) \ln z \bigr)}}.

6. 2. 적분

단순체

S

가 주어지고,

S = \{(\alpha_0, \dots, \alpha_n) : (\alpha_0 + \dots + \alpha_n = 1) \land (\alpha_0 \ge 0) \land \dots \land (\alpha_n \ge 0)\}

이며, 단순체에 부피 1을 할당하는 적절한 측도

\mathrm{d}\alpha

가 있을 때, 다음을 얻는다.

:

L_\text{I}(x_0, \dots, x_n) = \int_S x_0^{\alpha_0} \cdot \,\cdots\, \cdot x_n^{\alpha_n} \, \mathrm{d}\alpha

이것은 지수 함수의 차분으로 간소화될 수 있다.

:

L_\text{I}(x_0, \dots, x_n) = n! \exp[\ln(x_0), \dots, \ln(x_n)]

예를 들어

n = 2

일 때:

:

L_\text{I}(x, y, z) = -2 \frac{x(\ln y - \ln z) + y(\ln z - \ln x) + z(\ln x - \ln y)}{(\ln x - \ln y)(\ln y - \ln z)(\ln z - \ln x)}

참조

_[1] 논문 Some inequalities for hypergeometric functions
_[2] 논문 A comparison of two means
_[3] 논문 The Power Mean and the Logarithmic Mean
_[4] 논문 The Geometric, Logarithmic, and Arithmetic Mean Inequality
_[5] 논문 Some inequalities for hypergeometric functions
_[6] 논문 A comparison of two means
_[7] 논문 Some inequalities for hypergeometric functions
_[8] 논문 A comparison of two means

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