기하 평균

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 공식
3. 성질
- 3.1. 로그의 산술 평균과의 관계
- 3.2. 산술-조화 평균과의 관계
4. 응용
참조

1. 개요

기하 평균은 n개의 양수의 곱의 n제곱근으로 정의되는 평균의 한 유형이다. 산술 평균보다 작거나 같으며, 곱셈으로 계산되는 값들의 평균을 구할 때 유용하게 사용된다.

기하 평균은 성장률, 정규화된 값, 금융 지수 계산, 인간개발지수, 기하학, 종횡비, 신호 처리, 광학 코팅, 색 혼합, 영상 처리 등 다양한 분야에서 활용된다.

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기하 평균
개요
정의	일련의 수들의 곱의 n제곱근
기호	GM(x₁, x₂, ..., xₙ)
종류	평균
정의
계산	n개의 양수 a₁, a₂, ..., aₙ의 기하 평균은 다음과 같이 계산된다. GM(a₁, a₂, ..., aₙ) = (a₁a₂...aₙ)^(1/n)
활용
산술 평균과의 관계
가중 기하 평균
로그와의 관계
일반화

2. 정의

기하 평균은 n개의 양수 값들을 모두 곱한 후 n 제곱근을 취하여 구한다.

어떤 초기값 $\alpha$ 에 주어진 수들을 모두 곱하는 것은, $\alpha$ 에 기하 평균을 n번 곱하는 것과 같다.

예를 들어, 2와 8의 기하 평균은 $\sqrt{2 \times 8} = 4$ 이다. 4, 1, 1/32^영어의 기하 평균은 $\sqrt[3]{4 \times 1 \times \frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$ 이다.

기하 평균은 기하학적으로 설명할 수도 있다. 두 수 $a, b$ 의 기하 평균은 가로와 세로의 길이가 $a, b$ 인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이와 같다. 마찬가지로 세 수 $a, b, c$ 의 기하 평균은 $a, b, c$ 를 세 변의 길이로 하는 직육면체와 부피가 같은 정육면체의 한 변의 길이와 같다.

기하 평균은 양수만을 다룰 수 있다.^[17] 주로 곱하거나 지수 함수적 성질을 가진 값에 사용되며, 인구 증가율이나 투자 수익률 등을 구할 때 쓰인다.

기하 평균은 산술 조화 평균이기도 하다. 두 수열 $(a_n)$ 과 $(h_n)$ 을 다음과 같이 정의했을 때,

: $a_{n+1} = \frac{a_n + h_n}{2}, \quad a_1=\frac{x + y}{2}$

: $h_{n+1} = \frac{2}{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{h_n}}, \quad h_1=\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

$a_n$ 과 $h_n$ 은 모두 $x$ 와 $y$ 의 기하 평균으로 수렴한다.

2. 1. 공식

n개의 양수

a_1, a_2, \dots, a_n

에 대한 기하 평균은 다음과 같이 정의된다.^[3]

:

\biggl(\prod_{i=1}^n a_i \biggr)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n \vphantom{t}}.

즉, 각 원소들의 곱의 n제곱근이다. 예를 들어 1, 2, 3, 4의 경우, 곱

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4

는 24이고, 기하 평균은 24의 네제곱근이며, 약 2.213이다.

기하 평균은 로그의 산술 평균의 지수로도 나타낼 수 있다.^[4] 수식을 변환하는 로그 항등식을 사용하면 곱셈을 합으로, 거듭제곱을 곱셈으로 표현할 수 있다.

:

\biggl( \prod_{i=1}^n a_i \biggr)^\frac{1}{n} = \exp\biggl(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i\biggr).

이는

\textstyle \vphantom\Big| \ln \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n \vphantom{t}}= \frac1n\ln(a_1a_2\cdots a_n)= \frac1n(\ln a_1 + \ln a_2 + \cdots + \ln a_n).

이기 때문이다.

이것은 때때로 '''로그 평균'''이라고 불린다. 이는 단순히

a_i

의 로그 변환 값의 산술 평균(즉, 로그 스케일의 산술 평균)이며, 원래 스케일로 되돌리기 위해 지수를 사용한다. 즉,

f(x) = \log x

인 일반화된 f-평균이다.

어떤 숫자들의 기하 평균은 그 숫자들의 산술 평균보다 언제나 작거나 같으며, 특히 모든 숫자가 같을 경우에 두 평균이 같아진다.

3. 성질

기하 평균은 산술 평균보다 항상 작거나 같다. 모든 수가 같을 때만 기하 평균과 산술 평균이 같아진다. (산술-기하 평균 부등식) 예를 들어, 2와 3의 기하 평균은 약 2.45이고 산술 평균은 2.5이다.

어떤 초기값 $\alpha$ 에 집합의 요소들을 각각 곱하면 $\alpha \times (a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n)$ 이 되는데, 이는 $\alpha$ 에 집합의 기하 평균을 집합 요소의 개수만큼 곱한 것과 같다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\alpha \times (\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n})^n = \alpha \times (a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n)$

서로 다른 수들의 집합에 평균 보존 확산을 적용할 경우 — 즉, 산술 평균은 변하지 않으면서 집합의 요소들이 서로 더 멀어지도록 "분산"될 경우 — 기하 평균은 감소한다.^[5]

기하 평균은 산술 평균, 조화 평균과 함께 “피타고라스 평균(en)”이라고 불리는 세 가지 고전적인 평균 중 하나이다. 서로 다른 값을 포함하는 양수로 이루어진 집합 또는 데이터에서 조화 평균, 기하 평균, 산술 평균 순으로 값이 작아진다.

3. 1. 로그의 산술 평균과의 관계

로그 항등식을 사용해 기하평균 공식을 변환시키면, 곱셈을 덧셈으로, 제곱을 곱셈으로 바꿔서 다음과 같은 공식을 만들 수 있다.^[4]

:

\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^{1/n} = \exp\left[\frac1n \sum_{i=1}^n\ln a_i\right]

즉, 어떤 숫자들의 기하평균은 그 숫자들의 로그값에 대해 산술 평균을 구한 뒤 지수 함수를 취한 것과 같다. 다른 말로 하면, 기하 평균은 f(n) = ln x일 때의 일반화된 f-평균이다.

이것은 때때로 '''로그 평균'''이라고 불린다(로그 평균과 혼동해서는 안 된다). 이는 단순히

a_i

의 로그 변환 값의 산술 평균(즉, 로그 스케일의 산술 평균)이며, 원래 스케일로 되돌리기 위해 지수를 사용한다.

예를 들어, 1, 2, 8, 16의 기하 평균은 밑이 2인 로그를 사용하여 계산할 수 있다.

:

\sqrt[4]{1 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 16}= 2^{(\log_2\! 1 \,+\, \log_2\!2 \,+\, \log_2\!8 \,+\, \log_2\!16)/4}= 2^{(0 \,+\, 1 \,+\, 3 \,+\, 4)/4} = 2^2 = 4.

컴퓨터 구현에서 많은 수를 단순히 곱하면 산술 오버플로 또는 산술 언더플로가 발생할 수 있다. 로그를 사용하여 기하 평균을 계산하는 것은 이러한 문제를 피하는 한 가지 방법이다.

3. 2. 산술-조화 평균과의 관계

어떤 숫자들의 기하 평균은 그 숫자들의 산술 평균보다 언제나 작거나 같으며, 특히 모든 숫자가 같을 경우에 두 평균이 같아진다.

기하 평균은 '''산술 조화 평균'''이기도 하다. 두 수열 (a_n)과 (h_n)을 다음과 같이 정의했을 때,

: a_n+1 = (a_n + h_n) / 2 , a₁=(x + y) / 2

: h_n+1 = 2 / ( 1 / a_n + 1 / h_n ), h₁=2 / ( 1 / x + 1 / y )

a_n과 h_n은 모두 x와 y의 기하 평균으로 수렴한다.

두 수열은 공통된 극한값으로 수렴하며, 기하 평균은 보존된다.

:√(a_i+1 h_i+1) = √((a_i + h_i) / 2 * 2(a_i)(h_i) / (a_i + h_i)) = √((a_i)(h_i))

산술 평균과 조화 평균을 서로 반대 부호의 유한 지수를 가진 일반화 평균 쌍으로 대체해도 같은 결과를 얻는다.

4. 응용

기하 평균은 곱셈으로 계산되는 값의 평균을 구할 때 유용하며, 성장률, 정규화된 값, 금융, 사회과학, 기하학, 종횡비 등 다양한 분야에서 응용된다.

성장률: 지수 성장과 같이 비례 성장하거나 변동하는 성장률의 평균을 구하는 데 적합하다. 예를 들어, 연평균 성장률(CAGR) 계산에 사용된다.
정규화된 값: 기준 값에 대한 비율로 표시되는 결과를 평균할 때 기하 평균이 유일하게 올바른 평균을 제공한다.^[6] 컴퓨터 성능 비교와 같이 여러 기준에 대한 결과를 비교할 때 유용하다.
금융: FT 30 지수^[8], CPI^[9], RPIJ와 같은 금융 지수 계산에 사용된다. 산술 평균보다 지수 변동을 과소평가하는 경향이 있다.
사회과학: 국제연합(UN)의 인간개발지수(HDI) 산출에 사용되어, 차원 간 대체 가능성을 낮추고 고유한 차이를 존중한다.^[10]
기하학: 직각삼각형의 높이, 타원의 단반축, 준선과 관련된 거리 계산에 사용된다.^[11]^[12]
종횡비: 16:9 화면비와 같이 영화 및 비디오에서 타협점이 되는 종횡비를 선택하는 데 사용된다.^[13]
기타 응용:
신호 처리에서 스펙트럼 평탄도 측정^[16]
광학 코팅에서 반사 방지 코팅의 최적 굴절률 계산
페인트 혼합물의 스펙트럼 반사율 곡선 추정^[15]
영상 처리에서 기하 평균 필터를 노이즈 필터로 활용

4. 1. 성장률

기하 평균은 곱셈으로 계산되는 값의 평균을 구할 때 사용되며, 특히 성장률 계산에 유용하다. 예를 들어, 어떤 값이 처음에 1,000이고 매년 10%, 20%, -15%씩 변동한다면, 기하 평균을 통해 평균 성장률을 계산할 수 있다. 이 경우 3년간 평균 성장률은 약 3.91%가 된다.^[1]

매출 성장률과 같이 변동하는 성장률의 평균을 구할 때도 기하 평균이 적합하다. 예를 들어, 매출이 1년 동안 80% 증가하고 다음 해에 25% 증가했다면, 기하 평균은 50%가 되어, 매년 일정한 50% 성장률과 같은 결과를 나타낸다.^[1]

초기값(

a_0

)과 최종값(

a_n

)을 알고 있다면, 중간값 없이 최종 성장률의 기하 평균을 다음 식으로 구할 수 있다.

:

\left(\frac{a_n}{a_0}\right)^{\frac{1}{n}}

여기서

n

은 초기값부터 최종값까지의 단계 수이다.

예를 들어, 오렌지 나무가 매년 100개, 180개, 210개, 300개의 오렌지를 생산했다면, 각 해의 성장률은 80%, 16.6666%, 42.8571%이다. 산술 평균을 사용하면 평균 성장률은 46.5079%로 과대평가되지만, 기하 평균을 사용하면 약 44.2249%의 연간 평균 성장률을 얻을 수 있다.^[1]

이처럼 기하 평균은 지수 성장과 같이 비례 성장하는 경우나 변동 성장률을 설명하는 데 산술 평균보다 더 적합하며, 비즈니스 분야에서는 연평균 성장률(CAGR)이라고 한다.^[1]

4. 2. 정규화된 값

기하 평균의 기본적인 성질은 다른 평균에서는 성립하지 않는 다음 공식으로 표현된다.

:

\operatorname{GM}\left(\frac{X_i}{Y_i}\right) = \frac{\operatorname{GM}(X_i)}{\operatorname{GM}(Y_i)}

이것은 기준 값에 대한 비율로 표시되는 결과를 평균할 때 기하 평균만이 유일하게 올바른 평균임을 의미한다.^[6] 이는 기준 컴퓨터에 대한 컴퓨터 성능을 제시하거나 여러 이종 출처(예: 기대 수명, 교육 연수, 유아 사망률)에서 단일 평균 지수를 계산할 때 해당된다. 이 경우 산술 평균이나 조화 평균을 사용하면 기준으로 사용하는 것에 따라 결과의 순위가 바뀐다. 예를 들어, 컴퓨터 프로그램의 실행 시간을 비교하면 다음과 같다.

	컴퓨터 A	컴퓨터 B	컴퓨터 C
프로그램 1	1	10	20
프로그램 2	1000	100	20
산술 평균	500.5	55	20
기하 평균	31.622 . . .	31.622 . . .	20
조화 평균	1.998 . . .	18.182 . . .	20

산술 평균과 기하 평균은 모두 컴퓨터 C가 가장 빠르다는 데 "일치"한다. 그러나 적절히 정규화된 값을 제시하고 산술 평균을 사용하면 다른 두 컴퓨터 중 하나가 가장 빠르다고 보일 수 있다. A의 결과로 정규화하면 산술 평균에 따라 A가 가장 빠른 컴퓨터가 된다.

	컴퓨터 A	컴퓨터 B	컴퓨터 C
프로그램 1	1	10	20
프로그램 2	1	0.1	0.02
산술 평균	1	5.05	10.01
기하 평균	1	1	0.632 . . .
조화 평균	1	0.198 . . .	0.039 . . .

반면 B의 결과로 정규화하면 산술 평균에 따라 B가 가장 빠른 컴퓨터가 되지만 조화 평균에 따라 A가 가장 빠르다.

	컴퓨터 A	컴퓨터 B	컴퓨터 C
프로그램 1	0.1	1	2
프로그램 2	10	1	0.2
산술 평균	5.05	1	1.1
기하 평균	1	1	0.632
조화 평균	0.198 . . .	1	0.363 . . .

그리고 C의 결과로 정규화하면 산술 평균에 따라 C가 가장 빠른 컴퓨터가 되지만 조화 평균에 따라 A가 가장 빠르다.

	컴퓨터 A	컴퓨터 B	컴퓨터 C
프로그램 1	0.05	0.5	1
프로그램 2	50	5	1
산술 평균	25.025	2.75	1
기하 평균	1.581 . . .	1.581 . . .	1
조화 평균	0.099 . . .	0.909 . . .	1

모든 경우에 기하 평균에 의한 순위는 정규화되지 않은 값으로 얻은 순위와 동일하게 유지된다.

하지만 이러한 추론은 의문을 제기받았다.^[7] 일관된 결과를 제공하는 것이 항상 정확한 결과를 제공하는 것과 같은 것은 아니다. 일반적으로 각 프로그램에 가중치를 할당하고, 가중 평균 실행 시간(산술 평균 사용)을 계산한 다음, 그 결과를 컴퓨터 중 하나로 정규화하는 것이 더 엄격하다. 위의 세 표는 각 프로그램에 다른 가중치를 부여한 것일 뿐이며, 산술 평균과 조화 평균의 불일치 결과를 설명한다. 표 4는 두 프로그램에 동일한 가중치를 부여하고, 표 2는 두 번째 프로그램에 1/1000의 가중치를 부여하며, 표 3은 두 번째 프로그램에 1/100의 가중치와 첫 번째 프로그램에 1/10의 가중치를 부여한다. 실행 시간을 곱하는 것은 산술 평균에서 시간을 더하는 것과 달리 물리적인 의미가 없으므로 성능 수치를 집계하기 위해 기하 평균을 사용하는 것을 가능하면 피해야 한다. 시간에 반비례하는 지표(속도 향상, IPC)는 조화 평균을 사용하여 평균해야 한다.

4. 3. 금융

기하 평균은 때때로 금융 지수를 계산하는 데 사용되어 왔다(평균은 지수의 구성 요소에 대한 것이다). 예를 들어, 과거에는 FT 30 지수에서 기하 평균을 사용했다.^[8] 또한 CPI 계산^[9]과 최근 영국과 유럽 연합에서 도입된 "RPIJ" 인플레이션 측정에도 사용된다.

이는 산술 평균을 사용하는 것과 비교하여 지수의 변동을 과소평가하는 효과가 있다.^[8]

4. 4. 사회과학

국제연합(UN)의 인간개발지수(HDI)는 2010년부터 기하 평균을 사용하여 산출되고 있다. 이는 통계의 특성을 더 잘 반영하기 위한 것이다.^[10]

기하 평균은 비교되는 차원 간의 대체 가능성 수준을 낮추는 동시에, 예를 들어 출생 시 기대 수명이 1% 감소하는 것이 교육이나 소득의 1% 감소하는 것과 HDI에 동일한 영향을 미치도록 한다. 따라서 성취도 비교의 기준으로서, 이 방법은 단순 평균보다 차원 간의 고유한 차이를 더 존중한다.^[20]

4. 5. 기하학

직각삼각형에서 빗변을 밑변으로 할 때의 높이는, 직각인 꼭짓점에서 빗변에 내린 수선이 빗변을 나눈 각 선분의 기하 평균과 같다.^[11]

타원에서 단반축은 초점에서 타원 위의 한 점까지의 거리의 최댓값과 최솟값의 기하 평균이다. 한편, 장반축은 중심점과 어느 한 초점 사이의 거리와 중심점과 준선 사이의 거리의 기하 평균이다.^[12]

4. 6. 종횡비

기하 평균은 영화 및 비디오에서 타협점이 되는 종횡비를 선택하는 데 사용되어 왔다. 두 종횡비가 주어지면, 이들의 기하 평균은 어떤 의미에서 두 종횡비 모두를 균등하게 왜곡하거나 잘라내는 타협점을 제공한다. 구체적으로, 서로 다른 종횡비를 가진 두 개의 면적이 같은 직사각형(같은 중심과 평행한 변을 가짐)은 종횡비가 기하 평균인 직사각형에서 교차하며, 이들의 볼록 껍질(두 직사각형을 모두 포함하는 가장 작은 직사각형) 또한 기하 평균의 종횡비를 갖는다.

SMPTE는 16:9 화면비를 선택할 때 2.35와 4:3을 조화시켜 기하 평균을

\sqrt{2.35 \times \frac{4}{3}} \approx 1.7701

로 계산했고, 따라서

16:9 = 1.77\overline{7}

...을 선택했다. 이것은 커스 파워스에 의해 경험적으로 발견되었는데, 그는 면적이 같은 직사각형을 잘라내어 인기 있는 각 종횡비에 맞게 모양을 만들었다. 중심점을 정렬하여 겹쳤을 때, 그는 모든 종횡비 직사각형이 1.77:1의 종횡비를 가진 외부 직사각형 안에 들어가고, 모두 같은 1.77:1의 종횡비를 가진 더 작은 공통 내부 직사각형을 덮는다는 것을 발견했다.^[13] 파워스가 찾은 값은 극단적인 종횡비인 4:3(1.33:1)과 시네마스코프(2.35:1)의 기하 평균과 정확히 일치하며, 우연히

16:9

(

1.77\overline{7}:1

)에 가깝다. 중간 비율은 결과에 영향을 미치지 않으며, 두 극단 비율만 영향을 미친다.

같은 기하 평균 기법을 16:9와 4:3에 적용하면 14:9(

1.55\overline{5}

...) 종횡비가 생성되는데, 이는 이러한 비율 간의 타협으로 사용된다.^[14] 이 경우 14:9는

16:9

와

4:3 = 12:9

의 정확한 ''산술 평균''이다. 14는 16과 12의 평균이기 때문이다. 정확한 ''기하 평균''은

\sqrt{\frac{16}{9}\times\frac{4}{3}} \approx 1.5396 \approx 13.8:9

이지만, 산술 평균과 기하 평균의 차이는 두 수가 서로 충분히 가까워(2% 미만의 차이) 근사적으로 같다.

기하 평균은 B 계열과 C 계열 용지 규격을 계산하는 데에도 사용된다.

B_n

규격의 면적은

A_n

와

A_{n-1}

의 면적의 기하 평균이다. 예를 들어, B1 용지의 면적은

\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm m^2

이다. 이는 A0 (

1\mathrm m^2

) 용지와 A1 (

\frac{1}{2}\mathrm m^2

) 용지의 면적의 기하 평균이기 때문이다 (

\sqrt{1\mathrm m^2 \cdot \frac{1}{2}\mathrm m^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\mathrm m^4}=\frac{1}{\sqrt 2}\mathrm m^2= \frac{\sqrt 2}{2}\mathrm m^2

).

같은 원리가 C 계열에도 적용된다. C 계열의 면적은 A 계열과 B 계열의 면적의 기하 평균이다. 예를 들어, C4 규격의 면적은 A4와 B4의 면적의 기하 평균이다.

이러한 관계로 인한 장점은 A4 용지가 C4 봉투에 들어가고, 두 용지 모두 B4 봉투에 들어간다는 것이다.

4. 7. 기타 응용

신호 처리에서 스펙트럼 평탄도는 스펙트럼의 평탄함의 정도를 나타내는 것으로, 스펙트럼 밀도의 기하 평균과 산술 평균의 비로 정의된다.^[16]
광학 코팅에서 굴절률이 ''n''₀ 및 ''n''₂인 두 매질 사이의 반사를 최소화해야 하는 경우, 반사 방지 코팅의 최적 굴절률 ''n''₁은 기하 평균으로 주어진다.
페인트 혼합물(같은 채도, 불투명도, 희석도)의 스펙트럼 반사율 곡선은 각 파장의 스펙트럼에서 계산된 페인트의 개별 반사율 곡선의 기하 평균과 거의 같다.^[15]
영상 처리에서 기하 평균 필터는 노이즈 필터로 사용된다.

참조

_[1] 웹사이트 On Compass and Straightedge Constructions: Means https://sites.math.w[...] UNIVERSITY of WASHINGTON, DEPARTMENT OF MATHEMATICS 2018-06-14
_[2] 웹사이트 Euclid, Book VI, Proposition 13 https://mathcs.clark[...] David E. Joyce, Clark University 2019-07-19
_[3] 뉴스 2.5: Geometric Mean https://stats.libret[...] 2019-04-20
_[4] 서적 Statistics: An Introduction using R John Wiley & Sons Ltd.
_[5] 논문 More on spreads and non-arithmetic means
_[6] 논문 How not to lie with statistics: the correct way to summarize benchmark results
_[7] 논문 Characterizing computer performance with a single number
_[8] 서적 The Financial System Today https://archive.org/[...] Manchester University Press
_[9] 웹사이트 Measuring price inflation https://assets.publi[...] Government Actury's Department 2017-03-00
_[10] 웹사이트 Frequently Asked Questions - Human Development Reports http://hdr.undp.org/[...]
_[11] 논문 Modular equations and approximations to π http://ramanujan.sir[...]
_[12] 서적 Extract from Leybourn's Math. Repository, 1818 https://books.google[...]
_[13] 웹사이트 TECHNICAL BULLETIN: Understanding Aspect Ratios http://www.cinemasou[...] The CinemaSource Press 2009-10-24
_[14] 특허 Method of showing 16:9 pictures on 4:3 displays
_[15] 웹사이트 Colormaking Attributes: Measuring Light & Color http://handprint.com[...] 2020-01-02
_[16] 서적 Von Thünen's Theory of Natural Wages https://archive.org/[...] G. H. Ellis
_[17] 문서 積が負で n が偶数だとその冪根は虚数になるため。また、数値として0 が含まれていると積が常に0となり幾何平均も 0 になってしまう。
_[18] 문서 数値群の複数の要素を算術平均を変化させないように拡散させること
_[19] 논문 More on spreads and non-arithmetic means 2004-03-00
_[20] 웹사이트 FAQ - HUMAN DEVELOPMENT REPORT http://hdr.undp.org/[...]
_[21] 웹사이트 TECHNICAL BULLETIN: Understanding Aspect Ratios http://www.cinemasou[...] The CinemaSource Press
_[22] 특허 Method of showing 16:9 pictures on 4:3 displays

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