로렌츠 게이지 조건

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1. 개요
2. 명칭
3. 정의
4. 로렌츠 게이지 조건의 유도 및 특징
5. 응용
6. 역사
참조

1. 개요

로렌츠 게이지 조건은 사차 퍼텐셜에 대한 조건으로, 맥스웰 방정식을 더 간단하고 대칭적인 형태로 만들어준다. 루드비 로렌츠의 이름을 따서 명명되었으며, 로렌츠 불변성을 만족시킨다. SI 단위계에서는 ∇⋅A + (1/c²)∂φ/∂t = 0으로, 가우스 단위계에서는 ∇⋅A + (1/c)∂φ/∂t = 0으로 표현된다. 이 조건은 게이지를 완전히 고정하지 않으며, 추가적인 게이지 자유도가 존재한다. 로렌츠 게이지는 벡터 마당의 (1/2,1/2) 표현에서 스핀 0 성분을 없애는 데 사용되며, 게이지 대칭이 없는 질량이 있는 스핀 1 양자장론에도 적용된다.

2. 명칭

루드비 로렌스의 이름을 땄다. 라틴 문자를 쓰는 언어에서는 루드비 로렌스(Lorenz)와 헨드릭 로런츠(Lorentz)의 이름을 혼동하여 "Lorentz" 조건으로 잘못 쓰는 경우가 많다.^[8]

3. 정의

로렌츠 게이지 조건은 다음과 같이 표현된다.^[2]

: $\partial_\mu A^\mu=0$

여기서 $A^\mu$ 는 사차 퍼텐셜이다.

일반적인 벡터 표기법과 SI 단위계에서 이 조건은 다음과 같다.^[3]^[4]

: $\nabla\cdot{\mathbf{A}} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t} = 0,$

여기서 $\mathbf{A}$ 는 자기 벡터 퍼텐셜이고 $\varphi$ 는 전기 퍼텐셜이다.

가우스 단위계에서 조건은 다음과 같다.^[5]^[6]

: $\nabla\cdot{\mathbf{A}} + \frac{1}{c}\frac{\partial\varphi}{\partial t} = 0.$

4. 로렌츠 게이지 조건의 유도 및 특징

로렌츠 게이지 조건은 맥스웰 방정식을 이용하여 유도할 수 있다. 앙페르-맥스웰 방정식에서 로렌츠 불변성을 만족시키기 위해 시간 미분과 공간 미분을 동등하게 처리한다. 로렌츠 게이지 조건은 다음과 같다.^[2]

: $\nabla\cdot{\mathbf{A}} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t} = 0,$

여기서 $\mathbf{A}$ 는 자기 벡터 퍼텐셜이고 $\varphi$ 는 전기 퍼텐셜이다.^[3]^[4]

이 조건을 적용하면 맥스웰 방정식은 다음과 같이 더 간단하고 대칭적인 형태가 된다.

: $\Box\mathbf{A} = \left[\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right]\mathbf{A} =\mu_0\mathbf{J}.$

: $\Box\varphi = \left[\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right] \varphi = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho .$

여기서 $\Box$ 는 달랑베르시안 연산자, $c$ 는 진공에서 빛의 속도, $\mathbf{J}$ 는 전류 밀도, $\rho$ 는 전하 밀도이다.

로렌츠 게이지 조건은 게이지를 완전히 고정하지 않는다. 조화 스칼라 함수 $f$ 에 대해 $A^\mu\to A^\mu+\partial^\mu f$ 와 같은 게이지 변환을 할 수 있다. 이때, $f$ 는 클라인-고든 방정식 $\partial^\mu\partial_\mu f=0$ 을 만족해야 한다.

5. 응용

로렌츠 게이지는 벡터 마당의 (1/2,1/2) 표현에서 스핀 0 성분을 없애는 데 사용되며, 게이지 대칭이 없는 질량이 있는 스핀 1 양자장에도 사용된다.^[2] 전자기학에서 로렌츠 게이지 조건은 지체 퍼텐셜을 통해 시간에 따른 전자기장 계산에 일반적으로 사용된다.

로렌츠 게이지 조건은 SI 단위계에서 다음과 같다.

: $\nabla\cdot{\mathbf{A}} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t} = 0,$

여기서 $\mathbf{A}$ 는 자기 벡터 퍼텐셜이고 $\varphi$ 는 전기 퍼텐셜이다.^[3]^[4]

맥스웰 방정식과 자기 벡터 퍼텐셜 및 자기장의 관계를 사용하면 로렌츠 게이지 조건을 간단히 유도할 수 있다. 전기장( $\mathbf{E}$ )과 자기장( $\mathbf{B}$ )은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\mathbf{E} = -\nabla \varphi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}.$

: $\mathbf{B} = \nabla\times \mathbf{A}$

이 결과를 앙페르-맥스웰 방정식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

: $\nabla\left(\nabla \cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\right) = \mu_0\mathbf{J} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} + \nabla^2\mathbf{A}.$

로렌츠 불변성을 위해 좌변을 0으로 만드는 로렌츠 게이지 조건을 선택하면, 다음과 같은 결과를 얻는다.

: $\Box\mathbf{A} = \left[\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right]\mathbf{A} =\mu_0\mathbf{J}.$

전기 스칼라 퍼텐셜에 대해 동일한 게이지 선택을 하면 다음과 같은 식을 얻는다.

: $\Box\varphi = \left[\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right] \varphi = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho .$

이것들은 불균질 맥스웰 방정식의 더 간단하고 대칭적인 형태이다. 여기서 $\Box$ 는 달랑베르시안 연산자이다.

$\varphi$ 와 $\mathbf{A}$ 에 대한 명시적 해는 지체 퍼텐셜로 알려져 있다.^[7]

6. 역사

1867년에 처음 발표되었을 때, 로렌스의 연구는 제임스 클러크 맥스웰에게 좋은 평가를 받지 못했다. 맥스웰은 쿨롱 게이지로 작업하면서 전자기파 방정식을 유도하는 과정에서 쿨롱 정전기력을 제거했다. 로렌츠 게이지는 쿨롱 힘에 지연 효과를 도입하고, 로렌츠의 논문 "빛의 진동과 전류의 동일성에 관하여"에서 제시된 시간에 따라 변하는 전기장과 함께 전자기파 방정식에 포함시킴으로써 맥스웰의 원래 전자기파 방정식 유도와 상반되었다. 로렌츠의 연구는 맥스웰이 1865년 논문을 발표한 이후 맥스웰 방정식을 단순화하기 위해 대칭성을 처음으로 사용한 것이다. 1888년 하인리히 루돌프 헤르츠의 전자기파 실험 이후 지연 포텐셜이 일반적으로 사용되기 시작했다. 1895년 J. J. 톰슨이 전자에 대한 데이터를 해석한 후 지연 포텐셜 이론이 더욱 발전했다 (그 이후로 전기 현상에 대한 연구는 시간 의존적인 전하와 전류 분포에서 움직이는 점전하로 바뀌었다).^[2]

참조

_[1] 논문 Historical roots of gauge invariance
_[2] 논문 The relation between expressions for time-dependent electromagnetic fields given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips http://www.physics.p[...]
_[3] 서적 Classical Electrodynamics John Wiley & Sons
_[4] 서적 Quantum Theory of Near-Field Electrodynamics https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2012-02-02
_[5] 서적 Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering Cambridge University Press
_[6] 서적 The Quantum Theory of Radiation https://books.google[...] Courier Corporation 1954
_[7] 논문 Riemann-Silberstein representation of the complete Maxwell equations set
_[8] 논문 Lorenz, Lorentz, and the Gauge http://www.engr.mun.[...] 2012-08-17

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