게이지 이론

3.1. 게이지 변환과 대칭성

게이지 이론에서 물리적 장들은 주다발 위에 정의된 동변(equivariant) 벡터장으로 표현된다. 게이지 변환은 주다발의 단면을 바꾸는 것으로, 물리적 상태는 변하지 않고 표현 방식만 달라진다.

게이지 변환 $\backslash alpha\backslash colon\; M\backslash to\; G$들의 집합
:$\backslash mathcal\; G=\backslash mathcal\; C(M,G)$
는 각 점마다의 합성을 통해 위상군을 이룬다. 이러한 게이지 변환은 전역 게이지 변환과 국소 게이지 변환으로 나뉜다.

전역 대칭성

물리학에서 대역 대칭성(global symmetry)이란 국소 대칭성과는 대조적으로, 시공간의 모든 점에서 보존되는 대칭성이다. 힘이 아닌, 보존 법칙을 요구한다. 예를 들어, 디락 라그랑지언에 대한 군 $U(1)=e^\{iq\backslash theta\}$의 작용이 있다.

국소 대칭성

물리학에서 국소 대칭성(local symmetry)이란 매끄러운 기본 다양체 위의 점에 의해, 어떤 물리량의 대칭성을 갖는 것을 말한다. 국소 게이지 변환은 대칭군의 표현이 다양체 위의 함수이며, 따라서 시공간의 서로 다른 점에서는 다르게 작용하도록 취할 수 있다는 것을 의미한다. 국소 대칭성이라는 말은, 특히 양-밀스 이론에서는 국소 게이지 대칭성과 결부되어 있다. 보존 법칙에 더하여, 힘을 유도한다.

국소 게이지 변환들의 집합은 게이지 군을 이루며, 이 군은 일반적으로 연결 공간이 아닐 수 있다. 이 경우, 연결 조각들은 거대 게이지 변환으로, 나머지는 미세 게이지 변환으로 분류된다.

3.2. 주다발과 접속

게이지 이론은 미분기하학의 올다발 이론, 그 중에서도 주다발을 이용하여 정의된다. 게이지 군은 반단순 콤팩트 리 군 $G$로 잡으며, 시공간 $M$은 매끄러운 다양체이다.

$M$ 위에 존재하는, 올이 $G$인 주다발 $P\backslash twoheadrightarrow\; M$들을 고려하며, 가능한 주다발들의 종류는 $M\backslash to\; BG$ 연속함수들의 호모토피류 $[M,BG]$에 의하여 분류된다. 여기서 $BG$는 $G$의 분류 공간이다.

주다발에는 주접속 $A$를 정의할 수 있으며, 이는 물리학에서 게이지 퍼텐셜이라고 불린다. 주접속의 곡률 $F\; =\; dA\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}[A\; \backslash wedge\; A]$는 게이지 장세기라고 불리며, 맥스웰 방정식에서의 패러데이 텐서는 U(1) 장세기의 특수한 경우다.

3.3. 공변 미분과 페르미온

스칼라장 $\backslash phi\; \backslash in\; \backslash Omega^0(P,\; V)$의 도함수 $d\backslash phi\; \backslash in\; \backslash Omega^1(P,\; V)$는 게이지 퍼텐셜과 유사하게 게이지 변환을 겪는다. 하지만 공변 미분(covariant derivative) $D\backslash phi\; =\; d\backslash phi\; +\; dR(A)\; \backslash wedge\; \backslash phi\; \backslash in\; \backslash Omega^1(P,\; V)$를 도입하면 게이지 변환에 대해 불변인 도함수를 정의할 수 있다.

:$(s\backslash alpha^\{-1\})^*D\backslash phi\; =\; R(\backslash alpha)s^*D\backslash phi$

이는 $\backslash phi$와 같은 꼴로 게이지 변환하며, 이 연산 $D$를 공변 미분이라고 한다.

페르미온은 적절한 복소 스피너 다발을 통해 도입될 수 있다. $M$이 스핀 구조를 가진 경우, 표현 $R\; \backslash colon\; G\; \backslash to\; U(V)$에 따라 복소 스피너 다발 $\backslash Delta\; \backslash twoheadrightarrow\; M$을 선택하여 페르미온 $\backslash psi\; \backslash in\; \backslash Gamma(\backslash Delta\; \backslash otimes\; V)$을 정의할 수 있다. 여기서 $\backslash Gamma$는 복소벡터다발 $\backslash Delta\; \backslash otimes\; V$의 단면(section)들의 집합이다.

이러한 페르미온은 게이지 변환 $\backslash alpha\; \backslash colon\; M\; \backslash to\; G$에 대해 스칼라장과 유사하게 변환한다.

:$\backslash psi(x)\; \backslash mapsto\; R(\backslash alpha(x))\; \backslash cdot\; \backslash psi(x)$

스핀 구조가 없더라도 적절한 스핀C 구조가 존재하면 게이지에 대해 대전된 페르미온이 존재할 수 있다.

3.4. 작용과 라그랑지언

양자장론은 작용 $S$에 의해 정의되며, 이는 라그랑지언 $\backslash mathcal\{L\}$의 적분으로 나타내어진다.

:$S=\backslash int\_M\backslash sqrt$

4. 주요 응용

게이지 이론은 여러 분야에 응용된다.

* 전자기학: 정전기학에서 전자기학으로 일반화되면서 자기 벡터 포텐셜이 도입되었고, 게이지 변환을 통해 전자기장을 기술한다. 양자 전기역학(QED)에서는 디랙 방정식과 전자기장의 상호작용을 통해 게이지 원리가 자연스럽게 도입된다.
* 양-밀스 이론: 양전닝과 밀스는 핵자의 강한 상호작용을 설명하기 위해 전자기 상호작용의 U(1) 대칭성을 일반화하여 아이소스핀 SU(2) 대칭성에 기반한 이론을 제안했다. 비가환 게이지 이론은 점근적 자유성을 가지며, 양자색역학(QCD)으로 발전하였다.
* 표준 모형: 양자전기역학(QED), 양자색역학(QCD) 및 와인버그-살람 이론의 기초를 이루며, 전자기 상호작용, 약한 상호작용 및 강한 상호작용을 통합하여 게이지 이론으로 기술된다.
* 양자장론: 양자 전기역학(QED)을 시작으로, 게이지 고정, 파데예프-포포프 유령, BRST 양자화 등의 방법을 통해 양자화된다. 재규격화를 통해 상관 함수를 계산하고, 섭동 이론 및 격자 게이지 이론과 같은 비섭동적 방법을 통해 다양한 현상을 설명한다.
* 이상 현상: 고전 이론의 일부 대칭성이 양자 이론에서는 유지되지 않는 현상으로, 규모 이상, 손지기 이상, 게이지 이상 등이 있다.

4.1. 전자기학

정전기학에서는 전기장 E나 이에 해당하는 전위 V를 다룰 수 있다. 하나를 알면 다른 하나를 구할 수 있지만, 상수 C에 대해 $V\; \backslash mapsto\; V+C$와 같이 전위를 바꾸어도 동일한 전장에 해당한다는 예외가 있다. 이는 전장이 공간에서 전위의 변화와 관련이 있고, 상수 C는 전위 변화를 계산할 때 상쇄되기 때문이다. 벡터 미적분학에서 전장은 전위의 기울기로 나타낼 수 있다. ($\backslash mathbf\{E\}\; =\; -\backslash nabla\; V$)

정전기학에서 전자기학으로 일반화하면, 벡터 포텐셜 A라는 두 번째 전위를 도입하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
\mathbf{E} &= -\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\\
\mathbf{B} &= \nabla \times \mathbf{A}
\end{align}

일반적인 게이지 변환은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
\mathbf{A} &\mapsto \mathbf{A} + \nabla f\\
V &\mapsto V - \frac{\partial f}{\partial t}
\end{align}
여기서 f는 위치와 시간에 따라 달라지는 임의의 2번 미분 가능한 함수이다. 게이지 변환 하에서 전자기장은 변하지 않는다.

전자장만 있는 전자기학의 경우, 디랙 방정식을 생성하는 기본적인 작용은 다음과 같다.
:$\backslash mathcal\{S\}\; =\; \backslash int\; \backslash bar\{\backslash psi\}\backslash left(i\; \backslash hbar\; c\; \backslash ,\; \backslash gamma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; -\; mc^2\backslash right)\; \backslash psi\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x$

이 시스템의 전역적 대칭성은 다음과 같다.
:$\backslash psi\; \backslash mapsto\; e^\{i\; \backslash theta\}\; \backslash psi$

여기서 게이지군은 U(1)이며, 이는 장의 복소수 위상각의 회전을 의미하며, 특정 회전은 상수 θ에 의해 결정된다.

이 대칭성을 "국소화"하면 θ를 θ(x)로 대체하는 것을 의미한다. 이때 적절한 공변 미분은 다음과 같다.
:$D\_\backslash mu\; =\; \backslash partial\_\backslash mu\; -\; i\; \backslash frac\{e\}\{\backslash hbar\}\; A\_\backslash mu$

"전하" e를 일반적인 전하로, 게이지장 A(x)를 전자기장의 4차원 벡터 포텐셜로 식별하면, 상호작용 라그랑지언은 다음과 같다.
:$\backslash mathcal\{L\}\_\backslash text\{int\}\; =\; \backslash frac\{e\}\{\backslash hbar\}\backslash bar\{\backslash psi\}(x)\; \backslash gamma^\backslash mu\; \backslash psi(x)\; A\_\backslash mu(x)\; =\; J^\backslash mu(x)\; A\_\backslash mu(x)$

여기서 $J^\backslash mu(x)\; =\; \backslash frac\{e\}\{\backslash hbar\}\backslash bar\{\backslash psi\}(x)\; \backslash gamma^\backslash mu\; \backslash psi(x)$는 디랙장에서의 전기 전류 4차원 벡터이다. 따라서 게이지 원리는 전자기장의 소위 최소 결합을 전자장에 자연스럽게 도입하는 것으로 나타난다.

게이지장 $A\_\backslash mu(x)$에 대한 라그랑지언을 전자기학에서와 정확히 동일하게 장 세기 텐서의 관점에서 추가하면 양자 전기역학에서 시작점으로 사용되는 라그랑지언을 얻는다.
:$\backslash mathcal\{L\}\_\backslash text\{QED\}\; =\; \backslash bar\{\backslash psi\}\backslash left(i\backslash hbar\; c\; \backslash ,\; \backslash gamma^\backslash mu\; D\_\backslash mu\; -\; mc^2\backslash right)\backslash psi\; -\; \backslash frac\{1\}\{4\; \backslash mu\_0\}F\_\{\backslash mu\backslash nu\}F^\{\backslash mu\backslash nu\}$

4.2. 양-밀스 이론

양전닝과 밀스는 1954년에 핵자의 강한 상호작용을 설명하기 위해 전자기 상호작용의 U(1) 대칭성 이론을 일반화하여 양성자와 중성자의 아이소스핀 SU(2) 대칭성에 기반한 이론을 제안했다. 이 모델은 실험과 일치하지 않았지만, 비가환 대칭성에 기반한 양-밀스 이론으로 많은 이론의 원형이 되었다.

이 아이디어는 후에 약한 상호작용과 전자기 상호작용을 통합하는 전약 상호작용에 응용되었다. 또한, 비가환 게이지 이론은 점근적 자유성을 재현할 수 있다는 특징을 가지는 것으로 밝혀져 강한 상호작용의 중요한 특징으로 여겨졌다. 이러한 이유로 강한 상호작용의 게이지 이론을 탐구하게 되었고, 이는 쿼크의 컬러 SU(3) 대칭성에 기반한 양자색역학으로 발전하였다. 게이지 이론은 양자전기역학(QED), 양자색역학(QCD) 및 와인버그-살람 이론의 기초를 이루며, 전자기 상호작용, 약한 상호작용 및 강한 상호작용을 통합하는 표준 모형은 게이지 이론으로 기술된다.

국소 게이지 불변성이 대역적 대칭성에서 어떻게 유도되는지, 그리고 상호작용이 없는 상태에서 어떻게 상호작용을 유도하는지 설명하면 다음과 같다.

질량 m을 갖는 상호작용하지 않는 n개의 실수 스칼라장을 생각해보자. 이 계는 각 스칼라장의 작용의 합인 작용으로 기술된다.

:$\backslash mathcal\{S\}\; =\; \backslash int\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash varphi\_i\; \backslash partial^\backslash mu\; \backslash varphi\_i\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}m^2\; \backslash varphi\_i^2\; \backslash right]\backslash \; .$

라그랑지안 밀도는 장의 벡터

:$\backslash \; \backslash Phi\; =\; (\; \backslash varphi\_1,\; \backslash varphi\_2,\backslash ldots,\; \backslash varphi\_n)^T$

를 도입하여

:$\backslash \; \backslash mathcal\{L\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; (\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash Phi)^T\; \backslash partial^\backslash mu\; \backslash Phi\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}m^2\; \backslash Phi^T\; \backslash Phi$

로 간결하게 쓸 수 있다.

$\backslash partial\_\backslash mu$는 4차원 중 각 차원에서 $\backslash Phi$의 편미분에 대한 아인슈타인 표기법을 사용하고 있다. G가 n차 직교군 O(n)에 속하는 상수 행렬일 때, 변환

:$\backslash \; \backslash Phi\; \backslash mapsto\; \backslash Phi\text{'}\; =\; G\; \backslash Phi$

아래에서 라그랑지안이 불변함이 명백해진다. $\backslash Phi$의 미분은 $\backslash Phi$ 자신으로 변환되고, 두 양 모두 라그랑지안 내에서 점곱으로 나타나기 때문에(직교 변환은 점곱을 보존한다) 라그랑지안이 보존된다.

:$\backslash \; (\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash Phi)\; \backslash mapsto\; (\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash Phi)\text{'}\; =\; G\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash Phi$

이 식은 특별한 라그랑지안의 대역적 대칭성을 특징짓고, 대칭군은 게이지군이라고 불린다. 수학 용어로는, 구조군이며, 특히 G-구조의 이론이라고 불린다. 네이터 정리에 의해 이 변환군의 불변성은 전류

:$\backslash \; J^\{a\}\_\{\backslash mu\}\; =\; i\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash Phi^T\; T^\{a\}\; \backslash Phi$

의 보존을 이끈다. 여기서 행렬 T^a는 군 SO(n)의 생성원이다.

이제, 이 라그랑지안이 국소적으로 O(n)-불변임을 요구하면, 행렬 G는 시공간의 좌표 x의 함수가 되어야 한다.

하지만, G = G(x) (G가 x의 함수)일 때, 행렬 G는 미분을 "통과"하지 않는다 (행렬과 편미분이 비가환이 된다).

:$\backslash \; \backslash partial\_\backslash mu\; (G\; \backslash Phi)\; \backslash neq\; G\; (\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash Phi)\backslash \; .$

G와 미분이 가환하지 않다는 것은 곱의 법칙을 지키기 위해 추가 항을 도입하게 되고, 라그랑지안의 불변성을 깨뜨린다. 이를 수정하기 위해 새로운 미분 연산자를 $\backslash Phi$가 다시 $\backslash Phi$와 동일하게 인식될 수 있도록

:$\backslash \; (D\_\backslash mu\; \backslash Phi)\text{'}\; =\; G\; D\_\backslash mu\; \backslash Phi$

으로 정의한다.

이 새로운 "미분"을 게이지 공변 미분이라고 부르며,

:$\backslash \; D\_\backslash mu\; =\; \backslash partial\_\backslash mu\; +\; i\; g\; A\_\backslash mu$

라는 형태를 취한다.

여기서 g는 상호작용의 세기를 정의하는 양이며, 결합 상수로 부른다. 게이지장 A(x)는 다음과 같이 변환해야 한다.

:$\backslash \; A\text{'}\_\backslash mu\; =\; G\; A\_\backslash mu\; G^\{-1\}\; +\; \backslash frac\{i\}\{g\}\; (\backslash partial\_\backslash mu\; G)G^\{-1\}\backslash \; .$

게이지장은 리 대수의 원소이며,

:$\backslash \; A\_\{\backslash mu\}\; =\; \backslash sum\_a\; A\_\{\backslash mu\}^a\; T^a$

으로 확장할 수 있다.

따라서, 리 대수의 생성원과 같은 게이지장이 있다.

결국, 국소 게이지 불변 라그랑지안

:$\backslash \; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{loc\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; (D\_\backslash mu\; \backslash Phi)^T\; D^\backslash mu\; \backslash Phi\; -\backslash frac\{1\}\{2\}m^2\; \backslash Phi^T\; \backslash Phi$

을 얻게 되었다.

파울리는 $\backslash Phi$로서 장의 이론에 적용된 게이지 이론을 제1종 게이지 변환이라고 불렀고, 한편 $A$ 안에서 보상되는 변환을 제2종 게이지 변환이라고 불렀다.

게이지 보존을 통해 상호작용하는 스칼라 보존의 [[파인만 도표]]

이 라그랑지안과 원래 대역 게이지 불변 라그랑지안과의 차이는 상호작용 라그랑지안

:$\backslash \; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{int\}\; =\; i\backslash frac\{g\}\{2\}\; \backslash Phi^T\; A\_\{\backslash mu\}^T\; \backslash partial^\backslash mu\; \backslash Phi\; +\; i\backslash frac\{g\}\{2\}\; (\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash Phi)^T\; A^\{\backslash mu\}\; \backslash Phi\; -\; \backslash frac\{g^2\}\{2\}\; (A\_\backslash mu\; \backslash Phi)^T\; A^\backslash mu\; \backslash Phi$

이다.

이 항은 국소 게이지 불변성의 요구의 결과로 n개의 스칼라장 사이의 상호작용을 도입하게 된다. 고전장론을 얻는 것과 같은 양자화 버전에서는, 게이지장 A(x)의 양자는 게이지 보존이라고 불린다. 양자장론의 상호작용 라그랑지안의 해석은, 이러한 게이지 보존의 교환에 의해 상호작용하는 스칼라 보존이다.

4.3. 양자장론

게이지 이론은 양자장론의 중요한 구성 요소이며, 양자 전기역학(QED), 표준 모형 등 기본 입자 물리학을 포함한다. 최소 작용의 원리에 따라 게이지 공변 작용 적분을 사용하지만, 게이지 변환으로 표현되는 과도한 자유도를 처리하는 방식에서 연속체 이론과 큰 차이를 보인다.

대부분의 교육적 설명에서는 게이지 고정 처방을 사용하여 주어진 물리적 상황을 더 작은 궤도로 축소하지만, 비가환 게이지 군을 포함하는 더 정교한 양자장론에서는 파데예프-포포프 유령 장과 이상 현상 제거를 통해 BRST 양자화 방식으로 게이지 대칭성을 다룬다. 이러한 문제는 측정의 본질, 물리적 상황에 대한 지식의 한계, 불완전하게 지정된 실험 조건과 불완전하게 이해된 물리 이론 간의 상호 작용과 밀접하게 관련되어 있다. 게이지 이론을 다루기 위해 개발된 수학적 기술은 고체 물리학, 결정학, 저차원 위상수학 등 다양한 분야에 응용된다.

양자화된 최초의 게이지 이론은 양자 전기역학(QED)이었다. 이를 위해 개발된 최초의 방법은 게이지 고정을 수행한 다음 정준 양자화를 적용하는 것이었다. 이 문제를 처리하기 위해 굽타-블루러 방법도 개발되었다. 비가환 게이지 이론은 현재 다양한 방법으로 처리된다. 양자화 방법은 양자화 문서에서 다루어진다.

양자화의 주요 목적은 이론에서 허용되는 다양한 과정에 대한 양자 진폭을 계산하는 것이다. 기술적으로, 이는 진공 상태에서 특정 상관 함수를 계산하는 것으로 축소된다. 이는 이론의 재규격화를 포함한다.

이론의 러닝 커플링이 충분히 작으면 필요한 모든 양을 섭동 이론으로 계산할 수 있다. 이러한 계산을 단순화하기 위한 양자화 방식 (예: 정준 양자화)을 섭동 양자화 방식이라고 부를 수 있다. 현재 이러한 방법 중 일부는 게이지 이론에 대한 가장 정확한 실험적 검증으로 이어진다.

그러나 대부분의 게이지 이론에는 비섭동적인 흥미로운 질문이 많이 있다. 이러한 문제에 적합한 양자화 방식 (예: 격자 게이지 이론)을 비섭동 양자화 방식이라고 부를 수 있다. 이러한 방식에서 정확한 계산을 하려면 종종 슈퍼컴퓨팅이 필요하며, 현재 다른 방식보다 덜 발달되어 있다.

고전 이론의 일부 대칭성은 양자 이론에서는 유지되지 않는 것으로 나타나며, 이는 이상 현상이라고 불리는 현상이다. 가장 잘 알려진 이상 현상 중 일부는 다음과 같다.

* 규모 이상, 이는 달리는 결합 상수를 발생시킨다. 양자 전기역학(QED)에서 이는 란다우 극점 현상을 발생시킨다. 양자 색역학(QCD)에서 이는 점근적 자유로 이어진다.
* 페르미온이 있는 손지기장 또는 벡터장 이론의 손지기 이상. 이는 인스턴톤의 개념을 통해 위상 수학과 밀접한 관련이 있다. 양자 색역학(QCD)에서 이 이상은 파이온이 두 개의 광자로 붕괴되는 원인이 된다.
* 게이지 이상, 이는 모든 일관된 물리 이론에서 상쇄되어야 한다. 전약력 이론에서 이 상쇄는 동일한 수의 쿼크와 렙톤을 필요로 한다.

5. 한계와 확장

표준 모형은 중력을 설명하지 못하며, 암흑 물질과 암흑 에너지와 같은 현상을 설명하는 데 어려움이 있다. 대통일 이론, 초대칭 이론, 끈 이론 등 표준 모형을 확장하려는 다양한 시도가 이루어지고 있으며, 이러한 이론들은 게이지 이론의 개념을 더욱 확장하고 있다.