게이지 이론

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1. 개요
2. 역사
3. 이론적 배경
4. 주요 응용
5. 한계와 확장
참조

1. 개요

게이지 이론은 1918년 헤르만 바일의 연구에서 시작되어, 전자기력, 약력, 강력 등 자연의 기본 힘을 설명하는 데 사용되는 수학적 틀이다. U(1) 게이지 대칭을 갖는 전자기학, SU(2) 대칭을 기반으로 하는 양-밀스 이론, 그리고 표준 모형과 같은 다양한 이론을 포함한다. 게이지 이론은 주다발과 접속, 공변 미분, 그리고 작용과 라그랑지언을 통해 설명되며, 양자장론의 중요한 부분으로 양자 전기역학(QED)과 같은 이론의 기반이 된다.

2. 역사

게이지 이론의 개념과 이름은 1918년 헤르만 바일의 연구에서 유래되었다.^[1] 바일은 일반 상대성 이론과 전자기학을 통합하려는 시도를 하였다.

양자역학 발전 이후, 바일, 블라디미르 포크,^[2] 프리츠 런던은 척도 변환을 위상 변화로 바꾸었는데, 이는 U(1) 게이지 대칭이다.

1864–65년 제임스 클러크 맥스웰은 저서 "전자기장의 역학적 이론"에서 고전 전자기학을 공식화하면서 컬이 사라지고 일반적으로 함수의 기울기로 쓸 수 있는 모든 벡터장이 자기장에 영향을 미치지 않고 벡터 전위에 추가될 수 있다고 언급하면서 불변성의 가능성을 시사했다. 다비트 힐베르트는 일반 좌표 변환 하에서 작용의 불변성을 가정하여 아인슈타인 방정식을 유도했다.

청-닝 양은 핵 아이소스핀 보존에 기초한 원자핵 결합에 대한 장 이론을 모색했다.^[5] 1954년, 양과 로버트 밀스는 양자 전기역학의 U(1) 그룹 작용과 유사하게, 양성자와 중성자의 아이소스핀 이중항에 대한 (비-아벨) SU(2) 대칭 군 작용에 기반한 이론을 구성했다.^[6]

양-밀스 이론은 약력의 양자장론과 전약력 이론에서 전자기학과의 통일에 적용되었다. 비-아벨 게이지 이론이 점근적 자유라는 특징을 재현하면서 강한 힘 게이지 이론을 찾는 동기를 부여했다. 현재 양자 색역학으로 알려진 이 이론은 쿼크의 색전하 삼중항에 대한 SU(3) 그룹 작용을 가진 게이지 이론이다. 표준 모형은 게이지 이론으로 전자기력, 약력, 강력을 통합적으로 설명한다.

1970년대에 마이클 아티야는 고전적인 양-밀스 방정식의 해에 대한 수학을 연구했다. 1983년, 사이먼 동슨은 미분 다양체의 매끄러운 4차원 다양체의 미분 가능한 분류가 위상 동형까지의 분류와 매우 다르다는 것을 보여주었다.^[7] 마이클 프리드먼은 이상한 '''R'''⁴를 제시했다. 1994년, 에드워드 위튼과 나단 세이베르그는 초대칭 기반 게이지 이론적 기법을 개발하여 특정 위상 불변량(세이베르그-위튼 불변량)을 계산할 수 있게 했다.^[8]^[9]

물리학에서 게이지 이론의 중요성은 전자기학, 약력, 강력의 양자장론을 설명하는 통일된 틀을 제공하는 수학적 형식의 성공으로 예시된다.

2. 1. 게이지 이론의 태동

헤르만 바일은 1918년 일반 상대성 이론의 기하학적 아이디어를 전자기학에 포함시키기 위해 척도의 변화, 즉 "게이지"에 대한 불변성이 일반 상대성 이론의 국소적 대칭성이 될 수 있다고 추측했다.^[1] 양자역학 발전 이후, 바일, 블라디미르 포크,^[2] 프리츠 런던은 척도 인자를 복소수로 대체하고 척도 변환을 위상 변화로 바꾸어 U(1) 게이지 대칭을 발견했다. 이는 전하를 띤 양자역학적 입자의 파동 함수에 대한 전자기장의 효과를 설명했다. 바일의 1929년 논문은 게이지 불변성의 현대적 개념을 도입했고, 이는 이후 볼프강 파울리가 1941년 리뷰에서 대중화했다.^[4]

1864–65년 제임스 클러크 맥스웰은 저서 "전자기장의 역학적 이론"에서 고전 전자기학을 공식화하면서 컬이 사라지고 일반적으로 함수의 기울기로 쓸 수 있는 모든 벡터장이 자기장에 영향을 미치지 않고 벡터 전위에 추가될 수 있다고 언급하면서 불변성의 가능성을 시사했다. 다비트 힐베르트는 일반 좌표 변환 하에서 작용의 불변성을 가정하여 아인슈타인 방정식을 유도했다. 이러한 대칭 불변성의 중요성은 바일의 연구 이전까지는 주목받지 못했다.

2. 2. 비가환 게이지 이론의 발전

1954년 양전닝과 밀스는 핵자의 강한 상호작용을 설명하는 모델을 제안했다.^[14] 이들은 전자기 상호작용의 U(1) 대칭성 이론을 일반화하여 양성자와 중성자의 아이소스핀 SU(2) 대칭성에 기반한 이론을 구축했다. 이 모델 자체는 실험과 일치하지 않았지만 비가환 대칭성에 기반한 '''양-밀스 이론'''의 원형이 되었다.

이후 이 아이디어는 약한 상호작용과 전자기 상호작용을 통일하는 전약 상호작용에 응용되었다. 게다가 비가환 게이지 이론은 점근적 자유성을 재현할 수 있다는 점이 밝혀져 더욱 주목받았다. 점근적 자유성은 강한 상호작용의 중요한 특징으로 여겨졌고, 이는 강한 상호작용의 게이지 이론을 탐구하는 동기가 되었다. 이 이론은 양자색역학으로 불리며, 쿼크의 컬러 SU(3) 대칭성에 기반한 게이지 이론이다. 양자전기역학(QED), 양자색역학(QCD), 와인버그-살람 이론은 게이지 이론에 기초하고 있으며, 전자기 상호작용, 약한 상호작용, 강한 상호작용을 통합하는 표준 모형 또한 게이지 이론의 언어로 기술된다.

2. 3. 수학 분야의 발전과 영향

1970년대에 마이클 아티야는 고전적인 양-밀스 방정식의 해에 대한 수학적 연구를 시작했다. 1983년, 아티야의 제자인 사이먼 도널드슨은 매끄러운 4차원 미분 가능 다양체의 분류가 위상 동형의 분류와는 다르다는 것을 보였다. 마이클 프리드먼은 도널드슨의 연구를 사용하여 이상한 '''R'''⁴를 제시했다. 즉, 4차원 유클리드 공간과는 다른 미분 구조가 존재함을 보였다. 1994년, 에드워드 위튼과 나단 세이베르그는 초대칭성에 기반한 게이지 이론적 기법을 발견했다. 이 방법은 특정 위상 불변량(세이베르그-위튼 불변량)의 계산을 가능하게 했다.^[15]

3. 이론적 배경

게이지 이론은 미분기하학의 올다발 이론, 그 중에서도 주다발을 이용하여 정의된다. 게이지 군은 반단순 콤팩트 리 군 $G$ 로 잡으며, 시공간 $M$ 은 매끄러운 다양체이다.

$M$ 위에 존재하는, 올이 $G$ 인 주다발 $P\twoheadrightarrow M$ 들을 고려하며, 가능한 주다발들의 종류는 $M\to BG$ 연속함수들의 호모토피류 $[M,BG]$ 에 의하여 분류된다. 여기서 $BG$ 는 $G$ 의 분류 공간이다.

주다발에는 주접속 $A$ 를 정의할 수 있으며, 이는 물리학에서 '''게이지 퍼텐셜'''이라고 불린다. 주접속의 곡률 $F = dA + \frac{1}{2}[A \wedge A]$ 는 '''게이지 장세기'''라고 불리며, 맥스웰 방정식에서의 패러데이 텐서는 U(1) 장세기의 특수한 경우다.^[16]

물리적 장들은 주다발 위에 정의된 동변(equivariant) 벡터장으로 표현된다.^[16]

스칼라장 $\phi \in \Omega^0(P, V)$ 의 도함수 $d\phi \in \Omega^1(P, V)$ 는 게이지 퍼텐셜과 유사하게 게이지 변환을 겪는다. 하지만 공변 미분 $D\phi = d\phi + dR(A) \wedge \phi \in \Omega^1(P, V)$ 를 도입하면 게이지 변환에 대해 불변인 도함수를 정의할 수 있다.

: $(s\alpha^{-1})^*D\phi = R(\alpha)s^*D\phi$

이는 $\phi$ 와 같은 꼴로 게이지 변환하며, 이 연산 $D$ 를 공변 미분이라고 한다.

페르미온은 적절한 복소 스피너 다발을 통해 도입될 수 있다. $M$ 이 스핀 구조를 가진 경우, 표현 $R \colon G \to U(V)$ 에 따라 복소 스피너 다발 $\Delta \twoheadrightarrow M$ 을 선택하여 페르미온 $\psi \in \Gamma(\Delta \otimes V)$ 을 정의할 수 있다. 여기서 $\Gamma$ 는 복소벡터다발 $\Delta \otimes V$ 의 단면(section)들의 집합이다.

이러한 페르미온은 게이지 변환 $\alpha \colon M \to G$ 에 대해 스칼라장과 유사하게 변환한다.

: $\psi(x) \mapsto R(\alpha(x)) \cdot \psi(x)$

스핀 구조가 없더라도 적절한 스핀C 구조가 존재하면 게이지에 대해 대전된 페르미온이 존재할 수 있다.

양자장론은 작용 $S$ 에 의해 정의되며, 이는 라그랑지언 $\mathcal{L}$ 의 적분으로 나타내어진다.

: $S=\int_M\sqrt$

\mathcal L

예를 들어,

M

에 (유사) 리만 계량이 주어져 있다면, 다음과 같은 양-밀스 작용을 정의할 수 있다.

:

S=\frac1{4g^2}\int\langle F,F\rangle

여기서

g^2

는 결합 상수이다.

G=U(1)

인 경우는 맥스웰 방정식을 얻고,

G=SU(n)

인 경우는 양-밀스 방정식을 얻는다.

윌슨 고리와 같은 다른 게이지 불변항을 작용에 추가할 수도 있다.

3. 1. 게이지 변환과 대칭성

게이지 이론에서 물리적 장들은 주다발 위에 정의된 동변(equivariant) 벡터장으로 표현된다.^[16] 게이지 변환은 주다발의 단면을 바꾸는 것으로, 물리적 상태는 변하지 않고 표현 방식만 달라진다.

게이지 변환

\alpha\colon M\to G

들의 집합

:

\mathcal G=\mathcal C(M,G)

는 각 점마다의 합성을 통해 위상군을 이룬다. 이러한 게이지 변환은 전역 게이지 변환과 국소 게이지 변환으로 나뉜다.
전역 대칭성물리학에서 '''대역 대칭성'''(global symmetry)이란 국소 대칭성과는 대조적으로, 시공간의 모든 점에서 보존되는 대칭성이다. 힘이 아닌, 보존 법칙을 요구한다. 예를 들어, 디락 라그랑지언에 대한 군

U(1)=e^{iq\theta}

의 작용이 있다.
국소 대칭성물리학에서 '''국소 대칭성'''(local symmetry)이란 매끄러운 기본 다양체 위의 점에 의해, 어떤 물리량의 대칭성을 갖는 것을 말한다. 국소 게이지 변환은 대칭군의 표현이 다양체 위의 함수이며, 따라서 시공간의 서로 다른 점에서는 다르게 작용하도록 취할 수 있다는 것을 의미한다. 국소 대칭성이라는 말은, 특히 양-밀스 이론에서는 국소 게이지 대칭성과 결부되어 있다. 보존 법칙에 더하여, 힘을 유도한다.^[18]

국소 게이지 변환들의 집합은 게이지 군을 이루며, 이 군은 일반적으로 연결 공간이 아닐 수 있다. 이 경우, 연결 조각들은 거대 게이지 변환으로, 나머지는 미세 게이지 변환으로 분류된다.

3. 2. 주다발과 접속

게이지 이론은 미분기하학의 올다발 이론, 그 중에서도 주다발을 이용하여 정의된다. 게이지 군은 반단순 콤팩트 리 군

G

로 잡으며, 시공간

M

은 매끄러운 다양체이다.

M

위에 존재하는, 올이

G

인 주다발

P\twoheadrightarrow M

들을 고려하며, 가능한 주다발들의 종류는

M\to BG

연속함수들의 호모토피류

[M,BG]

에 의하여 분류된다. 여기서

BG

는

G

의 분류 공간이다.

주다발에는 주접속

A

를 정의할 수 있으며, 이는 물리학에서 '''게이지 퍼텐셜'''이라고 불린다. 주접속의 곡률

F = dA + \frac{1}{2}[A \wedge A]

는 '''게이지 장세기'''라고 불리며, 맥스웰 방정식에서의 패러데이 텐서는 U(1) 장세기의 특수한 경우다.^[16]

3. 3. 공변 미분과 페르미온

스칼라장

\phi \in \Omega^0(P, V)

의 도함수

d\phi \in \Omega^1(P, V)

는 게이지 퍼텐셜과 유사하게 게이지 변환을 겪는다. 하지만 공변 미분(covariant derivative)

D\phi = d\phi + dR(A) \wedge \phi \in \Omega^1(P, V)

를 도입하면 게이지 변환에 대해 불변인 도함수를 정의할 수 있다.

:

(s\alpha^{-1})^*D\phi = R(\alpha)s^*D\phi

이는

\phi

와 같은 꼴로 게이지 변환하며, 이 연산

D

를 공변 미분이라고 한다.

페르미온은 적절한 복소 스피너 다발을 통해 도입될 수 있다.

M

이 스핀 구조를 가진 경우, 표현

R \colon G \to U(V)

에 따라 복소 스피너 다발

\Delta \twoheadrightarrow M

을 선택하여 페르미온

\psi \in \Gamma(\Delta \otimes V)

을 정의할 수 있다. 여기서

\Gamma

는 복소벡터다발

\Delta \otimes V

의 단면(section)들의 집합이다.

이러한 페르미온은 게이지 변환

\alpha \colon M \to G

에 대해 스칼라장과 유사하게 변환한다.

:

\psi(x) \mapsto R(\alpha(x)) \cdot \psi(x)

스핀 구조가 없더라도 적절한 스핀C 구조가 존재하면 게이지에 대해 대전된 페르미온이 존재할 수 있다.

3. 4. 작용과 라그랑지언

양자장론은 '''작용'''

S

에 의해 정의되며, 이는 '''라그랑지언'''

\mathcal{L}

의 적분으로 나타내어진다.

:

S=\int_M\sqrt

\mathcal L

예를 들어,

M

에 (유사) 리만 계량이 주어져 있다면, 다음과 같은 양-밀스 작용을 정의할 수 있다.

:

S=\frac1{4g^2}\int\langle F,F\rangle

여기서

g^2

는 '''결합 상수'''이다.

G=U(1)

인 경우는 맥스웰 방정식을 얻고,

G=SU(n)

인 경우는 양-밀스 방정식을 얻는다.

윌슨 고리와 같은 다른 게이지 불변항을 작용에 추가할 수도 있다.

4. 주요 응용

게이지 이론은 여러 분야에 응용된다.

전자기학: 정전기학에서 전자기학으로 일반화되면서 자기 벡터 포텐셜이 도입되었고, 게이지 변환을 통해 전자기장을 기술한다. 양자 전기역학(QED)에서는 디랙 방정식과 전자기장의 상호작용을 통해 게이지 원리가 자연스럽게 도입된다.
양-밀스 이론: 양전닝과 밀스는 핵자의 강한 상호작용을 설명하기 위해 전자기 상호작용의 U(1) 대칭성을 일반화하여 아이소스핀 SU(2) 대칭성에 기반한 이론을 제안했다.^[14] 비가환 게이지 이론은 점근적 자유성을 가지며, 양자색역학(QCD)으로 발전하였다.
표준 모형: 양자전기역학(QED), 양자색역학(QCD) 및 와인버그-살람 이론의 기초를 이루며, 전자기 상호작용, 약한 상호작용 및 강한 상호작용을 통합하여 게이지 이론으로 기술된다.
양자장론: 양자 전기역학(QED)을 시작으로, 게이지 고정, 파데예프-포포프 유령, BRST 양자화 등의 방법을 통해 양자화된다.^[17] 재규격화를 통해 상관 함수를 계산하고, 섭동 이론 및 격자 게이지 이론과 같은 비섭동적 방법을 통해 다양한 현상을 설명한다.
이상 현상: 고전 이론의 일부 대칭성이 양자 이론에서는 유지되지 않는 현상으로, 규모 이상, 손지기 이상, 게이지 이상 등이 있다.

4. 1. 전자기학

정전기학에서는 전기장 '''E'''나 이에 해당하는 전위 ''V''를 다룰 수 있다. 하나를 알면 다른 하나를 구할 수 있지만, 상수 ''C''에 대해

V \mapsto V+C

와 같이 전위를 바꾸어도 동일한 전장에 해당한다는 예외가 있다. 이는 전장이 공간에서 전위의 ''변화''와 관련이 있고, 상수 ''C''는 전위 변화를 계산할 때 상쇄되기 때문이다. 벡터 미적분학에서 전장은 전위의 기울기로 나타낼 수 있다. (

\mathbf{E} = -\nabla V

)

정전기학에서 전자기학으로 일반화하면, 벡터 포텐셜 '''A'''라는 두 번째 전위를 도입하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}\mathbf{E} &= -\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\\\mathbf{B} &=  \nabla \times \mathbf{A}\end{align}

일반적인 게이지 변환은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}\mathbf{A} &\mapsto \mathbf{A} + \nabla f\\V &\mapsto V - \frac{\partial f}{\partial t}\end{align}

여기서 ''f''는 위치와 시간에 따라 달라지는 임의의 2번 미분 가능한 함수이다. 게이지 변환 하에서 전자기장은 변하지 않는다.

전자장만 있는 전자기학의 경우, 디랙 방정식을 생성하는 기본적인 작용은 다음과 같다.

:

\mathcal{S} = \int \bar{\psi}\left(i \hbar c \, \gamma^\mu \partial_\mu - mc^2\right) \psi \, \mathrm{d}^4 x

이 시스템의 전역적 대칭성은 다음과 같다.

:

\psi \mapsto e^{i \theta} \psi

여기서 게이지군은 U(1)이며, 이는 장의 복소수 위상각의 회전을 의미하며, 특정 회전은 상수 θ에 의해 결정된다.

이 대칭성을 "국소화"하면 θ를 θ(x)로 대체하는 것을 의미한다. 이때 적절한 공변 미분은 다음과 같다.

:

D_\mu = \partial_\mu - i \frac{e}{\hbar} A_\mu

"전하" e를 일반적인 전하로, 게이지장 A(x)를 전자기장의 4차원 벡터 포텐셜로 식별하면, 상호작용 라그랑지언은 다음과 같다.

:

\mathcal{L}_\text{int} = \frac{e}{\hbar}\bar{\psi}(x) \gamma^\mu \psi(x) A_\mu(x) = J^\mu(x) A_\mu(x)

여기서

J^\mu(x) = \frac{e}{\hbar}\bar{\psi}(x) \gamma^\mu \psi(x)

는 디랙장에서의 전기 전류 4차원 벡터이다. 따라서 게이지 원리는 전자기장의 소위 최소 결합을 전자장에 자연스럽게 도입하는 것으로 나타난다.

게이지장

A_\mu(x)

에 대한 라그랑지언을 전자기학에서와 정확히 동일하게 장 세기 텐서의 관점에서 추가하면 양자 전기역학에서 시작점으로 사용되는 라그랑지언을 얻는다.

:

\mathcal{L}_\text{QED} = \bar{\psi}\left(i\hbar c \, \gamma^\mu D_\mu - mc^2\right)\psi - \frac{1}{4 \mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}

4. 2. 양-밀스 이론

양전닝과 밀스는 1954년에 핵자의 강한 상호작용을 설명하기 위해 전자기 상호작용의 U(1) 대칭성 이론을 일반화하여 양성자와 중성자의 아이소스핀 SU(2) 대칭성에 기반한 이론을 제안했다.^[14] 이 모델은 실험과 일치하지 않았지만, 비가환 대칭성에 기반한 '''양-밀스 이론'''으로 많은 이론의 원형이 되었다.

이 아이디어는 후에 약한 상호작용과 전자기 상호작용을 통합하는 전약 상호작용에 응용되었다. 또한, 비가환 게이지 이론은 점근적 자유성을 재현할 수 있다는 특징을 가지는 것으로 밝혀져 강한 상호작용의 중요한 특징으로 여겨졌다. 이러한 이유로 강한 상호작용의 게이지 이론을 탐구하게 되었고, 이는 쿼크의 컬러 SU(3) 대칭성에 기반한 양자색역학으로 발전하였다. 게이지 이론은 양자전기역학(QED), 양자색역학(QCD) 및 와인버그-살람 이론의 기초를 이루며, 전자기 상호작용, 약한 상호작용 및 강한 상호작용을 통합하는 표준 모형은 게이지 이론으로 기술된다.

국소 게이지 불변성이 대역적 대칭성에서 어떻게 유도되는지, 그리고 상호작용이 없는 상태에서 어떻게 상호작용을 유도하는지 설명하면 다음과 같다.

질량 m을 갖는 상호작용하지 않는 n개의 실수 스칼라장을 생각해보자. 이 계는 각 스칼라장의 작용의 합인 작용으로 기술된다.

:

\mathcal{S} = \int \, \mathrm{d}^4 x \sum_{i=1}^n \left[ \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi_i \partial^\mu \varphi_i - \frac{1}{2}m^2 \varphi_i^2 \right]\ .

라그랑지안 밀도는 장의 벡터

:

\ \Phi = ( \varphi_1, \varphi_2,\ldots, \varphi_n)^T

를 도입하여

:

\ \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \Phi)^T \partial^\mu \Phi - \frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi

로 간결하게 쓸 수 있다.

\partial_\mu

는 4차원 중 각 차원에서

\Phi

의 편미분에 대한 아인슈타인 표기법을 사용하고 있다. ''G''가 ''n''차 직교군 O(n)에 속하는 ''상수'' 행렬일 때, 변환

:

\ \Phi \mapsto \Phi' = G \Phi

아래에서 라그랑지안이 불변함이 명백해진다.

\Phi

의 미분은

\Phi

자신으로 변환되고, 두 양 모두 라그랑지안 내에서 점곱으로 나타나기 때문에(직교 변환은 점곱을 보존한다) 라그랑지안이 보존된다.

:

\ (\partial_\mu \Phi) \mapsto (\partial_\mu \Phi)' = G \partial_\mu \Phi

이 식은 특별한 라그랑지안의 '''대역적 대칭성'''을 특징짓고, 대칭군은 '''게이지군'''이라고 불린다. 수학 용어로는, '''구조군'''이며, 특히 G-구조의 이론이라고 불린다. 네이터 정리에 의해 이 변환군의 불변성은 '''전류'''

:

\ J^{a}_{\mu} = i\partial_\mu \Phi^T T^{a} \Phi

의 보존을 이끈다. 여기서 행렬 T^a는 군 SO(n)의 생성원이다.

이제, 이 라그랑지안이 '''국소적으로''' O(n)-불변임을 요구하면, 행렬 G는 시공간의 좌표 x의 함수가 되어야 한다.

하지만, G = G(x) (G가 x의 함수)일 때, 행렬 G는 미분을 "통과"하지 않는다 (행렬과 편미분이 비가환이 된다).

:

\ \partial_\mu (G \Phi) \neq G (\partial_\mu \Phi)\ .

G와 미분이 가환하지 않다는 것은 곱의 법칙을 지키기 위해 추가 항을 도입하게 되고, 라그랑지안의 불변성을 깨뜨린다. 이를 수정하기 위해 새로운 미분 연산자를

\Phi

가 다시

\Phi

와 동일하게 인식될 수 있도록

:

\ (D_\mu \Phi)' = G D_\mu \Phi

으로 정의한다.

이 새로운 "미분"을 게이지 공변 미분이라고 부르며,

:

\ D_\mu = \partial_\mu + i g A_\mu

라는 형태를 취한다.

여기서 g는 상호작용의 세기를 정의하는 양이며, 결합 상수로 부른다. '''게이지장''' A(x)는 다음과 같이 변환해야 한다.

:

\ A'_\mu = G A_\mu G^{-1} + \frac{i}{g} (\partial_\mu G)G^{-1}\ .

게이지장은 리 대수의 원소이며,

:

\ A_{\mu} =  \sum_a A_{\mu}^a T^a

으로 확장할 수 있다.

따라서, 리 대수의 생성원과 같은 게이지장이 있다.

결국, '''국소 게이지 불변''' 라그랑지안

:

\ \mathcal{L}_\mathrm{loc} = \frac{1}{2} (D_\mu \Phi)^T D^\mu \Phi -\frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi

을 얻게 되었다.

파울리는

\Phi

로서 장의 이론에 적용된 게이지 이론을 '''제1종 게이지 변환'''이라고 불렀고, 한편

A

안에서 보상되는 변환을 '''제2종 게이지 변환'''이라고 불렀다.

게이지 보존을 통해 상호작용하는 스칼라 보존의 파인만 도표

이 라그랑지안과 원래 '''대역 게이지 불변''' 라그랑지안과의 차이는 '''상호작용 라그랑지안'''

:

\ \mathcal{L}_\mathrm{int} = i\frac{g}{2} \Phi^T A_{\mu}^T \partial^\mu \Phi + i\frac{g}{2}  (\partial_\mu \Phi)^T A^{\mu} \Phi - \frac{g^2}{2} (A_\mu \Phi)^T A^\mu \Phi

이다.

이 항은 국소 게이지 불변성의 요구의 결과로 n개의 스칼라장 사이의 상호작용을 도입하게 된다. 고전장론을 얻는 것과 같은 양자화 버전에서는, 게이지장 A(x)의 양자는 게이지 보존이라고 불린다. 양자장론의 상호작용 라그랑지안의 해석은, 이러한 게이지 보존의 교환에 의해 상호작용하는 스칼라 보존이다.

4. 3. 양자장론

게이지 이론은 양자장론의 중요한 구성 요소이며, 양자 전기역학(QED), 표준 모형 등 기본 입자 물리학을 포함한다.^[17] 최소 작용의 원리에 따라 게이지 공변 작용 적분을 사용하지만, 게이지 변환으로 표현되는 과도한 자유도를 처리하는 방식에서 연속체 이론과 큰 차이를 보인다.

대부분의 교육적 설명에서는 게이지 고정 처방을 사용하여 주어진 물리적 상황을 더 작은 궤도로 축소하지만, 비가환 게이지 군을 포함하는 더 정교한 양자장론에서는 파데예프-포포프 유령 장과 이상 현상 제거를 통해 BRST 양자화 방식으로 게이지 대칭성을 다룬다. 이러한 문제는 측정의 본질, 물리적 상황에 대한 지식의 한계, 불완전하게 지정된 실험 조건과 불완전하게 이해된 물리 이론 간의 상호 작용과 밀접하게 관련되어 있다. 게이지 이론을 다루기 위해 개발된 수학적 기술은 고체 물리학, 결정학, 저차원 위상수학 등 다양한 분야에 응용된다.

양자화된 최초의 게이지 이론은 양자 전기역학(QED)이었다. 이를 위해 개발된 최초의 방법은 게이지 고정을 수행한 다음 정준 양자화를 적용하는 것이었다. 이 문제를 처리하기 위해 굽타-블루러 방법도 개발되었다. 비가환 게이지 이론은 현재 다양한 방법으로 처리된다. 양자화 방법은 양자화 문서에서 다루어진다.

양자화의 주요 목적은 이론에서 허용되는 다양한 과정에 대한 양자 진폭을 계산하는 것이다. 기술적으로, 이는 진공 상태에서 특정 상관 함수를 계산하는 것으로 축소된다. 이는 이론의 재규격화를 포함한다.

이론의 러닝 커플링이 충분히 작으면 필요한 모든 양을 섭동 이론으로 계산할 수 있다. 이러한 계산을 단순화하기 위한 양자화 방식 (예: 정준 양자화)을 '''섭동 양자화 방식'''이라고 부를 수 있다. 현재 이러한 방법 중 일부는 게이지 이론에 대한 가장 정확한 실험적 검증으로 이어진다.

그러나 대부분의 게이지 이론에는 비섭동적인 흥미로운 질문이 많이 있다. 이러한 문제에 적합한 양자화 방식 (예: 격자 게이지 이론)을 '''비섭동 양자화 방식'''이라고 부를 수 있다. 이러한 방식에서 정확한 계산을 하려면 종종 슈퍼컴퓨팅이 필요하며, 현재 다른 방식보다 덜 발달되어 있다.

고전 이론의 일부 대칭성은 양자 이론에서는 유지되지 않는 것으로 나타나며, 이는 '''이상 현상'''이라고 불리는 현상이다. 가장 잘 알려진 이상 현상 중 일부는 다음과 같다.

규모 이상, 이는 ''달리는 결합 상수''를 발생시킨다. 양자 전기역학(QED)에서 이는 란다우 극점 현상을 발생시킨다. 양자 색역학(QCD)에서 이는 점근적 자유로 이어진다.
페르미온이 있는 손지기장 또는 벡터장 이론의 손지기 이상. 이는 인스턴톤의 개념을 통해 위상 수학과 밀접한 관련이 있다. 양자 색역학(QCD)에서 이 이상은 파이온이 두 개의 광자로 붕괴되는 원인이 된다.
게이지 이상, 이는 모든 일관된 물리 이론에서 상쇄되어야 한다. 전약력 이론에서 이 상쇄는 동일한 수의 쿼크와 렙톤을 필요로 한다.

5. 한계와 확장

표준 모형은 중력을 설명하지 못하며, 암흑 물질과 암흑 에너지와 같은 현상을 설명하는 데 어려움이 있다. 대통일 이론, 초대칭 이론, 끈 이론 등 표준 모형을 확장하려는 다양한 시도가 이루어지고 있으며, 이러한 이론들은 게이지 이론의 개념을 더욱 확장하고 있다.

참조

_[1] 논문 Which Symmetry? Noether, Weyl, and Conservation of Electric Charge https://citeseerx.is[...] 2002-03
_[2] 논문 Historical roots of gauge invariance https://link.aps.org[...] 2001-09-14
_[3] 논문 Gauge theory: Historical origins and some modern developments https://link.aps.org[...] 2000-01-01
_[4] 논문 Relativistic Field Theories of Elementary Particles http://prola.aps.org[...]
_[5] 서적 The quantum story: a history in 40 moments Oxford Univ. Press 2013
_[6] 논문 Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance
_[7] 논문 Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds
_[8] 논문 Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory
_[8] 논문 Erratum
_[9] 논문 Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD
_[10] 논문 Historical roots of gauge invariance
_[11] 서적 Constructing Quarks University of Chicago Press
_[12] 서적 Advanced Quantum Mechanics Addison-Wesley
_[13] 논문 Relativistic Field Theories of Elementary Particles http://prola.aps.org[...]
_[14] 논문
_[15] 서적 Constructing Quarks University of Chicago Press
_[16] 문서 ヤンとミルズが強い力のゲージ理論を見つけたころ、数学でもほぼ同時にファイバーバンドルの理論が整備された。これはゲージ場の理論と数学的に等価であることが徐々に認識され、その後の数学と物理の交流の元となった。
_[17] 서적 Advanced Quantum Mechanics
_[18] 서적 Quantum Field Theory: A Modern Introduction Oxford University Press
_[19] 서적 Gravitation W. H. Freeman 1973-09-15
_[20] 논문 Topological gauge theories and group cohomology https://archive.org/[...]
_[21] 논문 Chern–Simons theory with Finite Gauge Group

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