로슈미트 상수

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1. 개요
2. 현대적 결정
- 2.1. 계산 공식
3. 최초의 결정
- 3.1. 로슈미트의 접근 방법
- 3.2. 한계와 의의
참조

1. 개요

로슈미트 상수는 단위 부피당 입자 수를 나타내는 물리 상수이다. CODATA에서 권장하는 값은 아보가드로 상수와 이상 기체의 몰 부피, 또는 볼츠만 상수로부터 계산된다. 로슈미트 상수는 2019년 SI 단위 개정 이후 정확한 온도와 압력에 대해 정확하게 정의된다. 로슈미트는 이 상수의 값을 직접 계산하지는 않았지만, 그의 연구를 통해 기체 분자의 크기에 대한 통찰력을 제공했다.

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로슈미트 상수
일반 정보
이름	로슈미트 상수
영어 이름	Loschmidt constant
기호	}}
불확실성	(오차 정보 없음)
어원	요한 요제프 로슈미트
정의
설명	이상 기체의 특정 부피 내 입자 수
조건	온도: "" 압력: "" 기체의 양: ""
관계식
관계	\|V}} }}
아보가드로 상수	}}}}
몰 부피	mol}}}}
기타 정보
NIST 참조 값	NIST 자료 참조
참고 문헌	J. Loschmidt, Zur Grösse der Luftmoleküle, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien, 52, 395–413 (1865)
추가 정보	추가 정보 (ArXiv 자료)

2. 현대적 결정

물리 상수에 대한 권장 값인 CODATA 세트에서 로슈미트 상수는 기체 상수와 아보가드로 상수로부터 계산된다. 압력과 온도는 자유롭게 선택할 수 있는데, 로슈미트 상수 값으로 인용해야 한다. 현재 알려진 로슈미트 상수의 정밀도는 전적으로 기체 상수 값의 불확실성에 의해 제한된다.^[3] 로슈미트 상수는 2019년 SI 단위 개정 이후 특정 온도와 압력에 대해 정확하게 정의된다.

2. 1. 계산 공식

로슈미트 상수는 다음 공식을 통해 계산된다.^[3]

:

n_0 = \frac{N_{\rm A}}{R}\frac{p_0}{T_0} = \frac{A_{\rm r}({\rm e})M_{\rm u}c\alpha^2}{2R_{\infty}hR}\frac{p_0}{T_0}

여기서 ''A_r'' (e)는 전자의 상대 원자 질량, ''M''_u 는 몰 질량 상수, ''c''는 빛의 속도, ''α''는 미세 구조 상수, ''R_∞''는 뤼드베리 상수, ''h''는 플랑크 상수이다. ''p''₀는 표준 압력, ''T''₀는 표준 온도이다.

또한 로슈미트 상수는 아보가드로 상수와 이상 기체의 몰 부피, 또는 볼츠만 상수를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.^[3]

:

n_0 := \frac{N_{\rm A}}{V_\text{m}} =\frac{p_0}{k_\text{B} T_0},

여기서 ''V''_m은 지정된 온도와 압력에서 이상 기체의 몰 부피이다.

3. 최초의 결정

로슈미트는 현재 그의 이름이 붙어 있는 상수 값을 실제로 계산하지 않았지만, 그가 발표한 결과 등을 바탕으로 로슈미트 상수를 유도할 수 있었다. 제임스 클러크 맥스웰은 8년 후 공개 강연에서 로슈미트의 연구를 다음과 같이 설명했다.^[10]

로슈미트는 동역학 이론으로부터 다음과 같은 놀라운 비례식을 도출했다. 즉, 기체의 부피가 그 안에 포함된 모든 분자의 총 부피와 같듯이 분자의 평균 경로는 분자 직경의 1/8이다.

로슈미트는 맥스웰의 평균자유행로 정의에서 시작했지만, 그가 사용한 초기 정의는 현재 사용되는 정의와 차이가 있었다. 그는 공기 분자의 평균 직경을 추정하는 과정에서 응축 계수와 평균 자유 경로의 불확실성 때문에 어려움을 겪었다. 라울 피케와 루이 폴 카예테가 처음으로 질소를 액화하기까지는 12년이 더 걸렸다. 이러한 어려움에도 불구하고 로슈미트는 약 1나노미터 직경의 값을 얻었는데, 이는 실제 값과 비슷한 수준이다. 로슈미트가 추정한 공기에 대한 로슈미트 상수는 이었다. 8년 후, 맥스웰은 cm³ 당 "약 1900경" 즉, 의 값을 언급했다.^[10]

3. 1. 로슈미트의 접근 방법

로슈미트는 제임스 클러크 맥스웰의 평균 자유 경로 정의에서 시작했다.^[10]

:

\ell = \frac{3}{4n_0\pi d^2}

여기서 ''n''₀는 로슈미트 상수와 같이 단위 부피당 분자의 수이며, ''d''는 분자의 유효 직경이다(구형이라고 가정). 이 식을 정리하면 다음과 같다.

:

\frac{1}{n_0} = \frac{16}{3}\frac{\pi\ell d^2}{4}

여기서 1/''n''₀은 기체 상태의 각 분자가 차지하는 부피이고, ''π''ℓ''d''²/4는 두 충돌 사이의 궤적에서 분자가 만드는 실린더의 부피이다. 각 분자의 실제 부피는 ''πd''³/6으로 주어지므로, ''n''₀''πd''³/6은 분자 사이의 빈 공간을 제외한 모든 분자가 차지하는 부피이다. 로슈미트는 이 부피를 액화 가스의 부피와 동일시했다. 방정식의 양변을 ''n''₀''πd''³/6으로 나누면 ''V''_liquid/''V''_gas의 인수를 도입하는 효과가 있는데, 로슈미트는 이 비값을 "응축 계수"라고 불렀고 실험적으로 측정할 수 있다. 이때 위 방정식은 다음의 식으로 간략하게 나타낼 수 있다.

:

d = 8\frac{V_{\rm l}}{V_{\rm g}}\ell

이 식은 기체 분자의 직경과 측정 가능한 현상을 관련짓는다.

로슈미트는 이 식을 이용하여 공기 분자의 평균 직경을 추정했다. 하지만 응축 계수를 정확히 알 수 없었고, 평균 자유 경로도 불확실했기 때문에 추정치를 사용해야 했다. 라울 피케와 루이 폴 카예테가 처음으로 질소를 액화하기까지는 12년이 더 걸렸다. 로슈미트는 이러한 어려움에도 불구하고 약 1나노미터 직경의 값을 얻었는데, 이는 실제 값과 비슷한 수준이다.^[10]

3. 2. 한계와 의의

로슈미트는 로슈미트 상수 값을 직접 계산하지는 않았지만, 그의 연구 결과 등을 바탕으로 이 값을 도출할 수 있었다. 당시에는 응축 계수와 평균 자유 경로가 불확실하여 정확한 값을 얻기 어려웠다. 로슈미트는 공기 분자의 평균 직경을 약 1나노미터로 추정했는데, 이는 실제 값과 거의 유사한 차수의 값이다.^[10]

로슈미트의 연구는 기체 분자의 크기와 관련된 중요한 통찰력을 제공했으며, 기체 운동론 발전에 기여했다. 제임스 클러크 맥스웰은 로슈미트의 연구를 "놀라운 비 값"이라고 평가하며, 기체 부피와 분자 총 부피의 비율, 그리고 분자 평균 경로와 직경의 관계를 밝혀냈다고 설명했다.^[10]

참조

_[1] 간행물 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants:2018 http://physics.nist.[...] Nist
_[2] 논문 Zur Grösse der Luftmoleküle https://books.google[...]
_[3] 웹사이트 CODATA Value: Loschmidt constant https://physics.nist[...] NIST 2024-04-04
_[4] 논문 Molecules http://web.lemoyne.e[...]
_[5] 문서 CODATA Value
_[6] 문서 CODATA Value
_[7] 문서 CODATA Value
_[8] 간행물 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants:2014 http://physics.nist.[...] Nist
_[9] 저널 Zur Grösse der Luftmoleküle https://books.google[...]
_[10] 저널 Molecules http://web.lemoyne.e[...]

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