플랑크 상수

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1. 개요

플랑크 상수는 양자론에서 중요한 역할을 하는 물리 상수이며, 흑체 복사 문제 해결을 위해 막스 플랑크에 의해 처음 도입되었다. 플랑크 상수는 에너지와 주파수의 관계를 나타내는 비례상수이며, 광전 효과, 원자 구조, 불확정성 원리 등 양자역학의 다양한 현상에 나타난다. 2019년 SI 단위계 재정의를 통해 킬로그램을 정의하는 데 사용되는 정의 상수가 되었으며, 기호 h로 표기된다. 환산 플랑크 상수는 ħ로 표기하며 궤도 각운동량과 스핀 각운동량의 양자화와 관련이 있다.

플랑크 상수

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 플랑크 상수의 기원
- 2.2. 플랑크 상수의 발전과 응용
3. 상수 개정
4. 이론
5. 킬로그램의 정의
6. 기호

2. 역사

19세기 말, 고전물리학은 뉴턴 역학에서 시작하여 전자기학까지 확장되었지만, 흑체 복사 문제에 직면했다. 고전물리학은 긴 파장에서는 흑체 복사 실험 결과와 일치했지만, 짧은 파장에서는 실험 결과와 맞지 않아 '자외선 파탄'이라는 문제가 발생했다.

막스 플랑크는 이 문제를 해결하기 위해 '에너지는 주파수에 비례한다'는 혁명적인 가정을 도입했다. 즉, 에너지가 양자화되어 있다는 것이다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가 바로 플랑크 상수( $\hbar$ )이다. 플랑크는 이 가정을 통해 흑체 복사 공식을 유도했고, 이는 실험 결과와 잘 일치했다. 하지만 플랑크 자신은 이 식에 큰 의미를 부여하기보다는 실험 결과와 일치시키기 위한 어쩔 수 없는 도입으로 여겼다.

플랑크의 가정은 처음에는 단순한 수학적 기교로 여겨졌으나, 알베르트 아인슈타인의 광전 효과 연구와 레일리 경 등의 연구를 통해, 고전 전자기학으로는 설명할 수 없는 현상들을 설명하는 데 필수적이라는 것이 밝혀졌다.

2.1. 플랑크 상수의 기원

베를린 훔볼트 대학교 명판: "1889년부터 1928년까지 이 건물에서 작용 양자 h를 발견한 막스 플랑크가 강의했습니다."

흑체에서 방출되는 빛의 세기. 각 곡선은 서로 다른 온도의 물체에서의 거동을 나타냅니다. 플랑크 상수 h는 이러한 곡선의 형태를 설명하는 데 사용됩니다.

관측된 플랑크 곡선(다양한 온도)과 5000 K에서 관측된 플랑크 곡선으로부터 이론적인 레일리-진스(검정색) 곡선의 발산.

19세기 말, 고전물리학은 흑체 복사 문제를 해결하는 데 어려움을 겪었다. 고전물리학은 긴 파장에서는 흑체 복사 실험 결과와 잘 일치했지만, 짧은 파장에서는 실험 결과와 맞지 않았다. 이 문제는 막스 플랑크가 '에너지는 주파수에 비례한다'는 혁명적인 가정을 통해 해결했다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가 바로 플랑크 상수(

\hbar

)이다.

플랑크는 밀폐된 용광로(흑체 복사)에서 방출되는 열복사의 스펙트럼 분포를 정확하게 예측하는 수학적 표현(플랑크 법칙)을 만들기 위해 노력했다. 19세기 말, 막스 플랑크는 40년 전 구스타프 키르히호프가 처음 제기한 흑체 복사 문제를 연구하고 있었다. 당시에는 빈의 법칙이 짧은 파장과 높은 온도에 대한 데이터에는 맞았지만 긴 파장에는 맞지 않았다.

플랑크는 이 문제를 해결하기 위해 빛의 운동 방정식이 각 가능한 주파수에 대해 하나씩 고유한 조화 진동자 집합을 설명한다고 가정했다. 그는 진동자의 엔트로피 변화를 조사하여 빈의 법칙과 일치시키려고 노력했고, 흑체 스펙트럼에 대한 근사적인 수학 함수를 유도할 수 있었다.

플랑크는 빈의 법칙(짧은 파장에 대해)과 경험적 공식(긴 파장에 대해)을 재현할 수 있는 수학적 표현을 찾으려고 노력했다. 이 표현에는 Hilfsgröße^독일어(보조량)을 위해 고안된 상수 h가 포함되었으며, 이후 플랑크 상수로 알려지게 되었다. 플랑크가 공식화한 표현은 절대 온도 에서 주파수 에 대한 물체의 단위 주파수당 스펙트럼 복사도가 다음과 같이 주어짐을 보여준다.

B_\nu(\nu, T) d\nu= \frac{ 2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h\nu}{k_\mathrm B T} - 1}d\nu ,

여기서

k_\text{B}

는 볼츠만 상수,

h

는 플랑크 상수,

c

는 빛의 속도이다.

플랑크는 자신의 해가 유일하지 않다는 것을 깨달았다. 그는 자신의 이론을 구하기 위해 통계 역학 이론을 사용했는데, 그는 이를 "절망적인 행위"라고 묘사했다. 그는 진동자의 에너지가 양자화되어 있다는 새로운 조건을 도입했다.

이 새로운 접근 방식을 빈의 변위 법칙에 적용하면 "에너지 요소"가 진동자의 주파수에 비례해야 함을 보여주었고, 이는 "플랑크-아인슈타인 관계"의 최초 버전이다.

E = hf.

플랑크는 흑체 복사에 대한 실험 데이터를 통해 h의 값을 계산할 수 있었는데, 그의 결과()는 현재 정의된 값의 1.2% 이내이다. 그는 또한 동일한 데이터와 이론에서 볼츠만 상수

k_\text{B}

를 최초로 결정했다.

광자가 가진 에너지(에너지 양자) ε는 진동수 ν에 비례하며, 그 비례상수가 플랑크 상수로 정의된다.

:

\varepsilon=h\nu

빛의 에너지 E는 광자가 가진 에너지의 배수 값만을 가질 수 있다.

:

E=nh\nu

1896년에 빌헬름 빈이 흑체 복사에서 에너지 분포에 관한 빈의 변위 법칙을 제안했다. 이 식은 고주파수 영역에서는 측정값을 잘 설명했지만, 저주파수 영역에서는 맞지 않았다. 1900년에 플랑크는 플랑크의 법칙을 제안했다. 레일리 경은 고전적인 에너지 등분배 법칙에서 저주파수 극한에서의 근사식 형태를 제안했고, 1905년에 제임스 진스가 그 계수를 정확하게 제시했다. 레일리-진스 법칙은 플랑크의 이론식에서 유도되는 저주파수 극한의 형태와 계수를 포함하여 일치했다.

플랑크는 그의 공식의 이론적인 설명을 제공하는 과정에서 진동수 의 빛 에너지 전달은 크기 를 단위로만 일어날 수 있다는 가정을 했다. 이 가 나중에 플랑크 상수라고 불리게 된 보편 상수이다. 실험 결과와 그의 이론식을 비교하여 플랑크는,
: =
라고 정했다.

2.2. 플랑크 상수의 발전과 응용

19세기 후반, 고전물리학은 흑체 복사와 관련된 문제에 직면했다. 고전물리학으로는 흑체 복사의 실험 결과를 정확하게 예측할 수 없었는데, 특히 짧은 파장에서 큰 차이를 보였다. 이는 '자외선 파탄'이라고 불리는 문제로 이어졌다.

막스 플랑크는 이 문제를 해결하기 위해 '에너지는 주파수에 비례한다'는 혁명적인 가정을 도입했다. 즉, 에너지가 양자화되어 있다는 것이다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가 바로 플랑크 상수( $\hbar$ )이다. 플랑크는 이 가정을 통해 흑체 복사 공식을 유도했고, 이는 실험 결과와 잘 일치했다. 하지만 플랑크 자신은 이 식에 큰 의미를 부여하기보다는 실험 결과와 일치시키기 위한 어쩔 수 없는 도입으로 여겼다.

플랑크의 가정은 처음에는 단순한 수학적 기교로 여겨졌으나, 알베르트 아인슈타인의 광전 효과 연구와 레일리 경, 제임스 진스 등의 연구를 통해, 고전 전자기학으로는 설명할 수 없는 현상들을 설명하는 데 필수적이라는 것이 밝혀졌다. 1911년 첫 번째 솔베이 회의는 "복사와 양자의 이론"에 전념했다.

광자가 가진 에너지( $\varepsilon$ )는 진동수( $\nu$ )에 비례하며, 그 비례상수가 플랑크 상수( $h$ )이다.

: $\varepsilon=h\nu$

빛의 에너지( $E$ )는 광자가 가진 에너지의 배수 값만을 가질 수 있다.

: $E=nh\nu$

플랑크 상수의 값은 다음과 같다.(2018년 CODATA 권장값)

: $\begin{align}h&=6.626\,070\,15\times 10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\\&=4.135\,667\,696...\times 10^{-15}\,\mathrm{eV\,s}\end{align}$

원주율 ( $\pi$ )의 2배로 나눈 값은 "환산 플랑크 상수" 또는 "디랙 상수"라고 불린다.

디랙 상수의 값은 다음과 같다.(2018년 CODATA 권장값)

: $\begin{align}\hbar&=1.054\,571\,817...\times 10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\\&=6.582\,119\,569\times 10^{-16}\,\mathrm{eV\,s}\end{align}$

1896년 빌헬름 빈은 빈의 변위 법칙을 제안했지만, 저주파수 영역에서는 실험 결과와 맞지 않았다. 1900년 플랑크는 플랑크의 법칙을 제안하여 이 문제를 해결했다. 레일리 경과 제임스 진스는 레일리-진스 법칙을 제안했는데, 이는 플랑크의 법칙의 저주파수 극한과 일치했다.

플랑크는 그의 공식의 이론적인 설명을 제공하는 과정에서 진동수의 빛 에너지 전달은 크기를 단위로만 일어날 수 있다는 가정을 했다. 이가 나중에 플랑크 상수라고 불리게 된 보편 상수이다. 플랑크는 실험 결과와 이론식을 비교하여 로 값을 정했다.

로버트 밀리컨은 1916년 실험을 통해 플랑크 상수의 값을 로 보고했는데, 이는 플랑크가 흑체 복사로부터 얻은 값과 잘 일치했다.

2.2.1. 광전 효과

알베르트 아인슈타인은 막스 플랑크의 흑체 복사 연구에 영향을 받아, 1905년 빛이 입자와 같은 성질을 가진다는 광양자 가설을 제창하고 광전 효과를 설명하였다. 광전 효과는 빛이 표면에 비칠 때 표면에서 전자(광전자)가 방출되는 현상이다. 1839년 알렉상드르 에드몽 베크렐이 처음 관찰하였고, 1887년 하인리히 헤르츠가 최초로 철저한 조사 결과를 발표했다.

아인슈타인은 빛 자체가 양자화되어, 에너지가 작은 "묶음" 또는 양자(광자)로만 전달된다고 보았다. 이 광자의 에너지는 플랑크의 "에너지 요소"와 같이, 현대적인 플랑크-아인슈타인 관계식으로 주어진다.

$E = hf .$

여기서 $h$ 는 플랑크 상수, $f$ 는 빛의 진동수이다.

광전 효과에서 방출되는 광전자의 운동 에너지는 빛의 세기와는 무관하고, 진동수에 따라 선형적으로 변한다. 광원의 세기가 증가하면 더 많은 수의 광전자가 방출되지만, 각 광전자의 운동 에너지는 동일하다.

아인슈타인의 가설은 이후 실험으로 증명되었다. 입사광의 진동수와 광전자의 운동 에너지 사이의 비례 상수는 플랑크 상수와 같다는 것이 밝혀졌다. 로버트 앤드루스 밀리컨은 10년에 걸친 실험을 통해 아인슈타인의 식을 검증하고, 1916년 플랑크 상수의 값을 로 보고했다. 이는 플랑크가 흑체 복사로부터 얻은 값과 잘 일치하는 결과였다.

2.2.2. 원자 구조

막스 플랑크는 흑체 복사 문제를 해결하기 위해 '에너지는 주파수에 비례한다'는 가정을 도입했다. 즉, 에너지가 양자화되어 있다는 것이다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가 $\hbar$ (플랑크 상수)이다. 플랑크는 이 가정을 통해 흑체 복사 공식을 유도했고, 이는 실험 결과와 잘 일치했다.

베를린 훔볼트 대학교의 명판: "1889년부터 1928년까지 이 건물에서 작용 양자 h를 발견한 막스 플랑크가 강의했습니다."

플랑크는 흑체 복사 스펙트럼을 설명하기 위해 다음과 같은 공식을 제시했다.

B_\nu(\nu, T) d\nu= \frac{ 2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h\nu}{k_\mathrm B T} - 1}d\nu ,

여기서

k_\text{B}

는 볼츠만 상수,

h

는 플랑크 상수,

c

는 빛의 속도이다.

플랑크는 에너지 양자화 개념을 도입하여 "에너지 요소"가 진동자의 주파수에 비례해야 함을 보였고, 이는 "플랑크-아인슈타인 관계"의 최초 버전이다.

E = hf.

플랑크는 실험 데이터를 통해 h의 값을 6.55 × 10^-34 J⋅s로 계산했으며, 이는 현재 정의된 값의 1.2% 이내이다.

알베르트 아인슈타인 등은 고전 전자기학이 흑체 복사의 관측된 스펙트럼을 설명할 수 없음을 증명했다. ( 자외선 파탄 ).

1913년 닐스 보어는 보어 모형을 통해 수소 원자의 스펙트럼을 설명하고, 리드베리 공식을 다른 기본 상수들로 표현했다. 보어는 전자의 각운동량이

\frac{h}{2\pi}

( 환산 플랑크 상수)의 정수배라는 조건을 도입했다.

2.2.3. 불확정성 원리

플랑크 상수는 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리에서도 나타난다. 동일한 상태로 준비된 다수의 입자의 경우, 위치의 불확정성 Δx와 운동량의 불확정성 Δp_x는 다음을 만족한다.

: $\Delta x\, \Delta p_{x} \ge \frac{\hbar}{2} ,$

여기서 불확정성은 측정값의 표준편차로 주어지며, 기댓값으로부터 계산된다. 이와 유사한 규칙을 따르는 물리적으로 측정 가능한 다른 여러 쌍의 켤레 변수가 있다. 그 예로 시간과 에너지가 있다. 두 켤레 변수의 불확정성 사이의 역 관계는 양자 실험에서 상호 작용을 유발한다. 즉, 하나의 양을 더 정확하게 측정하면 다른 양은 부정확해진다.

양자 역학적 공식에서 특정 값의 해석을 뒷받침하는 몇 가지 가정 외에도, 이론 전체의 근본적인 토대 중 하나는 위치 연산자 $\hat{x}$ 와 운동량 연산자 $\hat{p}$ 사이의 교환자 관계에 있다.

: $[\hat{p}_i, \hat{x}_j] = -i \hbar \delta_{ij} ,$

여기서 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타이다.

플랑크 상수는 양자론적 불확정성 원리와 관련된 상수이며, 양자역학이 고전역학과 일치하는 등, 양자론을 특징짓는 상수이다.

궤도각운동량과 스핀은 항상 환산 플랑크 상수의 정수배 또는 반정수배이다. 예를 들어, 전자의 스핀은 ħ^영어 이다.

3. 상수 개정

역사적으로, CODATA 플랑크 상수 권장값은 지수부를 제외하고 다음과 같다. CODATA 권장값은 새로운 측정 결과를 반영하여 몇 년마다 개정된다.

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연도	값
2002년	6.626 069 3(11)
2006년	6.626 068 96(33)
2010년	6.626 069 57(29)
2014년	6.626 070 040(81)
2018년	6.626 070 15 (정의)

위 값들은 2019년 SI 단위계 개정에서 고정값으로 채택되었다.

2019년 이후로 플랑크 상수의 수치는 유한소수로 고정되었다. 이 고정된 값은 SI 질량 단위인 킬로그램을 정의하는 데 사용된다. "킬로그램은 [...] J⋅s 단위로 표현했을 때 플랑크 상수 h의 고정된 수치값을 6.62607015×10⁻³⁴로 정의함으로써 정의됩니다. 이는 kg⋅m²⋅s⁻¹과 같으며, 여기서 미터와 초는 빛의 속도 c와 교란되지 않은 세슘-133 원자의 바닥 상태의 초미세 전이 지속 시간 Δν_Cs를 이용하여 정의됩니다." 킬로그램의 값을 정밀하게 측정하는 질량 측정학 기술(예: 키블 저울)은 플랑크 상수의 고정된 값을 적용하여 개선된다.

4. 이론

막스 플랑크는 밀폐된 용광로(흑체 복사)에서 방출되는 열복사의 관측된 스펙트럼 분포를 정확하게 예측하는 수학적 표현을 만들기 위해 노력했고, 그 결과 플랑크 상수를 공식화했다. 이 수학적 표현은 현재 플랑크 법칙으로 알려져 있다.

19세기 말, 막스 플랑크는 40년 전 구스타프 키르히호프가 처음 제기한 흑체 복사 문제를 연구하고 있었다. 모든 물체는 자발적이고 지속적으로 전자기 복사를 방출한다. 하지만 관측된 방출 스펙트럼의 전체적인 형태에 대한 표현이나 설명은 없었다. 당시에는 빈의 법칙이 짧은 파장과 높은 온도에 대한 데이터에 맞았지만 긴 파장에는 맞지 않았다. 한편, 플랑크에게는 알려지지 않았지만 레일리 경은 레일리-진스 법칙으로 알려진 공식을 이론적으로 유도했는데, 이 공식은 긴 파장을 합리적으로 예측할 수 있었지만 짧은 파장에서는 심각하게 실패했다.

이 문제에 접근하면서 플랑크는 빛의 운동 방정식이 각 가능한 주파수에 대해 하나씩 고유한 조화 진동자 집합을 설명한다고 가정했다. 그는 진동자의 엔트로피가 물체의 온도에 따라 어떻게 변하는지 조사하여 빈의 법칙과 일치시키려고 노력했고, 흑체 스펙트럼에 대한 근사적인 수학 함수를 유도하여 긴 파장에 대한 간단한 경험적 공식을 얻을 수 있었다.

플랑크는 빈의 법칙(짧은 파장에 대해)과 경험적 공식(긴 파장에 대해)을 모두 재현할 수 있는 수학적 표현을 찾으려고 노력했다. 이 과정에서 Hilfsgröße^독일어(보조량)을 위해 고안된 상수 h를 포함시켰으며, 이 상수는 이후 플랑크 상수로 알려지게 되었다. 플랑크가 공식화한 표현은 절대 온도

T

에서 주파수

\nu

에 대한 물체의 단위 주파수당 스펙트럼 복사도가 다음과 같이 주어짐을 보여준다.

B_\nu(\nu, T) d\nu= \frac{ 2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h\nu}{k_\mathrm B T} - 1}d\nu ,

여기서

k_\text{B}

는 볼츠만 상수,

h

는 플랑크 상수,

c

는 물질 또는 진공 여부에 관계없이 매질에서의 빛의 속도이다.

플랑크는 자신의 해가 유일하지 않다는 것을 곧 깨달았다. 진동자의 엔트로피에 대한 서로 다른 값을 제공하는 여러 가지 해가 존재했다. 그는 자신의 이론을 구하기 위해 당시 논란이 되고 있던 통계 역학 이론을 사용했는데, 이를 "절망적인 행위"라고 묘사했다. 그는 다음과 같은 새로운 경계 조건을 제시했다.

플랑크는 이 새로운 조건을 "순전히 형식적인 가정... 실제로 나는 그것에 대해 별로 생각하지 않았습니다"라고 표현했지만, 이는 진동자의 에너지 양자화를 의미했고, 물리학에 혁명을 일으키는 가정이 되었다. 이 접근 방식을 빈의 변위 법칙에 적용하면 "에너지 요소"가 진동자의 주파수에 비례해야 함을 보여주었고, 이는 "플랑크-아인슈타인 관계"의 최초 버전이 되었다.

E = hf.

플랑크는 흑체 복사에 대한 실험 데이터를 통해 h의 값을 계산할 수 있었다. 그의 결과인 는 현재 정의된 값의 1.2% 이내이다. 그는 또한 동일한 데이터와 이론에서 볼츠만 상수

k_\text{B}

를 최초로 결정했다.

고전적 통계역학은

h

의 존재를 필요로 하지만 그 값을 정의하지는 않는다. 플랑크의 발견에 이어, 물리적 작용이 임의의 값을 취할 수 없고, 대신 매우 작은 양, 즉 "[기본] 양자 작용량"(현재 '플랑크 상수'라고 불림)의 정수배로 제한된다는 추측이 제기되었다. 이는 구 양자론의 중요한 개념적 부분이었으며, 닐스 보어, 아놀드 조머펠트, 이시와라 준 등이 개발했다. 구 양자론에서 입자 궤적은 존재하지만 숨겨져 있고, 양자 법칙이 작용에 따라 이를 제약한다고 보았다. 그러나 이 견해는 현대 양자 이론으로 대체되었는데, 현대 양자 이론에서는 운동의 명확한 궤적조차 존재하지 않고, 입자는 공간과 시간에 걸쳐 퍼져 있는 파동 함수로 표현된다. 이와 관련된 에너지 양자화 개념은 구 양자론에도 존재했고 현대 양자 물리학에서도 변형된 형태로 존재한다. 고전 물리는 에너지 양자화를 설명할 수 없다.

플랑크 상수는 양자론적 불확정성 원리와 관련된 상수이며,

h \rarr 0

의 극한에서 양자역학이 고전역학과 일치하는 등, 양자론을 특징짓는 상수이다.

궤도각운동량과 스핀은 항상 환산 플랑크 상수의 정수배 또는 반정수배이다. 예를 들어, 전자의 스핀은

\pm\frac{\hbar}{2}

이다. 양자역학 분야에서는

1=\hbar=1

로 하는 플랑크 단위계나 원자 단위계를 사용하는 경우가 많으며, 그 경우 전자의 스핀은

\pm\frac{1}{2}

가 된다.

플랑크 상수는 위치와 운동량의 곱의 차원을 가지며, 불확정성 원리로부터 위상 공간에서의 면적의 최소 단위라고도 생각되지만, 최근에는 Wojciech H. Zurek(Zurek) 등의 연구에서 양자카오스계에서는 플랑크 상수 이하의 미시 구조가 나타나는 것이 밝혀졌다.

5. 킬로그램의 정의

2019년 이후로 플랑크 상수의 수치는 유한소수로 고정되었습니다. 이 고정된 값은 SI 질량 단위인 킬로그램을 정의하는 데 사용됩니다. "킬로그램은 [...] J⋅s 단위로 표현했을 때 플랑크 상수 의 고정된 수치값을 로 정의함으로써 정의됩니다. 이는 kg⋅m²⋅s⁻¹과 같으며, 여기서 미터와 초는 빛의 속도 와 교란되지 않은 세슘-133 원자의 바닥 상태의 초미세 전이 지속 시간 를 이용하여 정의됩니다." 킬로그램의 값을 정밀하게 측정하는 질량 측정학 기술(예: 키블 저울)은 플랑크 상수의 고정된 값을 적용하여 개선됩니다.

질량의 SI 단위인 킬로그램은 기존 정의에서는 국제 킬로그램 원기(IPK)가 사용되었으나, 플랑크 상수를 이용한 새로운 정의로 개정되어 2019년 5월에 발효되었습니다. 새로운 정의에서 플랑크 상수는 SI를 정의하는 정의 상수로 위치 지어지며, SI 단위에 의한 값은 실험적으로 결정되는 측정값이 아니라 고정된 정의값이 되었습니다. 플랑크 상수 ( )와 함께 값이 고정된 상수인 광속 , 및 세슘 133의 초미세 전이주파수 를 조합함으로써 킬로그램이 유도된다는 구조입니다.

6. 기호

환산 플랑크 상수는 '환산 플랑크 상수', '유리화된 플랑크 상수', '디랙 상수', '디랙 h', '디랙 ħ', 'h-bar' 등 여러 이름으로 알려져 있다. ħ을 "플랑크 상수"라고 부르는 경우도 흔하며, 이때 ħ = h/(2π) 관계식은 유지된다.

가장 많이 사용되는 환산 플랑크 상수 기호는 ħ이다. 하지만 일부 자료에서는 h로 표기하기도 하는데, 이 경우 "디랙 h"라고 부른다.

$h/(2\pi)$ 는 1913년 닐스 보어의 논문에 $M_{0}$ 로 처음 등장했다. 이후 15년간 이 조합은 문헌에 계속 등장했지만, 별도 기호 없이 사용되는 경우가 많았다. 1926년 에르빈 슈뢰딩거와 폴 디랙이 각자 논문에서 이 조합을 위한 특별한 기호를 도입했는데, 슈뢰딩거는 $K$ , 디랙은 $h$ 를 사용했다. 디랙은 1930년까지 $h$ 를 사용하다가, 저서 양자역학의 원리에서 $\hbar$ 기호를 도입했다.

플랑크 상수 기호 는 플랑크의 복사 공식을 설명하는 상수로, 플랑크 자신의 논문에 도입되었다. Hilfsgröße^독일어 (Hilfs^독일어 = 보조, größe^독일어 = 크기, 양)의 머리글자에서 유래했으며, 전용 기호 ℎ (PLANCK CONSTANT, 유니코드 U+210E)가 있다.

디랙 상수 기호는 에 스트로크 기호를 붙인 ħ (H WITH STROKE, LATIN SMALL LETTER, 유니코드 U+0127, JIS X 0213 1-10-93)이다. 양의 기호에 이탤릭체를 사용하는 약속에 따라 전용 기호 ℏ (PLANCK CONSTANT OVER TWO PI, 유니코드 U+210F, JIS X 0213 1-3-61)도 있다. TeX에는 수식 기호 $\hbar$ (\hbar)가 있다. 는 “에이치바” 또는 “크로스트 에이치”라고 발음된다.

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기호	유니코드	JIS X 0213	문자 참조	명칭
ℎ	U+210E	-	ℎ	PLANCK CONSTANT
ℏ	U+210F	1-3-61	ℏ	PLANCK CONSTANT OVER TWO PI