로슈 한계

1. 개요

로슈 한계는 위성이 기조력으로 인해 파괴될 수 있는 주천체와의 최소 거리를 의미한다. 위성의 강성에 따라 로슈 한계는 다르며, 강체 위성의 경우 밀도 차이에 따라 계산된다. 유체 위성의 경우 변형을 고려하여 더 복잡한 공식으로 계산하며, 혜성과 같이 약한 힘으로 뭉쳐진 물체에 적용된다. 태양계의 천체들을 예시로 로슈 한계를 계산할 수 있으며, 조석 분열은 천체가 로슈 한계 안으로 들어가 파괴되는 현상을 말한다.

2. 로슈 한계의 정의 및 결정

로슈 한계는 위성이 모행성의 조석력에 의해 파괴되지 않고 접근할 수 있는 한계 거리이다. 위성이 모행성에 너무 가까이 접근하면, 모행성의 조석력이 위성의 자체 중력보다 강해져 위성을 파괴할 수 있다. 이 거리는 위성의 특성에 따라 달라지는데, 크게 강체 위성과 유체 위성으로 나누어 생각할 수 있다.

* 강체 위성: 위성이 충분히 단단하여 모양이 거의 변하지 않는다고 가정한 경우이다.
* 유체 위성: 위성이 액체나 기체처럼 변형되기 쉬운 물질로 이루어져 조석력에 의해 쉽게 변형된다고 가정한 경우이다.

일반적으로 유체 위성의 로슈 한계가 강체 위성의 로슈 한계보다 더 크다.

2.1. 강체 위성

로슈 한계는 위성이 자신의 형태를 유지하는 요인이 자체 중력뿐이라고 가정할 때, 모행성에 의해 파괴되지 않고 접근할 수 있는 한계 거리를 의미한다. 이 거리는 위성의 강성에 따라 달라진다.

강체 위성의 경우, 조석력에 의해 변형되지 않는다고 가정한다. 실제 위성은 내부 마찰, 점성, 인장력 등으로 인해 완벽한 강체가 아니지만, 이러한 요소를 무시하고 계산을 단순화한다. 강체 위성의 로슈 한계 공식은 다음과 같다.

:$d\; =\; 1.26\backslash ;\; R\_M\backslash left(\; \backslash frac\; \{\backslash rho\_M\}\; \{\backslash rho\_m\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}$

여기서 $R\_M$은 모행성의 반지름, $\backslash rho\_M$은 모행성의 밀도, $\backslash rho\_m$은 위성의 밀도이다.

위성의 밀도가 모행성 밀도의 두 배 이상이면, 로슈 한계는 모행성 내부에 위치하여 위성에 영향을 미치지 못한다. 예를 들어, 암석으로 이루어진 위성이 거대한 가스 행성 주위를 공전하는 경우가 이에 해당한다.

이 공식은 위성의 반지름, 모행성의 질량, 위성의 질량을 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:$d\; =\; 1.26\backslash ;\; R\_m\backslash left(\; \backslash frac\; \{M\_M\}\; \{M\_m\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}$

여기서 $R\_m$은 위성의 반지름, $M\_M$은 모행성의 질량, $M\_m$은 위성의 질량이다.

2.1.1. 강체 위성 공식 유도

로슈 한계를 구하기 위해, 위성 표면에서 주성 쪽을 향하고 있는 질량 $u$인 작은 부분을 생각한다. 이 부분은 위성의 중력과 모행성의 중력, 두 가지 힘을 받는다. 위성은 이미 모행성 주위를 자유낙하하고 있으므로, 기조력은 모행성의 중력에 의해서만 발생한다.

질량이 $m$이고 반지름이 $r$인 위성이 $u$를 당기는 중력 $F\_G$는 뉴턴의 중력 법칙에 따라 다음과 같다.

:$F\_G\; =\; \backslash frac\{Gmu\}\{r^2\}$

반지름이 $R$이고 질량이 $M$인 모행성이 $u$에 미치는 기조력 $F\_T$는 두 천체의 질량중심 사이의 거리를 $d$라고 할 때, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$F\_T\; =\; \backslash frac\{2GMur\}\{d^3\}$

이 식은 모행성의 중력이 위성의 중심을 당기는 힘과 위성에서 $u$를 당기는 힘의 차이를 통해 유도할 수 있다.

:$F\_T\; =\; \backslash frac\{GMu\}\{(d-r)^2\}-\backslash frac\{GMu\}\{d^2\}$
:$F\_T\; =\; GMu\backslash frac\{d^2-(d-r)^2\}\{d^2(d-r)^2\}$
:$F\_T\; =\; GMu\backslash frac\{2dr-r^2\}\{d^4-2d^3r+r^2d^2\}$



:$F\_T\; =\; GMu\backslash frac\{2dr\}\{d^4\}$
:$F\_T\; =\; \backslash frac\{2GMur\}\{d^3\}$

로 나타낼 수 있다.

로슈 한계는 중력과 기조력이 평형을 이루는 거리이므로,

:$F\_G\; =\; F\_T\; \backslash ;$
:$\backslash frac\{Gmu\}\{r^2\}\; =\; \backslash frac\{2GMur\}\{d^3\}$

이다.

따라서 로슈 한계 $d$는

:$d\; =\; r\; \backslash left(\; 2\backslash ;\backslash frac\{M\}\{m\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}$

이다.

하지만, 주성의 반지름을 사용하여 나타내는 것이 편리하므로, 밀도($\backslash rho$)를 이용하여 다시 쓰면,

구의 질량 $M$은

:$M\; =\; \backslash frac\{4\backslash pi\backslash rho\_M\; R^3\}\{3\}$ ($R$은 주성의 반지름)

이고, 마찬가지로

:$m\; =\; \backslash frac\{4\backslash pi\backslash rho\_m\; r^3\}\{3\}$ ($r$은 위성의 반지름)

이다.

이 식들을 로슈 한계 방정식에 대입하면,

:$d\; =\; r\; \backslash left(\; \backslash frac\{\; 2\; \backslash rho\_M\; R^3\; \}\{\; \backslash rho\_m\; r^3\; \}\; \backslash right)^\{1/3\}$

이고, 간단하게 정리하면

:$d\; =\; R\backslash left(\; 2\backslash ;\backslash frac\; \{\backslash rho\_M\}\; \{\backslash rho\_m\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}\; \backslash approx\; 1.26\; R\backslash left(\; \backslash frac\; \{\backslash rho\_M\}\; \{\backslash rho\_m\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}$

를 얻는다.

강체 로슈 한계는 구형 위성이 정수압 평형 상태에 있다고 가정하여 계산을 단순화한 것이다. 이러한 가정은 현실과 다를 수 있지만, 계산을 매우 간편하게 만들어준다.

강체 구형 위성에 대한 로슈 한계는 중심 천체로부터의 거리 $d$로, 천체 표면의 시험 질량에 작용하는 중력이 그 질량을 천체에서 멀어지게 잡아당기는 조석력과 정확히 같을 때의 거리이다.

:$d\; =\; R\_M\backslash left(2\; \backslash frac\; \{\backslash rho\_M\}\; \{\backslash rho\_m\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}$

여기서 $R\_M$은 중심 천체의 반지름, $\backslash rho\_M$은 중심 천체의 밀도, $\backslash rho\_m$은 위성의 밀도이다.

다른 표현으로는,

:$d\; =\; R\_m\backslash left(2\; \backslash frac\; \{M\_M\}\; \{M\_m\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}$

와 같이 쓸 수 있는데, 여기서 $R\_m$은 위성의 반지름, $M\_M$은 중심 천체의 질량, $M\_m$은 위성의 질량이다.

또 다른 표현으로는,

:$d\; =\; 0.7816\; \backslash left(\; \backslash frac\; \{M\_M\}\; \{\backslash rho\_m\}\; \backslash right)^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}$

와 같이 쓸 수 있는데, 이 식은 중심 천체의 질량과 위성의 밀도만을 사용한다.

이 거리 안쪽에서는 위성 표면의 레골리스와 같은 느슨한 물질은 중심 천체 쪽으로 끌려가고, 반대편 물질은 위성에서 멀어지는 방향으로 힘을 받는다.

2.2. 유체 위성

유체 위성은 조석력에 의해 쉽게 변형되는 위성을 말한다. 이러한 유체 위성의 로슈 한계는 복잡한 계산이 필요하며, 정확한 대수적인 공식으로 표현하기는 어렵다. 일반적으로 다음과 같은 근사식을 사용한다.

:$d\; \backslash approx\; 2.44R\backslash left(\; \backslash frac\; \{\backslash rho\_M\}\; \{\backslash rho\_m\}\; \backslash right)^\{1/3\}$

여기서 R은 주성의 반지름, ρ_M은 주성의 밀도, ρ_m은 위성의 밀도를 나타낸다.

하지만 이 식은 주성의 편평도나 위성의 질량을 고려하지 않은 근사식이다. 좀 더 정확한 근사식은 다음과 같다.

:$d\; \backslash approx\; 2.423\; R\backslash left(\; \backslash frac\; \{\backslash rho\_M\}\; \{\backslash rho\_m\}\; \backslash right)^\{1/3\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{(1+\backslash frac\{m\}\{3M\})+\backslash frac\{c\}\{3R\}(1+\backslash frac\{m\}\{M\})\}\{1-c/R\}\; \backslash right)^\{1/3\}$

여기서 c/R은 주성의 편평도를 나타내며, m은 위성의 질량, M은 주성의 질량이다. 이 숫자 인자는 컴퓨터를 사용하여 계산되었다.

유체 위성의 해는 혜성과 같이 약한 힘으로 뭉쳐져 있는 물체에 적합하다. 예를 들어 슈메이커-레비 9 혜성은 1992년 7월 목성의 로슈 한계 안쪽을 통과하면서 여러 조각으로 쪼개졌고, 1994년에 목성과 충돌했다. 슈메이커-레비 9 혜성은 1993년에 처음 관측되었지만, 그 궤도는 이미 수십 년 전에 목성에 의해 포획되었음을 보여주었다.

2.2.1. 유체 위성 공식 유도

로슈 한계를 더 정확하게 계산하려면 위성의 변형을 고려해야 한다. 극단적인 예시로 행성 주위를 도는 조석고정된 유체 위성을 들 수 있다. 위성에 작용하는 힘은 위성을 타원체 모양으로 변형시킨다.

이러한 계산은 복잡하여 정확한 대수적 공식으로 표현하기 어렵다. 로슈는 다음과 같은 로슈 한계의 근사해를 유도했다.

:$d\; \backslash approx\; 2.44R\backslash left(\; \backslash frac\; \{\backslash rho\_M\}\; \{\backslash rho\_m\}\; \backslash right)^\{1/3\}$

하지만 주성의 편평도와 위성의 질량을 고려한 더 나은 근사식은 다음과 같다.

:$d\; \backslash approx\; 2.423\; R\backslash left(\; \backslash frac\; \{\backslash rho\_M\}\; \{\backslash rho\_m\}\; \backslash right)^\{1/3\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{(1+\backslash frac\{m\}\{3M\})+\backslash frac\{c\}\{3R\}(1+\backslash frac\{m\}\{M\})\}\{1-c/R\}\; \backslash right)^\{1/3\}$

여기서 c/R은 주성의 편평도를 나타낸다. 유체 위성의 해는 슈메이커-레비 9 혜성처럼 약한 힘으로 뭉쳐진 천체에 적합하다. 슈메이커-레비 9 혜성은 1992년 7월 로슈 한계 안쪽을 통과하면서 여러 조각으로 쪼개졌고, 1994년 목성에 충돌했다.

유체 위성의 경우, 강체 위성보다 더 정교한 고려가 필요하며, 몇 가지 가정을 바탕으로 한다. 첫째, 외부 힘이나 내부 힘에 의존하지 않고 밀도가 $\backslash rho\_m$이고 부피가 V인 비압축성 유체로 구성되어 있다고 가정한다. 둘째, 위성은 원 궤도를 돌며 조석고정되어 있다고 가정한다. 즉, 위성의 자전 각속도 $\backslash omega$는 전체 계의 질량 중심을 공전하는 각속도와 같다.

각속도 $\backslash omega$는 케플러의 세 번째 법칙에 의해 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash omega^2\; =\; G\; \backslash ,\; \backslash frac\{M\; +\; m\}\{d^3\}.$

M이 m에 비해 매우 클 때, 다음 식으로 근사할 수 있다.

:$\backslash omega^2\; =\; G\; \backslash ,\; \backslash frac\{M\}\{d^3\}.$

동주기 자전은 액체가 움직이지 않음을 의미하며, 정적인 상태를 고려할 수 있다. 액체의 점성률과 마찰은 이 모델에서 고려하지 않는다.

이러한 가정 하에 다음과 같은 힘들을 고려해야 한다.

* 주성의 중력
* 회전하는 계에 의한 원심력
* 위성의 자체 중력장

이 힘들은 모두 보존력이므로 퍼텐셜로 표현할 수 있다. 위성의 표면은 등퍼텐셜면이다. 그렇지 않으면 표면에서 액체가 움직여 정적 모델 가정에 모순이 생긴다. 주어진 모행성과의 거리에서 등퍼텐셜 상태를 만족하는 표면 형태를 결정해야 한다.

원형 궤도를 가정하면, 중력과 원심력의 총합은 주성에 영향을 주지 않는다. 액체 입자에 미치는 힘은 기조력이며, 위성의 질량 중심에 대한 위치에 의존한다. 위성 중심에서 표면 액체 입자까지의 거리는 모행성과의 거리 $d$와 관련이 작다. 따라서 기조력은 위성 중심에서 액체 입자까지의 거리와 비례하며, 결과는 F_T 와 같은 공식으로 주어진다.

딱딱한 모델에서 이 힘은 위성 반지름 $r$에 의존하지만, 유체의 경우 표면의 모든 점을 고려해야 한다. 기조력은 위성과 모행성을 잇는 선 위 액체 입자에서 위성 질량 중심까지의 거리 Δd(방사상 거리)에 의존한다. 기조력이 Δd에 선형이므로, 퍼텐셜은 변수 제곱에 비례한다.

:$V\_T\; =\; -\; \backslash frac\{3\; G\; M\; \}\{2\; d^3\}\backslash Delta\; d^2\; \backslash ,$

위성의 자체 중력 퍼텐셜 합과 $V\_T$가 물체 표면에서 일정한 값을 갖는 위성 형태를 결정해야 한다. 이 문제는 풀기 어렵지만, 조석 퍼텐셜이 방사상 거리 Δd 제곱에 비례하는 경우, 숙련된 추측으로 풀 수 있다.

퍼텐셜 V_T는 한 방향(모행성을 향하는 방향)으로만 변하므로, 위성이 대칭적으로 형성된다고 추측할 수 있다. 즉, 회전체 형태가 된다고 가정할 수 있다. 회전체 표면에서 자체 퍼텐셜은 질량 중심까지의 방사상 거리에만 의존한다. 경계는 퍼텐셜이 일정한 원이며, 위성과 모행성을 잇는 선과 수직인 평면과 위성의 교점은 원반이다. 자체 중력 퍼텐셜과 조석 퍼텐셜 차이는 상수여야 하고, 모두 Δd에 같은 방식으로 의존해야 한다. 즉, 자체 중력 퍼텐셜은 Δd 제곱에 비례해야 한다. 그러면 등퍼텐셜면의 해가 회전타원면임을 보일 수 있다. 일정한 밀도와 타원 이심률 ε에만 의존하는 위성 자체 퍼텐셜 크기는 다음과 같다.

:$V\_s\; =\; V\_\{s\_\{0\}\}\; +\; G\; \backslash pi\; \backslash rho\_m\; \backslash cdot\; f\; (\backslash epsilon)\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; d^2,$

$V\_\{s\_0\}$는 Δd가 0일 때(중심에서의 자체 퍼텐셜) 상수이다.

무차원 함수 f는 타원면 퍼텐셜의 정확한 해로부터 결정된다.

:$f(\backslash epsilon)\; =\; \backslash frac\{1\; -\; \backslash epsilon^2\}\{\backslash epsilon^3\}\; \backslash cdot\; \backslash left[\; \backslash left(3-\backslash epsilon^2\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{arsinh\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash epsilon\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash epsilon^2\}\}\; \backslash right)\; -3\; \backslash epsilon\; \backslash right]$

이것은 위성 크기에 의존하지 않는다.

f의 정확한 형태는 복잡하지만, V_T가 Δd와 무관한 상수를 더해 V_S와 같도록 ε 값을 선택할 수 있다. 계산하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{2\; G\; \backslash pi\; \backslash rho\_M\; R^3\}\{d^3\}\; =\; G\; \backslash pi\; \backslash rho\_m\; f(\backslash epsilon)$

이 방정식은 수치적으로 풀 수 있다. 그래프에서 f의 특정 값에서 이심률은 두 가지 해를 가질 수 있다(최댓값 제외). 이심률이 작은 쪽이 더 안정된 타원체이다. 이 해는 모행성 거리의 함수에 따른 조석 타원체 이심률을 결정한다. f의 도함수는 f가 최댓값을 가질 때 0이다. 이것은 로슈 한계와 부합한다.

로슈 한계는 함수 f가 유계여서 인력이 최대가 되는 이심률이 존재한다는 사실로 결정된다. f는 구를 타원체로 만드는 힘의 비선형적 측정으로 생각할 수 있다. 위성이 모행성에 접근할수록 조석력이 증가하므로, 타원체가 조석력에 의해 부서지는 임계 거리가 존재한다.

f가 최댓값을 가질 때의 이심률은 f의 도함수가 0일 때이므로, 수치적 계산 값은 다음과 같다.

:$\backslash epsilon\_\backslash text\{max\}\backslash approx\; 0\{.\}86$

이는 타원 단축과 장축 길이 비가 1:1.95임을 의미한다. f를 공식에 대입하여 타원체가 존재할 수 있는 최소 거리를 결정할 수 있다. 이것이 로슈 한계다.

:$d\; \backslash approx\; 2\{.\}423\; \backslash cdot\; R\; \backslash cdot\; \backslash sqrt[3]\{\; \backslash frac\; \{\backslash rho\_M\}\; \{\backslash rho\_m\}\; \}\; \backslash ,.$

3. 로슈 한계의 예시

다음은 태양계 천체들의 밀도와 반지름을 나타낸 표이다.

이 데이터를 바탕으로, 강체 또는 유체 위성의 로슈 한계를 아래 표와 같이 계산할 수 있다. 혜성의 평균 밀도는 500kg/m³ 정도로 간주한다.



모행성의 밀도가 위성 밀도의 절반 이하일 경우, 강체 위성의 로슈 한계는 모행성 반지름 안에 위치하게 된다. 따라서 위성은 로슈 한계에 도달하기 전에 모행성과 충돌한다.

다음 표는 태양계 위성들의 궤도 반지름과 로슈 한계의 비를 나타낸다. 강체와 유체, 두 가지 경우를 모두 계산하였다. 특히 판, 메티스, 나이아드는 로슈 한계에 매우 근접해 있다.



목성형 행성을 공전하는 위성들의 밀도는 대부분 알려져 있지 않다. 위 표에서 이탤릭체로 표시된 값은 추정치이며, 실제 로슈 한계와 다를 수 있다.

4. 조석 분열

--

슈메이커-레비 9 혜성은 1992년 목성의 기조력에 의해 여러 개의 작은 천체로 분해된 후 1994년에 목성과 충돌했다. Shoemaker-Levy 9^영어 혜성은 1993년에 처음 관측되었지만, 그 궤도는 몇십 년 전에 목성에 포획되었음을 나타냈다.

로슈 한계는 일반적으로 위성이 자신의 주천체(위성이 공전하는 천체)에 의해 유도된 기조력으로 인해 분해되는 경우에 적용된다. 위성의 주천체에 더 가까운 부분은 더 멀리 떨어진 부분보다 주천체의 중력에 의해 더 강하게 끌어당겨진다. 이러한 차이는 위성의 가까운 부분과 먼 부분을 서로 떼어놓는 효과를 내며, 만약 이러한 차이(천체의 자전으로 인한 원심력 효과 포함)가 위성을 하나로 유지하는 중력보다 크다면 위성을 분해할 수 있다.

로슈 한계 내에서는 기조력이 위성을 하나로 유지할 수 있는 중력을 압도하기 때문에, 그 한계 내에서는 작은 입자들로부터 중력적으로 합쳐진 위성이 존재할 수 없다.

어떤 천체의 로슈 한계 내부에 들어간 천체는 파괴된다. 예를 들어, 목성과 충돌한 슈메이커-레비 9 혜성은 목성의 로슈 한계 내부에 들어가 목성에 충돌하기 전에 파괴되어 분열했다.

항성과 동반성의 위치 관계를 결정하는 여러 요소가 있으며, 이들 천체 간 거리(즉, 공전 반지름)는 다양한 상호 작용에 의해 오랜 시간에 걸쳐 변화할 수 있다. 이러한 공전 궤도의 변화로 인해 천체 간 거리가 로슈 한계보다 짧아질 수 있다. 행성이나 위성과 같은 천체가 다른 천체의 로슈 한계 내부로 들어오면, 접근한 천체로부터의 조석력에 의해 파괴된다.

이러한 예처럼, 천체가 다른 천체의 로슈 한계 내부에 들어가 파괴되는 현상을 조석 분열이라고 한다. 슈메이커-레비 9 혜성은 목성에 접근하여 추락했지만, 로슈 한계보다 안쪽으로 들어온 시점에서 분열되었다.

화성의 위성 포보스는 점차 화성에 접근하고 있으며, 장래에 화성의 조석력에 의해 포보스가 파괴될 것으로 생각된다. 마찬가지로, 해왕성의 위성 트리톤은 점차 해왕성에 접근하고 있으며, 역시 장래에 해왕성에 의해 트리톤이 파괴될 것으로 생각된다. 또한, 연성계의 주성과 동반성과 같은 관계와는 무관하게 천체가 파괴되는 경우도 있다. 예를 들어, 행성 바로 옆을 소행성이 통과하는 경우가 이에 해당한다. 소행성이 행성과 스쳐 지나갈 때, 행성의 로슈 한계 내부까지 들어가면 행성에 의해 소행성이 파괴된다.

하지만 로슈 한계 아래에서 발생하는 중력 효과는 혜성이 분해되는 유일한 요인이 아니다. 열응력, 내부 기체 압력, 그리고 회전 분열은 혜성이 응력 하에서 분열되는 다른 방법이다.

천체가 중력 이외의 힘으로 결합되어 있는 경우에는 다른 천체의 로슈 한계 내부에 있어도 파괴되지 않는 경우가 있다. 예를 들어, 목성의 위성 메티스와 아드라스테아는 목성의 로슈 한계 내부에 있으면서도 파괴되지 않고 존재하고 있다. 이러한 위성들은 존재를 유지하는 데 적합한 크기가 아닐까 하는, 목성의 고리와 관련된 고찰도 이루어지고 있다.