조석력

3. 조석력의 효과

한 천체(천체 1)가 다른 천체(천체 2)의 중력 작용을 받을 때, 그 장은 천체 2를 향한 쪽과 천체 2에서 멀어지는 쪽 사이의 천체 1에서 크게 달라질 수 있다. 그림 2는 다른 천체(천체 2)가 구형 천체(천체 1)에 가하는 중력의 차등력을 보여준다. 이러한 조석력은 두 천체 모두에 변형을 일으키고 이들을 왜곡하거나 심지어 극단적인 경우에는 한쪽 또는 양쪽을 분리시킬 수 있다.^[5]

어떤 중력장 안에 유한한 크기를 가진 물체가 있다고 가정할 때, 물체 표면 또는 내부의 임의의 위치에서 기조력에 의한 가속도는 그 위치에서의 실제 중력가속도벡터에서 물체의 질량중심에서의 중력가속도 벡터를 뺀 값이다. 이때, 물체가 반드시 공전하고 있지 않더라도 기조력은 발생한다. 예를 들어 물체가 중력장 속을 직선으로 자유낙하하는 경우에도 기조력의 작용을 받는다.

뉴턴의 만유인력의 법칙을 선형화하면, 힘을 미치는 물체 A가 다른 물체 B에 미치는 기조력은 근사적으로 A의 중심으로부터의 거리의 세제곱에 반비례한다. 두 물체의 중심을 잇는 직선 L 위에서 기조력의 크기 ''F_t''는 다음과 같다:

:$$

F_t = \frac{2GMmr} {R^3},



여기서 ''G''는 만유인력 상수, ''M''은 중력장을 만드는 물체 A의 질량, ''m''은 A의 중력장에 의해 기조력을 받는 물체 B의 질량, ''R''은 두 물체의 거리, ''r'' (≪ ''R'')은 물체 B의 중심으로부터의 거리이다. 물체 B에 작용하는 기조력은 물체 A에 가까운 쪽과 먼 쪽 모두에서 바깥쪽으로 작용하며, 이로 인해 이 두 점은 바깥쪽으로 팽창하게 된다.

조석력은 인력이 작용하는 천체가 달이며, 그 정도는 덜하지만 태양인 지구의 바다의 조석을 만든다.

3. 1. 구체적인 효과

4. 크기와 거리

조석력은 물체에 작용하는 중력이 물체의 위치에 따라 달라져 발생하는 현상이다. 물체1이 물체2의 중력에 영향을 받을 때, 물체2를 향하는 면과 그 반대면 사이에는 힘의 차이가 발생한다. 이 힘은 물체를 찌그러뜨리거나 심하면 파괴할 수도 있다.^[11] 로슈 한계는 행성에서 멀리 떨어진 조석력이 물체를 분해시키는 지점이다.

천체의 크기와 다른 천체와의 거리는 조석력의 크기에 큰 영향을 미친다. 지구에 작용하는 조석력은 지구 지름에 비례하고, 달이나 태양과 같이 중력을 발생시키는 천체와의 거리의 세제곱에 반비례한다. 욕조나 수영장, 호수 등 작은 수역에서는 조석 작용이 미미하다.^[7]

4. 1. 태양, 지구, 달

기조력은 바다의 조석 현상의 원인이 된다. 이 경우, 기조력을 받는 물체는 바닷물을 가진 지구이며, 힘을 미치는 물체는 달과 태양이다. 기조력은 또한 천체의 자전과 공전의 동기화를 일으킨다.

5. 수식

뉴턴의 만유인력의 법칙과 운동 법칙에 의해, 질량 ''m''인 천체가 질량 ''M''인 구의 중심으로부터 ''R''만큼 떨어져 있으면 힘 $\backslash vec\{F\}\_g$를 느낀다.

$$\backslash vec\{F\}\_g\; =\; -\; \backslash hat\{r\}\; ~\; G\; ~\; \backslash frac\{M\; m\}\{R^2\}$$

이는 가속도 $\backslash vec\{a\}\_g$와 같다.

$$\backslash vec\{a\}\_g\; =\; -\; \backslash hat\{r\}\; ~\; G\; ~\; \backslash frac\{M\}\{R^2\}$$

여기서 $\backslash hat\{r\}$은 질량 ''M''인 천체에서 질량 ''m''인 천체를 가리키는 단위 벡터이다(여기서 ''m''에서 ''M''쪽으로의 가속도는 음의 부호를 가짐).

이제 질량 ''M''인 구에 의한 질량 ''m''인 천체 근처의 입자에 대한 가속도를 고려한다. ''R''을 ''M''의 중심에서 ''m''의 중심까지의 거리로 하고, ∆''r''을 질량 ''m''인 천체의 중심으로부터 입자까지의 (비교적 작은) 거리로 한다. 단순화를 위해 거리는 먼저 질량 ''M''인 구를 향하거나 멀어지는 방향으로만 고려된다. 질량 ''m''인 천체가 반지름 ∆''r''인 구라면, 고려되는 새로운 입자는 그 표면에 위치하고, 질량 ''M''인 구의 중심으로부터 (''R'' ± ''∆r'')만큼 떨어져 있을 수 있으며, 입자의 ''M''으로부터의 거리가 ''R''보다 클 때 ''∆r''은 양수로 간주될 수 있다. ''M''을 향한 중력에 의한 입자의 가속도는 다음과 같다.

$$\backslash vec\{a\}\_g\; =\; -\; \backslash hat\{r\}\; ~\; G\; ~\; \backslash frac\{M\}\{(R\; \backslash pm\; \backslash Delta\; r)^2\}$$

분모에서 ''R''² 항을 꺼내면 다음을 얻는다.

$$\backslash vec\{a\}\_g\; =\; -\backslash hat\{r\}\; ~\; G\; ~\; \backslash frac\{M\}\{R^2\}\; ~\; \backslash frac\{1\}\{\backslash left(1\; \backslash pm\; \backslash frac\{\backslash Delta\; r\}\{R\}\backslash right)^2\}$$

$1/(1\; \backslash pm\; x)^2$의 맥클로린 급수는 $1\; \backslash mp\; 2x\; +\; 3x^2\; \backslash mp\; \backslash cdots$이며, 이는 다음과 같은 급수 전개를 제공한다.

$$\backslash vec\{a\}\_g\; =\; -\; \backslash hat\{r\}\; ~\; G\; ~\; \backslash frac\{M\}\{R^2\}\; \backslash pm\; \backslash hat\{r\}\; ~\; G\; ~\; \backslash frac\{2\; M\; \}\{R^2\}\; ~\; \backslash frac\{\backslash Delta\; r\}\{R\}\; +\; \backslash cdots$$

첫 번째 항은 기준 천체 $m$의 중심, 즉 $\backslash Delta\; r$이 0인 지점에서 ''M''에 의한 중력 가속도이다. 이 항은 ''m''의 표면에 있는 입자의 관측된 가속도에 영향을 미치지 않는데, ''M''에 대해 ''m''(그리고 그 표면의 모든 것)은 자유 낙하 상태에 있기 때문이다. 먼 입자에 대한 힘에서 가까운 입자에 대한 힘을 뺀 경우 이 첫 번째 항은 상쇄되고 다른 모든 짝수 차수 항도 상쇄된다. 나머지(잔류) 항은 위에서 언급한 차이를 나타내며 조석력(가속도) 항이다. ∆''r''이 ''R''에 비해 작을 때, 첫 번째 잔류 항 이후의 항은 매우 작아서 무시할 수 있으며, ''m''과 ''M''의 중심을 연결하는 축을 따라 고려된 거리 ∆''r''에 대한 근사 조석 가속도 $\backslash vec\{a\}\_\{t,\backslash text\{axial\}\}$를 제공한다.

$$\backslash vec\{a\}\_\{t,\backslash text\{axial\}\}\; \backslash approx\; \backslash pm\; \backslash hat\{r\}\; ~\; 2\; \backslash Delta\; r\; ~\; G\; ~\; \backslash frac\{M\}\{R^3\}$$

∆''r''이 ''m''과 ''M''의 중심을 연결하는 축을 따라 거리일 때, $\backslash vec\{a\}\_t$는 ''m''의 중심(∆''r''이 0인 곳)에서 바깥쪽으로 향한다.

조석 가속도는 천체 ''m''과 ''M''을 연결하는 축으로부터 벗어난 곳에서도 계산할 수 있으며, 벡터 계산이 필요하다. 그 축에 수직인 평면에서 조석 가속도는 안쪽(∆''r''이 0인 중심으로)으로 향하고, 그 크기는 선형 근사에서 $\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left|\backslash vec\{a\}\_\{t,\backslash text\{axial\}\}\; \backslash right|$이다.

어떤 중력장 안에 유한한 크기를 가진 물체가 있다고 가정하자. 이때, 물체 표면 또는 내부의 임의의 위치에서 기조력에 의한 가속도는 그 위치에서의 실제 중력가속도벡터에서 물체의 질량중심에서의 중력가속도 벡터를 뺀 값이 된다.

물체가 반드시 공전하고 있지 않더라도 기조력은 발생한다. 예를 들어 물체가 중력장 속을 직선으로 자유낙하하는 경우에도 기조력의 작용을 받는다.

뉴턴의 만유인력의 법칙을 선형화하면, 힘을 미치는 물체 A가 다른 물체 B에 미치는 기조력은 근사적으로 A의 중심으로부터의 거리의 세제곱에 반비례한다. 두 물체의 중심을 잇는 직선 L 위에서는 기조력의 크기 ''F_t''는 다음과 같다:

:$$

F_t = \frac{2GMmr} {R^3},



여기서 ''G''는 만유인력 상수, ''M''은 중력장을 만드는 물체 A의 질량, ''m''은 A의 중력장에 의해 기조력을 받는 물체 B의 질량, ''R''은 두 물체의 거리, ''r'' (≪ ''R'')은 물체 B의 중심으로부터의 거리이다. 물체 B에 작용하는 기조력은 물체 A에 가까운 쪽과 먼 쪽 모두에서 바깥쪽으로 작용하며, 이로 인해 이 두 점은 바깥쪽으로 팽창하게 된다.

참조

_[1] 웹사이트 Hubble Views a Cosmic Interaction https://www.nasa.gov[...] NASA 2022-07-09
_[2] 논문 On the tidal force http://adsabs.harvar[...]
_[3] 서적 Astronomy: a physical perspective https://archive.org/[...]
_[4] 웹사이트 Tidal forces carry the mathematical signature of gravitational waves https://www.technolo[...] 2023-11-12
_[5] 서적 The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics https://archive.org/[...] Oxford University Press 1999
_[6] 서적 The Solar System https://books.google[...] Springer 2003
_[7] 논문 Myths about gravity and tides
_[8] 서적 Gravity from the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity and General Relativity https://books.google[...] Cambridge University Press
_[9] 서적 Hamiltonian Dynamical Systems: A Reprint Selection https://books.google[...] CRC Press 1987
_[10] 서적 The Encyclopedia Americana: A Library of Universal Knowledge https://books.google[...] Encyclopedia Americana Corp. 1920
_[11] 웹사이트 The Tidal Force Neil deGrasse Tyson http://www.haydenpla[...] 2016-10-10
_[12] 논문 Possible forcing of global temperature by the oceanic tides 1997-08-05
_[13] 논문 Millennial Climate Variability: Is There a Tidal Connection? 2002-02
_[14] 뉴스 Hungry for Power in Space https://books.google[...] 2016-03-14
_[15] 뉴스 Inseparable galactic twins http://www.spacetele[...] 2013-07-12
_[16] 서적 Admiralty manual of navigation https://books.google[...] The Stationery Office 1987
_[17] 서적 The mathematical principles of natural philosophy https://books.google[...] 1729
_[18] 문서 한국천문학회 편 천문학용어집 좌단 22째줄