맨위로가기

로크스 상수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

로크스 상수는 연분수의 기본 속성을 사용하여 유도되는 극한값으로, 레비 상수와 관련이 있다. 가우스 사상과 가우스 분포, 보조 정리를 통해 극한값을 증명하며, 수식 전개를 통해 레비 상수와의 관계를 설명한다.

2. 연분수와 가우스 사상

연분수의 기본 속성이 증명에 사용된다.[1]

2. 1. 가우스 사상

Gauss map|가우스 사상영어 T : x \mapsto 1/x \mod 1를 가우스 사상이라고 한다.

\rho(t) = \frac{1}{(1+t)\ln 2}를 가우스 분포에 대한 확률 밀도 함수라고 한다. 이 함수는 가우스 사상 아래에서 보존된다.

확률 밀도 함수가 위아래로 제한되어 있으므로, 르베그 측도에 대해 무시할 수 있는 것과 가우스 분포에 대해 무시할 수 있는 것은 같다.

2. 2. 가우스 분포

연분수의 기본 속성이 증명에 사용된다.[1]

:T : x \mapsto \frac{1}{x} \mod 1를 가우스 사상이라고 한다.

:\rho(t) = \frac{1}{(1+t)\ln 2}를 가우스 분포의 확률 밀도 함수라고 한다.[1] 이 함수는 가우스 사상 아래에서 보존된다.

확률 밀도 함수가 위아래로 제한되어 있으므로, 르베그 측도에서 무시할 수 있는 집합과 가우스 분포에서 무시할 수 있는 집합은 같다.[1]

3. 보조 정리 (Lemma)

보조 정리는 증명에 필요한 정리로, \frac 1n \ln T^n x \to 0 임을 나타낸다. 이 보조 정리의 증명 과정은 하위 섹션에서 자세히 다루어진다.

3. 1. 보조 정리의 증명

'''보조 정리.'''  영어\frac 1n \ln T^n x \to 0.

'''증명.''' T^nx \leq 1이므로, \frac 1n \ln T^n x \to 0은 다음 조건과 같다.



\liminf\frac 1n \ln T^n x = 0



\liminf\frac 1n \ln T^n x < 0을 만족하는 모든 x의 집합을 고려하면 다음과 같다.



\{x : \exists c > 0, \forall N \geq 1, \exists n \geq N, T^n x < e^{-cn}\}





= \cup_{c > 0} \cap_{N \geq 1} \cup_{n \geq N} [0; \N, \dots, \N, a_n > e^{cn}, \N, \dots]



여기서 [0; \N, \dots, \N, a_n > e^{cn}, \N, \dots]는 연분수 전개가 a_n > e^{cn} 을 가지지만 다른 제약 조건이 없는 숫자들의 집합을 나타낸다.

가우스 맵은 가우스 측도를 보존하므로, [0; \N, \dots, \N, a_n > e^{cn}, \N, \dots]는 [0; a_n > e^{cn}, \N, \dots]와 동일한 가우스 측도를 가지며, 이는 다음과 같다.



\int_0^{e^{-cn}} \rho(t)dt = \log_2(1+e^{-cn})\sim \frac{e^{-cn}}{\ln 2}



\cup_{n \geq N} 에 대한 합은 \sim \frac{e^{-cN}}{(1-e^{-c})\ln 2}이며, N\to\infty 극한에서 0이다.

따라서 이러한 x의 집합은 가우스 측도 0을 갖는다.

4. 극한값 증명

연분수의 기본적인 속성을 이용하여 주어진 극한값을 증명할 수 있으며, 이 과정에서 레비 상수의 결과가 사용된다.[1]

4. 1. 수식 전개

기본적인 연분수 속성을 사용하여 항을 확장하면 다음과 같다.

:\ln\left| x - \frac{p_n}{q_n} \right| = \ln \frac{T^n x}{q_n(q_n + q_{n-1}T^n x )} = - 2\ln q_n + \ln T^n x - \ln\left(1 + \frac{q_{n-1}}{q_n}T^n x \right)

두 번째 항은 o(n)이다. 세 번째 항은 \in [\ln 1, \ln 2]이다. 둘 다 n으로 나눈 후에는 사라진다.

따라서 다음이 성립한다.

:\lim_{n} \frac 1n \ln\left| x - \frac{p_n}{q_n} \right| = -2 \lim_n \frac 1n \ln q_n = -\frac{\pi^2}{6\ln 2}

여기서 레비 상수의 결과를 사용했다.

4. 2. 레비 상수와의 관계

레비 상수의 결과를 이용하여 다음 극한값을 도출한다.[1]

:\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln\left| x - \frac{p_n}{q_n} \right| = -2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln q_n = -\frac{\pi^2}{6\ln 2}

참조

[1] 논문 Vergleich der Genauigkeit von Dezimalbruch und Kettenbruch
[2] 웹사이트 Lochs' Theorem http://mathworld.wol[...]
[3] 뉴스 Continued Fraction Streams https://x.st/continu[...] 2016-08-17
[4] 간행물 Vergleich der Genauigkeit von Dezimalbruch und Kettenbruch


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com