로크스 상수

1. 개요

로크스 상수는 연분수의 기본 속성을 사용하여 유도되는 극한값으로, 레비 상수와 관련이 있다. 가우스 사상과 가우스 분포, 보조 정리를 통해 극한값을 증명하며, 수식 전개를 통해 레비 상수와의 관계를 설명한다.

2. 연분수와 가우스 사상

연분수의 기본 속성이 증명에 사용된다.

2.1. 가우스 사상

Gauss map^영어 $T\; :\; x\; \backslash mapsto\; 1/x\; \backslash mod\; 1$를 가우스 사상이라고 한다.

$\backslash rho(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{(1+t)\backslash ln\; 2\}$를 가우스 분포에 대한 확률 밀도 함수라고 한다. 이 함수는 가우스 사상 아래에서 보존된다.

확률 밀도 함수가 위아래로 제한되어 있으므로, 르베그 측도에 대해 무시할 수 있는 것과 가우스 분포에 대해 무시할 수 있는 것은 같다.

2.2. 가우스 분포

연분수의 기본 속성이 증명에 사용된다.

:$T\; :\; x\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{1\}\{x\}\; \backslash mod\; 1$를 가우스 사상이라고 한다.

:$\backslash rho(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{(1+t)\backslash ln\; 2\}$를 가우스 분포의 확률 밀도 함수라고 한다. 이 함수는 가우스 사상 아래에서 보존된다.

확률 밀도 함수가 위아래로 제한되어 있으므로, 르베그 측도에서 무시할 수 있는 집합과 가우스 분포에서 무시할 수 있는 집합은 같다.

3. 보조 정리 (Lemma)

보조 정리는 증명에 필요한 정리로, $\backslash frac\; 1n\; \backslash ln\; T^n\; x\; \backslash to\; 0$임을 나타낸다. 이 보조 정리의 증명 과정은 하위 섹션에서 자세히 다루어진다.

3.1. 보조 정리의 증명

보조 정리.  ^영어$\backslash frac\; 1n\; \backslash ln\; T^n\; x\; \backslash to\; 0$.

증명. $T^nx\; \backslash leq\; 1$이므로, $\backslash frac\; 1n\; \backslash ln\; T^n\; x\; \backslash to\; 0$은 다음 조건과 같다.
$$$$
\liminf\frac 1n \ln T^n x = 0

을 만족하는 모든 $x$의 집합을 고려하면 다음과 같다.
$$$$
\{x : \exists c > 0, \forall N \geq 1, \exists n \geq N, T^n x < e^{-cn}\}

$$$$
= \cup_{c > 0} \cap_{N \geq 1} \cup_{n \geq N} [0; \N, \dots, \N, a_n > e^{cn}, \N, \dots]

여기서 $[0;\; \backslash N,\; \backslash dots,\; \backslash N,\; a\_n\; >\; e^\{cn\},\; \backslash N,\; \backslash dots]$는 연분수 전개가 $a\_n\; >\; e^\{cn\}$을 가지지만 다른 제약 조건이 없는 숫자들의 집합을 나타낸다.
가우스 맵은 가우스 측도를 보존하므로, $$[0;\; \backslash N,\; \backslash dots,\; \backslash N,\; a\_n\; >\; e^\{cn\},\; \backslash N,\; \backslash dots]$$는 $[0;\; a\_n\; >\; e^\{cn\},\; \backslash N,\; \backslash dots]$와 동일한 가우스 측도를 가지며, 이는 다음과 같다.

$$$$
\int_0^{e^{-cn}} \rho(t)dt = \log_2(1+e^{-cn})\sim \frac{e^{-cn}}{\ln 2}

$\backslash cup\_\{n\; \backslash geq\; N\}$ 에 대한 합은 $\backslash sim\; \backslash frac\{e^\{-cN\}\}\{(1-e^\{-c\})\backslash ln\; 2\}$이며, $N\backslash to\backslash infty$ 극한에서 0이다.

따라서 이러한 $x$의 집합은 가우스 측도 0을 갖는다.

4. 극한값 증명

연분수의 기본적인 속성을 이용하여 주어진 극한값을 증명할 수 있으며, 이 과정에서 레비 상수의 결과가 사용된다.

4.1. 수식 전개

기본적인 연분수 속성을 사용하여 항을 확장하면 다음과 같다.

:$$\backslash ln\backslash left|\; x\; -\; \backslash frac\{p\_n\}\{q\_n\}\; \backslash right|\; =\; \backslash ln\; \backslash frac\{T^n\; x\}\{q\_n(q\_n\; +\; q\_\{n-1\}T^n\; x\; )\}\; =\; -\; 2\backslash ln\; q\_n\; +\; \backslash ln\; T^n\; x\; -\; \backslash ln\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{q\_\{n-1\}\}\{q\_n\}T^n\; x\; \backslash right)$$

두 번째 항은 $o(n)$이다. 세 번째 항은 $\backslash in\; [\backslash ln\; 1,\; \backslash ln\; 2]$이다. 둘 다 $n$으로 나눈 후에는 사라진다.

따라서 다음이 성립한다.

:$$\backslash lim\_\{n\}\; \backslash frac\; 1n\; \backslash ln\backslash left|\; x\; -\; \backslash frac\{p\_n\}\{q\_n\}\; \backslash right|\; =\; -2\; \backslash lim\_n\; \backslash frac\; 1n\; \backslash ln\; q\_n\; =\; -\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\backslash ln\; 2\}$$

여기서 레비 상수의 결과를 사용했다.

4.2. 레비 상수와의 관계

레비 상수의 결과를 이용하여 다음 극한값을 도출한다.

:$$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash ln\backslash left|\; x\; -\; \backslash frac\{p\_n\}\{q\_n\}\; \backslash right|\; =\; -2\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash ln\; q\_n\; =\; -\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\backslash ln\; 2\}$$