르베그 측도

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 1차원 르베그 측도
- 2.2. 고차원 르베그 측도
3. 성질
4. 예
5. 다른 측도와의 관계
6. 역사
참조

1. 개요

르베그 측도는 유클리드 공간에서 정의되는 측도로, 구간의 길이를 일반화한 개념이다. 1차원 르베그 측도는 구간의 길이를, 고차원에서는 직육면체의 부피를 일반화하며, 르베그 외측도를 통해 정의된다. 르베그 가측 집합은 카라테오도리 기준을 만족하는 집합으로, 르베그 측도는 르베그 외측도로 정의되며, 이러한 집합들은 시그마 대수를 형성한다. 르베그 측도는 보렐 측도보다 더 많은 집합을 포함하며, 완비 측도, 이동 불변성 등의 성질을 갖는다. 르베그 측정이 불가능한 비가측 집합의 존재는 선택 공리에서 비롯되며, 르베그 측도는 하르 측도, 하우스도르프 측도 등 다른 측도와 관련이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

측도 - 하르 측도
하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군에서 정의되고 군 연산에 불변하는 측도로, 하르 정리에 의해 곱셈 상수를 제외하고 유일하게 존재하며, 르베그 측도의 일반화로서 추상 조화 해석과 수리 통계학 등에 활용된다.
측도 - 조르당 측도
조르당 측도는 유클리드 공간에서 초등 집합을 이용하여 정의되는 측도이며, 유계 집합의 내부 및 외부 조르당 측도가 같을 때 조르당 가측이라고 하고, 조르당 가측 집합은 르베그 가측 집합에 비해 제한적이다.

르베그 측도
일반 정보
분야	수학, 실해석학
하위 분야	측도론
명명	앙리 르베그
정의
정의	}}의 부분 집합 에 대해, 르베그 측도 는 의 "크기"를 나타낸다.
속성	완비 측도 보렐 측도 라돈 측도

2. 정의

보렐 측도의 완비화이다.

$\mathbb R^n$ 위의 르베그 측도는 $\mathbb R$ 위의 르베그 측도의 곱측도로 정의할 수 있으므로, $\mathbb R$ 위의 측도를 정의하는 것으로 충분하다. $\mathbb R$ 위의 르베그 외측도 $\lambda^*\colon\mathcal P(\mathbb R)\to[0,\infty]$ 는 다음과 같다.

: $\lambda^*(S) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty|b_i-a_i|\colon a_i,b_i\in\mathbb R,\;S\subset\bigcup_{i=1}^\infty[a_i,b_i]\right\}$

르베그 가측 집합은 다음 성질을 만족시키는 집합 $S\subset\mathbb R$ 이다.

모든 $T\subset\mathbb R$ 에 대하여, $\lambda^*(T)=\lambda^*(T\cap S)+\lambda^*(T\setminus S)$

르베그 가측 집합의 집합

\mathcal L

은 시그마 대수를 이룬다.

\mathbb R

위의 르베그 측도

\lambda=\lambda^*|_{\mathcal L}

는 르베그 가측집합에 국한시킨 르베그 외측도이며,

(\mathbb R,\mathcal L,\lambda)

는 측도 공간을 이룬다.

카라테오도리 확장 정리를 사용하여 르베그 측도를 구성할 수 있다.

자연수

n

을 고정한다.

\mathbb{R}^n

내의 (

n

차원) 구간 또는 초직사각형 (''box'')^영어은 (1차원) 구간의 직곱

:

B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]

의 형태 (단,

b_i \ge a_i

) 로 쓰여진

\mathbb{R}^n

의 부분집합이다. 이 구간

B

의 부피

\operatorname{vol}(B)

는

:

\operatorname{vol}(B) := \prod_{i=1}^n (b_i-a_i)

로 주어진다.

\mathbb{R}^n

의 가산개의 구간으로 이루어진 구간 족을 통칭하여,

\mathbb{R}^n

의 구간 덩어리라고 한다.

\mathbb{R}^n

의 임의의 부분 집합

A

에 대하여,

\mathbb{R}^n

의 구간 덩어리를

\mathbf{B}

라 할 때,

A

의 르베그 외측도

\lambda^*(A)

를

:

\lambda^*(A) := \inf_{\mathbf{B}}\Big\{\sum_{B\in \mathbf{B}}\operatorname{vol}(B)\Bigr\}

로 정한다. 단, 여기서의 하한은, 집합

A

를 피복하는 구간 덩어리

\mathbf{B}

의 선택 모두에 걸쳐서 취한다 ( 그러한 피복이 존재하지 않는 경우의 하한은

\infty

로 정해 둔다).

\mathbb{R}^n

의 부분 집합

A

가 르베그 가측 이란,

\mathbb{R}^n

의 임의의 부분 집합

S

에 대하여, 카라테오도리의 조건:

:

\lambda^*(S) = \lambda^*(S \cap A) + \lambda^*(S - A)

를 만족하는 것이다.

르베그 가측인 집합 전체는 완전 가법족을 이룬다. 르베그 가측 집합

A

에 대한 르베그 측도

\lambda

를

\lambda(A) := \lambda^*(A)

로 정의한다.

2. 1. 1차원 르베그 측도

르베그 측도는 1차원 구간의 길이를 일반화한 개념이다.

닫힌 구간 a, b의 1차원 르베그 측도는 b - a이다. 열린 구간 (a, b)의 1차원 르베그 측도 역시 닫힌 구간과의 차집합(즉, 양 끝점 {a, b})의 측도가 0이므로 마찬가지로 b - a이다.

가산 집합의 르베그 측도는 반드시 0이다. 칸토어 집합은 측도가 0인 비가산 집합의 한 예이다.

2. 1. 1. 르베그 외측도

\mathbb R

위의 '''르베그 외측도'''

\lambda^*\colon\mathcal P(\mathbb R)\to[0,\infty]

는 다음과 같이 정의된다.

:

\lambda^*(S) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty|b_i-a_i|\colon a_i,b_i\in\mathbb R,\;S\subset\bigcup_{i=1}^\infty[a_i,b_i]\right\}

^[3]

임의의 구간

I = [a,b]

또는

I = (a, b)

에 대해, 그 길이

\ell(I)

는

\ell(I)= b - a

로 정의된다. 임의의 부분 집합

E\subseteq\mathbb{R}

에 대해, 르베그 외측도

\lambda^{\!*\!}(E)

는 다음과 같은 하한으로 정의된다.

:

\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) : {(I_k)_{k \in \mathbb N}} \text{은 } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k\text{를 만족하는 열린 구간의 수열이다}\right\}.

위 정의는 다음과 같이 고차원으로 일반화될 수 있다.^[4]

C=I_1\times\cdots\times I_n

와 같이 열린 구간들의 데카르트 곱으로 표현되는 임의의 직육면체

C

에 대해, 그 부피

\operatorname{vol}(C)

는

\operatorname{vol}(C)=\ell(I_1)\times\cdots\times \ell(I_n)

(실수 곱)으로 정의된다. 임의의 부분 집합

E\subseteq\mathbb{R^n}

에 대해, 르베그 외측도는 다음과 같이 정의된다.

:

\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \operatorname{vol}(C_k) : {(C_k)_{k \in \mathbb N}} \text{은 } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty C_k\text{를 만족하는 열린 구간의 곱의 수열이다}\right\}.

르베그 외측도의 정의는 실수 집합

E

의 부분집합을 열린 구간의 집합으로 덮는 방식으로 구성된다. 각각의 덮는 구간 집합

I

는 그 합집합이

E

를 포함하므로 어떤 의미에서

E

를 덮는다.

E

는 구간들의 합집합의 부분집합이므로, 구간이

E

에 속하지 않는 점을 포함할 수 있기 때문에 덮는 구간 집합의 총 길이는

E

의 측도를 과대평가할 수 있다. 르베그 외측도는 가능한 모든 덮개 집합 중에서 길이의 최대 하한(하한)으로,

E

에 가장 꽉 맞고 겹치지 않는 구간 집합의 총 길이를 나타낸다.

2. 1. 2. 르베그 가측 집합

카라테오도리 기준을 만족하는 집합을 르베그 가측 집합이라고 한다. 카라테오도리 기준은 모든

A\subseteq \mathbb{R}

에 대해,

\lambda^{\!*\!}(A) = \lambda^{\!*\!}(A \cap E) + \lambda^{\!*\!}(A \cap E^c)

를 만족하는 것이다.^[3] 르베그 가측 집합은 시그마 대수를 이룬다.^[4]

카라테오도리 기준을 만족하지 않는 집합

E

는 르베그 가측이 아니다. ZFC는 비가측 집합이 존재함을 증명하며, 그 예시는 비탈리 집합이다.^[4]

비탈리 정리에 따르면 선택 공리를 가정할 경우 모든 집합의 르베그 측도를 할당하는 것은 불가능하다. 르베그 측정이 불가능한 집합은 바나흐-타르스키 역설 등의 결과를 가져온다. 비탈리 집합은 르베그 측정이 불가능한 집합의 한 예이다. 반면, 결정 공리를 사용할 경우에는 실수의 부분집합은 모두 측정 가능하다는 것을 증명할 수 있다.

선택 공리를 가정할 때, 유클리드 공간의 르베그 가측 집합의 수는

\beth_2=2^{2^{\aleph_0}}

이지만, 보렐 집합의 수는

\beth_1=2^{\aleph_0}

이다. 즉, 거의 모든 르베그 가측 집합은 보렐 집합이 아니다.

모든 르베그 가측 집합

L

은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

L=G\setminus N=F\cup N'

여기서

$N$ 및 $N'$ 은 르베그 영집합이다.
$G$ 는 G_δ 집합이다 (따라서 보렐 집합이다).
$F$ 는 F_σ 집합이다 (따라서 보렐 집합이다).

2. 1. 3. 르베그 측도

보렐 측도의 완비화이다.

\mathbb R^n

위의 르베그 측도는

\mathbb R

위의 르베그 측도의 곱측도로 정의할 수 있으므로,

\mathbb R

위의 측도를 정의하는 것으로 충분하다.

\mathbb R

위의 '''르베그 외측도'''

\lambda^*\colon\mathcal P(\mathbb R)\to[0,\infty]

는 다음과 같다.

:

\lambda^*(S) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty|b_i-a_i|\colon a_i,b_i\in\mathbb R,\;S\subset\bigcup_{i=1}^\infty[a_i,b_i]\right\}

'''르베그 가측 집합'''은 다음 성질을 만족시키는 집합

S\subset\mathbb R

이다.

모든 $T\subset\mathbb R$ 에 대하여, $\lambda^*(T)=\lambda^*(T\cap S)+\lambda^*(T\setminus S)$

르베그 가측 집합의 집합

\mathcal L

은 시그마 대수를 이룬다.

\mathbb R

위의 '''르베그 측도'''

\lambda=\lambda^*|_{\mathcal L}

는 르베그 가측집합에 국한시킨 르베그 외측도이며,

(\mathbb R,\mathcal L,\lambda)

는 측도 공간을 이룬다.

임의의 구간

I = [a,b]

또는

I = (a, b)

에 대해, 실수 집합

\mathbb{R}

에서

\ell(I)= b - a

는 그 길이를 나타낸다. 임의의 부분 집합

E\subseteq\mathbb{R}

에 대해, 르베그 외측도^[3]

\lambda^{\!*\!}(E)

는 다음과 같은 하한으로 정의된다.

:

\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) : {(I_k)_{k \in \mathbb N}} \text{은 } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k\text{를 만족하는 열린 구간의 수열이다}\right\}.

위 정의는 다음과 같이 고차원으로 일반화될 수 있다.^[4]

열린 구간들의 데카르트 곱

C=I_1\times\cdots\times I_n

인 임의의 직육면체

C

에 대해,

\operatorname{vol}(C)=\ell(I_1)\times\cdots\times \ell(I_n)

(실수 곱)는 그 부피를 나타낸다.

임의의 부분 집합

E\subseteq\mathbb{R^n}

에 대해,

:

\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \operatorname{vol}(C_k) : {(C_k)_{k \in \mathbb N}} \text{은 } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty C_k\text{를 만족하는 열린 구간의 곱의 수열이다}\right\}.

일부 집합

E

는 카라테오도리 기준을 만족하며, 이는 모든

A\subseteq \mathbb{R}

에 대해,

:

\lambda^{\!*\!}(A) = \lambda^{\!*\!}(A \cap E) + \lambda^{\!*\!}(A \cap E^c)

를 만족한다.

카라테오도리 기준을 만족하는 집합

E

는 르베그 가측이라고 하며, 르베그 측도는 르베그 외측도로 정의된다:

\lambda(E) = \lambda^{\!*\!}(E)

. 이러한 모든

E

의 집합은 ''σ''-대수를 형성한다.

카라테오도리 기준을 만족하지 않는 집합

E

는 르베그 가측이 아니다. ZFC는 비가측 집합이 존재함을 증명하며, 예시는 비탈리 집합이다.

르베그 측도의 현대적인 구성은 카라테오도리 확장 정리를 사용한 다음과 같다.

자연수

n

을 고정한다.

\mathbb{R}^n

내의 (

n

차원) '''구간''' 또는 초직사각형 (''box'')^영어은 (1차원) 구간의 직적

:

B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]

의 형태 (단,

b_i \ge a_i

인 것으로 한다) 로 쓰여진

\mathbb{R}^n

의 부분집합의 총칭이다. 이 구간

B

의 부피

\operatorname{vol}(B)

는

:

\operatorname{vol}(B) := \prod_{i=1}^n (b_i-a_i)

로 주어진다.

\mathbb{R}^n

의 (고작) 가산 개의 구간으로 이루어진 구간 족을 통칭하여,

\mathbb{R}^n

의 '''구간 덩어리'''라고 한다.

\mathbb{R}^n

의 임의의 부분 집합

A

에 대하여,

\mathbb{R}^n

의 구간 덩어리를

\mathbf{B}

라 할 때,

A

의 르베그 외부 측도

\lambda^*(A)

를

:

\lambda^*(A) := \inf_{\mathbf{B}}\Big\{\sum_{B\in \mathbf{B}}\operatorname{vol}(B)\Bigr\}

로 정한다. 단, 여기서의 하한은, 집합

A

를 피복하는 구간 덩어리

\mathbf{B}

의 선택 모두에 걸쳐서 취하는 것으로 한다 ( 그러한 피복이 존재하지 않는 경우의 하한은

\infty

로 정해 둔다).

더욱이,

\mathbb{R}^n

의 부분 집합

A

가 '''르베그 가측''' 이란,

\mathbb{R}^n

의 임의의 부분 집합

S

에 대하여, 카라테오도리의 조건:

:

\lambda^*(S) = \lambda^*(S \cap A) + \lambda^*(S - A)

를 만족하는 것으로 한다.

르베그 가측인 집합 전체는 완전 가법족을 이룬다. 그렇게 하여 르베그 가측 집합

A

에 대한 르베그 측도

\lambda

를

\lambda(A) := \lambda^*(A)

로 정의한다.

2. 2. 고차원 르베그 측도

임의의 직육면체

C

가 열린 구간들의 데카르트 곱

C=I_1\times\cdots\times I_n

으로 표현될 때,

\operatorname{vol}(C)=\ell(I_1)\times\cdots\times \ell(I_n)

(실수 곱)은 그 부피를 나타낸다.^[4]

임의의 부분 집합

E\subseteq\mathbb{R^n}

에 대해, 르베그 외측도는 다음과 같이 정의된다.

:

\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \operatorname{vol}(C_k) : {(C_k)_{k \in \mathbb N}} \text{은 } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty C_k\text{를 만족하는 열린 구간의 곱의 수열이다}\right\}.

3. 성질

르베그 측도는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

완비 측도이다. 즉, 르베그 가측 집합이고 측도가 0이면, 그 부분집합 또한 가측 집합이다.
(이동 불변성) 임의의 르베그 가측 집합 $A\subset\mathbb R$ 와 벡터 $b\in\mathbb R^k$ 에 대해, $A + b = \{a+b\colon a \in A\}$ 역시 가측 집합이며 $E$ 와 같은 측도를 갖는다.
데카르트 곱 ''I''₁ × ''I''₂ × ⋯ × ''I''_''n''의 구간의 데카르트 곱 ''A''는 르베그 가측이며 $\lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|.$ 이다.
르베그 가측 집합의 여집합도 르베그 가측이다.
모든 르베그 가측 집합 ''A''에 대해 ''λ''(''A'') ≥ 0이다.
''A''와 ''B''가 르베그 가측이고, ''A''가 ''B''의 부분 집합이면, ''λ''(''A'') ≤ ''λ''(''B'')이다.
'''R'''^''n''의 열린 또는 닫힌 부분 집합(또는 심지어 보렐 집합, 거리 공간 참조)은 르베그 가측이다.
르베그 가측 집합은 르베그 측도의 의미에서 "근사적으로 열린"과 "근사적으로 닫힌" 집합이다.
국소 유한이며 내부 정규이므로 라돈 측도이다.
비어있지 않은 열린 집합에서 엄밀히 양의 측도를 가지므로, 그 지지는 전체 '''R'''^''n''이다.
$\delta>0$ 이면, $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$ 로 정의되는 " $\delta$ 에 의한 $A$ 의 팽창" 또한 르베그 가측이며 측도는 $\delta^{n}\lambda\,(A)$ 이다.
''T''가 선형 변환이고 ''A''가 '''R'''^''n''의 가측 부분 집합이면, ''T''(''A'') 또한 르베그 가측이며 측도는 $\left|\det(T)\right| \lambda(A)$ 이다.

위의 모든 내용은 다음과 같이 간결하게 요약할 수 있다.

: 르베그 가측 집합은 모든 구간의 곱을 포함하는 ''σ''-대수를 형성하며, ''λ''는

\lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1.

을 만족하는 해당 σ-대수 위의 유일한 완비 이동 불변 측도이다.

르베그 측도는 ''σ''-유한이다.

선택 공리를 가정하면, 모든 집합에 르베그 측도를 할당하는 것은 불가능하다는 비탈리 정리가 성립한다. 비탈리 집합은 르베그 측정이 불가능한 대표적인 예시이다. 르베그 측정이 불가능한 집합은 바나흐-타르스키 역설과 같은 결과를 낳는다.^[9]

3. 1. 르베그 가측 집합의 성질

모든 보렐 집합은 르베그 가측 집합이다.
모든 르베그 가측 집합 $L$ 은 G_δ 집합 $G$ 와 영집합 $N$ 의 차집합 $L = G \setminus N$ 으로 나타낼 수 있다.
모든 르베그 가측 집합 $L$ 은 F_σ 집합 $F$ 와 영집합 $N'$ 의 합집합 $L = F \cup N'$ 으로 나타낼 수 있다.
르베그 가측 집합들의 가산 합집합과 교집합은 르베그 가측이다.
''A''가 르베그 가측 집합이고 ''x''가 '''R'''^''n''의 원소이면, ''x''에 의한 ''A''의 평행 이동 ''A'' + ''x'' = {''a'' + ''x'' : ''a'' ∈ ''A''}는 르베그 가측이며 ''A''와 동일한 측도를 갖는다.

3. 2. 영집합 (Null Set)

'''R'''^''n''의 부분 집합은 모든 ε > 0에 대해 전체 부피가 ε 이하인 가산 개의 ''n''개 구간 곱으로 덮을 수 있다면 ''영집합''이다. 모든 가산 집합은 영집합이다.

'''R'''^''n''의 부분 집합이 하우스도르프 차원이 ''n''보다 작으면 ''n''차원 르베그 측도에 대해 영집합이다. 여기서 하우스도르프 차원은 '''R'''^''n''의 유클리드 거리 (또는 이에 립시츠 동등한 모든 거리)를 기준으로 한다. 반면에 집합은 위상 차원이 ''n''보다 작고 양의 ''n''차원 르베그 측도를 가질 수 있다. 이에 대한 예시는 위상 차원이 0이지만 양의 1차원 르베그 측도를 갖는 스미스-볼테라-칸토어 집합이다.

주어진 집합 ''A''가 르베그 가측임을 보이기 위해 일반적으로 "더 좋은" 집합 ''B''를 찾으려고 시도하는데, 이 집합은 ''A''와 영집합(즉, 대칭 차이 (''A'' − ''B'') ∪ (''B'' − ''A'')가 영집합)만큼만 다르며, 그런 다음 ''B''가 열린 집합이나 닫힌 집합으로부터 가산 개의 합집합과 교집합을 사용하여 생성될 수 있음을 보여준다.

3. 3. 비가측 집합 (Non-measurable Set)

선택 공리를 가정하면, 모든 집합에 르베그 측도를 할당하는 것은 불가능하다는 비탈리 정리가 성립한다. 비탈리 집합은 르베그 측정이 불가능한 대표적인 예시이다. 르베그 측정이 불가능한 집합은 바나흐-타르스키 역설과 같은 결과를 낳는다.^[9] 반면, 결정 공리를 사용하면 실수의 모든 부분집합이 측정 가능하다는 것을 증명할 수 있다.

4. 예

모든 닫힌 구간 ''a'', ''b''은 실수의 르베그 가측 집합이며, 르베그 측도는 길이 ''b'' - ''a''이다. 열린 구간 ((''a'', ''b''))도 같은 측도를 갖는데, 두 집합의 차집합이 각자 측도 영인 끝점 ''a''와 ''b''로만 구성되어 있기 때문이다.^[5]^[6]
구간 ''a'', ''b''와 ''c'', ''d''의 모든 데카르트 곱은 르베그 가측 집합이며, 르베그 측도는 해당 직사각형의 면적인 (''b'' - ''a'')(''d'' - ''c'')이다.
모든 가산 실수의 집합은 르베그 측도가 0이다. 특히, 대수적 수의 집합은 dense set|조밀 집합^영어임에도 불구하고, 르베그 측도는 0이다.
칸토어 집합과 리우빌 수의 집합은 르베그 측도가 0인 비가산 집합의 예시이다.
오스굿 곡선은 양수 르베그 측도를 갖는 단순한 평면 곡선이다.^[7] (이것은 페아노 곡선 구성을 약간 변형하여 얻을 수 있다.) 드래곤 곡선 또한 특이한 예시이다.

5. 다른 측도와의 관계

보렐 측도는 정의된 집합에 대해 르베그 측도와 일치한다. 그러나 르베그 가측 집합이 보렐 가측 집합보다 훨씬 많다. 보렐 측도는 평행 이동 불변이지만, 완비는 아니다.^[1]

하르 측도는 임의의 국소 콤팩트 군에서 정의될 수 있으며 르베그 측도의 일반화이다 (덧셈을 갖는 '''R'''^''n''은 국소 콤팩트 군이다).^[2]

하우스도르프 측도는 르베그 측도의 일반화이며, 예를 들어 '''R'''³에서 부분 다양체인 곡면이나 곡선, 그리고 프랙탈 집합과 같이 ''n''보다 낮은 차원의 '''R'''^''n''의 부분 집합을 측정하는 데 유용하다. 하우스도르프 측도는 하우스도르프 차원의 개념과 혼동해서는 안 된다.^[3]

무한 차원 르베그 측도의 무한 차원 아날로그는 존재하지 않는다는 것을 보일 수 있다.^[4]

6. 역사

앙리 르베그는 1899년부터 1901년까지 측도에 관한 논문을 발표하였고, 1902년에 박사 논문 "적분, 길이, 면적"^[10]에서 르베그 적분과 함께 르베그 측도를 제시하였다. 1970년에 로버트 M. 솔로베이는 선택 공리가 없는 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 르베그 비가측 집합의 존재를 증명할 수 없음을 보였다. (솔로베이의 모형 참고)^[9]

참조

_[1] 문서 volume
_[2] 논문 Intégrale, Longueur, Aire https://zenodo.org/r[...]
_[3] 서적 Real Analysis Macmillan 1988
_[4] 웹사이트 Lebesgue-Maß https://de.wikipedia[...] 2022-08-29
_[5] 웹사이트 What sets are Lebesgue-measurable? https://math.stackex[...] math stack exchange 2015-09-26
_[6] 웹사이트 Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras? https://math.stackex[...] math stack exchange 2015-09-26
_[7] 논문 A Jordan Curve of Positive Area American Mathematical Society 1903-01
_[8] 서적 Real Analysis https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[9] 논문 A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue-measurable
_[10] 간행물 積分・長さおよび面積 http://www.kyoritsu-[...] 共立出版 1902

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com