면추이

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1. 개요
2. 정의
3. 종류
4. 대칭성에 따른 분류
5. k-등면체
6. 관련 용어
참조

1. 개요

면추이는 모든 면이 합동이고, 면에 대해 추이적인 다면체를 의미한다. 정다면체, 카탈란 다면체, 쌍각뿔과 엇쌍각뿔 등이 면추이에 속하며, 면추이는 면의 개수와 모양, 대칭성에 따라 분류될 수 있다. k-등면체는 대칭 기본 영역 내에 k개의 면을 포함하는 다면체 또는 테셀레이션을 의미하며, 등면체는 1-등면체와 같다. 셀-추이 도형은 셀이 합동이고 추이적인 다포체 또는 벌집을 의미하며, 면-추이 도형은 면이 합동이고 추이적인 다포체 또는 벌집을 의미한다.

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면추이
개요
정의	모든 면이 합동인 다면체 또는 2차원 이상의 테셀레이션
다른 이름	면추이 도형, 등면체
상세 정보
설명	모든 면이 합동인 다면체 또는 2차원 이상의 테셀레이션을 의미한다. 면추이는 면-추이성을 갖는 다면체이다. 즉, 다면체의 모든 면은 대칭 그룹의 추이 집합이다.
면-추이성	다면체의 모든 면이 대칭 그룹의 추이 집합인 성질
특징	면추이 다면체의 모든 면은 합동이다. 면추이 다면체는 거울상을 포함할 수 있다. 모든 정다면체와 준정다면체는 면추이 다면체이다. 면추이 다면체의 쌍대인 꼭짓점추이 다면체는 면추이 다면체이다.
예시	델타다면체 존슨 다면체 중 J1, J2, J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16, J17, J18, J19, J20, J21, J22, J23, J24, J25, J26, J27, J28, J29, J30, J31, J32, J33, J34, J37, J38, J51, J62, J72, J73, J74, J75, J76, J77, J78, J79, J80, J81, J82, J83, J84, J85, J86, J87, J88, J89, J90, J91, J92 마름모꼴 이십면체 일부 카탈랑의 다면체
관련 용어	아이소톡설 다면체(모든 꼭짓점이 동일한 다면체)
참고 문헌

2. 정의

'''등면체''' 다면체 또는 단면체 테셀레이션(m=1)은 직접적이거나 반사적으로 합동인 면을 가지며, 하나 이상의 대칭 위치에서 나타난다. ''m''-면체 다면체 또는 테셀레이션은 ''m''개의 서로 다른 면 모양을 갖는다 ("이면체", "삼면체"는 각각 "2-면체", "3-면체"와 동일하다).^[7]

3. 종류

등면체의 종류는 다음과 같다.

면	면 구성	클래스	이름	대칭	차수	볼록	동면	비볼록
4	V3³	플라톤 입체	정사면체 사각 이면체 마름모 이면체	T_d, [3,3], (332) D_2d, [2⁺,2], (2) D₂, [2,2]⁺, (222)	24, 4, 4, 4	정사면체 사각 이면체 마름모 이면체	\|
6	V3⁴	플라톤 입체	정육면체 삼각 사다리꼴 면체 비대칭 삼각 사다리꼴 면체	O_h, [4,3], (432) D_3d, [2⁺,6], (23) D₃, [2,3]⁺, (223)	48, 12, 12, 6	정육면체 삼각 사다리꼴 면체 비대칭 삼각 사다리꼴 면체	\|
8	V4³	플라톤 입체	정팔면체 정사각형 쌍각뿔 마름모 쌍각뿔 정사각형 사다리꼴 면체	O_h, [4,3], (432) D_4h,[2,4],(224) D_2h,[2,2],(222) D_2d,[2⁺,4],(22)	48, 16, 8, 8	정팔면체 정사각형 쌍각뿔 마름모 쌍각뿔 정사각형 사다리꼴 면체 1 정사각형 사다리꼴 면체 2 정사각형 사다리꼴 면체 3	\|	정사각형 사다리꼴 면체 4
12	V3⁵	플라톤 입체	정십이면체 파이리토헤드론 테타르토이드	I_h, [5,3], (532) T_h, [3⁺,4], (32) T, [3,3]⁺, (*332)	120, 24, 12	정십이면체 파이리토헤드론 테타르토이드	테타르토이드 정육면체 테타르토이드 정사면체	오목 파이리토헤드론 별모양 파이리토헤드론
20	V5³	플라톤 입체	정이십면체	I_h, [5,3], (*532)	120	정이십면체	\|
12	V3.6²	카탈란	삼각 육각 면체	T_d, [3,3], (*332)	24	--	삼각 육각 면체 정육면체 삼각 육각 면체 정사면체	오목 삼각 육각 면체
12	V(3.4)²	카탈란	마름모 십이면체 델타 십이면체	O_h, [4,3], (432) T_d, [3,3], (332)	48, 24	-- 델타 십이면체 1 델타 십이면체 2	델타 십이면체 3	델타 십이면체 4 델타 십이면체 5
24	V3.8²	카탈란	삼각 팔면체	O_h, [4,3], (*432)	48	--	\|	별모양 팔면체 오목 팔면체
24	V4.6²	카탈란	사각 육각 면체	O_h, [4,3], (*432)	48	사각 육각 면체 사각뿔 정육면체	사각 육각 면체 정육면체 사각 육각 면체 정사면체	사각 육각 면체 반육면체 오목 정육면체
24	V3.4³	카탈란	델타 이십사면체	O_h, [4,3], (*432)	48	-- 델타 이십사면체 자이로	델타 이십사면체 부분 정육면체 델타 이십사면체 정팔면체 델타 이십사면체 정팔면체 자이로	오목 델타 이십사면체 자이로
48	V4.6.8	카탈란	이중 사각 육각 면체	O_h, [4,3], (*432)	48	--	이중 사각 육각 면체 정육면체 이중 사각 육각 면체 정팔면체 이중 사각 육각 면체 마름모	이중 사각 육각 면체 반팔면체 이중 사각 육각 면체 큰 면
24	V3⁴.4	카탈란	오각 이십사면체	O, [4,3]⁺, (432)	24	--	\|
30	V(3.5)²	카탈란	마름모 삼십면체	I_h, [5,3], (*532)	120	--	\|
60	V3.10²	카탈란	삼각 이십면체	I_h, [5,3], (*532)	120	--	\|	삼각 이십면체 정사면체 삼각 이십면체 첫번째 별 큰 정십이면체 오목 정이십면체
60	V5.6²	카탈란	오각 육각 면체	I_h, [5,3], (*532)	120	--	\|	오각뿔 정십이면체 작은 별모양 십이면체 큰 별모양 십이면체 큰 오각 육각 면체 세번째 별모양 정이십면체
60	V3.4.5.4	카탈란	델타 육십면체	I_h, [5,3], (*532)	120	델타 육십면체	델타 육십면체 정이십면체 정십이면체	마름모 육십면체
120	V4.6.10	카탈란	이중 사각 삼십면체	I_h, [5,3], (*532)	120	--	이중 사각 삼십면체 정십이면체 이중 사각 삼십면체 정이십면체 이중 사각 삼십면체 마름모 삼십면체	작은 십이면체 정팔면체 5개 오목 마름모 삼십면체
60	V3⁴.5	카탈란	오각 육십면체	I, [5,3]⁺, (532)	60	오각 육십면체	\|
2n	V3³.n	극좌표	사다리꼴 면체 비대칭 사다리꼴 면체	D_nd, [2⁺,2n], (2*n) D_n, [2,n]⁺, (22n)	4n, 2n	사각 사다리꼴 면체 오각 사다리꼴 면체 육각 사다리꼴 면체 -- 꼬인 육각 사다리꼴 면체	\|
2n 4n	V4².n V4².2n V4².2n	극좌표	정규 n-쌍각뿔 등측 2n-쌍각뿔 2n-사다리꼴 면체	D_nh, [2,n], (22n) D_nh, [2,n], (22n) D_nd, [2⁺,2n], (2*n)	4n	삼각 쌍각뿔 -- 오각 쌍각뿔 --	\|	오각성 쌍각뿔 7-2 쌍각뿔 7-3 쌍각뿔 8-3 쌍각뿔 8-3 쌍각뿔 지그재그 8-3 쌍각뿔 인아웃 8-3 쌍각뿔 지그재그 인아웃

볼록			오목
육각 쌍각뿔 육각 쌍각뿔s, V4.4.6는 비정규 등면 다면체이다.	카이로 오각형 타일링 카이로 오각형 타일링(Cairo pentagonal tiling), V3.3.4.3.4는 등면 타일링이다.	마름모 십이면체 벌집 마름모 십이면체 벌집은 등면 타일링(등적, 공간 채움)이다.	소용돌이 모양 H 타일링 소용돌이 모양의 H 타일링으로 왜곡된 정사각형 타일링(위상 동등)도 등면 타일링이다.

4. 대칭성에 따른 분류

등면체는 면의 모양과 대칭성에 따라 분류할 수 있다. 다음은 그 예시를 나타낸 표이다.

면	면 구성	클래스	이름	대칭	차수	볼록
4	V3³	플라톤 입체	정사면체 사각 이면체 마름모 이면체	T_d, [3,3], (332) D_2d, [2⁺,2], (2) D₂, [2,2]⁺, (222)	24 4 4 4
6	V3⁴	플라톤 입체	정육면체 삼각 사다리꼴 면체 비대칭 삼각 사다리꼴 면체	O_h, [4,3], (432) D_3d, [2⁺,6], (23) D₃, [2,3]⁺, (223)	48 12 12 6
8	V4³	플라톤 입체	정팔면체 정사각형 쌍각뿔 마름모 쌍각뿔 정사각형 사다리꼴 면체	O_h, [4,3], (432) D_4h, [2,4], (224) D_2h, [2,2], (222) D_2d, [2⁺,4], (22)	48 16 8 8
12	V3⁵	플라톤 입체	정십이면체 파이리토헤드론 테타르토이드	I_h, [5,3], (532) T_h, [3⁺,4], (32) T, [3,3]⁺, (*332)	120 24 12
20	V5³	플라톤 입체	정이십면체	I_h, [5,3], (*532)	120
12	V3.6²	카탈란	삼각 육각 면체	T_d, [3,3], (*332)	24	--
12	V(3.4)²	카탈란	마름모 십이면체 델타 십이면체	O_h, [4,3], (432) T_d, [3,3], (332)	48 24	--
24	V3.8²	카탈란	삼각 팔면체	O_h, [4,3], (*432)	48	--
24	V4.6²	카탈란	사각 육각 면체	O_h, [4,3], (*432)	48
24	V3.4³	카탈란	델타 이십사면체	O_h, [4,3], (*432)	48	--
48	V4.6.8	카탈란	이중 사각 육각 면체	O_h, [4,3], (*432)	48	--
24	V3⁴.4	카탈란	오각 이십사면체	O, [4,3]⁺, (432)	24	--
30	V(3.5)²	카탈란	마름모 삼십면체	I_h, [5,3], (*532)	120	--
60	V3.10²	카탈란	삼각 이십면체	I_h, [5,3], (*532)	120	--
60	V5.6²	카탈란	오각 육각 면체	I_h, [5,3], (*532)	120	--
60	V3.4.5.4	카탈란	델타 육십면체	I_h, [5,3], (*532)	120
120	V4.6.10	카탈란	이중 사각 삼십면체	I_h, [5,3], (*532)	120	--
60	V3⁴.5	카탈란	오각 육십면체	I, [5,3]⁺, (532)	60
2n	V3³.n	극좌표	사다리꼴 면체 비대칭 사다리꼴 면체	D_nd, [2⁺,2n], (2*n) D_n, [2,n]⁺, (22n)	4n 2n	--
2n 4n	V4².n V4².2n V4².2n	극좌표	정규 n-쌍각뿔 등측 2n-쌍각뿔 2n-사다리꼴 면체	D_nh, [2,n], (22n) D_nh, [2,n], (22n) D_nd, [2⁺,2n], (2*n)	4n	-- --

5. k-등면체

k*-등면체는 *k*개의 면 궤도를 갖는 다면체 또는 테셀레이션을 의미한다. 즉, 대칭 조작을 통해 서로 겹쳐질 수 있는 면들이 *k*개의 그룹으로 나뉜다. 1-등면체는 등면체와 동일하다.^[5]^[6]

단면체 다면체 또는 단면체 테셀레이션은 합동인 면을 가지며, 하나 이상의 대칭 위치에서 나타난다. *m*-면체 다면체 또는 테셀레이션은 *m*개의 서로 다른 면 모양을 갖는다.^[7]

다음은 면이 *k*개의 대칭 위치별로 색상이 지정된 *k*-등면체 다면체 및 테셀레이션의 예시이다.

3-등면체	4-등면체	등면체	2-등면체
2-면체 정규 면 다면체		단면체 다면체
		--
마름모 입방 팔면체는 1가지 유형의 삼각형과 2가지 유형의 사각형을 갖는다.	의사 마름모 입방 팔면체는 1가지 유형의 삼각형과 3가지 유형의 사각형을 갖는다.	델타 24면체는 1가지 유형의 면을 갖는다.	의사 델타 24면체는 동일한 모양의 2가지 유형의 면을 갖는다.

2-등면체	4-등면체	등면체	3-등면체
2-면체 정규 면 테셀레이션		단면체 테셀레이션

피타고라스 테셀레이션은 2가지 유형의 사각형(크기)을 갖는다.	이 3-균일 테셀레이션은 동일한 모양의 3가지 유형의 삼각형과 1가지 유형의 사각형을 갖는다.	청어 뼈 패턴은 1가지 유형의 직사각형을 갖는다.	이 오각형 테셀레이션은 동일한 모양의 3가지 유형의 불규칙 오각형을 갖는다.

6. 관련 용어

'''등체''' 도형은 모든 셀(3차원 면)이 합동이고 추이적인 4차원 다포체 또는 3차원 벌집을 의미한다. 3차원에서는 반사 벌집과 균일 벌집의 쌍대 도형이 등체 도형이다.^[8]
'''동위''' 도형은 모든 면((n-1)차원 면)이 합동이고 추이적인 ''n'' 차원 다포체 또는 벌집이다. ''동위'' 도형의 쌍대는 등각 다포체이다. 이 속성은 균일 다포체의 쌍대 도형에 공통적으로 나타난다.^[8]
동위 2차원 도형은 등토축, 즉 모서리-추이적이다.
동위 3차원 도형은 등면체, 즉 면-추이적이다.
동위 4차원 도형은 등체, 즉 셀-추이적이다.

참조

_[1] 논문 Dungeons, dragons, and dice
_[2] 웹사이트 Isozonohedron http://mathworld.wol[...] 2019-12-26
_[3] 웹사이트 Isohedron http://mathworld.wol[...] 2019-12-21
_[4] 웹사이트 Rhombic Icosahedron http://mathworld.wol[...] 2019-12-21
_[5] 간행물 Hexagonal Parquet Tilings: ''k''-Isohedral Monotiles with Arbitrarily Large ''k'' http://www.phy.duke.[...] 2007-09-09
_[6] 웹인용 Introductory Tiling Theory for Computer Graphics https://books.google[...] 2022-12-08
_[7] 문서 Tilings and patterns
_[8] 웹인용 Four Dimensional Dice up to Twenty Sides http://www.polytope.[...]

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