정팔면체

3. 구와 정팔면체의 관계

정팔면체의 모서리 길이가 ''a''일 때, 외접구(모든 꼭짓점에서 팔면체와 접촉하는 구)의 반지름은 다음과 같다.

:$r\_u\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\; a\; \backslash approx\; 0.707a$

팔면체의 각 면에 내접하는 내접구의 반지름은 다음과 같다.

:$r\_i\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{6\}\; a\; \backslash approx\; 0.408a$

각각의 모서리의 중앙을 지나는 구의 반지름은 다음과 같다.

:$r\_m\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; a\; =\; 0.5a$

4. 겉넓이와 부피

한 모서리의 길이가 $a$인 정팔면체의 겉넓이와 부피는 다음과 같다.

:$A=2\backslash sqrt\{3\}a^2$

:$V=\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{3\}a^3$

한 모서리의 길이가 $a$인 정육면체에 꼭 맞게 들어가는 정팔면체의 부피는 다음과 같다.

:$V=\backslash frac\{1\}\{6\}a^3$

5. 관련 다면체

정육면체와 쌍대 관계인 정팔면체는 정사각뿔 두 개를 맞붙인 형태로, 존슨의 다면체에 속한다. 정팔면체를 변형하여 다양한 다면체를 만들 수 있다.

정팔면체와 관련된 다면체

이름	이미지	설명
정사각뿔		정팔면체를 반으로 자른 형태
쌍사각뿔기둥		정팔면체 사이에 사각 기둥을 끼운 형태
쌍사각뿔 반기둥		정팔면체의 한쪽을 45° 비틀어 정사각 반기둥을 끼운 형태
쌍삼각뿔		정팔면체의 뿔 모서리 개수를 줄인 형태
쌍오각뿔		정팔면체의 뿔 모서리 개수를 늘린 형태
별모양 팔면체		정팔면체의 변형된 형태
육팔면체		정팔면체의 꼭짓점을 깎아 만든 형태
깎은 정팔면체		정팔면체의 모서리를 깎아 만든 형태

5. 1. 정다면체

5. 2. 존슨의 다면체

5. 3. 그 외의 다면체