단체 (수학)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 성질
5. 추상화
6. 예시
7. 활용
8. 화합물(Compounds)
9. Aitchison 기하학
참조

1. 개요

단순체는 n+1개의 꼭짓점을 갖는 n차원 폴리토프이며, 기하학, 위상수학, 통계학 등 다양한 분야에서 활용되는 개념이다. n차원 표준 단순체는 n+1차원 유클리드 공간의 부분 집합으로 정의되며, 꼭짓점, 변, 면과 같은 요소들로 구성된다. 단순체는 볼록 껍질로 유일하게 결정되며, 조합론적 대상으로 간주된다. 부피 계산, 기하학적 성질, 표준 단순체의 정의 등 다양한 특징을 가지며, 대수적 위상수학, 통계학, 산업 통계학, 운영 과학, 컴퓨터 그래픽스, 화학, 양자 중력 등 여러 분야에서 활용된다. 또한, 자기 쌍대성을 통해 화합물을 형성할 수 있으며, Aitchison 기하학을 통해 내적 공간을 구성하는 데 사용된다.

2. 정의

n차원 단체는 다음 조건을 만족시키는 n차원 폴리토프이다.

n+1개의 꼭짓점(0차원 면)을 갖는다.
임의의 꼭짓점 집합 I에 대하여, 이들은 어떤 유일한 |I|-1차원 면에 공통적으로 속한다. (즉, 이 역시 단체를 이루게 된다.)

n차원 표준 단체(n-dimensional standard simplex^영어)는 n+1차원 유클리드 공간 ℝⁿ⁺¹의 다음과 같은 부분 집합이다.

:

\triangle^n = \{(t_0,t_1,\dotsc,t_n) \in [0,1]^{n+1} \colon t_0 + t_1 + \dotsb + t_n = 1\}

r + 1개의 점(위치 벡터) a₀, a₁, …, a_r가 있으며, 이 모든 점이 ℝⁿ의 r - 1차원 이하의 부분 공간에 포함되지 않는다고 가정한다(이것을 일반적인 위치에 있다고 한다). 이때,

:

\left\{\textstyle\sum\limits_{i=0}^r \lambda_i \boldsymbol{a}_i \in \mathbb{R}^n \mid\lambda_i \in \mathbb{R}, \ \sum\limits_{i=0}^r \lambda_i=1,\ \lambda_0, \cdots, \lambda_r \ge 0\right\}

를 a₀, a₁, …, a_r에 의해 생성(또는 뻗어짐)되는 r차원 단순체 (r-dimentional simplex) 또는 단순히 r단순체 (r-simplex)라고 한다. 또한, a₀, a₁, …, a_r를 이 단순체의 정점 (vertex)이라고 하며, V = {a₀, a₁, …, a_r}를 정점 집합이라고 부른다.

또한, a₀, a₁, …, a_r가 아핀 독립(affinely independent), 즉 a₁ - a₀, …, a_r - a₀가 선형 독립이며, 이 a₀, a₁, …, a_r가 뻗는 볼록 껍질이라고 바꿔 말할 수도 있다.

두 단순체가 정점을 공유하고, 한 쪽이 다른 쪽에 포함될 때, 포함되는 단순체를 다른 쪽 단순체의 면 (face)이라고 한다. 특히 m차원 단순체인 면을 m차원 면 (m-face)이라고 한다. 예를 들어, 정점은 0차원 면이다. 또한 특히 1차원 면을 변이라고 부르고, 여차원 1인 면을 패싯(facet, 절리면)이라고 부른다(여기서 "여차원"은 포함하는 단순체의 차원과 그 면의 차원의 차이를 말한다).

3. 역사

윌리엄 킹던 클리포드는 1886년에 이 도형들에 대해 "소수 경계"라고 썼다.^[3] 앙리 푸앵카레는 1900년에 대수적 위상수학에 관해 글을 쓰면서 이를 "일반화된 사면체"라고 불렀다. 1902년 피터 헨드릭 소우테는 이 개념을 처음으로 라틴어 최상급인 ''simplicissimum''("가장 단순한")으로, 그리고 나서 같은 라틴어 형용사를 일반적인 형태인 ''simplex''("단순한")로 묘사했다.^[3]

'''정규 단순체'''군은 세 개의 정다포체군 중 첫 번째이며, 도널드 콕세터는 α_n으로 표기했다.

4. 성질

n차원 단체는 n차원을 필요로 하는 가장 적은 꼭짓점을 가진 다포체이다. 파스칼의 삼각형을 통해 각 차원의 면의 개수를 표현할 수 있다. 단순체는 볼록 도형이며, 꼭짓점 조합에 의해 유일하게 결정된다. 단순체의 꼭짓점 집합에서 일부를 선택하여 만든 단순체는 원래 단순체의 면이 된다.

두 단순체가 정점을 공유하고 한쪽이 다른 쪽에 포함될 때, 포함되는 단순체를 다른 쪽 단순체의 '''면'''이라고 한다.

4. 1. 면(Elements)

단순체의 비어 있지 않은 부분 집합의 볼록 껍질은 개의 점으로 정의되며 단순체의 '''면'''이라고 불린다. 면은 그 자체로 단순체이다. 특히, 크기 의 부분 집합(개의 정의 점)의 볼록 껍질은 -단순체이며, -단순체의 -면이라고 불린다. 0-면(즉, 크기가 1인 집합으로서의 정의 점 자체)은 '''꼭짓점''' (단수: 꼭짓점)이라고 불리며, 1-면은 '''변''', ()-면은 '''패Facet'''이라고 불린다.

일반적으로, -면의 수는 이항 계수

\tbinom{n+1}{m+1}

와 같다.^[4] 결과적으로, -단순체의 -면의 수는 파스칼의 삼각형의 ()행의 열 ()에서 찾을 수 있다.

두 단순체가 정점을 공유하고, 한 쪽이 다른 쪽에 포함될 때, 포함되는 단순체를 다른 쪽 단순체의 '''면'''(''face'')이라고 한다. 특히 차원 단순체인 면을 차원 면 (''m''-''face'')이라고 한다. 예를 들어, 정점은 0차원 면이다. 또한 특히 1차원 면을 '''변'''이라고 부르고, 여차원 1인 면을 '''패싯'''(''facet'', 절리면)이라고 부른다(여기서 "여차원"은 포함하는 단순체의 차원과 그 면의 차원의 차이를 말한다).

4. 2. 기하학적 성질

n차원 단체의 부피는 행렬식을 사용하여 계산할 수 있다.

\mathbf{R}^n

에서 꼭짓점

(v_0, ..., v_n)

을 갖는 n-단순체의 부피는 다음과 같다.^[8]

:

\mathrm{Volume} = \frac{1}{n!} \left|\det\begin{pmatrix}v_1-v_0 && v_2-v_0 && \cdots && v_n-v_0\end{pmatrix}\right|

여기서 각 열은 꼭짓점

v_0

에서 다른 꼭짓점

v_k

를 가리키는 벡터이다. 이 공식은

v_0

이 원점일 때 특히 유용하다.

그람 행렬식을 사용하면, n-단순체의 꼭짓점이 n차원보다 큰 유클리드 공간에 있을 때도 부피를 계산할 수 있다.^[8]

\mathbf{R}^n

에서 n-단순체의 부피를 계산하는 더 대칭적인 방법은 다음과 같다.

:

\mathrm{Volume} = {1\over n!} \left|\det\begin{pmatrix}v_0 & v_1 & \cdots & v_n \\1   & 1   & \cdots & 1\end{pmatrix}\right|.

케이리-멩거 행렬식을 사용하는 것도 n-단순체의 꼭짓점이 n차원보다 큰 유클리드 공간에 있을 때 부피를 계산하는 일반적인 방법이다.^[9]

정규 n차원 단체의 이면각은

\cos^{-1}(1/n)

이다.^[11]^[12] 즉, 임의의 두 (n-1)차원 면은 그 자체로 정규 (n-1)차원 단체이며, 같은 이면각을 갖는다.

직교 꼭짓점을 갖는 n차원 단체에 대해 피타고라스 정리의 일반화된 형태가 성립한다. 직교 꼭짓점은 모든 인접 모서리가 쌍별로 직교하는 꼭짓점을 의미하며, 이는 모든 인접한 면들이 쌍별로 직교한다는 것을 뜻한다. 이러한 단순체에서, 직교 꼭짓점에 인접한 면의 제곱된 (n-1)차원 부피의 합은 직교 꼭짓점의 반대편 면의 제곱된 (n-1)차원 부피와 같다.^[13]

:

\sum_{k=1}^n |A_k|^2 = |A_0|^2

여기서

A_1 \ldots A_n

은 서로 쌍별로 직교하지만 직교 꼭짓점의 반대편 면인

A_0

에는 직교하지 않는 면이다.

2-단순체의 경우, 이 정리는 직각을 가진 삼각형에 대한 피타고라스 정리이며, 3-단순체의 경우 직교 꼭짓점을 가진 사면체에 대한 드 구아 정리이다.

4. 3. 표준 단체(Standard simplex)

n-dimensional standard simplex^영어 또는 표준

n

차원 단체는

\mathbb{R}^{n+1}

의 부분 집합으로, 다음과 같이 정의된다.

:

\Delta^n = \left\{(t_0,\dots,t_n)\in\mathbf{R}^{n+1} ~\Bigg|~ \sum_{i = 0}^n t_i = 1 \text{ and } t_i \ge 0 \text{ for } i = 0, \ldots, n\right\}

.

즉, 좌표의 합이 1이고 모든 좌표가 0 이상인 점들의 집합이다.

표준 단체는 모든 좌표가 0 또는 1인 0/1-다포체의 한 예시이며, 정규

(n+1)

-orthoplex의 한 면으로 볼 수도 있다.

표준

n

차원 단체는 중심 좌표(

t_0, \ldots, t_n

)를 사용하여 표현할 수 있다.

표준

n

차원 단체의

n+1

개의 꼭짓점은 다음과 같다.^[6]

:

e_0 = (1, 0, 0, ..., 0)

:

e_1 = (0, 1, 0, ..., 0)

: ⋮

:

e_n = (0, 0, 0, ..., 1)

.

또한, 단위 분할을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\Delta_*^n = \left\{(s_1,\ldots,s_n)\in\mathbf{R}^n\mid 0 = s_0 \leq s_1 \leq s_2 \leq \dots \leq s_n \leq s_{n+1} = 1 \right\}.

5. 추상화

단순체는 꼭짓점 집합의 볼록 껍질로 추상화할 수 있다. 단순체의 면은 꼭짓점 집합의 부분 집합을 선택하는 것과 대응된다. 단순체의 면 관계는 꼭짓점 집합의 멱집합의 포함 관계로 표현될 수 있다.

좀 더 정확하게는, 단순체가 다른 단순체에 면으로 포함되는 것을 '''면 관계'''라고 부르기로 하면, 어떤 단순체의 면 전체가 이루는 집합에 면 관계에 의한 순서를 넣은 것은, 꼭짓점 집합의 멱집합이 포함 관계에 관하여 만드는 순서 집합으로 간주할 수 있다.

한편, 위상 기하학적으로는 볼록성은 그다지 의미를 갖지 않지만, 각 면을 연속적으로 움직여 서로 변환되는 도형을 구별하지 않기 때문에, 역시 꼭짓점을 결정하면 (그것들을 모든 차원에서 모두 연결함으로써) 단순체는 유일하게 결정되며, 위와 같은 것을 생각할 수 있다. 중요한 것은 단순체를, 그것이 포함하는 면의 전체를 생각하여, 꼭짓점 집합의 부분 집합의 족으로 간주하는 것이다.

6. 예시

차원	단체의 이름
0	점 (한원소 공간)
1	닫힌 선분 (폐구간)
2	삼각형
3	사면체
4	오포체

0차원 단체는 점이다.
1차원 단체는 선분이다.
2차원 단체는 삼각형이다.
3차원 단체는 사면체이다.
4차원 단체는 오포체 (5-세포)이다.

7. 활용

대수적 위상수학에서 단순체는 단순 복합체를 구성하는 데 사용되며, 이는 조합론적인 방식으로 서로 붙어 있는 단순체들로 이루어진 위상 공간이다. 단순 복합체는 단순 호몰로지를 정의하는 데 활용된다.^[15]

통계학에서 단순체는 조성 데이터의 표본 공간을 나타내며, 삼원도처럼 하위 개체들의 비율과 같이 합이 1이 되는 값들을 나타내는 데 사용된다. 확률론에서 단순체 공간은 확률 분포 공간을 표현하는 데 사용되기도 한다. 예를 들어, 디리클레 분포는 단순체에서 정의된다. 산업 통계학에서 단순체는 혼합물 문제의 공식화 및 해결에 활용된다. 예를 들어, 빵을 만들 때 효모, 밀가루, 물, 설탕 등의 성분 비율이 중요하며, 최적의 혼합 비율을 찾기 위해 단순체를 이용한 비선형 계획법 방법이 사용될 수 있다.^[15]

운영 과학에서 선형 계획법 문제는 조지 단치히가 개발한 단순법을 사용하여 최적해를 찾을 수 있다.^[15]

게임 이론에서 전략은 단순체 내의 점으로 표현될 수 있으며, 이는 혼합 전략 분석을 단순화한다.^[16]

기하학적 설계 및 컴퓨터 그래픽스에서 많은 방법들이 영역의 단순 삼각 분할을 먼저 수행한 후 각 단순체에 보간 다항식 및 유리 함수 모델링을 맞춘다.^[16]

화학에서 p-블록 원소 대부분의 수소화물은 각 원자를 연결했을 때 단순체와 유사한 구조를 가질 수 있다. 네온은 수소와 반응하지 않아 단원자 기체이고, 플루오린은 하나의 수소 원자와 결합하여 선분을 형성하며, 산소는 두 개의 수소 원자와 결합하여 삼각형과 유사한 굽은 분자 기하학 구조를 이룬다. 질소는 삼각뿔형 분자 기하학 구조를 형성하고, 탄소는 사면체 분자 기하학 구조를 형성하여 5-셀의 슐레겔 다이어그램과 유사하다. 이러한 경향은 각 원소의 더 무거운 유사체나 수소 원자가 할로겐 원자로 대체되는 경우에도 계속된다.^[16]

레게 미적분 및 인과적 동적 삼각 분할과 같은 양자 중력 연구에서 단순체는 단순 다양체를 구축하는 구성 요소, 즉 시공간 이산화의 구성 요소로 활용된다.^[16]

8. 화합물(Compounds)

모든 단체는 자기 쌍대이므로, 일련의 화합물을 형성할 수 있다.

두 개의 삼각형은 육각별 {6/2}을 형성한다.
두 개의 사면체는 두 사면체의 화합물 또는 스텔라 옥탄굴라를 형성한다.
두 개의 5-세포는 4차원에서 두 5-세포의 화합물을 형성한다.

9. Aitchison 기하학

Aitchison 기하학은 표준 단순체 $\Delta^{D-1}$ 에서 내적 공간을 구성하는 자연스러운 방법이다. 이 기하학은 단순체와 실수에 대해 다음과 같은 연산을 정의한다.

; 섭동(덧셈)

: $x \oplus y = \left[\frac{x_1 y_1}{\sum_{i=1}^D x_i y_i},\frac{x_2 y_2}{\sum_{i=1}^D x_i y_i}, \dots, \frac{x_D y_D}{\sum_{i=1}^D x_i y_i}\right] \qquad \forall x, y \in \Delta^{D-1}$

; 거듭제곱(스칼라 곱셈)

: $\alpha \odot x = \left[\frac{x_1^\alpha}{\sum_{i=1}^D x_i^\alpha},\frac{x_2^\alpha}{\sum_{i=1}^D x_i^\alpha}, \ldots,\frac{x_D^\alpha}{\sum_{i=1}^D x_i^\alpha} \right] \qquad \forall x \in \Delta^{D-1}, \; \alpha \in \mathbb{R}$

; 내적

: $\langle x, y \rangle = \frac{1}{2D}\sum_{i=1}^D\sum_{j=1}^D\log \frac{x_i}{x_j}\log \frac{y_i}{y_j}\qquad \forall x, y \in \Delta^{D-1}$

참조

_[1] 서적 The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Simon & Schuster 2006
_[2] 간행물
_[3] 웹사이트 Simplex http://jeff560.tripo[...] 2018-01-08
_[4] 웹사이트
_[5] 서적 Combinatorial Algebraic Topology Springer-Verlag 2008
_[6] 논문 Projection Onto A Simplex
_[7] 학술지 A linear-time median-finding algorithm for projecting a vector on the simplex of n
_[8] 학술지 A Note on the Volume of a Simplex
_[9] 웹사이트 Cayley-Menger Determinant
_[10] 문서
_[11] 학술지 An Elementary Calculation of the Dihedral Angle of the Regular {{mvar|n}}-Simplex 2002-10
_[12] PhD Connections between combinatorics of permutations and algorithms and geometry http://ir.library.or[...] Oregon State University 2009-06
_[13] 학술지 1142. An n-dimensional extension of Pythagoras' Theorem 1935-07
_[14] 서적 Introduction to Topological Manifolds https://books.google[...] Springer 2006
_[15] 서적 Experiments with Mixtures: Designs, Models, and the Analysis of Mixture Data Wiley
_[16] 학술지 Radial and Pruned Tetrahedral Interpolation Techniques http://www.hpl.hp.co[...] 2009-11-11

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com