몫 규칙

1. 개요

몫 규칙은 두 함수의 몫의 도함수를 구하는 미분법의 기본 규칙이다. 두 함수 f와 g가 x0에서 미분 가능하고 g(x0) ≠ 0일 때, 몫 f(x)/g(x)도 x = x0에서 미분 가능하며, 그 도함수는 (f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0)) / g(x0)^2으로 주어진다. 몫 규칙은 다양한 방법으로 증명될 수 있으며, 곱의 미분법, 연쇄 법칙, 뉴턴의 차분몫, 음함수 미분법, 로그 미분법 등을 활용한다.

2. 정의

두 함수 $f$, $g$가 $x\_0$에서 미분 가능하고, $g(x\_0)\; \backslash ne\; 0$이면, 몫 $\backslash frac\{f\}\{g\}$ 역시 $x\_0$에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

:$\backslash left(\backslash frac\{f\}\{g\}\backslash right)\text{'}(x\_0)\; =\; \backslash frac\{f\text{'}(x\_0)g(x\_0)\; -\; f(x\_0)g\text{'}(x\_0)\}\{g(x\_0)^2\}$

선형 근사 $d(-)$를 사용하여 표기하면 다음과 같다.

:$\backslash left.d\backslash left(\backslash frac\{f\}\{g\}\backslash right)\backslash right|\_\{x=x\_0\}\; =\; \backslash left.\backslash frac\{gdf\; -\; fdg\}\{g^2\}\backslash right|\_\{x=x\_0\}$

$g$, $h$가 모두 미분 가능하고 $h(x)\; \backslash ne\; 0$이며 $f(x)\; =\; \backslash frac\{g(x)\}\{h(x)\}$이면, 몫 $f$의 미분은 다음과 같다.

:$f\text{'}(x)\; =\; \backslash frac\{g\text{'}(x)h(x)\; -\; g(x)h\text{'}(x)\}\{[h(x)]^2\}$

3. 예

몫의 법칙을 활용하여 여러 함수들의 미분값을 구하는 예시들은 다음과 같다.

* $\backslash frac\{(4x\; -\; 2)\}\{(x^2\; +\; 1)\}$의 미분
* $\backslash sin(x)/x^2$의 미분 ($x\; \backslash ne\; 0$ 일 때)
* $f(x)\; =\; \backslash frac\{2x^2\}\{x^3\}$를 미분
* tan x의 미분

3.1. 기본적인 예제

$\backslash frac\{(4x\; -\; 2)\}\{(x^2\; +\; 1)\}$의 미분은 다음과 같다.

:

위의 예제에서는 $g(x)\; =\; 4x\; -\; 2$, $h(x)\; =\; x^2\; +\; 1$로 지정했다.

$\backslash sin(x)/x^2$의 미분 ($x\; \backslash ne\; 0$ 일 때)은 다음과 같다.

:$$
\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}


$f(x)\; =\; \backslash frac\{2x^2\}\{x^3\}$를 미분할 경우, $g(x)\; =\; 2x^2$이고 $h(x)\; =\; x^3$이며, $g\text{'}(x)\; =\; 4x$이고 $h\text{'}(x)\; =\; 3x^2$이므로, 다음과 같다.

:$\backslash begin\; \{aligned\}$
f'(x) & = \frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}
\\ & = \frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}
\\ & = \frac{-2x^4}{x^6}
\\ & = -\frac{2}{x^2}\end {aligned}

3.2. 탄젠트 함수의 미분

몫의 미분법을 사용하여 탄젠트 함수 $\backslash tan\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{\backslash cos\; x\}$의 도함수를 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\
&= \frac{\left(\frac{d}{dx}\sin x\right)(\cos x) - (\sin x)\left(\frac{d}{dx}\cos x\right)}{\cos^2 x} \\
&= \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} \\
&= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\
&= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.
\end{align}

3.3. 역수 규칙

역수 규칙은 분자가 $f(x)=1$인 몫 규칙의 특수한 경우이다. 몫 규칙을 적용하면 다음과 같다.

$$h\text{'}(x)=\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left[\backslash frac\{1\}\{g(x)\}\backslash right]=\backslash frac\{0\; \backslash cdot\; g(x)\; -\; 1\; \backslash cdot\; g\text{'}(x)\}\{g(x)^2\}=\backslash frac\{-g\text{'}(x)\}\{g(x)^2\}.$$

연쇄 법칙을 이용하면 동일한 결과를 얻을 수 있다.

4. 증명

두 함수 $f,\; g\backslash colon\; I\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $x\_0\backslash in\; I\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$에서 미분 가능하고, $g(x\_0)\backslash ne0$이면, $f/g$ 역시 $x\_0$에서 미분 가능하다. 그 미분은 다음과 같다.

:$\backslash left(\backslash frac\; fg\backslash right)\text{'}(x\_0)=\backslash frac\{f\text{'}(x\_0)g(x\_0)-f(x\_0)g\text{'}(x\_0)\}\{g(x\_0)^2\}$

함수의 선형 근사 $d(-)$를 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash left.d\backslash left(\backslash frac\; fg\backslash right)\backslash right|\_\{x=x\_0\}=\backslash left.\backslash frac\{gdf-fdg\}\{g^2\}\backslash right|\_\{x=x\_0\}$

만약 $f(x)\; =\; \backslash frac\; \{g(x)\}\; \{h(x)\}$이고 $g(x)=1$일 때, 다음과 같이 표현할 수 있다.
:$(f(x))^\{\text{'}\}=\backslash left(\backslash right)^\{\text{'}\}$
:$\backslash ;\backslash ;\backslash ;=\backslash over\{(h(x))^2\}\}$
:$\backslash ;\backslash ;\backslash ;=-$

4.1. 뉴턴의 차분몫을 이용한 증명

$f(x)\; =\; \backslash frac\{g(x)\}\{h(x)\}$이고 $h(x)\; \backslash ne\; 0$이며 $g$와 $h$가 미분 가능한 함수라면, 다음과 같이 증명할 수 있다.

:$$
\begin{align}
f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)} \\
&= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))} \\
&= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}
\end{align}

4.2. 곱의 미분법과 연쇄 법칙을 이용한 증명

$f(x)\; =\; \backslash frac\{g(x)\}\{h(x)\}\; =\; g(x)\; \backslash cdot\; h(x)^\{-1\}$로 놓고 곱의 미분법과 연쇄 법칙을 적용하면 다음과 같이 증명할 수 있다.

:$f\text{'}(x)\; =\; g\text{'}(x)h(x)^\{-1\}\; +\; g(x)(h(x)^\{-1\})\text{'}$이고, 우변 두 번째 항의 미분은 연쇄 법칙과 power rule^영어을 사용하면 $$f\text{'}(x)\; =\; g\text{'}(x)h(x)^\{-1\}\; +\; g(x)\; \backslash cdot\; (-1)\; h(x)^\{-2\}\; h\text{'}(x)$$를 얻는다.

이를 정리하면 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
f'(x) &= \frac{g'(x)}{h(x)} - \frac{g(x)h'(x)}{h(x)^2} \\
&= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2}
\end{align}

4.3. 음함수 미분법을 이용한 증명

$f(x)\; =\; \backslash frac\{g(x)\}\{h(x)\}$이면 $g(x)\; =\; f(x)h(x)$이므로, 곱의 미분법에 의해 $g\text{'}(x)\; =\; f\text{'}(x)h(x)\; +\; f(x)h\text{'}(x)$가 된다. $f\text{'}(x)$에 대해 풀면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
f'(x) &=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} \\
&= \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)} \\
&= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}
\end{align}

4.4. 로그 미분법을 이용한 증명

$h(x)\; =\; \backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}$라고 하자. 식의 양변에 절댓값과 자연 로그를 취하면 다음과 같다.

:$\backslash ln|h(x)|=\backslash ln\backslash left|\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}\backslash right|$

절댓값과 로그의 성질을 적용하면 다음과 같다.

:$\backslash ln|h(x)|=\backslash ln|f(x)|-\backslash ln|g(x)|$

양변의 로그 미분을 구하면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{h\text{'}(x)\}\{h(x)\}=\backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{f(x)\}-\backslash frac\{g\text{'}(x)\}\{g(x)\}$

$h\text{'}(x)$에 대해 풀고, $h(x)$에 $\backslash tfrac\{f(x)\}\{g(x)\}$를 다시 대입하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
h'(x)&=h(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
&=\frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
&=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}\\
&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
\end{align}

함수의 절댓값을 취하는 것은 음수 값을 가질 수 있는 함수의 로그 미분에 필요하다. 로그는 양의 인수에 대해서만 실수 값이기 때문이다. 이는 $\backslash tfrac\{d\}\{dx\}(\backslash ln|u|)=\backslash tfrac\{u\text{'}\}\{u\}$이므로 작동하며, 로그 미분을 위해 함수의 절댓값을 취하는 것을 정당화한다.

5. 고계 도함수

음함수 미분법을 사용하여 몫의 n계 도함수를 (n-1계까지의 도함수를 사용하여) 계산할 수 있다. 예를 들어, $f=gh$를 두 번 미분하면 $f$ = gh + 2g'h' + gh가 되고, $h$에 대해 풀면 다음을 얻는다.

:$h$ = \left(\frac{f}{g}\right) = \frac{f-gh-2g'h'}{g}.

같은 방식으로, $1\; =\; f\; \backslash cdot\; h\; =\; g$를 두 번 미분하고 $f$에 대해 풀면 다음을 얻는다.

:$f$ = \left(\frac{g}{h}\right) = \frac{g - 2f'h' - fh''}{h}