선형 근사

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1. 개요
2. 정의
3. 예
4. 응용
참조

1. 개요

선형 근사는 미분가능한 함수 f(x)를 특정 점 a에서의 접선을 이용하여 근사하는 방법이다. 이는 테일러 정리를 통해 얻을 수 있으며, x가 a에 충분히 가까울 때 곡선을 직선으로 근사할 수 있다는 원리를 활용한다. 선형 근사는 단일 변수뿐만 아니라 벡터 변수의 함수, 바나흐 공간 등에서도 적용될 수 있으며, 광학, 진자의 주기 계산, 전기 저항 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히 가우스 광학에서는 근축 근사를 통해 광선 경로를 단순화하고, 진자의 주기 계산에서는 작은 진폭의 진동에 대한 주기를 근사하며, 전기 저항 계산에서는 온도 변화에 따른 저항 변화를 선형적으로 모델링하는 데 사용된다.

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선형 근사
개요
선형 근사
분야	미적분학
다른 이름	접선 근사
설명	함수를 접선으로 근사하는 것
정의
공식	f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)
변수 설명	"f(x): 근사하려는 함수" "a: 근사점" "f'(a): a에서의 f(x)의 도함수"
조건	함수가 a에서 미분 가능해야 함
응용
사용 분야	복잡한 함수 계산 단순화 물리학 및 공학 문제 해결 수치 해석
예시
예시 함수	f(x) = √x
근사점	a = 9
근사식	√x ≈ 3 + (x-9)/6
x = 9.1 근사값	3.01666...
실제 값	3.01662...
오차	작음
장점 및 단점
장점	계산이 간단하고 이해하기 쉬움
단점	근사점으로부터 멀어질수록 오차가 커짐
관련 개념
관련 개념	미분 접선 테일러 급수
참고 문헌
참고 문헌	Calculus, 9th ed. Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon

2. 정의

어떤 점 $x=a$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 있을 때, 그 점에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

: $y=f(a)+f'(a)(x-a)$

이때 다음의 근사

: $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$

를 $f$ 의 $a$ 에서의 '''선형 근사'''라고 한다. 이는 테일러 정리에 의하여 얻어진

: $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_2$

에서 $R_2\approx 0$ 로 근사한 것이다. 여기서 $R_2=o(x-a)$ 는 $x$ 가 $a$ 로 갈 때 $x-a$ 보다 고위인 무한소이다(점근 표기법). 즉,

: $\lim_{x\to a}\frac{o(x-a)}{x-a}=0$

이다.

이계도함수가 연속적인 한 개의 실수 변수 $f$ 가 주어졌을 때, $n = 1$ 인 경우에 대한 테일러 정리는 다음과 같다.

: $f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + R_2$

여기서 $R_2$ 는 나머지 항이다. 선형 근사는 나머지 항을 제거하여 얻는다.

: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a).$

이것은 $x$ 가 $a$ 에 충분히 가까울 때 좋은 근사이다. 왜냐하면 곡선은 자세히 관찰하면 직선과 비슷해지기 때문이다. 그러므로, 우변의 식은 $(a,f(a))$ 에서 $f$ 의 그래프에 대한 접선의 방정식이다. 이러한 이유로, 이 과정을 '''접선 근사'''라고도 한다. 이 경우의 선형 근사는 $f''(a)$ 의 이계도함수가 충분히 작을 때(0에 가까울 때), 즉 변곡점에서 또는 근처에서 더욱 개선된다.

만약 $f$ 가 $x$ 와 $a$ 사이의 구간에서 아래로 오목하다면, 근사는 과대평가될 것이다(그 구간에서 도함수가 감소하기 때문). 만약 $f$ 가 위로 오목하다면, 근사는 과소평가될 것이다.^[1]

벡터 변수의 벡터 함수에 대한 선형 근사는 동일한 방식으로 얻어지며, 점에서의 도함수는 야코비 행렬로 대체된다. 예를 들어, 실수 값을 갖는 미분 가능한 함수 $f(x, y)$ 가 주어지면, $(x, y)$ 가 $(a, b)$ 에 가까울 때 $f(x, y)$ 를 다음 공식으로 근사할 수 있다.

: $f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right) + \frac{\partial f}{\partial x} \left(a,b\right)\left(x-a\right) + \frac{\partial f}{\partial y} \left(a,b\right)\left(y-b\right).$

우변은 $(a, b)$ 에서 $z=f(x, y)$ 의 그래프에 접하는 평면의 방정식이다.

바나흐 공간의 보다 일반적인 경우, 다음이 성립한다.

: $f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)$

여기서 $Df(a)$ 는 $a$ 에서의 $f$ 의 프레셰 미분이다.

3. 예

$\sqrt{4.01}$ 의 근삿값을 함수 $f(x)=\sqrt{x}$ 의 $x=4$ 에서의 선형 근사를 사용하여 구할 수 있다.

: $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

이므로,

: $f(4.01)\approx f(4)+f'(4)\times 0.01=2+\frac{1}{4}\times 0.01=2.0025$

이다. 이는 실제 값인 2.00249...를 소수점 다섯째 자리에서 반올림한 값으로, 참값에 매우 가깝다.

이는 $x$ 가 4에 매우 가까울 때의 선형 근사

: $\sqrt{x}\approx 2+\frac{1}{4}(x-4)$

를 이용한 것이다. $x$ 가 0에 가까울 때의 여러 가지 선형 근사는 다음과 같다.

$\sin x\approx x$
$\tan x\approx x$
$e^x\approx 1+x$
$\ln (1+x)\approx x$
$\arcsin x\approx x$
$\arctan x\approx x$
$(1+x)^p\approx 1+px$

\sqrt[3]{25}

의 근사값도 선형 근사를 사용하여 구할 수 있다.

#

f(x)= x^{1/3}

함수를 생각하면,

f(25)

를 구하면 된다.

# 미분하면

f'(x)= x^{-2/3}/3

이다.

# 선형 근사에 의해

f(25) \approx f(27) + f'(27)(25 - 27) = 3 - 2/27

이 된다.

# 소수로 나타내면 대략 2.926인데, 이는 참값 2.924…에 가깝다.

4. 응용

선형 근사는 다양한 과학 분야에서 활용된다.

광학: 가우스 광학에서는 근축 근사를 사용하여 광선이 광학 시스템 내에서 어떻게 작용하는지 설명한다. 이 근사에서 삼각 함수는 각도의 선형 함수로 표현될 수 있다.^[2]
진자의 주기: 단순 중력 진자의 진동 주기는 진폭이 작은 경우(선형 근사) 진폭과 무관하다. 이를 등시성이라 하며, 이 성질 때문에 진자는 시계 제작에 유용하게 사용된다.^[8]
전기 저항: 대부분의 물질은 온도에 따라 전기 저항이 변한다. 온도 변화가 크지 않은 경우, 선형 근사를 사용하여 저항 변화를 나타낼 수 있다.^[9]

4. 1. 광학

가우스 광학은 기하 광학에서 사용되는 기술로, 근축 근사를 사용하여 광학 시스템의 광축과 작은 각도를 이루는 광선만 고려하여 광선이 광학 시스템 내에서 어떻게 작용하는지 설명한다.^[2] 이 근사에서 삼각 함수는 각도의 선형 함수로 표현될 수 있다. 가우스 광학은 모든 광학 표면이 평평하거나 구의 일부인 시스템에 적용된다. 이 경우, 초점 거리, 배율 및 밝기와 같은 영상 시스템의 매개변수에 대해 구성 요소의 기하학적 모양과 재료 특성에 따라 간단하고 명확한 공식을 제공할 수 있다.

4. 2. 진자의 주기

단순 중력 진자의 진동 주기는 길이, 국소 중력의 세기, 그리고 진자가 수직에서 벗어나는 최대 각도인 θ|세타^영어 (이것을 진폭이라고 부름)에 따라 달라진다.^[3] 또한 추의 질량과는 무관하다. 이상적인 단순 중력 진자가 한 사이클을 완료하는 데 걸리는 시간인 단순 진자의 실제 주기 ''T''는 다음과 같은 무한 급수로 표현될 수 있다.^[4]^[5]

: ''T'' = 2π√L|엘^영어/g|지^영어 (1 + 1/16 θ₀² + 11/3072 θ₀⁴ + …)

여기서 '''''L'''''은 진자의 길이를 나타내고, '''''g'''''는 국소 중력 가속도를 나타낸다.

그러나 선형 근사(즉, 진폭이 작은 진동으로 제한되는 경우^[6])를 사용하면 주기는 다음과 같다.^[7]

: ''T'' ≈ 2π√L|엘^영어/g|지^영어 (θ₀ ≪ 1)

선형 근사에서 진동 주기는 다양한 크기의 진동에 대해 거의 동일하다. 즉, ''주기는 진폭과 무관하다''. 이 속성은 등시성이라고 하며, 진자가 시계 제작에 매우 유용한 이유이다.^[8] 진폭이 변하더라도 진자의 연속적인 진동은 동일한 시간을 소요한다.

4. 3. 전기 저항

대부분의 물질은 전기 저항이 온도에 따라 변한다. 온도 ''T''가 크게 변하지 않는다면, 일반적으로 다음 선형 근사가 사용된다.

:

\rho(T) = \rho_0[1+\alpha (T - T_0)]

여기서

\alpha

는 '온도 저항 계수'라고 불리며,

T_0

는 고정된 기준 온도(보통 실온)이고,

\rho_0

는 온도

T_0

에서의 저항이다. 매개변수

\alpha

는 측정 데이터로부터 얻어진 경험적 매개변수이다. 선형 근사는 단지 근사이기 때문에,

\alpha

는 기준 온도에 따라 다르고, 이 관계는 기준 온도 주변의 온도 범위에서만 유효하다.^[9] 온도가 넓은 온도 범위에서 변동할 때는 선형 근사가 부적절하며 더 자세한 분석과 이해가 필요하다.

참조

_[1] 웹사이트 12.1 Estimating a Function Value Using the Linear Approximation https://web.archive.[...] 2012-06-03
_[2] 서적 Optical Physics https://books.google[...] Cambridge University Press
_[3] 서적 Time and Timekeepers MacMillan
_[4] 논문 The pendulum – Rich physics from a simple system http://fy.chalmers.s[...] 1987-02
_[5] 간행물
_[6] 문서 A "small" swing is one in which the angle θ is small enough that sin(θ) can be approximated by θ when θ is measured in radians
_[7] 서적 Fundamentals of Physics, 5th Ed. https://archive.org/[...] John Wiley & Sons.
_[8] 서적 Scientific Instruments https://books.google[...] Hutchinson's
_[9] 서적 Electrical Engineering Science McGraw-Hill

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