절댓값

3.1. 부등식

실수의 절댓값을 포함하는 몇 가지 기본적인 부등식과 그 해는 다음과 같다. ($a$는 실수)

* $|x|\; \backslash le\; a\; \backslash iff\; -a\; \backslash le\; x\; \backslash le\; a$
*
*
* $|x|\; \backslash ge\; a\; \backslash iff\; x\; \backslash ge\; a\; \backslash text\{\; 또는\; \}\; x\; \backslash le\; -a$

단, 위 부등식들에서 $a\; \backslash ge\; 0$ 인 경우에만 해가 존재하거나 의미를 가진다. 만약 이면,
* $|x|\; \backslash le\; a$ 와 의 해는 존재하지 않는다 (공집합 $\backslash varnothing$). 왜냐하면 절댓값은 항상 0 이상이기 때문이다.
* $|x|\; >\; a$ 와 $|x|\; \backslash ge\; a$ 는 모든 실수 $x$ 에 대해 항상 성립한다.

이러한 관계는 절댓값을 포함하는 부등식을 풀 때 유용하게 사용된다. 예를 들어, 부등식 $|x-3|\; \backslash le\; 9$ 를 푸는 과정은 다음과 같다.

$|x-3|\; \backslash le\; 9$ 는 $-9\; \backslash le\; x-3\; \backslash le\; 9$ 와 동치이다.
각 변에 3을 더하면,
$-9\; +\; 3\; \backslash le\; x\; -\; 3\; +\; 3\; \backslash le\; 9\; +\; 3$
$-6\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 12$

따라서 부등식 $|x-3|\; \backslash le\; 9$ 의 해는 $-6\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 12$ 이다.

3.2. 항등식

실수와 복소수의 절댓값은 곱셈과 나눗셈 연산을 보존하는 다음과 같은 중요한 항등식을 만족시킨다.

* 실수 $a,\; b$에 대하여:
*: $|ab|\; =\; |a||b|$ (곱셈에 대한 동질성)
*: $\backslash left|\backslash frac\{a\}\{b\}\backslash right|\; =\; \backslash frac$

함수 $d(x,\; y)\; =\; |x\; -\; y|$는 이러한 거리 함수의 모든 공리를 만족하므로, 실수 집합 $\backslash mathbb\; R$ 또는 복소수 집합 $\backslash mathbb\; C$ 위에 거리 공간 구조를 부여한다. 즉, 절댓값은 실수를 1차원 거리 공간으로, 복소수를 2차원 거리 공간으로 만드는 기본적인 도구이다. 더 나아가, 절댓값은 노름 공간 구조를 정의하며, 모든 노름 공간은 자연스럽게 거리 공간 구조를 갖는다.

5. 관련 개념

절댓값의 개념은 수학의 여러 분야에서 더 일반적인 형태로 확장될 수 있다. 대표적인 예로는 벡터 공간에서 벡터의 '크기'나 '길이'를 일반화한 노름과, 정역 위에서 정의되는 정역 위의 절댓값이 있다. 이러한 일반화된 개념들은 함수해석학, 대수학, 수론 등 다양한 수학 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

5.1. 노름

노름은 벡터 공간에서 벡터의 '크기'나 '길이'를 측정하는 개념으로, 실수나 복소수의 절댓값 개념을 일반화한 것이다. 실수체 $\backslash mathbb\{R\}$ 또는 복소수체 $\backslash mathbb\{C\}$를 스칼라 체 $F$로 가지는 벡터 공간 $V$ 위에 정의된 함수 $\backslash |\backslash cdot\backslash |:\; V\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$가 다음 네 가지 조건을 만족하면 노름이라고 한다.

실수 $x$의 절댓값 $|x|$와 복소수 $z$의 절댓값(크기) $|z|$는 모두 위의 노름 조건을 만족한다. 따라서 절댓값은 노름의 특수한 예라고 할 수 있다. 특히, 실수를 1차원 벡터 공간 $\backslash mathbb\{R\}^1$으로 생각하면, 절댓값은 $\backslash mathbb\{R\}^1$ 위의 노름이 된다. 더 나아가, 임의의 $p\; \backslash ge\; 1$에 대해 정의되는 $L^p$ 노름의 특수한 경우이기도 하다. 사실상, $\backslash mathbb\{R\}^1$에서는 절댓값이 유일한 노름이라고 할 수 있는데, 이는 $\backslash mathbb\{R\}^1$의 모든 노름 $\backslash |\backslash cdot\backslash |$에 대해 $\backslash |x\backslash |\; =\; \backslash |1\; \backslash cdot\; x\backslash |\; =\; |x|\; \backslash |1\backslash |$이 성립하여, 상수 $\backslash |1\backslash |$배 차이밖에 나지 않기 때문이다.

유클리드 공간 $\backslash mathbb\{R\}^n$에서 벡터 $\backslash mathbf\{x\}\; =\; (x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n)$의 유클리드 노름은 다음과 같이 정의되며, 이는 가장 흔하게 사용되는 노름 중 하나이다.
:$\backslash |\backslash mathbf\{x\}\backslash |\_2\; =\; \backslash sqrt\{x\_1^2\; +\; x\_2^2\; +\; \backslash dots\; +\; x\_n^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; x\_i^2\}$
복소수의 절댓값은 복소 평면을 2차원 유클리드 공간 $\backslash mathbb\{R\}^2$와 동일시했을 때의 유클리드 노름과 같다. 이는 내적 공간에서 유도되는 노름의 한 예이기도 하다.

모든 노름 $\backslash |\backslash cdot\backslash |$는 그 공간 위에 거리 함수 $d$를 자연스럽게 정의하는데, 두 벡터 $\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{y\}$ 사이의 거리는 두 벡터의 차의 노름으로 정의된다.
:$d(\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{y\})\; =\; \backslash |\backslash mathbf\{x\}\; -\; \backslash mathbf\{y\}\backslash |$
따라서 절댓값이 유도하는 거리 $d(x,\; y)\; =\; |x\; -\; y|$는 노름이 유도하는 거리의 특수한 경우이다.

5.2. 정역 위의 절댓값

정역 위의 절댓값은 정역에 정의되며, 음이 아닌 실수 값을 취하고, 양의 정부호성을 만족시키며, 곱셈을 보존하고, 삼각 부등식을 만족시키는 함수이다. 모든 체는 정역이므로, 실수 또는 복소수의 절댓값은 정역 위의 절댓값의 특수한 경우이다. 모든 정역 위의 절댓값 $x\; \backslash mapsto\; |x|$는 표준적인 거리 함수 $(x,y)\; \backslash mapsto\; |x-y|$를 유도한다.

실수에 대해 주어진 절댓값의 정의는 임의의 순서환으로 확장될 수 있다. 즉, 순서환 $R$의 원소 $a$가 있다면, $a$의 절댓값은 $|a|$로 표기되며 다음과 같이 정의된다.

:

여기서 $-a$는 $a$의 덧셈 역원, $0$은 덧셈 항등원이며, < 와 ≥는 환의 순서에 대한 일반적인 의미를 갖는다.

실수에 대한 절댓값의 네 가지 기본 성질을 사용하여 절댓값의 개념을 임의의 체로 일반화할 수 있다.

체 $F$에 대한 실숫값을 가지는 함수 $v$는 다음 네 가지 공리를 만족하는 경우 '절댓값'(또는 '모듈러스', '크기', '값' 또는 '값매김')이라고 한다.

:

여기서 $\backslash mathbf\{0\}$은 $F$의 덧셈 항등원을 나타낸다. 양의 정부호성과 곱셈성으로부터 $v(\backslash mathbf\{1\})\; =\; 1$이 유도된다. 여기서 $\backslash mathbf\{1\}$은 $F$의 곱셈 항등원을 나타낸다. 위에서 정의된 실수와 복소수의 절댓값은 임의의 체에 대한 절댓값의 예이다.

$v$가 $F$에 대한 절댓값이라면, $d(a,\; b)\; =\; v(a\; -\; b)$로 정의된 $F\; \backslash times\; F$에 대한 함수 $d$는 거리 함수(metric)이며 다음은 동치이다.

* $d$는 모든 $x,\; y,\; z\; \backslash in\; F$에 대해 초메트릭 부등식 $d(x,\; y)\; \backslash leq\; \backslash max(d(x,z),d(y,z))$을 만족한다.
* $\backslash left\backslash \{\; v\backslash left(\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash mathbf\{1\}\backslash right)\; :\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\; \backslash right\backslash \}$은 $\backslash mathbb\{R\}$에서 유계이다.
* 모든 $n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$에 대해 $v\backslash left(\{\backslash textstyle\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \}\; \backslash mathbf\{1\}\backslash right)\; \backslash le\; 1\backslash$이다.
* 모든 $a\; \backslash in\; F$에 대해 $v(a)\; \backslash le\; 1\; \backslash Rightarrow\; v(1+a)\; \backslash le\; 1\backslash$이다.
* 모든 $a,\; b\; \backslash in\; F$에 대해 $v(a\; +\; b)\; \backslash le\; \backslash max\; \backslash \{v(a),\; v(b)\backslash \}\backslash$이다.

위 조건 중 하나(따라서 모두)를 만족하는 절댓값을 비아르키메데스적이라고 하며, 그렇지 않으면 아르키메데스적이라고 한다.

6. 역사

절댓값의 개념은 19세기 초 복소수가 연구되면서 중요하게 다루어지기 시작했다. 1806년 장 로베르 아르강은 복소수의 크기를 나타내기 위해 프랑스어로 "측정 단위"를 의미하는 module이라는 용어를 도입했다. 오늘날 널리 사용되는 양쪽에 수직선을 그어 절댓값을 나타내는 기호 |x|는 1841년 카를 바이어슈트라스가 도입했다. 절댓값 용어와 표기에 대한 더 자세한 내용은 아래 문단에서 설명한다.

6.1. 용어 및 표기

1806년, 장 로베르 아르강(Jean-Robert Argand)은 프랑스어로 "측정 단위"를 의미하는 module이라는 용어를 특히 복소수의 절댓값을 나타내기 위해 처음 사용했다. 이 용어는 1866년 라틴어에 해당하는 modulus로 영어에 차용되었다. '절댓값(absolute value)'이라는 용어는 적어도 1806년부터 프랑스어에서, 1857년부터 영어에서 사용된 것으로 확인된다. 양쪽에 수직선을 사용하여 |x| 와 같이 표기하는 방식은 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)가 1841년에 도입했다.

절댓값을 나타내는 다른 이름으로는 '수치(numerical value)'와 '크기(magnitude)'가 있다. 프로그래밍 언어나 계산 소프트웨어 패키지에서는 일반적으로 x의 절댓값을 `abs(x)` 또는 이와 유사한 함수 표현으로 나타낸다.

수직선 표기법은 다른 여러 수학적 맥락에서도 사용된다. 예를 들어, 집합에 적용될 때는 그 집합의 농도를 나타내고, 행렬에 적용될 때는 그 행렬의 행렬식을 나타낸다. 따라서 수직선 기호가 절댓값을 의미하는지 판단하려면, 그 대상이 절댓값 개념이 정의된 대수적 구조(예: 실수, 복소수, 사원수와 같은 노름 체)의 원소인지 확인해야 한다. 이와 밀접하게 관련되어 있지만 구별되는 표기법으로는 Rⁿ의 벡터에 대한 유클리드 놈 또는 최대 놈에 수직선을 사용하는 경우가 있는데, 혼동을 피하기 위해 아래 첨자를 붙인 이중 수직선(||•||₂ 및 ||•||_∞)을 사용하는 것이 더 일반적이다.