절댓값

3. 성질

실수 $x$의 '''절댓값'''은 $|x|$로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.^[8]

$|x|\; =$

\begin{cases}

x, & \text{if } x \ge 0 \\

• x, & \text{if } x < 0.

이 외에도 다음과 같은 유용한 성질들이 있다.

{| class="wikitable"

|-

! 성질 !! 설명

|-

| $\backslash bigl|\; |a|\; \backslash bigr|\; =\; |a|$ || 멱등성

|-

| $|-a|\; =\; |a|$ || 짝함수 성질

|-

| $|a\; -\; b|\; =\; 0\; \backslash iff\; a\; =\; b$ || 항등 관계

|-

| $|a\; -\; b|\; \backslash le\; |a\; -\; c|\; +\; |c\; -\; b|$ || 삼각 부등식의 다른 형태

|-

| $\backslash left|\backslash frac\{a\}\{b\}\backslash right|\; =\; \backslash frac$

(단, $b\; \backslash ne\; 0$) || 나눗셈의 보존

|-

| $|a-b|\; \backslash ge\; \backslash bigl|\; |a|\; -\; |b|\; \backslash bigr|$ || 역삼각 부등식

|}

부등식과 관련된 다음 성질들은 절댓값을 포함하는 부등식을 푸는 데 사용된다.

• $|a|\; \backslash le\; b\; \backslash iff\; -b\; \backslash le\; a\; \backslash le\; b$
• $|a|\; \backslash ge\; b\; \backslash iff\; a\; \backslash le\; -b\; \backslash text\{\; 또는\; \}\; a\; \backslash ge\; b$

복소수$z\; =\; x\; +\; iy$ (여기서 $x,\; y$는 실수)의 절댓값은 복소평면에서 원점 $(0,\; 0)$으로부터 점 $(x,\; y)$까지의 유클리드 거리로 정의된다. 피타고라스 정리에 의해 다음과 같이 계산된다.^[11]

$|z|\; =\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}$

여기서 $\backslash operatorname\{Re\}(z)=x$는 $z$의 실수부, $\backslash operatorname\{Im\}(z)=y$는 허수부를 나타낸다. 만약 $z$가 실수이면 ($y=0$), 이 정의는 실수의 절댓값 정의와 일치한다.

복소수 $z$를 극형식 $z\; =\; r\; e^\{i\; \backslash theta\}$로 나타내면, 절댓값은 $|z|\; =\; r$이다. 또한, 복소수와 그 켤레 복소수$\backslash bar\; z\; =\; x\; -\; iy$의 곱을 이용하여 절댓값을 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$|z|\; =\; \backslash sqrt\{z\; \backslash bar\; z\}$

복소수의 절댓값도 실수의 절댓값과 마찬가지로 비음성, 양의 정부호성, 곱셈성, 삼각 부등식의 네 가지 기본 성질을 만족시킨다. 즉, 복소수 $z,\; w$에 대해 다음이 성립한다.

• $|z|\; \backslash ge\; 0$
• $|z|\; =\; 0\; \backslash iff\; z\; =\; 0$
• $|zw|\; =\; |z||w|$
• $|z+w|\; \backslash le\; |z|\; +\; |w|$

3. 1. 부등식

실수의 절댓값을 포함하는 몇 가지 기본적인 부등식과 그 해는 다음과 같다. ($a$는 실수)

• $|x|\; \backslash le\; a\; \backslash iff\; -a\; \backslash le\; x\; \backslash le\; a$
• $|x|\; \backslash ge\; a\; \backslash iff\; x\; \backslash ge\; a\; \backslash text\{\; 또는\; \}\; x\; \backslash le\; -a$

단, 위 부등식들에서 $a\; \backslash ge\; 0$ 인 경우에만 해가 존재하거나 의미를 가진다. 만약 이면,

• $|x|\; \backslash le\; a$ 와 의 해는 존재하지 않는다 (공집합 $\backslash varnothing$). 왜냐하면 절댓값은 항상 0 이상이기 때문이다.
• $|x|\; >\; a$ 와 $|x|\; \backslash ge\; a$ 는 모든 실수 $x$ 에 대해 항상 성립한다.

이러한 관계는 절댓값을 포함하는 부등식을 풀 때 유용하게 사용된다. 예를 들어, 부등식 $|x-3|\; \backslash le\; 9$ 를 푸는 과정은 다음과 같다.

$|x-3|\; \backslash le\; 9$ 는 $-9\; \backslash le\; x-3\; \backslash le\; 9$ 와 동치이다.

각 변에 3을 더하면,

$-9\; +\; 3\; \backslash le\; x\; -\; 3\; +\; 3\; \backslash le\; 9\; +\; 3$

$-6\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 12$

따라서 부등식 $|x-3|\; \backslash le\; 9$ 의 해는 $-6\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 12$ 이다.

3. 2. 항등식

실수와 복소수의 절댓값은 곱셈과 나눗셈 연산을 보존하는 다음과 같은 중요한 항등식을 만족시킨다.

• 실수 $a,\; b$에 대하여:
• : $|ab|\; =\; |a||b|$ (곱셈에 대한 동질성)
• : $\backslash left|\backslash frac\{a\}\{b\}\backslash right|\; =\; \backslash frac$

\ (단, $b\; \backslash ne\; 0$) (나눗셈의 보존)

• 복소수 $z,\; w$에 대하여:
• : $|zw|=|z||w|$
• : $|z/w|=|z|/|w|\backslash qquad$ (단, $w\backslash ne0$)

또한, 절댓값 함수 자체와 관련된 다음과 같은 항등식들도 성립한다.

• 멱등성: 절댓값을 여러 번 취해도 결과는 같다.
• : 실수 $a$에 대해 $\backslash bigl|\; |a|\; \backslash bigr|\; =\; |a|$
• : 복소수 $z$에 대해 $||z||=|z|$

• 짝함수 성질 (반사 대칭): 부호가 반대인 수의 절댓값은 같다.
• : 실수 $a$에 대해 $|-a|\; =\; |a|$
• : 복소수 $z$에 대해 $|-z|=|z|$

• 켤레 복소수와의 관계: 복소수와 그 켤레 복소수는 같은 절댓값을 가진다.
• : 복소수 $z$에 대해 $|\backslash bar\; z|=|z|$

3. 3. 미분

실수의 절댓값 함수 는 모든 점에서 연속 함수이지만, 에서 미분 가능하지 않다. 이는 에서 그래프가 뾰족한 점을 가지기 때문이다. 인 모든 실수 에 대해서는 미분 가능하며, 그 도함수는 부호 함수 또는 계단 함수로 주어진다.^[12][13]

:$\backslash frac\{d\}\{dx\}|x|\; =\; \backslash frac\{x\}$

= \sgn x = \begin{cases} -1 & x < 0 \\ 1 & x > 0 \end{cases}

따라서 실수 절댓값 함수는 도함수가 존재하지 않는 지점()에서 전역 최소값을 가지는 연속 함수의 예시이다.

에서 절댓값 함수의 하미분은 닫힌 구간 이다.^[14][28]

절댓값 함수의 에 대한 이계도함수는 을 제외한 모든 곳에서 0이다. 에서는 이계도함수가 존재하지 않는다. 일반화 함수 이론에서는 절댓값 함수의 이계도함수를 디랙 델타 함수의 2배로 정의하기도 한다.

복소수 절댓값 함수 는 복소 평면 전체에서 연속 함수이지만, 어떤 점에서도 복소 미분 가능하지 않다.^[12] 이는 절댓값 함수가 코시-리만 방정식을 만족하지 않기 때문이다.^[12]

연쇄 법칙을 이용하여 절댓값이 포함된 함수의 도함수를 구할 수 있다.

• 절댓값 함수 내부에 다른 함수 가 있는 경우:

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\; |f(x)|\; =\; \backslash frac\{f(x)\}$

f'(x) \qquad (f(x) \ne 0)

• 다른 함수 안에 절댓값 함수가 있는 경우:

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\; f(|x|)\; =\; \backslash frac\{x\}$

f'(|x|) \qquad (x \ne 0)

4. 응용

실수의 절댓값 개념은 다양한 수학적 영역으로 확장되어 응용된다. 대표적으로 복소수의 크기를 나타내는 데 사용된다. 실수는 전순서를 이루지만 복소수는 그렇지 않으므로, 실수의 절댓값 정의를 복소수에 직접 적용하기는 어렵다. 그러나 절댓값을 원점으로부터의 거리로 해석하는 기하학적 관점은 일반화될 수 있다.

복소수의 절댓값은 복소평면에서 해당 복소수가 나타내는 점과 원점 사이의 유클리드 거리로 정의된다. 이는 복소수를 극형식으로 표현할 때 그 크기(거리)를 나타내는 핵심 요소가 된다.

또한, 절댓값은 두 수 사이의 거리를 정의하는 기본적인 도구로 사용된다. 두 실수 또는 두 복소수의 차의 절댓값은 각각 실수선 또는 복소평면 위에서 두 점 사이의 거리를 나타낸다. 이러한 절댓값을 이용한 거리 정의는 더 추상적인 거리 공간의 개념으로 일반화되며, 해석학 등 여러 수학 분야의 기초를 이룬다. 나아가 절댓값은 벡터 공간에서 벡터의 '크기'나 '길이'를 측정하는 노름의 개념과도 밀접하게 연관되어 노름 공간 이론의 바탕이 되기도 한다.

4. 1. 복소수의 극형식

0이 아닌 복소수에 대하여, 절댓값은 복소수가 원점으로부터 떨어진 거리, 편각은 복소수가 가로축으로부터 회전한 각도를 뜻한다. 따라서 0이 아닌 복소수는 절댓값과 편각으로부터 유일하게 결정된다. 구체적으로, 복소수 $z\backslash ne0$는 절댓값 $|z|$과 편각 $\backslash operatorname\{arg\}z$을 사용하여 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 복소수의 극형식이라고 한다.

:$z=|z|(\backslash cos\backslash operatorname\{arg\}z+i\backslash sin\backslash operatorname\{arg\}z)=|z|e^\{i\backslash operatorname\{arg\}z\}$

실수의 절댓값 정의는 실수가 전순서를 이루지만 복소수는 그렇지 않으므로 복소수에 직접 적용될 수 없다. 그러나 실수 절댓값의 기하학적 의미인 원점으로부터의 거리는 복소수로 일반화될 수 있다. 복소수의 절댓값은 복소평면에서 해당 점의 원점으로부터의 유클리드 거리로 정의되며, 피타고라스 정리를 사용하여 계산할 수 있다. 임의의 복소수 $z\; =\; x\; +\; iy$ (여기서 $x$와 $y$는 실수)에 대해, $z$의 절댓값 또는 모듈러스는 $|z|$로 표기하며 다음과 같이 정의된다.^[11]

$|z|\; =\; \backslash sqrt\{\backslash operatorname\{Re\}(z)^2\; +\; \backslash operatorname\{Im\}(z)^2\}=\backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}$

여기서 $\backslash operatorname\{Re\}(z)=x$는 $z$의 실수부, $\backslash operatorname\{Im\}(z)=y$는 허수부를 나타낸다. 허수부 $y$가 0일 때, 즉 $z$가 실수일 때 이 정의는 실수의 절댓값 정의와 일치한다. $z$를 가우스 평면 위의 점으로 해석하면, $|z|$는 원점으로부터 $z$까지의 거리이다.

복소수 $z$가 극형식으로 $z\; =\; r\; e^\{i\; \backslash theta\}$로 표현될 때, 그 절댓값은 $|z|\; =\; r$이다.

복소수 $z$와 그의 켤레 복소수 $\backslash bar\; z\; =\; x\; -\; iy$는 같은 절댓값을 가진다($|z|\; =\; |\backslash bar\{z\}|$). 또한, $z$와 $\backslash bar\; z$의 곱은 항상 음이 아닌 실수 $z\; \backslash cdot\; \backslash overline\{z\}\; =\; x^2\; +\; y^2$이므로, 복소수 $z$의 절댓값은 $z\; \backslash cdot\; \backslash overline\{z\}$의 제곱근으로도 표현할 수 있다.

$|z|\; =\; \backslash sqrt\{z\; \backslash cdot\; \backslash overline\{z\}\}$

이는 실수의 절댓값 정의 $|x|\; =\; \backslash sqrt\{x^2\}$를 일반화한 것이다. 이 관계식 $|z|^2\; =\; z\backslash bar\{z\}$는 절댓값 제곱 또는 제곱 모듈러스라고도 불린다. 복소수의 절댓값은 실수의 절댓값과 기본적인 성질들을 공유한다.

4. 2. 거리 공간 구조

실수의 절댓값이 실수선 위에서 원점(0)과의 거리를 나타내듯이, 두 실수 $x,\; y$ 사이의 거리 $d(x,\; y)$는 절댓값을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$d(x,\; y)\; =\; |x\; -\; y|$

마찬가지로, 복소수의 절댓값이 복소평면 위에서 원점과의 거리를 나타내듯이, 두 복소수 $z,\; w$ 사이의 거리 $d(z,\; w)$는 절댓값을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$d(z,\; w)\; =\; |z\; -\; w|\; =\; \backslash sqrt\{(\backslash operatorname\{Re\}z\; -\; \backslash operatorname\{Re\}w)^2\; +\; (\backslash operatorname\{Im\}z\; -\; \backslash operatorname\{Im\}w)^2\}$

이는 복소평면 위의 두 점을 연결하는 선분을 빗변으로 하고, 각 좌표축에 평행한 두 선분을 나머지 변으로 하는 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용한 결과와 같다.

절댓값은 거리 개념과 밀접하게 연관되어 있다. 실수 또는 복소수의 절댓값은 각각 실수선 또는 복소평면에서 원점으로부터의 거리를 의미하며, 두 실수 또는 복소수의 차의 절댓값은 두 수 사이의 거리를 나타낸다.

이러한 절댓값을 이용한 거리는 유클리드 공간에서의 표준적인 유클리드 거리와 일치한다. 예를 들어, 1차원 유클리드 공간(실수선)에서 두 점 $a\_1,\; b\_1$ 사이의 거리는 다음과 같다.

:$|a\_1\; -\; b\_1|\; =\; \backslash sqrt\{(a\_1\; -\; b\_1)^2\}$

또한, 2차원 유클리드 공간(복소평면)에서 두 점 $a\; =\; a\_1\; +\; i\; a\_2$와 $b\; =\; b\_1\; +\; i\; b\_2$ 사이의 거리는 다음과 같다.

:$|a\; -\; b|\; =\; |(a\_1\; -\; b\_1)\; +\; i(a\_2\; -\; b\_2)|\; =\; \backslash sqrt\{(a\_1\; -\; b\_1)^2\; +\; (a\_2\; -\; b\_2)^2\}$

이는 각각 1차원 및 2차원 유클리드 거리의 정의와 같다.

두 실수 또는 복소수의 차의 절댓값의 성질은 보다 일반적인 거리 함수의 개념으로 이어진다. 집합 $X$ 위의 거리 함수 $d$는 다음 네 가지 공리를 만족하는 실수값 함수이다.^[15]

성질	공리
비음성	$d(a,\; b)\; \backslash ge\; 0$
동일성	$d(a,\; b)\; =\; 0\; \backslash iff\; a\; =\; b$
대칭성	$d(a,\; b)\; =\; d(b,\; a)$
삼각 부등식	$d(a,\; b)\; \backslash le\; d(a,\; c)\; +\; d(c,\; b)$

함수 $d(x,\; y)\; =\; |x\; -\; y|$는 이러한 거리 함수의 모든 공리를 만족하므로, 실수 집합 $\backslash mathbb\; R$ 또는 복소수 집합 $\backslash mathbb\; C$ 위에 거리 공간 구조를 부여한다. 즉, 절댓값은 실수를 1차원 거리 공간으로, 복소수를 2차원 거리 공간으로 만드는 기본적인 도구이다. 더 나아가, 절댓값은 노름 공간 구조를 정의하며, 모든 노름 공간은 자연스럽게 거리 공간 구조를 갖는다.

5. 관련 개념

절댓값의 개념은 수학의 여러 분야에서 더 일반적인 형태로 확장될 수 있다. 대표적인 예로는 벡터 공간에서 벡터의 '크기'나 '길이'를 일반화한 노름과, 정역 위에서 정의되는 정역 위의 절댓값이 있다. 이러한 일반화된 개념들은 함수해석학, 대수학, 수론 등 다양한 수학 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

5. 1. 노름

실수 $x$의 절댓값 $|x|$와 복소수 $z$의 절댓값(크기) $|z|$는 모두 위의 노름 조건을 만족한다. 따라서 절댓값은 노름의 특수한 예라고 할 수 있다. 특히, 실수를 1차원 벡터 공간 $\backslash mathbb\{R\}^1$으로 생각하면, 절댓값은 $\backslash mathbb\{R\}^1$ 위의 노름이 된다. 더 나아가, 임의의 $p\; \backslash ge\; 1$에 대해 정의되는 $L^p$ 노름의 특수한 경우이기도 하다. 사실상, $\backslash mathbb\{R\}^1$에서는 절댓값이 유일한 노름이라고 할 수 있는데, 이는 $\backslash mathbb\{R\}^1$의 모든 노름 $\backslash |\backslash cdot\backslash |$에 대해 $\backslash |x\backslash |\; =\; \backslash |1\; \backslash cdot\; x\backslash |\; =\; |x|\; \backslash |1\backslash |$이 성립하여, 상수 $\backslash |1\backslash |$배 차이밖에 나지 않기 때문이다.

유클리드 공간 $\backslash mathbb\{R\}^n$에서 벡터 $\backslash mathbf\{x\}\; =\; (x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n)$의 유클리드 노름은 다음과 같이 정의되며, 이는 가장 흔하게 사용되는 노름 중 하나이다.

:$\backslash |\backslash mathbf\{x\}\backslash |\_2\; =\; \backslash sqrt\{x\_1^2\; +\; x\_2^2\; +\; \backslash dots\; +\; x\_n^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; x\_i^2\}$

복소수의 절댓값은 복소 평면을 2차원 유클리드 공간 $\backslash mathbb\{R\}^2$와 동일시했을 때의 유클리드 노름과 같다. 이는 내적 공간에서 유도되는 노름의 한 예이기도 하다.

모든 노름 $\backslash |\backslash cdot\backslash |$는 그 공간 위에 거리 함수 $d$를 자연스럽게 정의하는데, 두 벡터 $\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{y\}$ 사이의 거리는 두 벡터의 차의 노름으로 정의된다.

:$d(\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{y\})\; =\; \backslash |\backslash mathbf\{x\}\; -\; \backslash mathbf\{y\}\backslash |$

따라서 절댓값이 유도하는 거리 $d(x,\; y)\; =\; |x\; -\; y|$는 노름이 유도하는 거리의 특수한 경우이다.

5. 2. 정역 위의 절댓값

여기서 $\backslash mathbf\{0\}$은 $F$의 덧셈 항등원을 나타낸다. 양의 정부호성과 곱셈성으로부터 $v(\backslash mathbf\{1\})\; =\; 1$이 유도된다. 여기서 $\backslash mathbf\{1\}$은 $F$의 곱셈 항등원을 나타낸다. 위에서 정의된 실수와 복소수의 절댓값은 임의의 체에 대한 절댓값의 예이다.

$v$가 $F$에 대한 절댓값이라면, $d(a,\; b)\; =\; v(a\; -\; b)$로 정의된 $F\; \backslash times\; F$에 대한 함수 $d$는 거리 함수(metric)이며 다음은 동치이다.

• $d$는 모든 $x,\; y,\; z\; \backslash in\; F$에 대해 초메트릭 부등식 $d(x,\; y)\; \backslash leq\; \backslash max(d(x,z),d(y,z))$을 만족한다.
• $\backslash left\backslash \{\; v\backslash left(\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash mathbf\{1\}\backslash right)\; :\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\; \backslash right\backslash \}$은 $\backslash mathbb\{R\}$에서 유계이다.
• 모든 $n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$에 대해 $v\backslash left(\{\backslash textstyle\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \}\; \backslash mathbf\{1\}\backslash right)\; \backslash le\; 1\backslash$이다.
• 모든 $a\; \backslash in\; F$에 대해 $v(a)\; \backslash le\; 1\; \backslash Rightarrow\; v(1+a)\; \backslash le\; 1\backslash$이다.
• 모든 $a,\; b\; \backslash in\; F$에 대해 $v(a\; +\; b)\; \backslash le\; \backslash max\; \backslash \{v(a),\; v(b)\backslash \}\backslash$이다.

6. 역사

절댓값의 개념은 19세기 초 복소수가 연구되면서 중요하게 다루어지기 시작했다. 1806년 장 로베르 아르강은 복소수의 크기를 나타내기 위해 프랑스어로 "측정 단위"를 의미하는 ''module''이라는 용어를 도입했다.^{[1][2][19][20]} 오늘날 널리 사용되는 양쪽에 수직선을 그어 절댓값을 나타내는 기호 |''x''|는 1841년 카를 바이어슈트라스가 도입했다.^[5][23] 절댓값 용어와 표기에 대한 더 자세한 내용은 아래 문단에서 설명한다.

6. 1. 용어 및 표기

참조

_[1] 간행물 Oxford English Dictionary, Draft Revision 2008-06-00
_[2] 웹사이트 O'Connor and Robertson http://www-history.m[...]
_[3] 서적 Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace https://books.google[...]
_[4] 서적 A Text-book of Analytic Geometry https://archive.org/[...] 1907
_[5] 서적 Handbook of writing for the mathematical sciences SIAM
_[6] 서적 Calculus on Manifolds Westview
_[7] 서적 Analysis on Manifolds Westview
_[8] 서적 https://books.google[...]
_[9] 서적 Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving https://books.google[...] Jones & Bartlett Publishers
_[10] 서적 Calculus: concepts and contexts Brooks/Cole
_[11] 서적 Classical Complex Analysis https://books.google[...] CRC Press
_[12] 웹사이트 Absolute Value http://mathworld.wol[...]
_[13] 서적
_[14] 서적 New Developments in Contact Problems https://books.google[...]
_[15] 문서
_[16] 서적 https://books.google[...]
_[17] 서적 https://books.google[...]
_[18] 서적 https://books.google[...]
_[19] 간행물 Oxford English Dictionary, Draft Revision 2008-06-00
_[20] 웹사이트 O'Connor and Robertson http://www-history.m[...]
_[21] 서적 Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace https://books.google[...]
_[22] 서적 A Text-book of Analytic Geometry https://books.google[...]
_[23] 서적 Handbook of writing for the mathematical sciences SIAM
_[24] 서적 Calculus on Manifolds Westview
_[25] 서적 Analysis on Manifolds Westview
_[26] 서적 Calculus: concepts and contexts Brooks/Cole
_[27] 웹사이트 Absolute Value http://mathworld.wol[...]
_[28] 서적 New Developments in Contact Problems
_[29] 논문 Bounds for the solutions of unit equations http://pldml.icm.edu[...]