기울기 (벡터)

4.1. 미분과의 관계

스칼라 함수 $f(x)$의 기울기는 $\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\; f$로 표현하며, 여기서 $\backslash nabla$ 기호는 벡터 미분 연산자로 나블라(nabla) 혹은 델(del)연산자라고 불린다. 기울기는 $f$의 각 성분의 편미분으로 구성된 열벡터로 정의된다.

기울기는 전미분(전미분) $df$와 밀접한 관련이 있으며, 이 둘은 서로 전치행렬(쌍대) 관계에 있다. $\backslash R^n$의 벡터를 열벡터로, 코벡터(선형 사상 $\backslash R^n\; \backslash to\; \backslash R$)를 행벡터로 나타내는 관례를 사용하면, 기울기 $\backslash nabla\; f$와 미분 $df$는 각각 열벡터와 행벡터로 표현되며, 같은 성분을 가지지만 서로 전치 관계에 있다.

:$$\backslash nabla\; f(p)\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\_1\}(p)\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\_n\}(p)\; \backslash end\{bmatrix\}\; ;$$
:

이 둘은 같은 성분을 가지지만, 서로 다른 종류의 수학적 객체를 나타낸다. 각 점에서 미분은 코탄젠트 벡터, 즉 선형 형식(또는 코벡터)이며, (벡터) 입력의 주어진 무한소 변화에 대한 (스칼라) 출력의 변화량을 나타낸다. 반면에 각 점에서 기울기는 탄젠트 벡터이며, (벡터) 입력의 무한소 변화를 나타낸다.

계산적으로, 주어진 탄젠트 벡터가 있으면, 그 벡터는 미분(행렬로서)과 곱해질 수 있으며, 이는 기울기와의 내적을 취하는 것과 같다.

미분 가능한 함수
:$$f\; :\; \backslash R^n\; \backslash to\; \backslash R$$
의 점 $x$ ∈ $\backslash R^n$ 에서의 최적 선형 근사는 $\backslash R^n$ 에서 $\backslash R$ 로의 선형 사상이며, $x$ 에서 $f$ 의 미분 또는 전미분이라고 한다.

기울기는 다음 공식을 통해 미분과 관련된다.
:$$(\backslash nabla\; f)\_x\backslash cdot\; v\; =\; df\_x(v)$$
여기서 $v$∈$\backslash R^n$ 이고, $\backslash cdot$ 는 내적이다. 벡터와 기울기의 내적을 취하는 것은 벡터를 따라 방향 도함수를 취하는 것과 같다.

$\backslash R^n$ 에 표준 유클리드 메트릭을 가정하면, 기울기는 다음과 같은 대응하는 열벡터이다.
:$$(\backslash nabla\; f)\_i\; =\; df^\backslash mathsf\{T\}\_i.$$

함수에 대한 최적의 선형 근사는 도함수가 아닌 기울기를 이용하여 나타낼 수 있다. 유클리드 공간 $\backslash R^n$에서 $\backslash R$로의 함수 $f$의 $\backslash R^n$ 내 임의의 특정 점 $x\_0$에서의 기울기는 $x\_0$에서 $f$에 대한 최적의 선형 근사를 특징짓는다. 근사는 다음과 같다.

:$$f(x)\; \backslash approx\; f(x\_0)\; +\; (\backslash nabla\; f)\_\{x\_0\}\backslash cdot(x-x\_0)$$

$x$가 $x\_0$에 가까울 때, 여기서 $(\backslash nabla\; f)\_\{x\_0\}$는 $x\_0$에서 계산된 $f$의 기울기이고, 점은 $\backslash R^n$에서의 내적을 나타낸다. 이 방정식은 $x\_0$에서 $f$의 다변수 테일러 급수 전개의 처음 두 항과 동일하다.

5. 일반화

야코비 행렬은 여러 변수의 벡터값 함수와 유클리드 공간 또는 더 일반적으로 다양체 사이의 미분 가능 함수에 대한 기울기의 일반화이다. 바나흐 공간 사이의 함수에 대한 추가적인 일반화는 프레셰 도함수이다.

$f\; :\; \backslash mathbb\{R\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^m$ 와 같이 각 1계 편도함수가 $\backslash mathbb\{R\}^n$에서 존재하는 함수를 가정하자. 그러면 $f$의 야코비 행렬은 $m\; \backslash times\; n$ 행렬로 정의되며, $\backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathbb\{f\}(\backslash mathbb\{x\})$ 또는 간단히 $\backslash mathbf\{J\}$로 표기한다. $(i,\; j)$번째 항목은 $\backslash mathbf\; J\_\{ij\}\; =\; \{\backslash partial\; f\_i\}\; /\; \{\backslash partial\; x\_j\}$이다. 명시적으로
$$\backslash mathbf\; J\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$$
\dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\nabla^\mathsf{T} f_1 \\
\vdots \\
\nabla^\mathsf{T} f_m
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.

벡터장의 전미분은 벡터에서 벡터로의 선형 사상이므로 텐서 양이다.

직교 좌표계에서 벡터장 $\backslash mathbf\{f\}\; =\; (f^1,\; f^2,\; f^3)$의 기울기는 다음과 같이 정의된다.

$$\backslash nabla\; \backslash mathbf\{f\}=g^\{jk\}\backslash frac\{\backslash partial\; f^i\}\{\backslash partial\; x^j\}\; \backslash mathbf\{e\}\_i\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{e\}\_k,$$

(아인슈타인 합 규약을 사용하고 벡터 $\backslash mathbf\{e\}\_i$와 $\backslash mathbf\{e\}\_k$의 텐서곱은 (2,0)형의 다이어드 텐서이다). 전반적으로 이 식은 야코비 행렬의 전치와 같다.

$$\backslash frac\{\backslash partial\; f^i\}\{\backslash partial\; x^j\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; (f^1,f^2,f^3)\}\{\backslash partial\; (x^1,x^2,x^3)\}.$$

곡선 좌표계 또는 더 일반적으로 곡면 다양체에서 기울기는 크리스토펠 기호를 포함한다.

$$\backslash nabla\; \backslash mathbf\{f\}=g^\{jk\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; f^i\}\{\backslash partial\; x^j\}+\{\backslash Gamma^i\}\_\{jl\}f^l\backslash right)\; \backslash mathbf\{e\}\_i\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{e\}\_k,$$

여기서 $g^\{jk\}$는 역 계량 텐서의 성분이고 $\backslash mathbf\{e\}\_i$는 좌표 기저 벡터이다.

더 불변적으로 표현하면, 벡터장 $\backslash mathbf\{f\}$의 기울기는 레비-치비타 연결과 계량 텐서로 정의될 수 있다.

$$\backslash nabla^a\; f^b\; =\; g^\{ac\}\; \backslash nabla\_c\; f^b\; ,$$

여기서 $\backslash nabla\_c$는 연결이다.

리만 다양체 $(M,\; g)$ 상의 임의의 매끄러운 함수 $f$에 대해, $f$의 기울기는 임의의 벡터장 $X$에 대해 다음을 만족하는 벡터장 $\backslash nabla\; f$이다.

$$g(\backslash nabla\; f,\; X)\; =\; \backslash partial\_X\; f,$$

즉,

$$g\_x\backslash big((\backslash nabla\; f)\_x,\; X\_x\; \backslash big)\; =\; (\backslash partial\_X\; f)\; (x),$$

여기서 $g\_x(\; ,\; )$는 메트릭 $g$에 의해 정의된 $x$에서의 접벡터의 내적을 나타내고, $\backslash partial\_X\; f$는 임의의 점 $x\; \backslash in\; M$을 $x$에서 평가된 $X$ 방향의 $f$의 방향 도함수에 대응시키는 함수이다. 다시 말해, $M$의 열린 부분집합에서 $\backslash mathbb\{R\}^n$의 열린 부분집합으로의 좌표 차트 $\backslash varphi$에서, $(\backslash partial\_X\; f)(x)$는 다음과 같이 주어진다.

$$\backslash sum\_\{j=1\}^n\; X^\{j\}\; \backslash big(\backslash varphi(x)\backslash big)\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_\{j\}\}(f\; \backslash circ\; \backslash varphi^\{-1\})\; \backslash Bigg|\_\{\backslash varphi(x)\},$$

여기서 $X^j$는 이 좌표 차트에서 $X$의 $j$번째 성분을 나타낸다.

따라서, 기울기의 국소적 형태는 다음과 같은 형태를 취한다.

$$\backslash nabla\; f\; =\; g^\{ik\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x^k\}\; \{\backslash textbf\; e\}\_i\; .$$

$M\; =\; \backslash mathbb\{R\}^n$인 경우를 일반화하면, 함수의 기울기는 외미분과 관련이 있다. 왜냐하면

$$(\backslash partial\_X\; f)\; (x)\; =\; (df)\_x(X\_x)\; .$$

좀 더 정확히 말하면, 기울기 $\backslash nabla\; f$는 메트릭 $g$에 의해 정의된 뮤지컬 아이소모피즘

$$\backslash sharp=\backslash sharp^g\backslash colon\; T^*M\backslash to\; TM$$

("sharp"라고 부름)을 사용하여 미분 1-형식 $df$에 관련된 벡터장이다. $\backslash mathbb\{R\}^n$ 상의 함수의 외미분과 기울기 사이의 관계는 메트릭이 내적에 의해 주어지는 평평한 메트릭인 특수한 경우이다.