바이어슈트라스 치환

1. 개요

바이어슈트라스 치환은 삼각 함수의 유리 함수를 적분하기 위해 사용되는 치환 적분 기법이다. 모든 삼각 함수의 유리 함수는 2변수 유리 함수를 이용하여 표현할 수 있으며, 바이어슈트라스 치환은 tan(x/2) = t로 치환하여 이 함수를 유리 함수 적분으로 변환한다. 이 기법은 삼각 함수와 쌍곡선 함수 모두에 적용되며, 쌍곡선 함수에서는 tanh(x/2) = t로 치환하는 쌍곡 탄젠트 반변수 치환을 사용한다. 바이어슈트라스 치환은 복잡한 계산을 초래할 수 있으며, 특수한 형태의 적분에서는 다른 방법을 사용하거나 오일러 공식을 활용하여 삼각 함수 적분을 계산할 수도 있다.

2. 바이어슈트라스 치환

모든 삼각 함수의 유리 함수는 어떤 2변수 유리 함수 $R(u,v)$에 대하여 $R(\backslash sin\; x,\backslash cos\; x)$와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 바이어슈트라스 치환은 이러한 함수의 적분을 구하는 데 사용되는 치환 적분 기법 중 하나이다.

이 치환은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash tan\backslash frac\; x2=t$
이 치환을 사용하면 $\backslash sin\; x$, $\backslash cos\; x$, 그리고 미분소 $dx$는 모두 $t$에 대한 유리 함수로 표현된다. (상세 공식과 유도 과정은 아래 참고)

따라서 $R(\backslash sin\; x,\backslash cos\; x)$의 적분은 다음과 같은 $t$에 대한 유리 함수 적분으로 변환된다.
:$\backslash int\; R(\backslash sin\; x,\backslash cos\; x)\backslash mathrm\; dx=\backslash int\; R\backslash left(\backslash frac\{2t\}\{1+t^2\},\backslash frac\{1-t^2\}\{1+t^2\}\backslash right)\backslash frac\; 2\{1+t^2\}\backslash mathrm\; dt$

모든 유리 함수의 원함수는 초등 함수이므로, 이 치환을 통해 모든 삼각 함수의 유리 함수의 원함수 역시 초등 함수임을 알 수 있다.

2.1. 기본 공식

바이어슈트라스 치환은 $x$에 대한 삼각함수를 새로운 변수 $t$에 대한 유리 함수로 바꾸는 방법으로, 주로 삼각 함수가 포함된 적분 문제를 치환 적분으로 풀 때 유용하게 사용된다. 이 치환은 다음과 같이 정의된다.
:$t\; =\; \backslash tan\backslash frac\; x2$

이 치환을 사용하면 $\backslash sin\; x$, $\backslash cos\; x$, 그리고 미분소 $dx$를 $t$에 대한 식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac\{2t\}\{1\; +\; t^2\}$
:$\backslash cos\; x\; =\; \backslash frac\{1\; -\; t^2\}\{1\; +\; t^2\}$
:$dx\; =\; \backslash frac\{2\}\{1\; +\; t^2\}\backslash ,dt$

=== 유도 ===
이 공식들은 삼각 함수의 항등식을 이용하여 유도할 수 있다.

==== 사인과 코사인 ====
배각 공식 $\backslash sin\; x\; =\; 2\; \backslash sin\; \backslash tfrac\; x2\; \backslash cos\; \backslash tfrac\; x2$, $\backslash cos\; x\; =\; \backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2\; -\; \backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2$과 피타고라스 항등식 $1\; =\; \backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2\; +\; \backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2$을 이용한다. 분자와 분모를 $\backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2$로 나누면 다음과 같이 $t\; =\; \backslash tan\; \backslash tfrac\; x2$로 표현할 수 있다.

:$\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{1\}\; =\; \backslash frac\; \{2\backslash sin\; \backslash tfrac\; x2\backslash ,\; \backslash cos\; \backslash tfrac\; x2\}\{\backslash cos^2\backslash tfrac\; x2\; +\; \backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash frac\{2\backslash sin\; \backslash tfrac\; x2\backslash ,\; \backslash cos\; \backslash tfrac\; x2\}\{\backslash cos^2\backslash tfrac\; x2\}\}\{\backslash frac\{\backslash cos^2\backslash tfrac\; x2\; +\; \backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2\}\{\backslash cos^2\backslash tfrac\; x2\}\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash tfrac\; x2\}\{\backslash cos\; \backslash tfrac\; x2\}\}\{1+\backslash frac\{\backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2\}\{\backslash cos^2\backslash tfrac\; x2\}\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash tan\; \backslash tfrac\; x2\}\{1+\backslash tan^2\; \backslash tfrac\; x2\}\; =\; \backslash frac\{2t\}\{1\; +\; t^2\}$

:$\backslash cos\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash cos\; x\}\{1\}\; =\; \backslash frac\; \{\backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2\; -\; \backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2\}\{\backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2\; +\; \backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash frac\{\backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2\; -\; \backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2\}\{\backslash cos^2\backslash tfrac\; x2\}\}\{\backslash frac\{\backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2\; +\; \backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2\}\{\backslash cos^2\backslash tfrac\; x2\}\}\; =\; \backslash frac\{1-\backslash frac\{\backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2\}\{\backslash cos^2\backslash tfrac\; x2\}\}\{1\; +\; \backslash frac\{\backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2\}\{\backslash cos^2\backslash tfrac\; x2\}\}\; =\; \backslash frac\{1-\backslash tan^2\; \backslash tfrac\; x2\}\{1\; +\; \backslash tan^2\; \backslash tfrac\; x2\}\; =\; \backslash frac\{1\; -\; t^2\}\{1\; +\; t^2\}$

==== 미분소 ====
$t\; =\; \backslash tan\; \backslash tfrac\; x2$의 양변을 $x$에 대해 미분하면 연쇄 법칙에 의해 다음을 얻는다.

:$\backslash frac\{dt\}\{dx\}\; =\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash left(\; \backslash tan\; \backslash frac\{x\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash sec^2\; \backslash frac\{x\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}$

피타고라스 항등식 중 $\backslash sec^2\; \backslash theta\; =\; 1\; +\; \backslash tan^2\; \backslash theta$를 이용하면,
:$\backslash frac\{dt\}\{dx\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; 1\; +\; \backslash tan^2\; \backslash frac\{x\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{1+t^2\}\{2\}$

따라서 $dx$에 대해 정리하면 다음과 같다.
:$dx\; =\; \backslash frac\{2\}\{1\; +\; t^2\}\; \backslash ,\; dt$

2.2. 다른 방법

바이어슈트라스 치환은 때로 복잡한 계산을 가져온다. 다음과 같은 몇 가지 특수한 꼴의 경우에는 보다 더 간편한 기법이 존재한다.
* 만약 $R(-u,v)=-R(u,v)$라면, 이는 항상 $R(u,v)=uR\_1(u^2,v)$ 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 $\backslash cos\; x=t$와 같이 치환하는 것이 좋다.
*:$\backslash int\; R(\backslash sin\; x,\backslash cos\; x)dx=\backslash int\backslash sin\; xR\_1(\backslash sin^2x,\backslash cos\; x)dx=-\backslash int\; R\_1(1-t^2,t)dt$
* 만약 $R(u,-v)=-R(u,v)$라면, 이는 $R(u,v)=vR\_1(u,v^2)$ 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 $\backslash sin\; x=t$와 같이 치환하는 것이 좋다.
*:$\backslash int\; R(\backslash sin\; x,\backslash cos\; x)dx=\backslash int\backslash cos\; xR\_1(\backslash sin\; x,\backslash cos^2x)dx=\backslash int\; R\_1(t,1-t^2)dt$
* 만약 $R(-u,-v)=R(u,v)$라면, $R(u,v)=R\_1(u/v,v^2)$ 꼴이므로, 이 경우 $\backslash tan\; x=t$와 같이 치환하는 것이 좋다.
*:$\backslash int\; R(\backslash sin\; x,\backslash cos\; x)dx=\backslash int\; R\_1(\backslash tan\; x,\backslash cos^2x)dx=\backslash int\; R\_1\backslash left(t,\backslash frac\; 1\{1+t^2\}\backslash right)\backslash frac\; 1\{1+t^2\}dt$

사실 모든 유리 함수는 각각 위와 같은 성질을 만족시키는 세 유리 함수의 합으로 나타낼 수 있다.
:$R(u,v)=\backslash frac\{R(u,v)-R(-u,v)\}2+\backslash frac\{R(-u,v)-R(-u,-v)\}2+\backslash frac\{R(-u,-v)+R(u,v)\}2$

삼각 함수를 포함하는 적분을 계산하는 다른 접근 방식도 있다. 예를 들어, 오일러 공식을 사용하여 $e^\{ix\}$와 $e^\{-ix\}$로 삼각 함수를 다시 표현하는 것이 도움이 될 수 있다.

2.3. 유도 과정

새로운 변수 $t=\backslash tan\backslash tfrac\; x2$를 도입하면 사인과 코사인은 $t$에 대한 유리 함수로 표현될 수 있으며, 미분소 $dx$는 $dt$와 $t$의 유리 함수의 곱으로 표현될 수 있다. 이 관계식은 다음과 같다.
$$$$
\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2}{1 + t^2}\,dt.


이 공식들은 삼각함수의 배각 공식과 피타고라스 항등식을 이용하여 유도할 수 있다.

먼저, 사인의 배각 공식 $\backslash sin\; x\; =\; 2\; \backslash sin\; \backslash tfrac\; x2\; \backslash cos\; \backslash tfrac\; x2$과 피타고라스 항등식 $1\; =\; \backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2\; +\; \backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2$을 이용한다. 분모를 1로 보고 항등식을 대입한 뒤, 분자와 분모를 $\backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2$로 나누면 다음과 같이 정리된다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\sin x &= \frac {2\sin \tfrac x2\, \cos \tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2} \\
&= \frac{\frac{2\sin \tfrac x2\, \cos \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}}{\frac{\cos^2\tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}} \\
&= \frac{2\frac{\sin \tfrac x2}{\cos \tfrac x2}}{1 + \frac{\sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}} \\
&= \frac{2\tan \tfrac x2}{1+\tan^2 \tfrac x2} \\
&= \frac{2t}{1 + t^2}
\end{align}

다음으로, 코사인의 배각 공식 $\backslash cos\; x\; =\; \backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2\; -\; \backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2$과 피타고라스 항등식 $1\; =\; \backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2\; +\; \backslash sin^2\; \backslash tfrac\; x2$을 이용한다. 마찬가지로 분모를 1로 보고 항등식을 대입한 뒤, 분자와 분모를 $\backslash cos^2\; \backslash tfrac\; x2$로 나누면 다음과 같이 정리된다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\cos x &= \frac {\cos^2 \tfrac x2 - \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2} \\
&= \frac{\frac{\cos^2 \tfrac x2 - \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}}{\frac{\cos^2\tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}} \\
&= \frac{1 - \frac{\sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}}{1 + \frac{\sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}} \\
&= \frac{1-\tan^2 \tfrac x2}{1 + \tan^2 \tfrac x2} \\
&= \frac{1 - t^2}{1 + t^2}
\end{align}

마지막으로, $t\; =\; \backslash tan\; \backslash tfrac\; x2$의 양변을 $x$에 대해 미분하면 미분 규칙에 의해 다음을 얻는다.

$$\backslash frac\{dt\}\{dx\}\; =\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash left(\; \backslash tan\; \backslash tfrac\; x2\; \backslash right)\; =\; \backslash sec^2\; \backslash tfrac\; x2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}$$
시컨트와 탄젠트의 관계 $\backslash sec^2\; \backslash theta\; =\; 1\; +\; \backslash tan^2\; \backslash theta$를 이용하면,
$$\backslash frac\{dt\}\{dx\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(1+\backslash tan^2\; \backslash tfrac\; x2\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1+t^2\}2$$
따라서 미분소 $dx$는 다음과 같이 표현된다.
$$dx=\backslash frac\{2\}\{1\; +\; t^2\}\; \backslash ,\; dt.$$

이를 통해 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트, 코시컨트와 같은 다른 삼각함수들도 $t$에 대한 유리 함수로 표현할 수 있다.

2.4. 기하학적 의미

바이어슈트라스 치환에서 새로운 변수 $t\; =\; \backslash tan\; \backslash frac\{x\}\{2\}$를 도입하는 것은 기하학적으로 의미를 가진다. 이 치환을 통해 사인과 코사인은 $t$에 대한 유리 함수로 표현될 수 있다.
$$$$
\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}

각도 $x$가 변함에 따라 점 $(\backslash cos\; x,\; \backslash sin\; x)$는 원점을 중심으로 하는 단위 원 위를 움직인다. 바이어슈트라스 치환을 통해 얻어지는 점
$$$$
\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)

역시 단위 원 위의 점을 나타낸다. 변수 $t$가 $-\backslash infty$에서 $+\backslash infty$까지 변할 때, 이 점은 단위 원을 한 바퀴 돌게 된다. 하지만 $t$가 $\backslash pm\backslash infty$에 접근할 때 점 $(-1,\; 0)$에 한없이 가까워질 뿐, 실제로 이 점에 도달하지는 않는다.

* $t$가 $-\backslash infty$에서 $-1$로 변할 때: 점은 3사분면에서 $(-1,\; 0)$ (극한값) 에서 $(0,\; -1)$까지 이동한다.
* $t$가 $-1$에서 $0$으로 변할 때: 점은 4사분면에서 $(0,\; -1)$에서 $(1,\; 0)$까지 이동한다.
* $t$가 $0$에서 $1$로 변할 때: 점은 1사분면에서 $(1,\; 0)$에서 $(0,\; 1)$까지 이동한다.
* $t$가 $1$에서 $+\backslash infty$로 변할 때: 점은 2사분면에서 $(0,\; 1)$에서 $(-1,\; 0)$ (극한값) 까지 이동한다.

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다른 기하학적 해석도 가능하다. 단위 원 $x^2\; +\; y^2\; =\; 1$을 생각하고, 원 위의 점 $P\; =\; (-1,\; 0)$을 고정하자. 점 $P$를 지나는 직선(수직선 제외)은 기울기 $t$에 의해 유일하게 결정된다. 이 직선은 단위 원과 두 점에서 만나는데, 한 점은 $P$이고 다른 한 점을 $(\backslash cos\; \backslash theta,\; \backslash sin\; \backslash theta)$라고 하자. 이때 직선의 기울기 $t$와 각 $\backslash theta$ 사이에는 $t\; =\; \backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}$ 관계가 성립한다.

이는 다음 연립 방정식을 통해 확인할 수 있다.
:$\backslash begin\{cases\}\; x^2\; +\; y^2\; =\; 1\; \backslash \backslash \; y\; =\; t\; (x+1)\; \backslash end\{cases\}\; \backslash qquad\; (\backslash text\{단,\; \}\; x\; \backslash neq\; -1)$
두 번째 식 $y\; =\; t(x+1)$을 첫 번째 식에 대입하면,
$x^2\; +\; (t(x+1))^2\; =\; 1$
$x^2\; +\; t^2(x^2\; +\; 2x\; +\; 1)\; =\; 1$
$(1+t^2)x^2\; +\; 2t^2\; x\; +\; (t^2\; -\; 1)\; =\; 0$
이 이차 방정식의 해는 직선과 원의 교점의 x좌표이다. 한 해는 점 $P$의 x좌표인 $x=-1$이므로, $(x+1)$을 인수로 가진다. 인수분해하거나 근과 계수의 관계를 이용하면 다른 해는 다음과 같다.
:$x\; =\; \backslash frac\{1-t^2\}\{1+t^2\}$
이를 $y\; =\; t(x+1)$에 대입하면,
:$y\; =\; t\; \backslash left(\; \backslash frac\{1-t^2\}\{1+t^2\}\; +\; 1\; \backslash right)\; =\; t\; \backslash left(\; \backslash frac\{1-t^2\; +\; 1+t^2\}\{1+t^2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{2t\}\{1+t^2\}$
따라서 점 $P$가 아닌 다른 교점의 좌표는 $(\backslash cos\; \backslash theta,\; \backslash sin\; \backslash theta)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1-t^2\}\{1+t^2\},\; \backslash frac\{2t\}\{1+t^2\}\backslash right)$ 이며, 이는 바이어슈트라스 치환의 공식과 일치한다. 즉, 점 $(-1,\; 0)$과 단위원 위의 다른 점 $(\backslash cos\; \backslash theta,\; \backslash sin\; \backslash theta)$를 잇는 직선의 기울기가 $t\; =\; \backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}$가 되는 것이다.

3. 쌍곡선 함수에 대한 바이어슈트라스 치환

바이어슈트라스 치환의 쌍곡선 함수 버전인 쌍곡 탄젠트 반변수 치환(hyperbolic tangent half-argument substitution^영어) 또는 쌍곡 t-치환(hyperbolic t-substitution^영어)은 쌍곡선 함수를 포함하는 유리 함수 $R(\backslash sinh\; x,\backslash cosh\; x)$를 적분하는 데 사용되는 방법이다. 이 치환은 변수 $t$를 다음과 같이 정의한다.
:$\backslash tanh\backslash frac\; x2=t$

이 치환을 통해 $\backslash sinh\; x$, $\backslash cosh\; x$ 및 미분소 $dx$가 $t$에 대한 유리 함수로 표현되므로(자세한 공식은 아래 참조), $R(\backslash sinh\; x,\backslash cosh\; x)$의 적분은 다음과 같이 $t$에 대한 유리 함수의 적분으로 변환된다.
:$\backslash int\; R(\backslash sinh\; x,\backslash cosh\; x)\backslash mathrm\; dx=\backslash int\; R\backslash left(\backslash frac\{2t\}\{1-t^2\},\backslash frac\{1+t^2\}\{1-t^2\}\backslash right)\backslash frac\; 2\{1-t^2\}\backslash mathrm\; dt$
따라서 이 치환을 통해 모든 쌍곡선 함수의 유리 함수의 원함수는 초등 함수임을 알 수 있다.

3.1. 기본 공식

바이어슈트라스 치환의 쌍곡선 함수 버전인 쌍곡 탄젠트 반변수 치환(hyperbolic tangent half-argument substitution^영어) 또는 쌍곡 t-치환(hyperbolic t-substitution^영어)은 $t\; =\; \backslash tanh\; \backslash frac\; x2$ 로 치환하는 것을 말한다.

이 치환을 통해 쌍곡선 함수들은 다음과 같이 $t$에 대한 유리 함수로 표현된다.

$\backslash sinh\; x\; =\; \backslash frac\{2t\}\{1\; -\; t^2\}$
$\backslash cosh\; x\; =\; \backslash frac\{1\; +\; t^2\}\{1\; -\; t^2\}$
$\backslash tanh\; x\; =\; \backslash frac\{2t\}\{1\; +\; t^2\}$
$\backslash coth\; x\; =\; \backslash frac\{1\; +\; t^2\}\{2t\}$
$\backslash operatorname\{sech\}\; x\; =\; \backslash frac\{1\; -\; t^2\}\{1\; +\; t^2\}$
$\backslash operatorname\{csch\}\; x\; =\; \backslash frac\{1\; -\; t^2\}\{2t\}$

또한, $x$와 미분소 $dx$는 다음과 같이 표현된다.

$x\; =\; 2\; \backslash tanh^\{-1\}\; t$
$dx\; =\; \backslash frac\{2\}\{1\; -\; t^2\}\; dt$

이러한 관계식들은 쌍곡선 함수를 포함하는 적분을 유리 함수의 적분으로 변환하는 데 사용될 수 있다.

3.2. 유도 과정

다른 삼각 함수와 쌍곡선 함수 사이에서 공유되는 속성처럼, 쌍곡선 항등식을 사용하여 $t\; =\; \backslash tanh\; \backslash tfrac\; x2$ 형태의 치환을 구성할 수 있다.

$$$$
\sinh x = \frac{2t}{1 - t^2}, \quad \cosh x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, \quad \text{and} \quad dx = \frac{2}{1- t^2}\,dt.


$\backslash tanh\; x$, $\backslash coth\; x$, $\backslash operatorname\{sech\}\; x$, 및 $\backslash operatorname\{csch\}\; x$에 대해서도 유사한 표현을 작성할 수 있다. 기하학적으로, 이 변수 변환은 쌍곡선 선을 실수 구간으로의 1차원 스테레오그래픽 투영이며, 푸앵카레 원반 모형과 유사하다.

쌍곡선 함수에서도 삼각함수와 마찬가지로 반각 치환이 존재한다. 즉,
:$t\; =\; \backslash tanh\; \backslash frac\backslash theta2$
의 치환에 의해, 다음 관계식이 유도된다.
$$$$
\begin{align}
&\sinh\theta = \frac{2t}{1 - t^2}, \quad \cosh\theta = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, \quad \tanh\theta = \frac{2t}{1 + t^2}, \\[3pt]
&\coth\theta = \frac{1 + t^2}{2t}, \quad \operatorname{sech} \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad \operatorname{csch}\theta = \frac{1 - t^2}{2t}, \\[3pt]
&\text{and} \quad {\rm d}\theta = \frac{2}{1- t^2}\,{\rm d}t.
\end{align}

이를 통해 구데르만 함수 및 그 역함수의 구체적인 수식 유도에도 응용할 수 있다.

4. 예제

다음과 같은 적분들을 생각하자.
:$\backslash int\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{1+\backslash sin\; x\}\backslash mathrm\; dx,\backslash ;\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{5+3\backslash sin\; x+4\backslash cos\; x\},\backslash ;\backslash int\backslash frac\{\backslash cos^3x\}\{1+\backslash sin^2x\}\backslash mathrm\; dx$

첫째와 둘째 적분은 바이어슈트라스 치환 $t\; =\; \backslash tan(x/2)$을 이용하여 계산할 수 있다. 예를 들어 첫째 적분은 다음과 같이 변형된다.
:$\backslash int\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{1+\backslash sin\; x\}\backslash mathrm\; dx\; =\; \backslash int\backslash frac\{4t\}\{(1+t)^2(1+t^2)\}\backslash mathrm\; dt$
둘째 적분 역시 치환을 통해 $t$에 대한 유리 함수의 적분으로 바뀐다.
:$\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{5+3\backslash sin\; x+4\backslash cos\; x\}\; =\; \backslash int\backslash frac\; 2\{(3+t)^2\}\backslash mathrm\; dt$

셋째 적분의 경우, 피적분 함수 $R(\backslash sin\; x,\; \backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac\{\backslash cos^3x\}\{1+\backslash sin^2x\}$가 $R(\backslash sin\; x,-\backslash cos\; x)=-R(\backslash sin\; x,\backslash cos\; x)$를 만족시키므로, 바이어슈트라스 치환 대신 더 간단한 치환 $t\; =\; \backslash sin\; x$를 사용하여 계산하는 것이 효율적이다.
:$\backslash int\backslash frac\{\backslash cos^3x\}\{1+\backslash sin^2x\}\backslash mathrm\; dx\; =\; \backslash int\backslash frac\{1-t^2\}\{1+t^2\}\backslash mathrm\; dt$

각 적분의 자세한 풀이 과정은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

4.1. 삼각 함수 적분 예제

다음과 같은 적분들을 생각하자.
:$\backslash int\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{1+\backslash sin\; x\}\backslash mathrm\; dx,\backslash ;\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{5+3\backslash sin\; x+4\backslash cos\; x\},\backslash ;\backslash int\backslash frac\{\backslash cos^3x\}\{1+\backslash sin^2x\}\backslash mathrm\; dx$

첫째 적분은 바이어슈트라스 치환 $t\; =\; \backslash tan(x/2)$을 통해 다음과 같이 구할 수 있다. ($\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac\{2t\}\{1+t^2\},\; \backslash ;\; dx\; =\; \backslash frac\{2\}\{1+t^2\}dt$)
:$\backslash begin\{align\}\backslash int\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{1+\backslash sin\; x\}\backslash mathrm\; dx$
&=\int\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt \\
&=\int\frac{2t}{1+t^2+2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt \\
&=\int\frac{4t}{(t+1)^2(1+t^2)}\mathrm dt\\
&=\int\left(\frac{2}{1+t^2} - \frac{2}{(1+t)^2}\right)\mathrm dt \quad \text{(부분 분수 분해)}\\
&=2\arctan t - \int 2(1+t)^{-2} dt \\
&=2\arctan t - 2\frac{(1+t)^{-1}}{-1} + C \\
&=2\arctan t + \frac{2}{1+t} + C\\
&=x + \frac{2}{1+\tan(x/2)} + C \quad (\because 2\arctan t = 2(x/2) = x)
\end{align}

둘째 적분 역시 바이어슈트라스 치환 $t\; =\; \backslash tan(x/2)$을 통해 다음과 같이 구할 수 있다. ($\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac\{2t\}\{1+t^2\},\; \backslash ;\; \backslash cos\; x\; =\; \backslash frac\{1-t^2\}\{1+t^2\},\; \backslash ;\; dx\; =\; \backslash frac\{2\}\{1+t^2\}dt$)
:$\backslash begin\{align\}\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{5+3\backslash sin\; x+4\backslash cos\; x\}$
&=\int\frac{1}{5+3\frac{2t}{1+t^2}+4\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt\\
&=\int\frac{1+t^2}{5(1+t^2)+6t+4(1-t^2)}\cdot\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt\\
&=\int\frac 2{5+5t^2+6t+4-4t^2}\mathrm dt\\
&=\int\frac 2{t^2+6t+9}\mathrm dt\\
&=\int\frac 2{(t+3)^2}\mathrm dt\\
&=-\frac 2{t+3}+C\\
&=-\frac 2{\tan(x/2)+3}+C
\end{align}

셋째 적분은 피적분 함수 $R(\backslash sin\; x,\; \backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac\{\backslash cos^3x\}\{1+\backslash sin^2x\}$가 $R(\backslash sin\; x,-\backslash cos\; x)=-R(\backslash sin\; x,\backslash cos\; x)$를 만족시키므로, 바이어슈트라스 치환 대신 더 간단한 치환 $u\; =\; \backslash sin\; x$ ($du\; =\; \backslash cos\; x\; \backslash ,\; dx$)를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}\backslash int\backslash frac\{\backslash cos^3x\}\{1+\backslash sin^2x\}\backslash mathrm\; dx$
&=\int\frac{\cos^2x \cdot \cos x}{1+\sin^2x}\mathrm dx\\
&=\int\frac{1-\sin^2x}{1+\sin^2x}\cos x\mathrm dx\\
&=\int\frac{1-u^2}{1+u^2}\mathrm du\\
&=\int\frac{-(u^2+1)+2}{1+u^2}\mathrm du\\
&=\int\left(-1+\frac 2{1+u^2}\right)\mathrm du\\
&=-u+2\arctan u+C\\
&=-\sin x+2\arctan(\sin x)+C
\end{align}

바이어슈트라스 치환 $t=\backslash tan(x/2)$를 도입하면 사인과 코사인은 $t$의 유리 함수로 표현될 수 있으며, $dx$는 $\backslash frac\{2\}\{1\; +\; t^2\}\backslash ,dt$로 표현된다.
:$\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac\{2t\}\{1\; +\; t^2\},\; \backslash quad\; \backslash cos\; x\; =\; \backslash frac\{1\; -\; t^2\}\{1\; +\; t^2\},\; \backslash quad\; dx\; =\; \backslash frac\{2\}\{1\; +\; t^2\}\backslash ,dt$

이를 이용하여 코시컨트 함수($\backslash csc\; x\; =\; 1/\backslash sin\; x$)의 적분을 계산할 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
\int\csc x\,dx&=\int\frac{dx}{\sin x} \\[6pt]
&=\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2}\,dt && t = \tan\tfrac x2 \\[6pt]
&=\int \left(\frac{1 + t^2}{2t}\right) \left(\frac{2}{1 + t^2}\right)dt \\[6pt]
&=\int\frac{dt}{t} \\[6pt]
&=\ln |t |+ C \\[6pt]
&=\ln \left|\tan\tfrac x2 \right| + C
\end{align}

이 결과는 코시컨트 적분을 계산하는 표준적인 방법(분자와 분모에 $\backslash csc\; x\; -\; \backslash cot\; x$를 곱하고 $u\; =\; \backslash csc\; x\; -\; \backslash cot\; x$ 치환)으로 얻은 결과와 동일함을 확인할 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
\int \csc x \,dx &= \int \frac{\csc x (\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} \, dx \\[6pt]
&= \int \frac{(\csc^2 x - \csc x \cot x)\,dx}{\csc x - \cot x} \qquad u = \csc x - \cot x, \; du = (-\csc x \cot x + \csc^2 x)dx \\[6pt]
&= \int \frac{du}{u} \\[6pt]
&= \ln |u| + C \\[6pt]
&= \ln\left|\csc x - \cot x\right| + C.
\end{align}
두 답이 같은 이유는 삼각함수 항등식 $\backslash csc\; x\; -\; \backslash cot\; x\; =\; \backslash tan(x/2)$ 때문이다.
:$\backslash begin\{align\}$
\csc x - \cot x
&= \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} \\[6pt]
&= \frac{1 - \cos x}{\sin x} \\
&= \frac{1 - \frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}} && t = \tan \tfrac x2 \\[6pt]
&= \frac{\frac{(1+t^2)-(1-t^2)}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}} \\
&= \frac{2t^2}{2t} = t \\[6pt]
&= \tan \tfrac x2
\end{align}
시컨트 적분도 비슷한 방식으로 계산할 수 있다.

정적분의 경우, 치환적분 시 적분 구간의 변환과 수학적 특이점에 유의해야 한다. 예를 들어 다음 적분을 계산해 보자.
:$\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\backslash frac\{dx\}\{2+\backslash cos\; x\}$
치환 $t\; =\; \backslash tan(x/2)$를 사용하면 $x=0$일 때 $t=0$이고, $x\; \backslash to\; \backslash pi^-$일 때 $t\; \backslash to\; \backslash infty$, $x\; \backslash to\; \backslash pi^+$일 때 $t\; \backslash to\; -\backslash infty$, $x\; =\; 2\backslash pi$일 때 $t=0$이다. 함수 $\backslash tan(x/2)$는 $x=\backslash pi$에서 수직 점근선을 가지므로, 적분 구간을 나누어 계산하거나 이상 적분으로 처리해야 한다.
:$\backslash begin\{align\}$
\int_0^{2\pi}\frac{dx}{2+\cos x}
&= \int_0^\pi \frac{dx}{2+\cos x} + \int_\pi^{2\pi} \frac{dx}{2+\cos x} \\[6pt]
&=\int_0^\infty \frac{\frac{2}{1+t^2}\,dt}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}} + \int_{-\infty}^0 \frac{\frac{2}{1+t^2}\,dt}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}} & t &= \tan\tfrac x2 \\[6pt]
&=\int_0^\infty \frac{2\,dt}{2(1+t^2)+(1-t^2)} + \int_{-\infty}^0 \frac{2\,dt}{2(1+t^2)+(1-t^2)} \\[6pt]
&=\int_0^\infty \frac{2\,dt}{t^2+3} + \int_{-\infty}^0 \frac{2\,dt}{t^2+3} \\[6pt]
&=\int_{-\infty}^\infty \frac{2\,dt}{t^2+3} \\[6pt]
&=\int_{-\infty}^\infty \frac{2}{(\sqrt{3}u)^2+3} (\sqrt{3}\,du) & t &= u\sqrt 3, \; dt = \sqrt{3} du \\[6pt]
&=\int_{-\infty}^\infty \frac{2\sqrt{3}}{3u^2+3} du = \frac{2\sqrt{3}}{3} \int_{-\infty}^\infty \frac{du}{u^2+1} \\[6pt]
&=\frac{2}{\sqrt 3} [\arctan u]_{-\infty}^\infty = \frac{2}{\sqrt 3} \left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \frac{2\pi}{\sqrt 3}.
\end{align}
또는, 부정적분을 먼저 구한 뒤 정적분의 기본 정리를 이용할 수도 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
\int \frac{dx}{2 + \cos x} &= \int \frac{1}{2 + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2\,dt}{1+t^2} && t = \tan\tfrac x2 \\[6pt]
&= \int \frac{2\, dt}{2(1+t^2)+(1-t^2)} = \int \frac{2\,dt}{t^2+3}\\[6pt]
&= \frac{2}{\sqrt 3} \arctan \left( \frac{t}{\sqrt 3}\right) + C\\[6pt]
&= \frac{2}{\sqrt 3} \arctan \left( \frac{\tan(x/2)}{\sqrt3}\right) + C.
\end{align}
피적분 함수는 $x$에 대해 주기 함수이고 $[0,\; 2\backslash pi]$에서 대칭성을 가지므로 다음과 같이 계산할 수도 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
\int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} &= 2 \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} \\
&= 2 \lim_{b \to \pi^-} \int_0^b \frac{dx}{2 + \cos x} \\
&= 2 \lim_{b \to \pi^-} \left[ \frac{2}{\sqrt 3} \arctan \left( \frac{\tan(x/2)}{\sqrt3}\right) \right]_0^b \\
&= \frac{4}{\sqrt3} \lim_{b \to \pi^-} \left[ \arctan \left( \frac{\tan(b/2)}{\sqrt3}\right) - \arctan \left( \frac{\tan(0/2)}{\sqrt3}\right) \right] \\
&= \frac{4}{\sqrt3} \left[ \lim_{b \to \pi^-} \arctan \left(\frac{\tan(b/2)}{\sqrt3}\right) - \arctan (0) \right] \\
&= \frac{4}{\sqrt 3} \left( \frac{\pi}{2} - 0\right) = \frac{2\pi}{\sqrt 3}.
\end{align}

일반적으로 다음과 같은 형태의 적분은 바이어슈트라스 치환으로 계산 가능하다.
:
&= \int \frac{2\,dt}{a(1-t^2) + 2bt + c(1+t^2)} \\[6pt]
&= \int \frac{2\,dt}{(c-a)t^2 +2bt+(c+a)}
\end{align}
이후 분모의 이차식 $(c-a)t^2\; +2bt+(c+a)$의 형태에 따라 적분한다. 만약 $c^2\; >\; a^2+b^2$ 이면, 판별식 이므로, 아크탄젠트 형태로 적분된다. (단, $c-a\; \backslash neq\; 0$ 가정)
:$\backslash int\; \backslash frac\{2\backslash ,dt\}\{(c-a)t^2\; +2bt+(c+a)\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{c^2-(a^2+b^2)\}\}\; \backslash arctan\; \backslash left(\backslash frac\{(c-a)t\; +\; b\}\{\backslash sqrt\{c^2-(a^2+b^2)\}\}\backslash right)\; +\; C\text{'}$
최종적으로 $t\; =\; \backslash tan(x/2)$를 대입하면 다음과 같다.
:$\backslash int\; \backslash frac\{dx\}\{a\backslash cos\; x\; +\; b\backslash sin\; x\; +c\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{c^2-(a^2+b^2)\}\}\; \backslash arctan\; \backslash left(\backslash frac\{(c-a)\backslash tan(x/2)\; +\; b\}\{\backslash sqrt\{c^2-(a^2+b^2)\}\}\backslash right)\; +\; C\text{'}\; \backslash quad\; (\backslash text\{if\; \}\; c^2\; >\; a^2+b^2\; \backslash text\{\; and\; \}\; c\; \backslash neq\; a)$

4.2. 쌍곡선 함수 적분 예제

쌍곡선 항등식을 사용하여 $t\; =\; \backslash tanh\; \backslash tfrac\; x2$ 치환을 구성할 수 있다. 이 치환을 통해 쌍곡선 함수와 미분소를 다음과 같이 $t$에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

$$$$
\sinh x = \frac{2t}{1 - t^2}, \quad \cosh x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, \quad \mathrm dx = \frac{2}{1- t^2}\,\mathrm dt.


$\backslash tanh\; x$, $\backslash coth\; x$, $\backslash text\{sech\; \}\; x$, $\backslash text\{csch\; \}\; x$에 대해서도 유사한 표현을 만들 수 있다. 기하학적으로 이 변수 변환은 쌍곡선 위의 점을 실수선 위의 점으로 대응시키는 1차원 스테레오그래픽 투영으로 볼 수 있으며, 이는 푸앵카레 원반 모형과 유사하다.

다음과 같은 적분을 쌍곡 탄젠트 반변수 치환을 이용하여 계산할 수 있다.
:$\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{1+2\backslash cosh\; x\}$
쌍곡 탄젠트 반변수 치환 $\backslash tanh(x/2)=t$를 이용하면 $\backslash cosh\; x\; =\; \backslash frac\{1+t^2\}\{1-t^2\}$이고 $\backslash mathrm\; dx\; =\; \backslash frac\{2\}\{1-t^2\}\backslash mathrm\; dt$이므로, 적분은 다음과 같이 계산된다.
:$\backslash begin\{align\}\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{1+2\backslash cosh\; x\}$
&=\int\frac 1{1+2\frac{1+t^2}{1-t^2}} \cdot \frac 2{1-t^2}\mathrm dt\\
&=\int\frac {1-t^2}{1-t^2+2(1+t^2)} \cdot \frac 2{1-t^2}\mathrm dt\\
&=\int\frac 2{1-t^2+2+2t^2}\mathrm dt\\
&=\int\frac 2{3+t^2}\mathrm dt\\
&=\frac 2{\sqrt 3}\arctan\frac t{\sqrt 3}+C\\
&=\frac 2{\sqrt 3}\arctan\frac{\tanh(x/2)}{\sqrt 3}+C
\end{align}
여기서 $C$는 적분 상수이다.

5. 다른 방법

삼각 함수를 적분하는 다른 방법도 있다. 예를 들어, 오일러 공식을 이용하여 삼각 함수를 e^ix 와 e^−ix 로 나타내어 계산하는 것이 도움이 될 수 있다.