바이어슈트라스 치환

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1. 개요
2. 바이어슈트라스 치환
3. 쌍곡선 함수에 대한 바이어슈트라스 치환
- 3.1. 기본 공식
- 3.2. 유도 과정
4. 예제
- 4.1. 삼각 함수 적분 예제
- 4.2. 쌍곡선 함수 적분 예제
5. 다른 방법
참조

1. 개요

바이어슈트라스 치환은 삼각 함수의 유리 함수를 적분하기 위해 사용되는 치환 적분 기법이다. 모든 삼각 함수의 유리 함수는 2변수 유리 함수를 이용하여 표현할 수 있으며, 바이어슈트라스 치환은 tan(x/2) = t로 치환하여 이 함수를 유리 함수 적분으로 변환한다. 이 기법은 삼각 함수와 쌍곡선 함수 모두에 적용되며, 쌍곡선 함수에서는 tanh(x/2) = t로 치환하는 쌍곡 탄젠트 반변수 치환을 사용한다. 바이어슈트라스 치환은 복잡한 계산을 초래할 수 있으며, 특수한 형태의 적분에서는 다른 방법을 사용하거나 오일러 공식을 활용하여 삼각 함수 적분을 계산할 수도 있다.

2. 바이어슈트라스 치환

모든 삼각 함수의 유리 함수는 어떤 2변수 유리 함수 $R(u,v)$ 에 대하여 $R(\sin x,\cos x)$ 와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. '''바이어슈트라스 치환'''은 이러한 함수의 적분을 구하는 데 사용되는 치환 적분 기법 중 하나이다.

이 치환은 다음과 같이 정의된다.

: $\tan\frac x2=t$

이 치환을 사용하면 $\sin x$ , $\cos x$ , 그리고 미분소 $dx$ 는 모두 $t$ 에 대한 유리 함수로 표현된다. (상세 공식과 유도 과정은 아래 참고)

따라서 $R(\sin x,\cos x)$ 의 적분은 다음과 같은 $t$ 에 대한 유리 함수 적분으로 변환된다.^[9]^[10]

: $\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac 2{1+t^2}\mathrm dt$

모든 유리 함수의 원함수는 초등 함수이므로, 이 치환을 통해 모든 삼각 함수의 유리 함수의 원함수 역시 초등 함수임을 알 수 있다.^[9]

2. 1. 기본 공식

바이어슈트라스 치환은

x

에 대한 삼각함수를 새로운 변수

t

에 대한 유리 함수로 바꾸는 방법으로, 주로 삼각 함수가 포함된 적분 문제를 치환 적분으로 풀 때 유용하게 사용된다. 이 치환은 다음과 같이 정의된다.

:

t = \tan\frac x2

이 치환을 사용하면

\sin x

,

\cos x

, 그리고 미분소

dx

를

t

에 대한 식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[9]^[10]

:

\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}

:

\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}

:

dx = \frac{2}{1 + t^2}\,dt

=== 유도 ===

이 공식들은 삼각 함수의 항등식을 이용하여 유도할 수 있다.

==== 사인과 코사인 ====

배각 공식

\sin x = 2 \sin \tfrac x2 \cos \tfrac x2

,

\cos x = \cos^2 \tfrac x2 - \sin^2 \tfrac x2

과 피타고라스 항등식

1 = \cos^2 \tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2

을 이용한다. 분자와 분모를

\cos^2 \tfrac x2

로 나누면 다음과 같이

t = \tan \tfrac x2

로 표현할 수 있다.

:

\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac {2\sin \tfrac x2\, \cos \tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2} = \frac{\frac{2\sin \tfrac x2\, \cos \tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2}}{\frac{\cos^2\tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2}} = \frac{2\frac{\sin \tfrac x2}{\cos \tfrac x2}}{1+\frac{\sin^2 \tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2}} = \frac{2\tan \tfrac x2}{1+\tan^2 \tfrac x2} = \frac{2t}{1 + t^2}

:

\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac {\cos^2 \tfrac x2 - \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2} = \frac{\frac{\cos^2 \tfrac x2 - \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2}}{\frac{\cos^2 \tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2}} = \frac{1-\frac{\sin^2 \tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2}}{1 + \frac{\sin^2 \tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2}} = \frac{1-\tan^2 \tfrac x2}{1 + \tan^2 \tfrac x2} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}

==== 미분소 ====

t = \tan \tfrac x2

의 양변을

x

에 대해 미분하면 연쇄 법칙에 의해 다음을 얻는다.

:

\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \tan \frac{x}{2} \right) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}

피타고라스 항등식 중

\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta

를 이용하면,

:

\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} \left( 1 + \tan^2 \frac{x}{2} \right) = \frac{1+t^2}{2}

따라서

dx

에 대해 정리하면 다음과 같다.

:

dx = \frac{2}{1 + t^2} \, dt

2. 2. 다른 방법

바이어슈트라스 치환은 때로 복잡한 계산을 가져온다. 다음과 같은 몇 가지 특수한 꼴의 경우에는 보다 더 간편한 기법이 존재한다.^[9]^[10]

만약 $R(-u,v)=-R(u,v)$ 라면, 이는 항상 $R(u,v)=uR_1(u^2,v)$ 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 $\cos x=t$ 와 같이 치환하는 것이 좋다.
: $\int R(\sin x,\cos x)dx=\int\sin xR_1(\sin^2x,\cos x)dx=-\int R_1(1-t^2,t)dt$
만약 $R(u,-v)=-R(u,v)$ 라면, 이는 $R(u,v)=vR_1(u,v^2)$ 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 $\sin x=t$ 와 같이 치환하는 것이 좋다.
: $\int R(\sin x,\cos x)dx=\int\cos xR_1(\sin x,\cos^2x)dx=\int R_1(t,1-t^2)dt$
만약 $R(-u,-v)=R(u,v)$ 라면, $R(u,v)=R_1(u/v,v^2)$ 꼴이므로, 이 경우 $\tan x=t$ 와 같이 치환하는 것이 좋다.
: $\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R_1(\tan x,\cos^2x)dx=\int R_1\left(t,\frac 1{1+t^2}\right)\frac 1{1+t^2}dt$

사실 모든 유리 함수는 각각 위와 같은 성질을 만족시키는 세 유리 함수의 합으로 나타낼 수 있다.

:

R(u,v)=\frac{R(u,v)-R(-u,v)}2+\frac{R(-u,v)-R(-u,-v)}2+\frac{R(-u,-v)+R(u,v)}2

삼각 함수를 포함하는 적분을 계산하는 다른 접근 방식도 있다. 예를 들어, 오일러 공식을 사용하여

e^{ix}

와

e^{-ix}

로 삼각 함수를 다시 표현하는 것이 도움이 될 수 있다.

2. 3. 유도 과정

새로운 변수

t=\tan\tfrac x2

를 도입하면 사인과 코사인은

t

에 대한 유리 함수로 표현될 수 있으며, 미분소

dx

는

dt

와

t

의 유리 함수의 곱으로 표현될 수 있다. 이 관계식은 다음과 같다.

\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2}{1 + t^2}\,dt.

이 공식들은 삼각함수의 배각 공식과 피타고라스 항등식을 이용하여 유도할 수 있다.

먼저, 사인의 배각 공식

\sin x = 2 \sin \tfrac x2 \cos \tfrac x2

과 피타고라스 항등식

1 = \cos^2 \tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2

을 이용한다. 분모를 1로 보고 항등식을 대입한 뒤, 분자와 분모를

\cos^2 \tfrac x2

로 나누면 다음과 같이 정리된다.

\begin{align}\sin x &= \frac {2\sin \tfrac x2\, \cos \tfrac x2}{\cos^2\tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2} \\&= \frac{\frac{2\sin \tfrac x2\, \cos \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}}{\frac{\cos^2\tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}} \\&= \frac{2\frac{\sin \tfrac x2}{\cos \tfrac x2}}{1 + \frac{\sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}} \\&= \frac{2\tan \tfrac x2}{1+\tan^2 \tfrac x2} \\&= \frac{2t}{1 + t^2}\end{align}

다음으로, 코사인의 배각 공식

\cos x = \cos^2 \tfrac x2 - \sin^2 \tfrac x2

과 피타고라스 항등식

1 = \cos^2 \tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2

을 이용한다. 마찬가지로 분모를 1로 보고 항등식을 대입한 뒤, 분자와 분모를

\cos^2 \tfrac x2

로 나누면 다음과 같이 정리된다.

\begin{align}\cos x &= \frac {\cos^2 \tfrac x2 - \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2} \\&= \frac{\frac{\cos^2 \tfrac x2 - \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}}{\frac{\cos^2\tfrac x2 + \sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}} \\&= \frac{1 - \frac{\sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}}{1 + \frac{\sin^2 \tfrac x2}{\cos^2 \tfrac x2}} \\&= \frac{1-\tan^2 \tfrac x2}{1 + \tan^2 \tfrac x2} \\&= \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\end{align}

마지막으로,

t = \tan \tfrac x2

의 양변을

x

에 대해 미분하면 미분 규칙에 의해 다음을 얻는다.

\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \tan \tfrac x2 \right) = \sec^2 \tfrac x2 \cdot \frac{1}{2}

시컨트와 탄젠트의 관계

\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta

를 이용하면,

\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2}\left(1+\tan^2 \tfrac x2\right) = \frac{1+t^2}2

따라서 미분소

dx

는 다음과 같이 표현된다.

dx=\frac{2}{1 + t^2} \, dt.

이를 통해 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트, 코시컨트와 같은 다른 삼각함수들도

t

에 대한 유리 함수로 표현할 수 있다.

2. 4. 기하학적 의미

바이어슈트라스 치환에서 새로운 변수

t = \tan \frac{x}{2}

를 도입하는 것은 기하학적으로 의미를 가진다. 이 치환을 통해 사인과 코사인은

t

에 대한 유리 함수로 표현될 수 있다.

\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}

$t$ 값 변화에 따른 단위원 상의 점 $\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)$ 의 움직임. $t$ 가 $\pm\infty$ 에 가까워질수록 점 $(-1, 0)$ 에 접근하지만 도달하지는 않는다. 이는 실직선의 일점 컴팩트화와 관련된다.

각도

x

가 변함에 따라 점

(\cos x, \sin x)

는 원점을 중심으로 하는 단위 원 위를 움직인다. 바이어슈트라스 치환을 통해 얻어지는 점

\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)

역시 단위 원 위의 점을 나타낸다. 변수

t

가

-\infty

에서

+\infty

까지 변할 때, 이 점은 단위 원을 한 바퀴 돌게 된다. 하지만

t

가

\pm\infty

에 접근할 때 점

(-1, 0)

에 한없이 가까워질 뿐, 실제로 이 점에 도달하지는 않는다.

$t$ 가 $-\infty$ 에서 $-1$ 로 변할 때: 점은 3사분면에서 $(-1, 0)$ (극한값) 에서 $(0, -1)$ 까지 이동한다.
$t$ 가 $-1$ 에서 $0$ 으로 변할 때: 점은 4사분면에서 $(0, -1)$ 에서 $(1, 0)$ 까지 이동한다.
$t$ 가 $0$ 에서 $1$ 로 변할 때: 점은 1사분면에서 $(1, 0)$ 에서 $(0, 1)$ 까지 이동한다.
$t$ 가 $1$ 에서 $+\infty$ 로 변할 때: 점은 2사분면에서 $(0, 1)$ 에서 $(-1, 0)$ (극한값) 까지 이동한다.

다른 기하학적 해석도 가능하다. 단위 원

x^2 + y^2 = 1

을 생각하고, 원 위의 점

P = (-1, 0)

을 고정하자. 점

P

를 지나는 직선(수직선 제외)은 기울기

t

에 의해 유일하게 결정된다. 이 직선은 단위 원과 두 점에서 만나는데, 한 점은

P

이고 다른 한 점을

(\cos \theta, \sin \theta)

라고 하자. 이때 직선의 기울기

t

와 각

\theta

사이에는

t = \tan \frac{\theta}{2}

관계가 성립한다.

이는 다음 연립 방정식을 통해 확인할 수 있다.

:

\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y = t (x+1) \end{cases} \qquad (\text{단, } x \neq -1)

두 번째 식

y = t(x+1)

을 첫 번째 식에 대입하면,

x^2 + (t(x+1))^2 = 1

x^2 + t^2(x^2 + 2x + 1) = 1

(1+t^2)x^2 + 2t^2 x + (t^2 - 1) = 0

이 이차 방정식의 해는 직선과 원의 교점의 x좌표이다. 한 해는 점

P

의 x좌표인

x=-1

이므로,

(x+1)

을 인수로 가진다. 인수분해하거나 근과 계수의 관계를 이용하면 다른 해는 다음과 같다.

:

x = \frac{1-t^2}{1+t^2}

이를

y = t(x+1)

에 대입하면,

:

y = t \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} + 1 \right) = t \left( \frac{1-t^2 + 1+t^2}{1+t^2} \right) = \frac{2t}{1+t^2}

따라서 점

P

가 아닌 다른 교점의 좌표는

(\cos \theta, \sin \theta) = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)

이며, 이는 바이어슈트라스 치환의 공식과 일치한다. 즉, 점

(-1, 0)

과 단위원 위의 다른 점

(\cos \theta, \sin \theta)

를 잇는 직선의 기울기가

t = \tan \frac{\theta}{2}

가 되는 것이다.

3. 쌍곡선 함수에 대한 바이어슈트라스 치환

바이어슈트라스 치환의 쌍곡선 함수 버전인 '''쌍곡 탄젠트 반변수 치환'''(hyperbolic tangent half-argument substitution^영어) 또는 '''쌍곡 t-치환'''(hyperbolic t-substitution^영어)은 쌍곡선 함수를 포함하는 유리 함수 $R(\sinh x,\cosh x)$ 를 적분하는 데 사용되는 방법이다.^[11] 이 치환은 변수 $t$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $\tanh\frac x2=t$

이 치환을 통해 $\sinh x$ , $\cosh x$ 및 미분소 $dx$ 가 $t$ 에 대한 유리 함수로 표현되므로(자세한 공식은 아래 참조), $R(\sinh x,\cosh x)$ 의 적분은 다음과 같이 $t$ 에 대한 유리 함수의 적분으로 변환된다.^[12]

: $\int R(\sinh x,\cosh x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1-t^2},\frac{1+t^2}{1-t^2}\right)\frac 2{1-t^2}\mathrm dt$

따라서 이 치환을 통해 모든 쌍곡선 함수의 유리 함수의 원함수는 초등 함수임을 알 수 있다.

3. 1. 기본 공식

바이어슈트라스 치환의 쌍곡선 함수 버전인 쌍곡 탄젠트 반변수 치환(hyperbolic tangent half-argument substitution^영어) 또는 쌍곡 t-치환(hyperbolic t-substitution^영어)은

t = \tanh \frac x2

로 치환하는 것을 말한다.^[11]

이 치환을 통해 쌍곡선 함수들은 다음과 같이

t

에 대한 유리 함수로 표현된다.^[12]

\sinh x = \frac{2t}{1 - t^2}

\cosh x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}

\tanh x = \frac{2t}{1 + t^2}

\coth x = \frac{1 + t^2}{2t}

\operatorname{sech} x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}

\operatorname{csch} x = \frac{1 - t^2}{2t}

또한,

x

와 미분소

dx

는 다음과 같이 표현된다.

x = 2 \tanh^{-1} t

dx = \frac{2}{1 - t^2} dt

이러한 관계식들은 쌍곡선 함수를 포함하는 적분을 유리 함수의 적분으로 변환하는 데 사용될 수 있다.

3. 2. 유도 과정

다른 삼각 함수와 쌍곡선 함수 사이에서 공유되는 속성처럼, 쌍곡선 항등식을 사용하여

t = \tanh \tfrac x2

형태의 치환을 구성할 수 있다.

\sinh x = \frac{2t}{1 - t^2}, \quad \cosh x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, \quad \text{and} \quad dx = \frac{2}{1- t^2}\,dt.

\tanh x

,

\coth x

,

\operatorname{sech} x

, 및

\operatorname{csch} x

에 대해서도 유사한 표현을 작성할 수 있다. 기하학적으로, 이 변수 변환은 쌍곡선 선을 실수 구간으로의 1차원 스테레오그래픽 투영이며, 푸앵카레 원반 모형과 유사하다.

쌍곡선 함수에서도 삼각함수와 마찬가지로 반각 치환이 존재한다. 즉,

:

t = \tanh \frac\theta2

의 치환에 의해, 다음 관계식이 유도된다.

\begin{align}&\sinh\theta = \frac{2t}{1 - t^2}, \quad \cosh\theta = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, \quad \tanh\theta = \frac{2t}{1 + t^2}, \\[3pt]&\coth\theta = \frac{1 + t^2}{2t}, \quad \operatorname{sech} \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad \operatorname{csch}\theta = \frac{1 - t^2}{2t}, \\[3pt]&\text{and} \quad {\rm d}\theta = \frac{2}{1- t^2}\,{\rm d}t.\end{align}

이를 통해 구데르만 함수 및 그 역함수의 구체적인 수식 유도에도 응용할 수 있다.

4. 예제

다음과 같은 적분들을 생각하자.^[10]^[9]

: $\int\frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm dx,\;\int\frac{\mathrm dx}{5+3\sin x+4\cos x},\;\int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}\mathrm dx$

첫째와 둘째 적분은 바이어슈트라스 치환 $t = \tan(x/2)$ 을 이용하여 계산할 수 있다. 예를 들어 첫째 적분은 다음과 같이 변형된다.

: $\int\frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm dx = \int\frac{4t}{(1+t)^2(1+t^2)}\mathrm dt$

둘째 적분 역시 치환을 통해 $t$ 에 대한 유리 함수의 적분으로 바뀐다.

: $\int\frac{\mathrm dx}{5+3\sin x+4\cos x} = \int\frac 2{(3+t)^2}\mathrm dt$

셋째 적분의 경우, 피적분 함수 $R(\sin x, \cos x) = \frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}$ 가 $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ 를 만족시키므로, 바이어슈트라스 치환 대신 더 간단한 치환 $t = \sin x$ 를 사용하여 계산하는 것이 효율적이다.

: $\int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}\mathrm dx = \int\frac{1-t^2}{1+t^2}\mathrm dt$

각 적분의 자세한 풀이 과정은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

4. 1. 삼각 함수 적분 예제

다음과 같은 적분들을 생각하자.^[10]^[9]

:

\int\frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm dx,\;\int\frac{\mathrm dx}{5+3\sin x+4\cos x},\;\int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}\mathrm dx

첫째 적분은 바이어슈트라스 치환

t = \tan(x/2)

을 통해 다음과 같이 구할 수 있다. (

\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \; dx = \frac{2}{1+t^2}dt

)

:

\begin{align}\int\frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm dx&=\int\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt \\&=\int\frac{2t}{1+t^2+2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt \\&=\int\frac{4t}{(t+1)^2(1+t^2)}\mathrm dt\\&=\int\left(\frac{2}{1+t^2} - \frac{2}{(1+t)^2}\right)\mathrm dt \quad \text{(부분 분수 분해)}\\&=2\arctan t - \int 2(1+t)^{-2} dt \\&=2\arctan t - 2\frac{(1+t)^{-1}}{-1} + C \\&=2\arctan t + \frac{2}{1+t} + C\\&=x + \frac{2}{1+\tan(x/2)} + C \quad (\because 2\arctan t = 2(x/2) = x)\end{align}

둘째 적분 역시 바이어슈트라스 치환

t = \tan(x/2)

을 통해 다음과 같이 구할 수 있다. (

\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \; \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \; dx = \frac{2}{1+t^2}dt

)

:

\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{5+3\sin x+4\cos x}&=\int\frac{1}{5+3\frac{2t}{1+t^2}+4\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt\\&=\int\frac{1+t^2}{5(1+t^2)+6t+4(1-t^2)}\cdot\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt\\&=\int\frac 2{5+5t^2+6t+4-4t^2}\mathrm dt\\&=\int\frac 2{t^2+6t+9}\mathrm dt\\&=\int\frac 2{(t+3)^2}\mathrm dt\\&=-\frac 2{t+3}+C\\&=-\frac 2{\tan(x/2)+3}+C\end{align}

셋째 적분은 피적분 함수

R(\sin x, \cos x) = \frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}

가

R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)

를 만족시키므로, 바이어슈트라스 치환 대신 더 간단한 치환

u = \sin x

(

du = \cos x \, dx

)를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

:

\begin{align}\int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}\mathrm dx&=\int\frac{\cos^2x \cdot \cos x}{1+\sin^2x}\mathrm dx\\&=\int\frac{1-\sin^2x}{1+\sin^2x}\cos x\mathrm dx\\&=\int\frac{1-u^2}{1+u^2}\mathrm du\\&=\int\frac{-(u^2+1)+2}{1+u^2}\mathrm du\\&=\int\left(-1+\frac 2{1+u^2}\right)\mathrm du\\&=-u+2\arctan u+C\\&=-\sin x+2\arctan(\sin x)+C\end{align}

바이어슈트라스 치환

t=\tan(x/2)

를 도입하면 사인과 코사인은

t

의 유리 함수로 표현될 수 있으며,

dx

는

\frac{2}{1 + t^2}\,dt

로 표현된다.

:

\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2}{1 + t^2}\,dt

이를 이용하여 코시컨트 함수(

\csc x = 1/\sin x

)의 적분을 계산할 수 있다.

:

\begin{align}\int\csc x\,dx&=\int\frac{dx}{\sin x} \\[6pt]&=\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2}\,dt  && t = \tan\tfrac x2 \\[6pt]&=\int \left(\frac{1 + t^2}{2t}\right) \left(\frac{2}{1 + t^2}\right)dt \\[6pt]&=\int\frac{dt}{t} \\[6pt]&=\ln |t |+ C \\[6pt]&=\ln \left|\tan\tfrac x2 \right| + C\end{align}

이 결과는 코시컨트 적분을 계산하는 표준적인 방법(분자와 분모에

\csc x - \cot x

를 곱하고

u = \csc x - \cot x

치환)으로 얻은 결과와 동일함을 확인할 수 있다.

:

\begin{align}\int \csc x \,dx &= \int \frac{\csc x (\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} \, dx \\[6pt]&= \int \frac{(\csc^2 x - \csc x \cot x)\,dx}{\csc x - \cot x} \qquad u = \csc x - \cot x, \; du = (-\csc x \cot x + \csc^2 x)dx \\[6pt]&= \int \frac{du}{u} \\[6pt]&= \ln |u| + C \\[6pt]&= \ln\left|\csc x - \cot x\right| + C.\end{align}

두 답이 같은 이유는 삼각함수 항등식

\csc x - \cot x = \tan(x/2)

때문이다.

:

\begin{align}\csc x - \cot x&= \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} \\[6pt]&= \frac{1 - \cos x}{\sin x} \\&= \frac{1 - \frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}} && t = \tan \tfrac x2 \\[6pt]&= \frac{\frac{(1+t^2)-(1-t^2)}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}} \\&= \frac{2t^2}{2t} = t \\[6pt]&= \tan \tfrac x2\end{align}

시컨트 적분도 비슷한 방식으로 계산할 수 있다.

정적분의 경우, 치환적분 시 적분 구간의 변환과 수학적 특이점에 유의해야 한다. 예를 들어 다음 적분을 계산해 보자.

:

\int_0^{2\pi}\frac{dx}{2+\cos x}

치환

t = \tan(x/2)

를 사용하면

x=0

일 때

t=0

이고,

x \to \pi^-

일 때

t \to \infty

,

x \to \pi^+

일 때

t \to -\infty

,

x = 2\pi

일 때

t=0

이다. 함수

\tan(x/2)

는

x=\pi

에서 수직 점근선을 가지므로, 적분 구간을 나누어 계산하거나 이상 적분으로 처리해야 한다.

:

\begin{align}\int_0^{2\pi}\frac{dx}{2+\cos x}&= \int_0^\pi \frac{dx}{2+\cos x} + \int_\pi^{2\pi} \frac{dx}{2+\cos x} \\[6pt]&=\int_0^\infty \frac{\frac{2}{1+t^2}\,dt}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}} + \int_{-\infty}^0 \frac{\frac{2}{1+t^2}\,dt}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}} & t &= \tan\tfrac x2 \\[6pt]&=\int_0^\infty \frac{2\,dt}{2(1+t^2)+(1-t^2)} + \int_{-\infty}^0 \frac{2\,dt}{2(1+t^2)+(1-t^2)} \\[6pt]&=\int_0^\infty \frac{2\,dt}{t^2+3} + \int_{-\infty}^0 \frac{2\,dt}{t^2+3} \\[6pt]&=\int_{-\infty}^\infty \frac{2\,dt}{t^2+3} \\[6pt]&=\int_{-\infty}^\infty \frac{2}{(\sqrt{3}u)^2+3} (\sqrt{3}\,du) & t &= u\sqrt 3, \; dt = \sqrt{3} du \\[6pt]&=\int_{-\infty}^\infty \frac{2\sqrt{3}}{3u^2+3} du = \frac{2\sqrt{3}}{3} \int_{-\infty}^\infty \frac{du}{u^2+1} \\[6pt]&=\frac{2}{\sqrt 3} [\arctan u]_{-\infty}^\infty = \frac{2}{\sqrt 3} \left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \frac{2\pi}{\sqrt 3}.\end{align}

또는, 부정적분을 먼저 구한 뒤 정적분의 기본 정리를 이용할 수도 있다.

:

\begin{align}\int \frac{dx}{2 + \cos x} &= \int \frac{1}{2 + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2\,dt}{1+t^2} && t = \tan\tfrac x2 \\[6pt]&= \int \frac{2\, dt}{2(1+t^2)+(1-t^2)} = \int \frac{2\,dt}{t^2+3}\\[6pt]&= \frac{2}{\sqrt 3} \arctan \left( \frac{t}{\sqrt 3}\right) + C\\[6pt]&= \frac{2}{\sqrt 3} \arctan \left( \frac{\tan(x/2)}{\sqrt3}\right) + C.\end{align}

피적분 함수는

x

에 대해 주기 함수이고

[0, 2\pi]

에서 대칭성을 가지므로 다음과 같이 계산할 수도 있다.

:

\begin{align}\int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} &= 2 \int_{0}^{\pi} \frac{dx}{2 + \cos x} \\&= 2 \lim_{b \to \pi^-} \int_0^b \frac{dx}{2 + \cos x} \\&= 2 \lim_{b \to \pi^-} \left[ \frac{2}{\sqrt 3} \arctan \left( \frac{\tan(x/2)}{\sqrt3}\right) \right]_0^b \\&= \frac{4}{\sqrt3} \lim_{b \to \pi^-} \left[ \arctan \left( \frac{\tan(b/2)}{\sqrt3}\right) - \arctan \left( \frac{\tan(0/2)}{\sqrt3}\right) \right] \\&= \frac{4}{\sqrt3} \left[ \lim_{b \to \pi^-} \arctan \left(\frac{\tan(b/2)}{\sqrt3}\right) - \arctan (0) \right] \\&= \frac{4}{\sqrt 3} \left( \frac{\pi}{2} - 0\right) = \frac{2\pi}{\sqrt 3}.\end{align}

일반적으로 다음과 같은 형태의 적분은 바이어슈트라스 치환으로 계산 가능하다.

:

\begin{align} \int \frac{dx}{a\cos x + b\sin x +c} &= \int \frac{\frac{2\,dt}{1+t^2}}{a\frac{1-t^2}{1+t^2} + b\frac{2t}{1+t^2} +c} \\[6pt]&= \int \frac{2\,dt}{a(1-t^2) + 2bt + c(1+t^2)} \\[6pt]&= \int \frac{2\,dt}{(c-a)t^2 +2bt+(c+a)}\end{align}

이후 분모의 이차식

(c-a)t^2 +2bt+(c+a)

의 형태에 따라 적분한다. 만약

c^2 > a^2+b^2

이면, 판별식

D/4 = b^2 - (c-a)(c+a) = b^2 - (c^2-a^2) = a^2+b^2-c^2 < 0

이므로, 아크탄젠트 형태로 적분된다. (단,

c-a \neq 0

가정)

:

\int \frac{2\,dt}{(c-a)t^2 +2bt+(c+a)} = \frac{2}{\sqrt{c^2-(a^2+b^2)}} \arctan \left(\frac{(c-a)t + b}{\sqrt{c^2-(a^2+b^2)}}\right) + C'

최종적으로

t = \tan(x/2)

를 대입하면 다음과 같다.

:

\int \frac{dx}{a\cos x + b\sin x +c} = \frac{2}{\sqrt{c^2-(a^2+b^2)}} \arctan \left(\frac{(c-a)\tan(x/2) + b}{\sqrt{c^2-(a^2+b^2)}}\right) + C' \quad (\text{if } c^2 > a^2+b^2 \text{ and } c \neq a)

4. 2. 쌍곡선 함수 적분 예제

쌍곡선 항등식을 사용하여

t = \tanh \tfrac x2

치환을 구성할 수 있다. 이 치환을 통해 쌍곡선 함수와 미분소를 다음과 같이

t

에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

\sinh x = \frac{2t}{1 - t^2}, \quad \cosh x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, \quad \mathrm dx = \frac{2}{1- t^2}\,\mathrm dt.

\tanh x

,

\coth x

,

\text{sech } x

,

\text{csch } x

에 대해서도 유사한 표현을 만들 수 있다. 기하학적으로 이 변수 변환은 쌍곡선 위의 점을 실수선 위의 점으로 대응시키는 1차원 스테레오그래픽 투영으로 볼 수 있으며, 이는 푸앵카레 원반 모형과 유사하다.

다음과 같은 적분을 쌍곡 탄젠트 반변수 치환을 이용하여 계산할 수 있다.^[12]

:

\int\frac{\mathrm dx}{1+2\cosh x}

쌍곡 탄젠트 반변수 치환

\tanh(x/2)=t

를 이용하면

\cosh x = \frac{1+t^2}{1-t^2}

이고

\mathrm dx = \frac{2}{1-t^2}\mathrm dt

이므로, 적분은 다음과 같이 계산된다.

:

\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{1+2\cosh x}&=\int\frac 1{1+2\frac{1+t^2}{1-t^2}} \cdot \frac 2{1-t^2}\mathrm dt\\&=\int\frac {1-t^2}{1-t^2+2(1+t^2)} \cdot \frac 2{1-t^2}\mathrm dt\\&=\int\frac 2{1-t^2+2+2t^2}\mathrm dt\\&=\int\frac 2{3+t^2}\mathrm dt\\&=\frac 2{\sqrt 3}\arctan\frac t{\sqrt 3}+C\\&=\frac 2{\sqrt 3}\arctan\frac{\tanh(x/2)}{\sqrt 3}+C\end{align}

여기서

C

는 적분 상수이다.

5. 다른 방법

삼각 함수를 적분하는 다른 방법도 있다. 예를 들어, 오일러 공식을 이용하여 삼각 함수를 ''e''^''ix'' 와 ''e''^−''ix'' 로 나타내어 계산하는 것이 도움이 될 수 있다.

참조

_[1] 문서
_[2] 서적 The Works of Edmund Gunter https://archive.org/[...] Francis Eglesfield
_[3] 서적 Institutiones calculi integralis Impensis Academiae Imperialis Scientiarum 1768
_[4] 서적 Exercices de calcul intégral https://archive.org/[...] Courcier
_[5] 서적 Differential and Integral Calculus https://archive.org/[...] Mir
_[6] 서적 Calculus Benjamin
_[7] 서적 Calculus: Early Transcendentals https://books.google[...] Macmillan
_[8] 서적 Mathematische Werke von Karl Weierstrass Mayer & Müller
_[9] 서적 数学分析. 第一册北京大学出版社 2009-08
_[10] 서적 数学分析习题演练. 第一册科学出版社 2010
_[11] 서적 How to Integrate It Cambridge University Press 2018-02
_[12] 저널 双曲函数及其在积分中的应用 1994

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