삼각 함수

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1. 개요

삼각 함수는 각의 크기와 변의 길이 사이의 관계를 나타내는 함수로, 직각삼각형, 단위원, 복소수를 통해 정의된다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트가 있으며, 주기성, 특이점, 특별한 값, 부호 등의 성질을 갖는다. 삼각 함수는 덧셈정리, 미분, 적분 등 다양한 수학적 관계를 가지며, 사인 법칙, 코사인 법칙, 탄젠트 법칙과 같은 응용 분야에서 활용된다. 삼각 함수는 고대 그리스, 인도, 이슬람, 동아시아 등 다양한 문화권에서 발전해 왔으며, 어원은 라틴어, 산스크리트어 등에서 유래되었다.

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삼각 함수
삼각함수
단위원을 사용하여 정의된 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan) 함수
종류	사인 코사인 탄젠트 시컨트 코시컨트 코탄젠트
정의
사인 (sin)	직각삼각형의 빗변에 대한 대변의 비율
코사인 (cos)	직각삼각형의 빗변에 대한 인접변의 비율
탄젠트 (tan)	직각삼각형의 인접변에 대한 대변의 비율
코시컨트 (csc 또는 cosec)	사인의 역수 (빗변/대변)
시컨트 (sec)	코사인의 역수 (빗변/인접변)
코탄젠트 (cot)	탄젠트의 역수 (인접변/대변)
활용
사용 분야	측량학 항해 공학 물리학
관련 개념
관련 개념	삼각법 단위원 각도 라디안
표기법
사인	sin
코사인	cos
탄젠트	tan
코시컨트	csc, cosec
시컨트	sec
코탄젠트	cot

2. 정의

삼각함수는 직각삼각형, 단위원을 이용하여 정의할 수 있으며, 복소평면으로 확장할 수 있다.

2. 1. 직각삼각형을 통한 정의

C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 a, b, h^영어라고 할 때, '''사인''', '''코사인''', '''탄젠트'''의 정의는 다음과 같다.

사인: $\sin A = \frac{a}{h}$
코사인: $\cos A = \frac{b}{h}$
탄젠트: $\tan A = \frac{a}{b}$

또한, '''코시컨트''', '''시컨트''', '''코탄젠트'''는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트: $\csc A = \frac{h}{a} = \frac{1}{\sin A}$
시컨트: $\sec A = \frac{h}{b} = \frac{1}{\cos A}$
코탄젠트: $\cot A = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan A}$

2. 2. 단위원 통한 정의

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A (x, y)에 대해, x축과 점 A와 원점을 잇는 직선 간의 각을 θ라고 하면, 다음과 같이 정의한다.

:

\sin \theta = \frac{y}{r}

:

\cos \theta = \frac{x}{r}

:

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{y}{x}

:

\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}

:

\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}

:

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

2. 3. 복소 삼각 함수

오일러 공식

\, e^{ix} = \cos x + i \sin x

에

\, x = bi

를 대입하면,

:

\, e^{-b} = \cos bi + i \sin bi

\, x = -bi

를 대입하면,

:

\, e^{b} = \cos (-bi) + i \sin (-bi) = \cos bi - i \sin bi

연립하여 풀면, 쌍곡선 함수,

:

\cos bi = \frac{e^{b} + e^{-b}}{2} = \cosh b

:

i \sin bi = \frac{-e^{b} + e^{-b}}{2}

:

-i \sin bi = \frac{e^{b} - e^{-b}}{2} = \sinh b

3. 성질

sin, cos, csc, sec는 주기가 $2\pi$ 인 주기함수이고, tan, cot는 주기가 $\pi$ 인 주기함수이다. 사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대에서 본질적 특이점을 갖는다.^[1]^[2] 탄젠트는 실수선의 $\pi/2+n\pi$ ( $n\in\mathbb Z$ )에서 정의되지 않는다.

특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.

:

180^\circ = \pi \ \mathrm{rad}

(라디안)

특수각	sin	cos	tan
$0$ (0˚)	$0$	$1$	$0$
$\pi/6$ (30˚)	$1/2$	$\sqrt3/2$	$1/\sqrt3$
$\pi/4$ (45˚)	$\sqrt2/2$	$\sqrt2/2$	$1$
$\pi/3$ (60˚)	$\sqrt3/2$	$1/2$	$\sqrt3$
$\pi/2$ (90˚)	$1$	$0$	정의되지 않음

각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 아래 표와 같다.

사분면	sin, csc	cos, sec	tan, cot
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

삼각 함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 '''피타고라스 항등식'''으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다.

: $\, \sin^2 x + \cos^2 x = 1$

모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 아래 표와 같이 나타낼 수 있다.

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin	$\sin x$	$\sqrt{1-\cos^2x}$	$(\tan x)/\sqrt{1 + \tan^2x}$	$1/\sqrt{\cot^2x + 1}$	$\sqrt{\sec^2(x)-1}/(\sec x)$	$1/(\csc x)$
cos	$\sqrt{1-\sin^2x}$	$\cos x$	$1/\sqrt{1 + \tan^2(x)}$	$(\cot x)/\sqrt{\cot^2x+ 1}$	$1/(\sec x)$	$\sqrt{\csc^2x-1}/(\csc x)$
tan	$(\sin x)/\sqrt{1-\sin^2 x}$	$\sqrt{1-\cos^2x}/(\cos x)$	$\tan x$	$1/(\cot x)$	$\sqrt{\sec^2x-1}$	$1/\sqrt{\csc^2x-1}$
cot	$\sqrt{1-\sin^2x}/(\sin x)$	$(\cos x)/\sqrt{1-\cos^2x}$	$1/(\tan x)$	$\cot(x)$	$1/\sqrt{\sec^2x-1}$	$\sqrt{\csc^2x-1}$
sec	$1/\sqrt{1-\sin^2x}$	$1/(\cos x)$	$\sqrt{1 + \tan^2 x}$	$\sqrt{\cot^2x + 1}/(\cot x)$	$\sec x$	$(\csc x)/\sqrt{\csc^2(x)-1}$
csc	$1/(\sin x)$	$1/\sqrt{1 - \cos^2x}$	$\sqrt{1 + \tan^2 x}/(\tan x)$	$\sqrt{\cot^2x + 1}$	$(\sec x)/\sqrt{\sec^2x - 1}$	$\csc x$

3. 1. 주기성과 특이점

사인, 코사인, 코시컨트, 시컨트는 주기가

2\pi

인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수

z\in\mathbb C

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\sin z=\sin(z+2\pi)

:

\csc z=\csc(z+2\pi)

:

\sec z=\sec(z+2\pi)

탄젠트, 코탄젠트는 주기가

\pi

인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수

z\in\mathbb C

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\tan z=\tan(z+\pi)

:

\cot z=\cot(z+\pi)

사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대

\hat{\infty}

에서 본질적 특이점을 갖는다.^[1]^[2]

탄젠트는 실수선의

\pi/2+n\pi

(

n\in\mathbb Z

)에서 정의되지 않는다.

3. 2. 특별한 값

특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.

:

180^\circ = \pi \ \mathrm{rad}

(라디안)

특수각	sin	cos	tan
$0$ (0˚)	$0$	$1$	$0$
$\pi/6$ (30˚)	$1/2$	$\sqrt3/2$	$1/\sqrt3$
$\pi/4$ (45˚)	$\sqrt2/2$	$\sqrt2/2$	$1$
$\pi/3$ (60˚)	$\sqrt3/2$	$1/2$	$\sqrt3$
$\pi/2$ (90˚)	$1$	$0$	정의되지 않음

3. 3. 부호

사분면	sin, csc	cos, sec	tan, cot
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

3. 4. 항등식

삼각 함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다. 그중 가장 자주 쓰이는 것은 '''피타고라스 항등식'''으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다. 이는 반지름의 길이가

r

인 빗변이고 밑변이

b,

각

x

의 대변인 높이

a

에 대하여

\frac{a^2+b^2}{r^2}=\frac{r^2}{r^2}=1

를 만족한다는 피타고라스의 정리로 설명할 수 있다. 이를 삼각 함수로 나타내면 다음과 같다.

:

\, \sin^2 x  + \cos^2 x  = 1

이것은 다음과 같다.

:

\left( {a  \over r} \right)^2   +  \left( {b  \over r} \right)^2 = 1

:

\left( {a^2   \over r^2 } \right)   +  \left( {b^2   \over r^2 } \right) = 1

:

{a^2+b^2 \over r^2}={r^2 \over r^2}=1

:

a^2+b^2 =r^2=1 \; \because \; r= 1

따라서, 이것은 또한 단위원에서 다음과 같다.

:

\left({\sqrt{3} \over 2} \right)^2+\left({1 \over 2} \right)^2=1

3. 5. 삼각 함수의 덧셈정리

서로 다른 삼각 함수의 관계는 '''삼각 함수의 덧셈 정리'''이다. 두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다. 이는 제2 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.

:

\sin \left(x \pm y\right)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y,

:

\cos \left(x \pm y\right)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y

(복부호 동순)

두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.

모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin	$\sin x$	$\sqrt{1-\cos^2x}$	$(\tan x)/\sqrt{1 + \tan^2x}$	$1/\sqrt{\cot^2x + 1}$	$\sqrt{\sec^2(x)-1}/(\sec x)$	$1/(\csc x)$
cos	$\sqrt{1-\sin^2x}$	$\cos x$	$1/\sqrt{1 + \tan^2(x)}$	$(\cot x)/\sqrt{\cot^2x+ 1}$	$1/(\sec x)$	$\sqrt{\csc^2x-1}/(\csc x)$
tan	$(\sin x)/\sqrt{1-\sin^2 x}$	$\sqrt{1-\cos^2x}/(\cos x)$	$\tan x$	$1/(\cot x)$	$\sqrt{\sec^2x-1}$	$1/\sqrt{\csc^2x-1}$
cot	$\sqrt{1-\sin^2x}/(\sin x)$	$(\cos x)/\sqrt{1-\cos^2x}$	$1/(\tan x)$	$\cot(x)$	$1/\sqrt{\sec^2x-1}$	$\sqrt{\csc^2x-1}$
sec	$1/\sqrt{1-\sin^2x}$	$1/(\cos x)$	$\sqrt{1 + \tan^2 x}$	$\sqrt{\cot^2x + 1}/(\cot x)$	$\sec x$	$(\csc x)/\sqrt{\csc^2(x)-1}$
csc	$1/(\sin x)$	$1/\sqrt{1 - \cos^2x}$	$\sqrt{1 + \tan^2 x}/(\tan x)$	$\sqrt{\cot^2x + 1}$	$(\sec x)/\sqrt{\sec^2x - 1}$	$\csc x$

3. 6. 미분과 적분

다음은 6개의 기본 삼각 함수에 대한 도함수와 부정적분이다.

함수 $f(x)$	도함수 $f'(x)$	부정적분 $\textstyle\int f(x)\,dx$
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x + C$
$\tan x$	$\sec^2 x$	-\ln \left>\cos x\right \| + C
$\cot x$	$-\csc^{2} x$	\ln \left>\sin x\right \| + C
$\sec x$	$\sec{x}\tan{x}$	\ln \left>\sec x + \tan x\right \| + C
$\csc x$	$-\csc{x}\cot{x}$	\ln \left>\csc x - \cot x\right \| + C

4. 응용

삼각함수는 사인 법칙과 코사인 법칙 등을 통해 삼각형의 변의 길이나 각의 크기를 계산하는 등 다양한 분야에 응용된다.

4. 1. 사인 법칙

사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 '''A''', '''B''', '''C'''의 대변 ''a'', ''b'', ''c''에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

:

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

마찬가지로,

:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}=2R

도 성립한다. 여기서 ''R''은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

4. 2. 코사인 법칙

코사인 법칙에는 제1법칙과 제2법칙, 총 두 가지의 법칙이 있다.

'''코사인 제1법칙'''은 다음과 같다.

: c = b cos A + a cos B

이 법칙은 양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 때, 다른 한 변의 길이를 구하는 데 사용된다.

'''코사인 제2법칙'''은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

: c² = a² + b² - 2ab cos C

위 식을 변형하면 다음과 같다.

: cos C = (a² + b² - c²) / 2ab

코사인 제2법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구하거나, 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구하는 데 유용하게 사용된다.

5. 역사

기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스는 각도에 따라 달라지는 현의 길이를 연구했다.^[3]

굽타 시대 인도 천문학에서 현재 쓰이는 것과 같은 삼각함수의 원형을 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각 함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.^[3]

16~17세기 서양 선교사들에 의해 삼각함수가 동아시아에 전해졌다.^[3]

5. 1. 고대

기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스는 각도에 따라 달라지는 현의 길이를 연구했다.^[3]

5. 2. 인도

굽타 시대 인도 천문학에서 현재 쓰이는 것과 같은 삼각함수의 원형을 찾아볼 수 있다. 5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.^[3] 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다.

5. 3. 이슬람

현재 쓰는 것과 같은 삼각 함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다.^[3] 5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각 함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.^[3]

5. 4. 동아시아

16~17세기 서양 선교사들에 의해 삼각함수가 동아시아에 전해졌다.^[3]

6. 어원

영어 '사인(sine^영어)'은 라틴어 sinus^la에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 جَيْب^ar()를 '옷의 목부분, 옷깃'으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어 ज्या^sa(, 베다 )를 음차한 것이다.

‘탄젠트(tangent^영어)’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어 tangens^la에서 왔고, ‘시컨트(secant^영어)’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어 secans^la에서 왔다. 각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다.

코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 에드먼드 건터의 Canon triangulorum^la(1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’(sinus complementi^la)을 ‘코사인(cosinus^la)’으로 줄여 부른 것이다.

한자 문화권에서는 독일의 선교사·과학자인 요한 슈렉이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각 '''정현'''(正弦)·'''여현'''(餘弦)·'''정절'''(正切)이라고 번역했다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각 '''여절'''(餘切)·'''정할'''(正割)·'''여할'''(餘割)이라 한다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.

참조

_[1] 울프럼알파 http://www.wolframal[...]
_[2] 울프럼알파 http://www.wolframal[...]
_[3] 웹인용 한국수학사학회지 제23권 제1호(2010년 2월) https://www.koreasci[...] 2010-02

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