이상 적분

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1. 개요
2. 정의
3. 주요 적분의 이상 적분
- 3.1. 리만 적분
- 3.2. 헨스톡-쿠르츠바일 적분
4. 성질
- 4.1. 수렴성
5. 예
6. 특이성
7. 다변수 함수의 이상 적분
8. 가합성
참조

1. 개요

이상 적분은 실수 구간에서 정의된 함수의 적분 방법으로, 적분 구간이 무한대이거나 함수가 적분 구간 내에서 발산하는 경우에 사용된다. 이는 일반적인 리만 적분으로는 계산할 수 없는 경우에 극한을 이용하여 값을 정의하는 것이다. 이상 적분은 수렴, 발산, 절대 수렴, 조건 수렴 등의 성질을 가지며, 극한의 존재 여부에 따라 수렴 여부가 결정된다. 이상 적분은 특이 적분, 무한대 적분, 코시 주요값 등 다양한 형태로 나타나며, 리만 적분, 르베그 적분, 헨스톡-쿠르츠바일 적분 등 다양한 적분 이론과 관련되어 있다. 또한, 다변수 함수의 이상 적분과 가합성 개념으로 확장될 수 있다.

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미적분학은 미분과 적분이라는 두 연산을 중심으로 하는 수학 분야로, 여러 고대 문명에서 기원하여 뉴턴과 라이프니츠에 의해 체계화되었고, 함수의 변화율과 면적을 계산하며, 다양한 분야에 응용된다.
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이상 적분
정의
분야	수학, 해석학
관련 항목	적분, 미적분학
설명	적분 구간이 무한하거나 피적분함수가 특정 지점에서 정의되지 않는 경우의 적분
유형
적분 구간 무한	적분 구간이 무한한 경우 (−∞, +∞ 포함)
피적분함수 불연속	피적분함수가 적분 구간 내에서 불연속인 경우
수렴 및 발산
수렴	이상 적분의 값이 유한한 경우
발산	이상 적분의 값이 무한하거나 존재하지 않는 경우
판정법
비교 판정법	두 함수의 크기를 비교하여 수렴/발산 판정
극한 비교 판정법	두 함수의 극한값을 비교하여 수렴/발산 판정
활용
확률론	확률 밀도 함수의 적분
푸리에 해석	푸리에 변환 계산
라플라스 변환	라플라스 변환 계산

2. 정의

실수 구간에 정의된 실숫값 함수

: $f\colon[a,b]\setminus\{-\infty,\infty\}\to\mathbb R\qquad(-\infty\le a$

에 대하여, 다음을 만족시키는 $n\in\mathbb N$ 및 $a=c_0 가 존재한다고 하자.$

임의의 $k=1,2,\dots,n$ 및 $[\gamma_k,\delta_k]\subseteq(c_{k-1},c_k)$ 에 대하여, $\int_{\gamma_k}^{\delta_k}f(x)\mathrm dx\in\mathbb R$ 가 존재한다.

그렇다면,

f

의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.

:

\begin{align}\int_a^bf(x)\mathrm dx&=\lim_{\gamma_1\to c_0+0}\lim_{\delta_1\to c_1-0}\cdots\lim_{\gamma_n\to c_{n-1}+0}\lim_{\delta_n\to c_n-0}\sum_{k=1}^n\int_{\gamma_k}^{\delta_k}f(x)\mathrm dx\\&=\sum_{k=1}^n\left(\lim_{\gamma_k\to c_{k-1}+0}\int_{\gamma_k}^\frac{x_{k-1}+x_k}2f(x)\mathrm dx+\lim_{\delta_k\to c_k-0}\int_\frac{x_{k-1}+x_k}2^{\delta_k}f(x)\mathrm dx\right)\end{align}

물론 이상 적분은 존재하지 않을 수 있다. 존재한다면, 이상 적분이 '''수렴'''한다고 하며, 존재하지 않는다면, 이상적분이 '''발산'''한다고 한다. 함수의 절댓값의 이상 적분

:

\int_a^b|f(x)|\mathrm dx

의 수렴은 원래 이상 적분의 수렴보다 더 강한 조건이다. 절댓값의 이상 적분이 수렴한다면, 원래 이상 적분이 '''절대 수렴'''한다고 한다. 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 이상 적분을 '''조건 수렴'''한다고 한다.

이상 적분은 다음과 같이 정의된다.

실수 함수 $f\colon[a,b)\to\mathbb R\qquad(-\infty 가 임의의 [a,\beta]\subseteq[a,b) 위의 적분 가능 함수라고 할 때, f 의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.$

:

\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\beta\to b-0}\int_a^\beta f(x)\mathrm dx

실수 함수 $f\colon(a,b]\to\mathbb R\qquad(-\infty\le a 가 임의의 [\alpha,b]\subseteq(a,b] 위의 적분 가능 함수라고 할 때, f 의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.$

:

\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to a+0}\int_\alpha^bf(x)\mathrm dx

실수 함수 $f\colon(a,b)\to\mathbb R\qquad(-\infty\le a 가 임의의 [\alpha,\beta]\subseteq(a,b) 위의 적분 가능 함수라고 할 때, f 의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.$

:

\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to a+0}\lim_{\beta\to b-0}\int_\alpha^\beta f(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to a+0}\int_\alpha^\frac{a+b}2f(x)\mathrm dx+\lim_{\beta\to b-0}\int_\frac{a+b}2^\beta f(x)\mathrm dx

실수 함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb R\qquad(-\infty 가 임의의 [a,\delta]\subseteq[a,c) 및 [\gamma,b]\subseteq(c,b] 위의 적분 가능 함수라고 할 때, f 의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.$

:

\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\delta\to c-0}\lim_{\gamma\to c+0}\left(\int_a^\delta f(x)\mathrm dx+\int_\gamma^bf(x)\mathrm dx\right)=\lim_{\delta\to c-0}\int_a^\delta f(x)\mathrm dx+\lim_{\gamma\to c+0}\int_\gamma^bf(x)\mathrm dx

엄밀히 말하면 '''이상 적분'''은 적분의 일종이 아니라 다음과 같은 형태의 식을 통칭한다.

먼저

:

\lim_{b\to c}\int_a^b f(x)\,dx

여기서 c는 양 또는 음의 무한대이거나, x → c − 0에 따라 |f(x)|가 무한대가 되는 상수이다.

또는

:

\lim_{b\to a}\int_b^c f(x)\,dx

여기서 a는 양 또는 음의 무한대이거나, x → a + 0에 따라 |f(x)|가 무한대가 되는 상수이다.

또는 다음과 같은 형태도 있다.

:

\lim_{s\to a}\int_s^b f(x)\,dx + \lim_{t\to c}\int_b^t f(x)\,dx

a 및 c는 양 또는 음의 무한대이거나, x가 적분 구간 내부에서 접근함에 따라 |f(x)|가 무한대가 되는 상수이다. 이 값은 (존재하는 한) b의 선택에 의존하지 않는다.

이 분야의 기본적인 질문은 다음과 같다.

극한은 (해석학적인 의미에서) 존재하는가?
존재한다면, 그 값을 계산할 수 있는가?

두 번째 질문에는 미적분 계산 기술도 사용할 수 있지만, 경우에 따라 주회 적분이나 푸리에 변환 등의 고도의 기법이 필요한 경우도 있다.

일반적인 적분과 매우 유사한 표기를 사용하는 경우가 많다. 그러나 동일한 이상 적분에 대한 표기는 다음과 같은 종류가 있다.

:

\int_a^\infty f(x)\,dx\, := \lim_{t\to \infty}\int_a^t f(x)\,dx\,

:

\int_{-\infty} ^ {b} f(x)\,dx\,:= \lim_{t\to -\infty}\int_t^b f(x)\,dx\,

:

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx\, := \lim_{t\to -\infty}\int_t^a f(x)\,dx\,+\lim_{t\to \infty} \int_a^t f(x)\,dx\,

:

\int_a^b f(x)\,dx\, := \lim_{t\to b^-}\int_a^t f(x)\,dx

, 여기서

\lim_{x\to b^-} |f(x)| = \infty

:

\int_a^b f(x)\,dx\, := \lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,dx

, 여기서

\lim_{x\to a^+} |f(x)| = \infty

:

\int_a^b f(x)\,dx\,:=\lim_{t\to c^-} \int_a^t f(x)\,dx\, + \lim_{t\to c^+ } \int_t^b f(x)\,dx

, 여기서

\lim_{x\to c} |f(x)| = \infty

경우에 따라 다음 적분

:

\int_a^c f(x)\,dx\,

는 다음 극한

:

\lim_{b\to c^-}\int_a^b f(x)\,dx\,

의 존재를 제외하고는 정의할 수 있다. 그러나 이 극한 없이는 값을 계산하기 어렵다. 예를 들어 함수 ''f''를 ''a''에서 ''c''까지 적분할 때, (1) 함수 ''f''가 ''c''에서 양 또는 음의 무한대로 발산하거나, (2) ''c'' = ∞일 때, 그러한 상황이 종종 발생한다.

또한 경우에 따라, ''f''(''x'') ''dx''의 양의 부분과 음의 부분 각각의 ''a''에서 ''c''까지의 적분이 모두 무한대가 되어, "''f''의 ''a''에서 ''c''까지의 적분"이 정의조차 되지 않더라도, 위의 극한만은 존재할 수 있다. 그것은 (일반적인 적분으로 귀착될 수 없다는 의미에서) "진정한" 이상 적분이라고 부를 수 있다.

2. 1. 특이 적분

피적분 함수가 적분 구간 내에서 무한대로 발산하는 경우의 이상 적분을 '''특이 적분'''(singular integral^영어)이라고 한다.

예를 들어, 함수

f(x) = \frac{1}{x^{2/3}}

의 0부터 1까지의 이상 적분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\lim_{b\rightarrow 0^+}\int_b^1\frac{dx}{x^{2/3}}=3 \cdot 1^{1/3}-\lim_{b\rightarrow 0^+}3 b^{1/3}=3-0=3

.

이 경우 피적분 함수는 x = 0에서 양의 무한대로 발산한다.

리만 적분의 정의는 적분 구간과 피적분 함수 모두 유계일 것을 요구한다.^[1] 따라서 리만 적분으로는 특이 적분을 직접 계산할 수 없다. 특이 적분은 극한을 통해 정의되며, 다음과 같은 경우를 포함한다.

피적분 함수가 적분 구간의 한쪽 끝점에서 무한대로 발산하는 경우
피적분 함수가 적분 구간 내부의 한 점에서 무한대로 발산하는 경우

이러한 적분은 종종 적분 구간의 끝점을 무한대로 표기하여 일반적인 정적분과 마찬가지로 표기되지만, 실제로는 극한 연산을 통해 계산된다.^[2] 르베그 적분을 사용하면 극한 연산을 피할 수 있지만, 구체적인 값을 얻기 위해서는 여전히 이상 적분의 개념이 필요하다.^[3]

2. 2. 무한대 적분

적분 상한이 양의 무한대이거나, 적분 하한이 음의 무한대인 이상 적분을 '''무한대 적분'''이라고 한다.

실수 함수

f\colon[a,\infty)\to\mathbb R\qquad(a\in\mathbb R)

가 임의의

[a,\beta]\subseteq[a,\infty)

위의 적분 가능 함수라고 할 때,

f

의 이상 적분은 다음과 같은 극한이다.

:

\int_a^\infty f(x)\mathrm dx=\lim_{\beta\to\infty}\int_a^\beta f(x)\mathrm dx

마찬가지로, 실수 함수

f\colon(-\infty,b]\to\mathbb R\qquad(b\in\mathbb R)

가 임의의

[\alpha,b]\subseteq(-\infty,b]

위의 적분 가능 함수라고 할 때,

f

의 이상 적분은 다음과 같은 극한이다.

:

\int_{-\infty}^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to-\infty}\int_\alpha^bf(x)\mathrm dx

또한, 실수 함수

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

가 임의의

[\alpha,\beta]\subseteq\mathbb R

위의 적분 가능 함수라고 할 때,

f

의 이상 적분은 다음과 같은 극한이다.

:

\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to-\infty}\lim_{\beta\to\infty}\int_\alpha^\beta f(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to-\infty}\int_\alpha^0f(x)\mathrm dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_0^\beta f(x)\mathrm dx

원래의 리만 적분 정의는 구간에서

1/{x^2}

과 같은 함수에 적용되지 않는다. 왜냐하면 이 경우 적분 영역이 유계되지 않기 때문이다. 하지만, 리만 적분은 종종 연속성을 통해 확장될 수 있으며, 부적분은 극한으로 정의된다.

:

\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}=\lim_{b\to\infty} \int_1^b\frac{dx}{x^2} = \lim_{b\to\infty} \left(-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right) = 1.

부적절 적분은 이를 정의하는 극한이 존재하면 수렴한다. 예를 들어, 다음과 같은 부적절 적분

:

\lim_{t\to\infty}\int_a^t f(x)\mathrm dx

은 극한 아래의 적분이 충분히 큰 모든 ''t''에 대해 존재하고, 극한의 값이 ''L''과 같을 경우 존재하며 ''L''과 같다고 한다.

부적절 적분이 무한대로 발산할 수도 있다. 이 경우, 적분 값으로 ∞(또는 −∞)를 할당할 수 있다. 예를 들어

:

\lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{dx}{x} = \infty.

하지만, 다른 부적절 적분들은 다음과 같이 특정한 방향 없이 발산할 수도 있다.

:

\lim_{b\to\infty}\int_1^b x\sin(x)\,dx,

는 확장된 실수로도 존재하지 않는다. 이것을 진동에 의한 발산이라고 한다.

가장 기본적인 이상 적분은, 적분 구간이 유계가 아닌 적분이다. 예를 들면 다음과 같다.

:

\int_0^\infty {dx \over x^2+1}

이것은 이상 적분으로 정의하지 않아도, 대신 르베그 적분으로도 정의할 수 있다. 하지만 실제로 계산하는 데에는 이상 적분으로 취급하는 것이 편리하다. 즉 적분 구간의 상한이 유한하다고 가정하고 계산하고, 다음으로 상한이 무한대에 가까워질 때의 극한을 취하는 것이 좋다.

피적분 함수의 부정 적분은 역탄젠트 함수 arctan(''x'') 이므로,

:

\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\rightarrow\infty}\arctan b-\arctan 0=\pi/2-0=\pi/2

가 된다.

이상 적분의 수렴은, 대응하는 극한이 (유한 값에) 수렴하는 것과 동치이다.

아래에 수렴하지 않는 이상 적분의 예를 나타낸다.

:

\int_1^\infty {dx \over x} = \lim_{b\rightarrow\infty}\int_1^b\frac{dx}{x}=\lim_{b\rightarrow\infty}\ln b=\infty

.

적분 구간의 양 끝점이 무한대인 경우도 있다. 이러한 경우에는 두 개의 이상 적분의 합으로 생각한다.

:

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,dx = \int_{-\infty}^a f(x) \,dx + \int_a^{+\infty} f(x) \,dx

.

여기서 ''a''는 임의의 (유한한) 실수이다.

이 경우, 이상 적분의 수렴은, 분할된 양쪽 적분의 수렴과 동치이다. 한쪽 적분이 양의 무한대로 발산하고, 다른 한쪽이 음의 무한대로 발산할 때, 원래의 적분은 부정형이 된다. 그 값은, 적분 구간의 단점 각각이 어떤 관계를 가지고 있는지에 따라 다양하게 변할 수 있다. 코시의 주값은 이 부정성을 제거하기 위한 개념이다.

2. 3. 코시 주요값

발산하는 이상 적분에 대해 특정한 극한값을 부여하여 의미를 부여하는 방법으로 '''코시 주요값'''(Cauchy principal value^영어) 또는 '''코시 주치'''라고 불리는 값을 줄 수 있다. 이상 적분

:

\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\gamma_1\to c_0+0}\lim_{\delta_1\to c_1-0}\cdots\lim_{\gamma_n\to c_{n-1}+0}\lim_{\delta_n\to c_n-0}\sum_{k=1}^n\int_{\gamma_k}^{\delta_k}f(x)\mathrm dx

의 코시 주요값은

:

\operatorname{PV}\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to0+0}\sum_{k=1}^n\int_{c_{k-1}+\epsilon}^{c_k-\epsilon}f(x)\mathrm dx

이다. 특수한 경우의 이상 적분의 코시 주요 값은 다음과 같다.

이상 적분	코시 주요값
$\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to a+0}\lim_{\beta\to b-0}\int_\alpha^\beta f(x)\mathrm dx$	$\operatorname{PV}\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to0+0}\int_{a+\epsilon}^{b-\epsilon}f(x)\mathrm dx$
$\int_a^bf(x)\mathrm dx$	$\operatorname{PV}\int_a^bf(x)\mathrm dx$
$\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx$	$\operatorname{PV}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx$

다음 두 극한 값의 차이를 생각해 보자.:

\lim_{a\to 0^+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_a^1\frac{dx}{x}\right)=0,

:

\lim_{a\to 0^+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_{2a}^1\frac{dx}{x}\right)=-\ln 2.

전자는 제대로 정의되지 않은 표현식

:

\int_{-1}^1\frac{dx}{x}\ (\mbox{which gives}\ -\infty+\infty)

의 코시 주값이다.

마찬가지로 다음이 성립한다.

:

\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=0,

그러나

:

\lim_{a\to\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=-\ln 4.

전자는 제대로 정의되지 않은 표현식

:

\int_{-\infty}^\infty\frac{2x \, dx}{x^2+1}\ (\mbox{which gives}\ -\infty+\infty)

의 주값이다.

위의 모든 극한은 부정형

\infty - \infty

의 경우이다.

이러한 병리 현상은 "르베그 적분 가능" 함수, 즉, 절댓값의 적분이 유한한 함수에는 영향을 미치지 않는다.

3. 주요 적분의 이상 적분

리만 적분은 유계 함수의 유계 구간 위에서만 적분할 수 있지만, 이상 적분을 사용하면 무계 함수나 무계 구간 위에서의 적분도 일부 허용된다. 리만 적분은 르베그 적분보다 좁은 의미의 적분이지만, 이상 적분을 사용하면 르베그 적분에서는 불가능한 적분도 일부 가능해진다.

원래 리만 적분의 정의는 구간 에서 $1/{x^2}$와 같은 함수에는 적용되지 않는데, 적분 영역이 유계되지 않기 때문이다. 하지만 리만 적분은 연속성을 통해 확장될 수 있으며, 극한을 통해 정의된다.^[1]

: $\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}=\lim_{b\to\infty} \int_1^b\frac{dx}{x^2} = \lim_{b\to\infty} \left(-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right) = 1.$ ^[1]

구간 에서 함수 $1/\sqrt{x}$의 적분 역시 리만 적분의 좁은 정의로는 불가능하다. 피적분 함수가 적분 영역에서 유계되지 않기 때문이다. 그러나 이 경우도 극한으로 이해하면 적분이 가능하다.^[2]

: $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{a\to 0^+}\int_a^1\frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{a\to 0^+} \left(2 - 2\sqrt{a}\right)=2.$ ^[2]

때로는 적분이 두 개의 특이점을 가질 수도 있다. 예를 들어 0부터 ∞ 까지 적분되는 함수 $1/((x + 1)\sqrt{x})$는 적분 영역의 하한과 상한 모두에서 특이점을 가진다. 이러한 경우에도 극한을 이용하여 적분을 계산할 수 있다.^[3]

: $\begin{align}\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}} &{} = \lim_{s \to 0^+} \int_s^1 \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}+ \lim_{t \to \infty} \int_1^t \frac{dx}{(1+x) \sqrt{x}} \\&{} = \lim_{s \to 0^+} \left(\frac{\pi}{2} - 2 \arctan{\sqrt{s}} \right)+ \lim_{t \to \infty} \left(2 \arctan{\sqrt{t}} - \frac{\pi}{2} \right) \\&{} = \frac{\pi}{2} + \left(\pi - \frac{\pi}{2} \right) \\&{} = \pi .\end{align}$ ^[3]

하지만 극한이 항상 존재하거나 유한한 것은 아니다. 예를 들어 0에서 1까지의 $1/x$ 적분이나 1에서 ∞ 까지의 $1/\sqrt{x}$ 적분은 수렴하지 않는다.^[4]

피적분 함수가 내부 점에서 유계되지 않은 경우, 적분은 해당 점에서 분할되어야 한다. 전체 적분이 수렴하려면 양쪽의 극한 적분이 모두 존재하고 유계여야 한다.^[5] 예를 들어:

: $\begin{align}\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} &{} = \lim_{s \to 0^-} \int_{-1}^{s} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}+ \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} \\&{} = \lim_{s \to 0^-} 3\left(1-\sqrt[3]{s}\right) + \lim_{t \to 0^+} 3\left(1-\sqrt[3]{t}\right) \\&{} = 3 + 3 \\&{} = 6.\end{align}$ ^[5]

그러나 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}$와 같은 적분은 위와 아래의 적분이 독립적으로 수렴하지 않기 때문에 이 방식으로 값을 할당할 수 없다.

리만 적분은 다르부 적분과 동등하며, 이상 적분은 무한 구간이나 무한 함수에 대해 필요하다. 르베그 적분은 이러한 경우를 다르게 처리하여 이상 리만 적분으로만 존재하는 적분이 르베그 적분으로도 존재하는 경우가 많다. 반면, $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx$와 같이 이상 리만 적분은 가능하지만 르베그 적분은 불가능한 경우도 있다. 헨스톡-쿠르츠바일 적분은 이상 적분이 필요하지 않으며, 모든 르베그 적분 가능 및 이상 리만 적분 가능 함수를 포함한다.

3. 1. 리만 적분

(이상 적분을 사용하지 않는) 리만 적분은 유계 함수의 유계 구간 위에서만 적분할 수 있다. 그러나 이상 적분을 사용하면 무계 함수나 무계 구간 위에서의 적분도 일부 허용된다. 리만 적분은 르베그 적분보다 좁은 의미의 적분이지만, 이상 적분을 사용하면 르베그 적분에서는 불가능한 적분도 일부 가능해진다.

원래 리만 적분의 정의는 구간 에서 $1/{x^2}$와 같은 함수에는 적용되지 않는다. 왜냐하면 적분 영역이 유계되지 않기 때문이다. 하지만 리만 적분은 연속성을 통해 확장될 수 있으며, 극한을 통해 정의된다.^[1]

:

\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}=\lim_{b\to\infty} \int_1^b\frac{dx}{x^2} = \lim_{b\to\infty} \left(-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right) = 1.

^[1]

구간 에서 함수 $1/\sqrt{x}$의 적분 역시 리만 적분의 좁은 정의로는 불가능하다. 피적분 함수가 적분 영역에서 유계되지 않기 때문이다. 그러나 이 경우도 극한으로 이해하면 적분이 가능하다.^[2]

:

\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{a\to 0^+}\int_a^1\frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{a\to 0^+} \left(2 - 2\sqrt{a}\right)=2.

^[2]

때로는 적분이 두 개의 특이점을 가질 수도 있다. 예를 들어 0부터 ∞ 까지 적분되는 함수 $1/((x + 1)\sqrt{x})$는 적분 영역의 하한과 상한 모두에서 특이점을 가진다. 이러한 경우에도 극한을 이용하여 적분을 계산할 수 있다.^[3]

:

\begin{align}\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}} &{} = \lim_{s \to 0^+} \int_s^1 \frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}+ \lim_{t \to \infty} \int_1^t \frac{dx}{(1+x) \sqrt{x}} \\&{} = \lim_{s \to 0^+} \left(\frac{\pi}{2} - 2 \arctan{\sqrt{s}} \right)+ \lim_{t \to \infty} \left(2 \arctan{\sqrt{t}} - \frac{\pi}{2} \right) \\&{} = \frac{\pi}{2} + \left(\pi - \frac{\pi}{2} \right) \\&{} = \pi .\end{align}

^[3]

하지만 극한이 항상 존재하거나 유한한 것은 아니다. 예를 들어 0에서 1까지의 $1/x$ 적분이나 1에서 ∞ 까지의 $1/\sqrt{x}$ 적분은 수렴하지 않는다.^[4]

피적분 함수가 내부 점에서 유계되지 않은 경우, 적분은 해당 점에서 분할되어야 한다. 전체 적분이 수렴하려면 양쪽의 극한 적분이 모두 존재하고 유계여야 한다.^[5] 예를 들어:

:

\begin{align}\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} &{} = \lim_{s \to 0^-} \int_{-1}^{s} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}+ \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} \\&{} = \lim_{s \to 0^-} 3\left(1-\sqrt[3]{s}\right) + \lim_{t \to 0^+} 3\left(1-\sqrt[3]{t}\right) \\&{} = 3 + 3 \\&{} = 6.\end{align}

^[5]

그러나 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}$와 같은 적분은 위와 아래의 적분이 독립적으로 수렴하지 않기 때문에 이 방식으로 값을 할당할 수 없다.

리만 적분은 다르부 적분과 동등하며, 이상 적분은 무한 구간이나 무한 함수에 대해 필요하다. 르베그 적분은 이러한 경우를 다르게 처리하여 이상 리만 적분으로만 존재하는 적분이 르베그 적분으로도 존재하는 경우가 많다. 반면, $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx$와 같이 이상 리만 적분은 가능하지만 르베그 적분은 불가능한 경우도 있다. 헨스톡-쿠르츠바일 적분은 이상 적분이 필요하지 않으며, 모든 르베그 적분 가능 및 이상 리만 적분 가능 함수를 포함한다.

3. 2. 헨스톡-쿠르츠바일 적분

헨스톡-쿠르츠바일 적분에서는 이상 적분을 사용할 필요가 없다. 이는 헨스톡-쿠르츠바일 적분이 모든 르베그 적분 가능 함수와 이상 리만 적분 가능 함수를 포함하기 때문이다.

4. 성질

실수 구간에 정의된 실숫값 함수

: $f\colon[a,b]\setminus\{-\infty,\infty\}\to\mathbb R\qquad(-\infty\le a$

에 대하여, 다음을 만족시키는 $n\in\mathbb N$ 및 $a=c_0 가 존재한다고 하자.$

임의의 $k=1,2,\dots,n$ 및 $[\gamma_k,\delta_k]\subseteq(c_{k-1},c_k)$ 에 대하여, $\int_{\gamma_k}^{\delta_k}f(x)\mathrm dx\in\mathbb R$ 가 존재한다.

그렇다면,

f

의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.

:

\begin{align}\int_a^bf(x)\mathrm dx&=\lim_{\gamma_1\to c_0+0}\lim_{\delta_1\to c_1-0}\cdots\lim_{\gamma_n\to c_{n-1}+0}\lim_{\delta_n\to c_n-0}\sum_{k=1}^n\int_{\gamma_k}^{\delta_k}f(x)\mathrm dx\\&=\sum_{k=1}^n\left(\lim_{\gamma_k\to c_{k-1}+0}\int_{\gamma_k}^\frac{x_{k-1}+x_k}2f(x)\mathrm dx+\lim_{\delta_k\to c_k-0}\int_\frac{x_{k-1}+x_k}2^{\delta_k}f(x)\mathrm dx\right)\end{align}

이상 적분은 존재하지 않을 수 있다. 존재한다면 이상 적분이 '''수렴'''한다고 하며, 존재하지 않는다면 이상 적분이 '''발산'''한다고 한다. 함수의 절댓값의 이상 적분

:

\int_a^b|f(x)|\mathrm dx

의 수렴은 원래 이상 적분의 수렴보다 더 강한 조건이다. 절댓값의 이상 적분이 수렴한다면, 원래 이상 적분이 '''절대 수렴'''한다고 한다. 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 이상 적분을 '''조건 수렴'''한다고 한다.

적분 가능 함수의 이상 적분은 수렴하며, 그 값은 이상 적분을 사용하지 않은 적분 값과 같다.

4. 1. 수렴성

이상 적분은 극한값이 존재하면 수렴하고, 그렇지 않으면 발산한다. 급수와 달리 함수가 0으로 수렴하거나 유계 함수일 필요는 없다. 가우스 적분(Gaussian integral)

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}

은 적분 구간이 무한대이지만 수렴하는 대표적인 예시이다.

이상 적분은 다음과 같이 극한으로 정의된다.

$\int_a^\infty f(x)\mathrm dx=\lim_{\beta\to\infty}\int_a^\beta f(x)\mathrm dx$
$\int_{-\infty}^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to-\infty}\int_\alpha^bf(x)\mathrm dx$

\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to-\infty}\lim_{\beta\to\infty}\int_\alpha^\beta f(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to-\infty}\int_\alpha^0f(x)\mathrm dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_0^\beta f(x)\mathrm dx

이와 같이 적분 상한이 양의 무한대이거나, 적분 하한이 음의 무한대인 이상 적분을 '''무한대 적분'''이라고 한다.

극한값이 존재하면 이상 적분은 수렴한다. 이상 적분이 무한대로 발산하는 경우도 존재한다.

:

\lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x}\,dx = \infty.

어떤 이상 적분은 특별한 방향 없이 발산하는 경우도 있는데,

:

\lim_{b\to\infty}\int_1^b x\sin x\, dx,

위와 같은 적분은 확장된 실수 내에서도 값이 존재하지 않는다.

적분 구간의 양 끝값이 무한인 경우, 임의의 실수 c에 대해

\int_{-\infty}^c f(x)\, dx

와

\int_{c}^\infty f(x)\, dx

가 수렴하면

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = \int_{-\infty}^c f(x)\, dx + \int_{c}^\infty f(x)\, dx

이다. 만약 둘 중 하나라도 발산한다면 적분 구간의 양 끝값이 무한인 f(x)의 이상 적분은 발산한다.

이상 적분과 관련된 주요 문제는 다음 두 가지이다.

극한이 존재하는가?
극한을 계산할 수 있는가?

첫 번째 질문은 해석학의 문제이다. 두 번째 질문은 미적분학에서 다루지만 종종 복소해석학의 경로적분법(contour integration)이나 푸리에 해석 등의 고급 기법을 동원하는 경우도 있다.

5. 예

이상 적분은 적분 구간이 무한대이거나, 함수가 적분 구간 내에서 발산하는 경우의 적분을 의미한다. 이러한 이상 적분은 일반적인 리만 적분으로는 값을 계산할 수 없지만, 극한을 이용하여 그 값을 정의할 수 있다.

다음은 이상 적분의 예시이다.

적분 구간이 무한대인 경우:

$\int\limits_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ 는 적분 구간이 무한대이므로 리만 적분으로 계산할 수 없다. 하지만, 다음 극한값으로 정의할 수 있다.

:

\lim_{b\to\infty} \int\limits_1^b\frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right] = 1.

함수가 구간 내에서 발산하는 경우:

$\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ 는 함수가 x=0에서 발산하므로 리만 적분으로 계산할 수 없다. 하지만, 다음 극한값으로 정의할 수 있다.

:

\lim_{a\to 0^+}\int\limits_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = \lim_{a\to 0^+}\left[2\sqrt{1}-2\sqrt{a}\right]=2.

적분 구간의 양 끝점이 모두 무한대인 경우:

가우스 적분 $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$ 는 적분 구간이 양 끝점이 모두 무한대인 경우이다.

피적분 함수가 내부 점에서 유계되지 않은 경우:
$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$ 와 같은 경우, 적분을 해당 점에서 분할하여 계산한다.

:

\begin{align}    \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} &{} = \lim_{s \to 0^-} \int_{-1}^{s} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}    + \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} \\    &{} = \lim_{s \to 0^-} 3\left(1-\sqrt[3]{s}\right) + \lim_{t \to 0^+} 3\left(1-\sqrt[3]{t}\right) \\    &{} = 3 + 3 \\    &{} = 6.    \end{align}

하지만, $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}$ 는 이 방식으로 값을 할당할 수 없다. 0을 기준으로 위와 아래의 적분이 독립적으로 수렴하지 않기 때문이다.

이 외에도 다양한 이상 적분의 예시가 존재하며, 극한이 존재하는지, 극한을 계산할 수 있는지 등의 질문을 통해 이상 적분을 결정한다.

6. 특이성

광의 적분에서 극한이 사용되는 점들을 특이점이라고 부른다. 이러한 점들은 확장된 실수선에서 나타난다.

경우에 따라 다음 적분

: $\int_a^c f(x)\,dx\,$

는 다음 극한의 존재를 제외하고 '''정의'''할 수 있다.

: $\lim_{b\to c^-}\int_a^b f(x)\,dx\,$

그러나 이 극한 없이는 값의 계산이 어렵다. 예를 들어 함수 ''f''를 ''a''에서 ''c''까지 적분할 때, (1) 함수 ''f''가 ''c''에서 양 또는 음의 무한대로 발산할 때, 또는 (2) ''c'' = ∞일 때, 그러한 상황이 종종 발생한다.

또한, ''f''(''x'') ''dx''의 양의 부분과 음의 부분 각각의 ''a''에서 ''c''까지의 적분이 모두 무한대가 되어, 단순한 "''f''의 ''a''에서 ''c''까지의 적분"이 정의조차 되지 않더라도, 위의 극한만은 존재할 수 있다. 그것은 (일반적인 적분으로 귀착될 수 없다는 의미에서) "진정한" 이상 적분이라고 부를 수 있을 것이다.

이러한 적분은 종종 적분 구간의 단점을 무한대로 표기하여 일반적인 정적분과 마찬가지로 표기된다. 그러나 그러한 표기법에서는 극한 연산이 뒤에 숨겨진다. 리만 적분이 아닌 르베그 적분을 사용함으로써 극한 연산을 회피할 수 있는 경우가 있다. 그러나 구체적인 값을 얻고 싶을 때는 도움이 되지 않는다. 예를 들어 푸리에 변환에서는 수직선 전체에 걸친 적분이 모든 곳에서 나타나지만, 그 엄밀한 취급에 있어서 광의 적분을 의식하기도 하고, 그렇지 않기도 하다.

7. 다변수 함수의 이상 적분

다변수 함수의 이상 적분은 무한한 영역에 대한 적분 또는 특이점을 가진 함수에 대한 적분으로 정의된다.

만약 $f:\R^n\to\R$ 이 $a>0$ 에 대해 $[-a,a]^n$ 형태의 모든 콤팩트 초입방체에서 리만 적분 가능하다면, $\R^n$ 에 대한 ''f''의 이상 적분은 다음 극한으로 정의된다.

: $\lim_{a\to\infty}\int_{[-a,a]^n}f,$

단, 이 극한이 존재해야 한다.

$\mathbb R^n$ 내의 임의의 영역 ''A''에 대한 함수는 ''A'' 밖에서 0으로 설정하여 $\R^n$ 상의 함수 $\tilde{f}$ 로 확장된다.

: $\tilde{f}(x)=\begin{cases}f(x)& x\in A\\0 & x\not\in A\end{cases}$

유계 영역 ''A''에 대한 함수의 리만 적분은 확장된 함수 $\tilde{f}$ 의 ''A''를 포함하는 초입방체 $[-a,a]^n$ 에 대한 적분으로 정의된다.

: $\int_A f = \int_{[-a,a]^n}\tilde{f}.$

더 일반적으로, ''A''가 무계라면, $\mathbb R^n$ 의 임의의 영역에 대한 이상 리만 적분은 다음과 같은 극한으로 정의된다.

: $\int_Af=\lim_{a\to\infty}\int_{A\cap [-a,a]^n}f=\lim_{a\to\infty}\int_{[-a,a]^n}\tilde{f}.$

만약 ''f''가 영역 ''A''에서 무경계인 음이 아닌 함수라면, ''f''의 이상 적분은 어떤 컷오프 ''M''에서 ''f''를 자르고, 결과 함수를 적분한 다음, ''M''이 무한대로 갈 때의 극한을 취하여 정의된다. 즉, $M>0$ 에 대해 $f_M=\min\{f,M\}$ 로 설정한다. 그런 다음 다음과 같이 정의한다.

: $\int_A f = \lim_{M\to\infty}\int_A f_M$

이 극한이 존재한다면.

이 정의는 음수가 아닌 함수에 적용된다. 보다 일반적인 함수 ''f''는 양의 부분 $f_+=\max\{f,0\}$ 와 음의 부분 $f_-=\max\{-f,0\}$ 의 차이로 분해될 수 있으며,

: $f=f_+-f_-$

여기서 $f_+$ 와 $f_-$ 는 모두 음수가 아닌 함수이다. 함수 ''f''는 각 $f_+$ 와 $f_-$ 가 부적절한 적분을 갖는 경우 부적절한 리만 적분을 가지며, 이 경우 해당 부적절한 적분의 값은 다음과 같이 정의된다.

: $\int_Af = \int_Af_+ - \int_A f_-.$

이러한 의미에서 존재하기 위해서는, 부적절한 적분이 필연적으로 절대적으로 수렴해야 한다.

: $\int_A|f| = \int_Af_+ + \int_Af_-.$

8. 가합성

이상 적분이 발산하는 경우에도, 체사로 합과 같은 가합성 방법을 통해 값을 부여할 수 있다.

푸리에 해석에서 널리 사용되는 가합성 방법 중 하나는 체사로 합이다. 적분

: $\int_0^\infty f(x)\,dx$

는 만약

: $\lim_{\lambda\to\infty}\int_0^\lambda\left(1-\frac{x}{\lambda}\right)^\alpha f(x)\ dx$

가 존재하고 유한하면 (C, α) 체사로 가합 가능하다고 한다. 이 극한 값이 존재할 경우, 이 값은 적분의 (C, α) 합이다.

적분은 부적절 적분으로 존재할 때 정확히 (C, 0) 가합 가능하다. 그러나, 리만 적분 또는 르베그 적분의 의미에서 부적절 적분으로 수렴하지 않는 α > 0에 대해 (C, α) 가합 가능한 적분이 있다. 한 예로 적분

: $\int_0^\infty\sin x \,dx$

는 부적절 적분으로 존재하지 않지만, 모든 ''α'' > 0에 대해 (C,''α'') 가합 가능하다. 이는 그란디 급수의 적분 버전이다.

참조

_[1] 서적 Advanced Calculus McGraw-Hill
_[2] 서적 Schaum's Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus McGraw-Hill
_[3] 기타
_[4] 기타
_[5] 서적 Functions of Several Real Variables World Scientific

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