반대각 행렬

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 수식 표현
3. 예시
4. 성질
- 4.1. 행렬식 부호
5. 주대각선 및 반대각선 표현
6. 단위 행렬과 반대각 행렬
7. 반대각선의 멱 성질
8. 응용
참조

1. 개요

반대각 행렬은 정사각 행렬의 한 종류로, (i, j)번째 원소 a_ij에서 i + j = n + 1을 만족하는 원소를 제외한 모든 원소가 0인 행렬을 말한다. 반대각 행렬은 준대칭 행렬이며, 두 반대각 행렬의 곱은 대각 행렬이 된다. 반대각 행렬은 왼쪽 아래 모서리에서 오른쪽 위 모서리까지의 대각선에 있는 성분이 0이 아닌 경우에만 가역 행렬이며, 가역 반대각 행렬의 역행렬 또한 반대각이다. 반대각 행렬의 행렬식의 절댓값은 대각선 성분의 곱으로 주어지며, 행렬식의 부호는 순열의 짝수/홀수에 따라 달라진다. 단위 행렬에서 특정 행을 교환하면 반대각 행렬을 얻을 수 있으며, 멱 성질을 갖는다.

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반대각 행렬
개요
정의	주대각선이 아닌 다른 모든 성분이 0인 정사각 행렬
다른 이름	반대각 행렬, 전치대각 행렬
영어	Anti-diagonal matrix
일본어	反対角行列 (Hantai-kakugyōretsu)
특징
대칭성	주대각선을 기준으로 대칭
성분	i + j ≠ n + 1 이면 a(i, j) = 0
고유값	주대각선 성분
고유벡터	표준 기저 벡터
예시
2x2 반대각 행렬	'(0, 1), (1, 0)'
3x3 반대각 행렬	'(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)'
일반적인 형태	'(0, 0, ..., 0, a_1), (0, 0, ..., a_2, 0), (..., ..., ..., ..., ...), (0, a_{n-1}, ..., 0, 0), (a_n, 0, ..., 0, 0)'

2. 정의

n × n 정사각 행렬 A에서 (i, j)번째 원소를 $a_{ij}$ 라고 할 때, 행 번호 i와 열 번호 j의 합이 n + 1이 되는 위치, 즉 반대각선(anti-diagonal^eng 또는 counter-diagonal^eng) 상에 위치한 원소들을 제외한 나머지 모든 원소가 0인 행렬을 반대각 행렬이라고 한다.

예를 들어, 3 × 3 반대각 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다. 여기서 붉은색으로 표시된 부분이 반대각선에 해당한다.

: $\begin{bmatrix}0 & 0 & \color{red}{a_{13}}\\0 & \color{red}{a_{22}} & 0\\\color{red}{a_{31}} & 0 & 0\end{bmatrix}$

이는 주대각선(i = j) 상의 원소를 제외한 나머지가 0인 일반적인 대각행렬과 구분된다.

: $\begin{bmatrix}\color{red}{a_{11}} & 0 & 0\\0 & \color{red}{a_{22}} & 0\\0 & 0 & \color{red}{a_{33}}\end{bmatrix}$

2. 1. 수식 표현

''n'' × ''n'' 행렬 ''A''는 (''i'', ''j'')번째 원소

a_{ij}

의 인덱스 합이

n + 1

이 아닌 모든 행 ''i''와 열 ''j''에 대해 0이면 반대각 행렬이다. 기호로 나타내면 다음과 같다.

a_{ij} = 0 \ \forall i,j \in \left\{1, \ldots, n\right\},\ (i+j \ne n+1).

''n''×''n'' 반대각 행렬 '''''A''''' 의 행렬 요소 ''a_j''_,''k''는 수열 {''d_i''}(1≦''i''≦''n'')에 대해 다음 식으로 정의된다.

:

a_{j,k} = \begin{cases}0       & (\, j+k \ne n + 1 \,) \\d_j     & (\, j+k = n + 1 \,)\end{cases}

:단, 1≦''j''≦''n'', 1≦''k''≦''n''

이는 다음과 같은 형태의 행렬로 나타낼 수 있다.

\begin{pmatrix}0      & 0       & 0       & \cdots  & 0       & 0      & d_{1}  \\0      & 0       & \cdots  & 0       & 0       & d_{2}  & 0      \\0      & \vdots  & 0       & 0       & d_{...} & 0      & 0      \\\vdots & 0       & 0       & d_{i}   & 0       & 0      & \vdots \\0      & 0       & d_{...} & 0       & 0       & \vdots & 0      \\0      & d_{n-1} & 0       & 0       & \cdots  & 0      & 0      \\d_{n}  & 0       & 0       & \cdots  & 0       & 0      & 0      \\\end{pmatrix}

3. 예시

반대각 행렬의 한 예시는 다음과 같다.

$\begin{bmatrix}0 & 0 & \color{red}{a}\\0 & \color{red}{a} & 0\\\color{red}{a} & 0 & 0\end{bmatrix}$

이는 일반적인 주대각선을 가지는 대각행렬과 대비된다.

$\begin{bmatrix}\color{red}{a} & 0 & 0\\0 & \color{red}{a} & 0\\0 & 0 & \color{red}{a}\end{bmatrix}$

다른 반대각 행렬의 예시들은 다음과 같다.

$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\0 & 7 & 0 & 0 & 0 \\$

1 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}.

아래 행렬은 왼쪽에서 곱하여 배열(열 행렬)의 요소를 반전시키는 데 사용될 수 있다.

\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

또 다른 예시는 다음과 같다.

\begin{pmatrix}0 & 0 &  0 & 0 & 1 \\0 & 0 &  0 & 7 & 0 \\0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\0 & 6 &  0 & 0 & 0 \\8 & 0 &  0 & 0 & 0 \\\end{pmatrix}

4. 성질

모든 반대각 행렬은 준대칭 행렬이다.

두 반대각 행렬의 곱은 대각 행렬이다. 예를 들어,

$\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

또한, 반대각 행렬과 대각 행렬의 곱, 대각 행렬과 반대각 행렬의 곱은 모두 반대각 행렬이다. 반대각 행렬끼리의 곱셈에서는 교환법칙이 성립한다.

반대각 행렬은 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 이어지는 대각선(반대각선) 상의 원소가 모두 0이 아닐 때만 가역 행렬이다. 가역인 반대각 행렬의 역행렬 역시 반대각 행렬이다.

반대각 행렬의 행렬식의 절댓값은 반대각선 상의 원소들의 곱과 같다. 행렬식의 부호는 행렬의 크기에 따라 결정되는데, 이는 반대각 행렬의 유일한 0이 아닌 기본 곱(elementary product)에 해당하는 순열의 짝수성(parity)과 관련이 있다.

4. 1. 행렬식 부호

반대각 행렬의 행렬식의 절댓값은 왼쪽 아래 모서리에서 오른쪽 위 모서리까지의 대각선에 있는 성분의 곱으로 주어진다. 그러나 이 행렬식의 부호는 반대각 행렬에서 나오는 유일한 0이 아닌 부호가 있는 기본 곱이 관련 순열이 짝수인지 홀수인지에 따라 다른 부호를 가지기 때문에 달라진다.

행렬 크기	순열 반대각 행렬의 0이 아닌 기본 곱에 대한	짝수 또는 홀수	기본 곱의 부호
2 × 2	{2, 1}	홀수	−
3 × 3	{3, 2, 1}	홀수	−
4 × 4	{4, 3, 2, 1}	짝수	+
5 × 5	{5, 4, 3, 2, 1}	짝수	+
6 × 6	{6, 5, 4, 3, 2, 1}	홀수	−

더 정확하게는, 반대각 행렬의 행렬식을 계산하는 데 필요한 기본 곱의 부호는 해당 삼각수가 짝수인지 홀수인지와 관련이 있다. 이는 ''n'' × ''n'' 반대각 행렬의 유일한 0이 아닌 부호가 있는 기본 곱에 대한 순열의 반전 수가 항상 ''n''번째 삼각수와 같기 때문이다.

5. 주대각선 및 반대각선 표현

n × n 행렬에서 주대각선과 반대각선은 다음과 같이 표현할 수 있다.

'''주대각선'''(main diagonal)은 행 번호( $i$ )와 열 번호( $j$ )가 같은 위치의 원소들을 의미한다.

:

\begin{pmatrix}\color{red}{x_{11}} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\x_{21} & \color{red}{x_{22}} & \cdots & x_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_{n1} & x_{n2} & \cdots & \color{red}{x_{nn}}\end{pmatrix}\qquad

주대각선 원소는

x_{ij}

에서

i = j

인 경우이다. 예를 들어, 대각행렬은 주대각선 원소를 제외한 모든 원소가 0인 행렬이다.

:

\begin{bmatrix}\color{red}{a} & 0 & 0\\0 & \color{red}{b} & 0\\0 & 0 & \color{red}{c}\end{bmatrix}

'''반대각선'''(anti-diagonal 또는 counter-diagonal)은 행 번호( $i$ )와 열 번호( $j$ )의 합이 $n+1$ 이 되는 위치의 원소들을 의미한다.

:

\begin{pmatrix}x_{11} & \cdots & x_{1(n-1)} & \color{red}{x_{1n}}\\x_{21} & \cdots & \color{red}{x_{2(n-1)}} & x_{2n}\\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\\color{red}{x_{n1}}& \cdots & x_{n(n-1)} & x_{nn}\end{pmatrix}\qquad

반대각선 원소는

x_{ij}

에서

i + j = n + 1

인 경우, 또는

j = (n+1) - i

인 경우이다. 반대각 행렬은 반대각선 원소를 제외한 모든 원소가 0인 행렬을 의미하기도 한다.

:

\begin{bmatrix}0 & 0 & \color{red}{a}\\0 & \color{red}{b} & 0\\\color{red}{c} & 0 & 0\end{bmatrix}

6. 단위 행렬과 반대각 행렬

단위 행렬 $I$ 가 다음과 같다고 하자.

: $I = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

이 단위 행렬의 1행과 3행을 서로 바꾸면 다음과 같은 행렬 $I^{a}$ 를 얻을 수 있다.

: $I^{a} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix}$

이 행렬 $I^{a}$ 는 반대각행렬이면서 동시에 순열행렬이다.

7. 반대각선의 멱 성질

반대각 행렬을 거듭제곱하면 특정한 패턴을 보일 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 3x3 반대각 행렬 A를 살펴보자.

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

이 행렬을 제곱하면 단위 행렬 I가 된다.

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

세제곱하면 다시 원래 행렬 A가 된다.

$A^3 = A^2 \times A = I \times A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = A$

네제곱하면 다시 단위 행렬 I가 된다. 이는 $A^4 = A^3 \times A = A \times A = A^2 = I$ 또는 $A^4 = (A^2)^2 = I^2 = I$ 로 계산할 수 있다.

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

이 예시처럼 특정 반대각 행렬 A가 $A^2 = I$ 를 만족하는 경우, 거듭제곱하면 A, I, A, I, ... 와 같이 원래 행렬과 단위 행렬이 번갈아 나타나는 패턴을 보인다. 즉, Aⁿ은 n이 홀수이면 A, n이 짝수이면 I가 된다.

또한, 반대각선 행렬 간에는 교환법칙이 성립한다.

8. 응용

특정한 형태의 반대각 행렬은 벡터의 요소 순서를 바꾸는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 반대각 행렬은

$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

열 벡터에 왼쪽에서 곱하면 해당 벡터의 요소 순서를 위아래로 반전시키는 역할을 한다.

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