원소 (수학)
1. 개요
원소는 형식 논리에 기초한 집합론에서 사용되는 개념으로, 집합에 속하는 대상을 의미한다. 기호 ∈를 사용하여 'x ∈ A'와 같이 표현하며, 이는 'x는 A의 원소이다'라는 의미를 갖는다. 집합은 원소들의 모임으로, 원소는 숫자, 문자, 다른 집합 등 무엇이든 될 수 있으며, 집합의 크기는 기수로 나타낸다. 원소는 집합뿐만 아니라 류(클래스)에도 속할 수 있으며, ZFC 집합론에서는 집합이 아닌 원소인 원자(atom) 또는 우르엘레멘트가 존재할 수 있다. 대수계에서는 항등원, 가역원 등 특정 성질을 가진 원소를 정의하기도 한다. 원소 포함 관계는 전체 집합 U와 그 멱집합 P(U) 사이의 관계이며, 관계 ∈는 U × P(U)의 부분 집합으로 정의된다.
2. 정의
"x는 A의 원소이다"를 "x ∈ A"와 같이 표현한다. 예를 들어 A = {1, 2, 3, 4}에서 1, 2, 3, 4는 A의 원소이다. B = {1, 2, {3, 4}}에서 원소는 1, 2, {3, 4} 세 개이다. 집합의 원소는 숫자, 문자, 다른 집합 등 무엇이든 될 수 있다.
형식 논리에 기초한 현대적인 집합론은 하나의 술어 기호(이항 술어 ∈)를 포함하는 일계 술어 논리로 기술된다. "x는 M의 원소이다"는
:
라는 식으로 번역된다. 펠릭스 하우스도르프는 이러한 기술 자체가 원래부터 있는 개념을 바탕으로 정의를 구성하는 방식이 아님을 지적했다.
2.1. 표기법 및 용어
"x ∈ A"는 "x는 A의 원소이다", "x는 A에 속한다"와 같이 표현한다. "A ∋ x"는 "A는 x를 포함한다"는 뜻이다. "x ∉ A"는 "x는 A의 원소가 아니다"를 의미한다.
∈ 기호는 1889년 주세페 페아노가 처음 사용했으며, 그리스 문자 엡실론(ε)에서 유래했다.
3. 집합과 원소
집합은 그 안에 속하는 모든 대상을 지정함으로써 특징지어진다. 예를 들어, 라고 쓰는 것은 집합 A의 원소가 1, 2, 3, 4라는 것을 의미한다. 집합은 숫자뿐만 아니라 다른 집합 등 무엇이든 원소로 가질 수 있다. 예를 들어 에서 B의 원소는 1, 2, 그리고 집합 이다.
"속한다"는 이항 관계는 수학적 대상과 집합 사이에 정해지는 비대칭 관계(귀속 관계)이다. 일반적으로 사용되는 ZF에서는 기초의 공리에 따라 집합은 자기 자신을 원소로 포함하지 않는다(귀속 관계는 반대칭 관계이다). 그러나 다른 집합론에서는 이러한 제약이 없는 초집합이 존재할 수 있다. 귀속 관계는 추이적이지 않지만, 집합의 포함 관계는 추이적이다.
칸토어(Cantor)에 따르면 집합의 역사적인 정의는 다음과 같다.
이러한 정의를 바탕으로 소박 집합론을 전개할 수 있다. 예를 들어, 집합 에 대해, 1, 2, 3은 각각 M의 원소이다. 여기서 "원소인 것"과 "부분 집합인 것"을 혼동해서는 안 된다.
3.1. 집합의 크기 (기수)
특정 집합의 원소 개수는 기수라고 알려진 속성으로, 비공식적으로는 집합의 크기이다. 예시에서 집합 A의 기수는 4이고, 집합 B와 집합 C의 기수는 둘 다 3이다. 무한 집합은 무한 개의 원소를 가진 집합이고, 유한 집합은 유한 개의 원소를 가진 집합이다. 위의 예시는 유한 집합의 예시이다. 무한 집합의 예시는 양의 정수의 집합이다.
4. 류 (클래스)
원소가 속하는 대상은 집합뿐만 아니라 류(클래스)일 수도 있다. 범주론에서는 범주에 속하는 대상을 류로 간주한다. ZFC 집합론에서는 단항 술어 자체를 류로 간주한다.
5. 원소 (urelement)
가장 널리 사용되는 ZFC 집합론에서는 모든 원소가 그 자체로 집합으로 실현되지만, 다른 집합론에서는 반드시 그렇지 않다. 집합의 원소이면서, 동시에 그 자체는 집합으로 실현되지 않는 원소를 원자(atom) 또는 urelement영어라고 부른다.
이러한 경우에는, 반드시 집합이 아닌 대상에 대해서도, 생각하고 있는 수학적 체계에 속하는 대상임을 이유로 "원소"라고 부르는 것이 더 자연스럽다. 수, 점, 함수 등(이들은 집합으로 실현될 수 있다)과 같은 기존의 수학적 체계의 대부분에 더하여, 별, 분자, 개구리 등도 그 체계에서의 "원소"가 된다.