반대칭 텐서

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1. 개요
2. 정의
3. 일반적인 텐서의 전개
- 3.1. 반대칭화를 위한 표기법
4. 반대칭 텐서의 예
5. 교대 텐서 공간
6. 교대 텐서곱
7. 물리학에서의 반대칭 텐서
참조

1. 개요

반대칭 텐서는 두 지표의 위치를 바꿀 때 부호가 반대로 바뀌는 텐서를 의미하며, 모든 지표에 대해 반대칭성이 성립하면 완전 반대칭이라고 한다. 일반적인 텐서는 대칭 부분과 반대칭 부분의 합으로 나타낼 수 있다. 반대칭 텐서는 물리학, 특히 전자기학에서 중요한 역할을 하며, 자기장과 같은 물리량은 미분 형식으로 표현될 수 있다.

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반대칭 텐서
정의
설명	임의의 전치의 부호가 반대인 텐서. 즉, 두 개의 인덱스를 교환하면 텐서의 부호가 바뀌는 텐서이다.
수학적 정의
정의	'텐서 T는 모든 인덱스 i와 j에 대해 T = -T를 만족하면 반대칭이다.'
조건	'만약 계수체가 2의 표수를 갖지 않는다면, i = i인 모든 i와 i에 대해 T…i…}} = 0이다.'
명칭
다른 이름	반대칭 텐서 교대 텐서
활용
설명	'물리학 및 수학에서 널리 사용되며, 특히 미분 형식 이론에서 중요한 역할을 한다.'
예시	전자기 텐서 스핀 텐서

2. 정의

반대칭 텐서는 임의의 두 지표 i와 j의 위치를 바꿀 때 다음 성질을 만족하는 텐서를 말한다.

: $T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots} \;$

이 성질을 '반대칭성'이라고 한다. 특히, 모든 지표에 대해 임의의 두 지표를 골라 서로 위치를 바꾸었을 때 반대칭성이 성립하면 그러한 텐서를 '''완전 반대칭'''하다고 한다. 미분형식은 완전 반대칭 텐서의 한 예이다.^[5]

텐서 '''A'''가 지표 i와 j에 대해 대칭이고 텐서 '''B'''가 지표 i와 j에 대해 반대칭일 때, 두 텐서의 텐서 축약은 0이 된다.^[6]

일반적인 텐서 '''U'''는 성분 $U_{ijk\dots}$ 와 인덱스 쌍 $i$ 및 $j$ 에 대해, 다음과 같이 정의되는 대칭 부분과 반대칭 부분을 갖는다.

대칭 부분	반대칭 부분
$U_{(ij)k\dots}=\frac{1}{2}(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots})$	$U_{[ij]k\dots}=\frac{1}{2}(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots})$

다른 인덱스 쌍에 대해서도 유사한 정의를 내릴 수 있다. "부분"이라는 용어가 시사하는 바와 같이, 텐서는 주어진 인덱스 쌍에 대해 대칭 부분과 반대칭 부분의 합으로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $U_{ijk\dots} = U_{(ij)k\dots} + U_{[ij]k\dots}.$

3. 일반적인 텐서의 전개

성분 $U_{ijk\dots}$ 를 가지는 일반적인 텐서 '''U'''의 지표 i와 j에 대한 대칭 부분과 반대칭 부분은 다음과 같이 정의된다.

: $U_{(ij)k\dots}=\frac{1}{2}(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots})$ (대칭 부분)

: $U_{[ij]k\dots}=\frac{1}{2}(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots})$ (반대칭 부분)

보통 두 지표가 대칭성을 나타내는 것을 $U_{(ij)k\dots}$ 와 같이 ()로 표기하고, 반대칭성을 나타내는 것을 $U_{[ij]k\dots}$ 와 같이 []로 표기한다. 비슷하게 다른 지표에 대해서도 위와 같은 텐서를 생각할 수 있다.

일반적인 텐서 $U_{ijk\dots}$ 는 대칭 부분과 반대칭 부분의 합으로 나타낼 수 있다.

: $U_{ijk\dots}=U_{(ij)k\dots}+U_{[ij]k\dots} \;$

텐서 '''A'''가 인덱스 $i$ 와 $j$ 에 대해 반대칭적이면, 인덱스 $i$ 와 $j$ 에 대해 대칭적인 텐서 '''B'''와의 축약이 항등적으로 0이 된다.

3. 1. 반대칭화를 위한 표기법

반대칭화를 위한 약식 표기법은 대괄호 쌍으로 표시된다. 예를 들어, 임의의 차원에서 2차 공변 텐서 '''M'''의 경우 다음과 같다.

:

M_{[ab]} = \frac{1}{2!}(M_{ab} - M_{ba})

3차 공변 텐서 '''T'''의 경우는 다음과 같다.

:

T_{[abc]} = \frac{1}{3!}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba})

^[7]

2차원 및 3차원에서, 이것들은 일반화된 크로네커 델타와 아인슈타인 표기법을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}M_{[ab]} &= \frac{1}{2!} \, \delta_{ab}^{cd} M_{cd} , \\[2pt]T_{[abc]} &= \frac{1}{3!} \, \delta_{abc}^{def} T_{def} .\end{align}

^[7]

더 일반적으로, 차원의 수에 관계없이,

p

개의 지수에 대한 반대칭화는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

T_{[a_1 \dots a_p]} = \frac{1}{p!} \delta_{a_1 \dots a_p}^{b_1 \dots b_p} T_{b_1 \dots b_p}

^[7]

일반적으로, 2차 텐서는 대칭 및 반대칭 쌍으로 분해될 수 있다.

:

T_{ij} = \frac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji}) + \frac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji})

이러한 분해는 3차 이상의 텐서에 대해서는 일반적으로 성립하지 않으며, 3차 이상의 텐서는 더 복잡한 대칭성을 갖는다.^[7]

4. 반대칭 텐서의 예

모든 스칼라와 벡터(0차 및 1차 텐서)는 자명하게 완전 반대칭이다(완전 대칭이기도 함). 전자기학에서의 전자기 텐서 $F_{\mu\nu}$ , 유사 리만 다양체에서 리만 부피 형식 등이 완전 반대칭 텐서의 예이다.^[1]

5. 교대 텐서 공간

벡터 공간 의 -차 텐서 거듭제곱 에서, -차 텐서 가 (완전) 반대칭이라는 것은 다음 조건을 만족하는 것을 의미한다.^[5]

: $\tau_\sigma T = \sgn(\sigma)T\quad (\forall\sigma\in\mathfrak{S}_k)$

여기서 는 기호 의 치환 에 수반되는 텐서의 꼬임 사상이고, 는 의 부호이다.

위의 -차 반대칭 텐서 전체의 공간은 또는 로 나타낸다. 는 그 자체가 벡터 공간을 이루고, 가 -차원이면 의 차원은 이항 계수를 사용하여 다음과 같이 주어진다.^[6]

: $\dim \operatorname{Alt}^k(V) = {N \choose k}$

반대칭 텐서 공간 는 에 대한 의 직합으로 구성된다.

: $\operatorname{Alt}(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty \operatorname{Alt}^k(V)$

6. 교대 텐서곱

단순 텐서 $T$ 를 텐서곱

: $T=v_1\otimes v_2\otimes\cdots \otimes v_r$

로 쓸 때, $T$ 의 교대 성분은 그 인자 벡터의 교대곱(쐐기곱) 또는 외적

: $v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_r := \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} \sgn(\sigma)v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma r}$

이라고 불린다^[8]。일반적으로, 교대 텐서 공간 $\operatorname{Alt}(V)$ 에 반대칭이고 결합적인 곱셈 $\wedge$ 을 넣어 다원환으로 만들 수 있다. 두 텐서 $T_1 \in \operatorname{Alt}^{k_1}(V), T_2 \in \operatorname{Alt}^{k_2}(V)$ 가 주어졌을 때, 교대화 작용소를 사용하여

: $T_1\wedge T_2 = \operatorname{Alt}(T_1\otimes T_2)\quad\left(\in\operatorname{Alt}^{k_1+k_2}(V)\right)$

로 정의하면, 이것이 실제로 반대칭적이고 결합적임을 확인할 수 있다.

7. 물리학에서의 반대칭 텐서

자기장 '''B'''와 같이 벡터로 다루는 많은 물리량은 본질적으로 텐서, 더 정확히는 미분형식으로 정의된다. 대부분의 텐서로 나타내어지는 물리량들은 반대칭성을 가진다.^[1] 전자기학에서의 전자기 텐서 '''F'''는 중요한 반대칭 텐서의 예이다.^[1]

참조

_[1] 서적 Mathematical methods for physics and engineering https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[2] 서적 From Vectors to Tensors https://books.google[...] Springer
_[3] 서적 Mathematical methods for physics and engineering Cambridge University Press
_[4] 서적 From Vectors to Tensors https://books.google[...] Springer
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적

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