외대수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 기하학적 해석
5. 3차원 벡터와의 관계
6. 역사
7. 응용
참조

1. 개요

외대수는 가환환 위의 가군을 사용하여 텐서 대수를 통해 정의되는 대수 구조이다. 쐐기곱 또는 외적이라 불리는 이항 연산을 가지며, 등급 가환 법칙을 만족한다. 외대수는 기하학적으로 부호를 갖는 초부피를 나타내며, 3차원 유클리드 공간에서는 벡터곱과 삼중곱으로 나타낼 수 있다. 헤르만 그라스만이 1844년에 처음 도입했으며, 미분기하학, 물리학 등 다양한 분야에서 응용된다. 미분기하학에서는 미분 형식을 정의하는 데 사용되며, 물리학에서는 페르미온을 나타내는 데 활용된다.

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외대수
정의
설명	대수학에서, 외대수(外代數, exterior algebra)는 벡터 공간에서 정의되는 대수 구조의 하나이다. 쐐기곱(wedge product)이라는 연산을 통해 벡터 공간의 원소들로부터 더 고차원의 "넓이"나 "부피"와 같은 양을 나타내는 원소들을 생성한다.
역사
창시자	헤르만 그라스만
발전	윌리엄 킹던 클리퍼드
명칭
독일어	äußere Algebra (오이세레 알게브라)
영어	exterior algebra (익스테리어 앨지브라) Grassmann algebra (글라스만 앨지브라)
관련 개념
관련 개념	텐서 대수 대칭 대수 클리퍼드 대수

2. 정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 가 주어졌을 때, 그 텐서 대수

: $T(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty T^n(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty\overbrace{V\otimes_KV\otimes_K\cdots\otimes_KV}^n$

를 정의할 수 있다. $T(V)$ 는 $K$ 위의 자연수 등급을 갖는 등급 단위 결합 대수를 이룬다.

$T(V)$ 의 다음과 같은 아이디얼을 생각하자.

: $I=(\{v\otimes v\colon v\in V\})=\operatorname{Span}\{v_1\otimes v_2\otimes\cdots v_n\colon\exists i,j\colon v_i=v_j\}$

이 아이디얼에 대하여 몫대수를 취할 수 있으며, 이를 '''외대수'''라고 한다.

: $\bigwedge(V)=T(V)/I$

: $\bigwedge(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty \bigwedge^n(V)$

아이디얼에 대하여 몫을 취했으므로, 이 역시 $K$ 위의 단위 결합 대수이다. 외대수에서의 이항 연산은 통상적으로

: $\wedge\colon\bigwedge^mV\otimes\bigwedge^nV\to\bigwedge^{m+n}V$

: $\alpha\wedge\beta = \alpha\otimes\beta \pmod I$

로 쓰며, '''쐐기곱'''(wedge product^영어) 또는 '''외적'''(外積, exterior product^영어)이라고 한다.

외대수의 $n$ 차 원소 $a\in\bigwedge^nV$ 는 ''' $n$ -블레이드'''( $n$ -blade^영어), ''' $n$ -벡터'''( $n$ -vector^영어), 또는 ''' $n$ -다중벡터'''( $n$ -multivector^영어) 등으로 불린다.

3. 성질

외대수 $\bigwedge(V)$ 는 $K$ 위의 단위 결합 대수이며, 자연수 등급을 갖는 등급 대수이다. 쐐기곱은 등급 가환 법칙을 따른다. 즉, 임의의

: $a\in\bigwedge^mV$

: $b\in\bigwedge^nV$

에 대하여,

: $a\wedge b=(-1)^{mn}b\wedge a$

: $\deg(a\wedge b)=m+n$

이다.

보다 일반적으로, 임의의

: $a_i\in\bigwedge^{n_i}V\qquad(i=1,2,\dots,k)$

및 순열

: $\sigma\in\operatorname{Sym}(k)$

에 대하여,

: $a_{\sigma(1)}\wedge a_{\sigma(2)}\wedge\cdots\wedge a_{\sigma(k)}=(-1)^\sigma a_1\wedge a_2\wedge\cdots a_k$

이다.

만약 $V$ 가 유한 차원 벡터 공간이며 $\dim_K V=d$ 라면,

: $\dim_K \bigwedge^n(V)=\binom dn$

: $\dim_K \bigwedge(V)=\sum_{n=0}^d\binom dn=2^d$

이다. 즉, $\bigwedge(V)$ 의 (자명하지 않은) 등급은 $0,1,\dots,d$ 가 된다.

같은 체 위의 임의의 두 벡터 공간 $V$ , $W$ 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

: $\bigwedge(V\oplus W)\cong\bigwedge V\otimes\bigwedge W$

: $\bigwedge^n(V\oplus W)\cong\sum_{p+q=n}\bigwedge^pV\otimes\bigwedge^qW$

외대수는 벡터 공간의 범주 $K\text{-Vect}$ 에서, $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주 $K\text{-uAssoc}$ 로 가는 함자를 정의한다. 또한, 외대수 함자는 왼쪽 완전 함자이다.

외대수는 단위 결합 대수의 구조뿐만 아니라, 호프 대수의 구조를 갖는다. 이 경우, 쌍대곱(coproduct^영어)은 다음과 같다.

: $\Delta\colon\bigwedge^nV\to\bigwedge^nV\otimes\bigwedge^nV$

: $\Delta(v_1\wedge\dots\wedge v_n) = \sum_{p=0}^n \sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(p,n-p)} (-1)^\sigma (v_{\sigma(1)}\wedge\dots\wedge v_{\sigma(p)})\otimes (v_{\sigma(p+1)}\wedge\dots\wedge v_{\sigma(k)})$

여기서 $\operatorname{Sh}(p,n-p)\subset\operatorname{Sym}(n)$ 은 $(p,n-p)$ -셔플 순열의 집합이다.

쌍대단위원(counit^영어)은

: $\epsilon\colon\bigwedge^nV\to K$

: $\epsilon\colon v\mapsto\begin{cases}0&v\in\bigwedge^n V,\qquad n>0\\v&v\in\bigwedge^0V\cong K\end{cases}$

이다. 앤티포드(antipode^영어)는

: $S\colon\bigwedge^nV\to\bigwedge^nV$

: $S\colon v\mapsto(-)^{\deg v}v$

이다.

$V$ 가 실수체 위의 유한 차원 내적 공간이라고 하자. 그렇다면 $\bigwedge V$ 위에도 자연스러운 내적이 존재하며, 다음과 같다. 임의의

: $a=u_1\wedge u_2\wedge\cdots\wedge u_m\in\bigwedge^mV$

: $b=v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_n\in\bigwedge^nV$

에 대하여,

: $\langle a,b\rangle=\begin{cases}\det(\langle a_i,b_j\rangle)_{ij}&m=n\\0&m\ne n\end{cases}$

이다.

$V$ 에 추가로 방향이 주어졌다고 하자. 즉, 정규 직교 기저의 순서 $(\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_d)$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\bigwedge V$ 위에는 다음과 같은 '''호지 쌍대'''를 정의할 수 있다.

: $*\colon\bigwedge^mV\to\bigwedge^{d-m}V$

: $*\colon\mathbf e_1\wedge\cdots\wedge\mathbf e_m\mapsto\mathbf e_{m+1}\wedge\cdots\wedge\mathbf e_d$

4. 기하학적 해석

V

가 실수체 위의 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면

\bigwedge^nV

의 원소는 부호를 갖는

n

차원 초부피로 해석할 수 있다. 구체적으로, 일차 독립 벡터들의 열

:

v_1,v_2,\dots,v_n\in V

이 주어졌을 때,

:

v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_n\in\bigwedge^nV

는

\{v_i\}_{i=1,\dots,n}

을 변으로 하는 평행체(parallelepiped)를 나타낸다.

V

가 내적을 가졌을 때, 내적으로 주어지는 노름

:

\|v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_n\in\bigwedge^nV\|

은 이 평행체의 초부피와 같다.

예를 들어,

n=1

일 경우

\bigwedge^1V\cong V

는

V

속의 방향을 가리키며, 그 내적은 벡터의 길이와 같다.

n=2

일 경우

u\wedge v

는

u

와

v

를 변으로 하는 평행사변형을 나타내며, 노름을 취하면 평행사변형의 넓이를 얻는다.

평면은 벡터 공간이며,

:

\boldsymbol{e}_1 = (1,0),\quad \boldsymbol{e}_2 = (0,1)

라는 두 개의 단위 벡터 쌍은 그 기저가 된다.

:

\boldsymbol{v} = v_1\boldsymbol{e}_1 + v_2\boldsymbol{e}_2, \quad \boldsymbol{w} = w_1\boldsymbol{e}_1 + w_2\boldsymbol{e}_2

라는 두 개의 성분으로 표시된 벡터가 주어졌을 때,

\boldsymbol{v}

와

\boldsymbol{w}

를 두 변으로 하는 평행사변형이 유일하게 존재한다. 이 평행사변형의 면적은 행렬식을 사용하여

:

A = \left|\det\begin{pmatrix}\boldsymbol{v} & \boldsymbol{w}\end{pmatrix}\right| = |v_1w_2 - v_2w_1|

으로 표시된다.

3차원에서, 대응하는 외대수는 벡터의 외적 및 스칼라 삼중곱과 밀접한 관계가 있다. 표준 기저

\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}

를 사용하여, 두 개의 벡터

:

\boldsymbol{u} = u_1 \boldsymbol{e}_1 + u_2 \boldsymbol{e}_2 + u_3 \boldsymbol{e}_3,\quad \boldsymbol{v} = v_1 \boldsymbol{e}_1 + v_2 \boldsymbol{e}_2 + v_3 \boldsymbol{e}_3

의 쐐기곱은 3차원 공간

\bigwedge^2(\mathbb{R}^3)

의 기저

\{\boldsymbol{e}_1 \wedge \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_1 \wedge \boldsymbol{e}_3, \boldsymbol{e}_2 \wedge \boldsymbol{e}_3\}

에 관하여

:

\begin{align}&\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} \\ &\quad = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\boldsymbol{e}_1 \wedge \boldsymbol{e}_2) + (u_1 v_3 - u_3 v_1) (\boldsymbol{e}_1 \wedge \boldsymbol{e}_3) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\boldsymbol{e}_2 \wedge \boldsymbol{e}_3) \end{align}

로 쓸 수 있다.

5. 3차원 벡터와의 관계

3차원 유클리드 공간 $\mathbb R^3$ 에서, 외대수의 쐐기곱은 벡터의 벡터곱으로 나타낼 수 있다. 3차원 벡터 $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ 에 대하여,

: $\mathbf u\times\mathbf v=*(\mathbf u\wedge\mathbf v)$

이다. 즉, 3차원 벡터의 벡터곱은 쐐기곱의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 3차원 벡터의 삼중곱은 다음과 같이 쐐기곱으로 표현할 수 있다. 3차원 벡터

\mathbf{u}

,

\mathbf{v}

,

\mathbf{w}

에 대하여,

:

\mathbf u\cdot\mathbf v\times\mathbf w=*(\mathbf u\wedge\mathbf v\wedge\mathbf w)

이다.

표준 기저

\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3

를 갖는 '''R'''³의 벡터의 경우, 외대수는 외적 및 스칼라 삼중곱과 밀접하게 관련되어 있다.

두 벡터

:

\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3

:

\mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3

의 외적은 다음과 같다.

:

\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2) + (u_3 v_1 - u_1 v_3) (\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3)

여기서

\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3

는 3차원 공간 ⋀²('''R'''³)의 기저이다. 이는 외적의 일반적인 정의와 유사하다.

세 번째 벡터

:

\mathbf{w} = w_1 \mathbf{e}_1 + w_2 \mathbf{e}_2 + w_3 \mathbf{e}_3

를 추가하면, 세 벡터의 외적은 다음과 같다.

:

\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3)

여기서

\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3

는 1차원 공간 ⋀³('''R'''³)의 기저 벡터이다. 스칼라 계수는 세 벡터의 스칼라 삼중곱이다.

3차원에서 외적과 스칼라 삼중곱은 기하학적 및 대수적 해석이 가능하다. 외적

\mathbf{u} \times \mathbf{v}

는

\mathbf{u}

와

\mathbf{v}

모두에 수직이고 크기가 두 벡터로 결정되는 평행사변형의 면적과 같은 벡터로 해석할 수 있다. 또한, 열이

\mathbf{u}

와

\mathbf{v}

인 행렬의 소행렬식으로 구성된 벡터로도 해석할 수 있다.

\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}

의 스칼라 삼중곱은 기하학적으로 (부호 있는) 부피이며, 대수적으로는

\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}

를 열 벡터로 하는 행렬의 행렬식이다.

6. 역사

헤르만 그라스만이 1844년에 《선형 확장 이론: 수학의 새 분야》(Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik^de)에서 외대수를 처음 도입하였다.^[38] 그라스만은 자신의 이론을 "확장 이론"(Ausdehnungslehre^de)이라고 불렀다.^[34] 이는 더 일반적으로 확장된 양에 대한 대수적(또는 공리적) 이론을 지칭했으며, 벡터 공간의 현대적 개념의 초기 선구자 중 하나였다.^[18] 생-베낭 또한 그라스만보다 우선권을 주장하며 외미적분에 대한 유사한 아이디어를 발표했다.^[19]^[35]

그라스만의 이론은 오랫동안 잊혀져 있다가, 1888년에 주세페 페아노가 그의 이론을 재발견하고 재조명하였다.^[37] 페아노의 연구 또한 세기 전환기까지 다소 알려지지 않았는데,^[21] 앙리 푸앵카레, 엘리 카르탕, 가스통 다르부 등 프랑스 기하학 학파 구성원들이 그라스만의 아이디어를 미분 형식의 미적분에 적용하면서 이 주제가 통합되었다.^[20]

7. 응용

미분기하학에서 접다발의 각 올인 접공간에 각각 외대수를 취하여 얻는 벡터 다발의 단면은 '''미분 형식'''이라고 불리며,^[16] 현대 미분기하학에서 핵심적인 위치를 차지한다. 미분 형식은 벡터의 길이, 평행사변형의 면적, 그리고 고차원 도형의 부피를 평가하는 수학적 대상이므로, 미적분학의 선적분과 면적분을 일반화하는 방식으로 곡선, 표면 및 고차원 다양체에서 적분될 수 있다.

물리학에서 외대수는 페르미온 값을 갖는 장들을 나타내는 데 사용된다. 또한, 초대칭 이론의 경우 초장들은 초다양체 위에 정의되는데, 이는 국소적으로 외대수를 갖춘 유클리드 공간 매끄러운 함수환과 동형인 층을 갖춘 위상 공간이다.

참조

_[1] 서적 The Road to Reality Vintage books
_[2] 논문
_[3] 논문
_[4] 문서
_[5] 논문
_[6] 논문
_[7] 논문
_[8] 논문
_[9] 논문
_[10] 문서
_[11] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
_[12] 문서
_[13] 논문
_[14] 논문
_[15] 문서
_[16] 서적 Studies in Econometrics, Time Series, and Multivariate Statistics Academic Press
_[17] 서적 Supermanifolds Cambridge University Press
_[18] 논문
_[19] 문서 Biography in Dictionary of Scientific Biography New York
_[20] 논문
_[21] 논문
_[22] 문서
_[23] 문서
_[24] 논문
_[25] 논문
_[26] 논문
_[27] 논문
_[28] 논문
_[29] 문서
_[30] 논문
_[31] 논문
_[32] 문서
_[33] 논문
_[34] 논문
_[35] 서적 Biography in Dictionary of Scientific Biography New York
_[36] 기타
_[37] 기타
_[38] 서적 Die Lineale Ausdehnungslehre: ein neuer Zweig der Mathematik: Dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert https://archive.org/[...] Verlag von Otto Wigand 1844

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