베셀 필터

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1. 개요

베셀 필터는 특정 전달 함수를 갖는 저역 통과 필터의 한 종류이다. 이 필터는 베셀 다항식의 역수를 분모로 하는 유리 함수로 표현되며, 통과 대역에서 군 지연이 거의 일정하다는 특징을 갖는다. 베셀 필터의 차단 주파수는 원하는 감쇠 값을 설정하여 결정할 수 있으며, 뉴턴 방법 또는 근 찾기 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다. 3차 베셀 저역 통과 필터의 예시를 통해 이득, 위상, 군 지연 등을 확인할 수 있으며, 디지털 베셀 필터는 최대 평탄 군 지연을 갖는 티란 필터로 구현될 수 있다.

베셀 필터

일반 정보

종류	아날로그 선형 필터
신호 처리	아날로그
회로망	선형 시불변 회로망
발명자	프리드리히 베셀

전달 함수 특성

유형	선형 아날로그 필터
시간 영역	최대 군지연 (Maximum group delay)
주파수 영역	단조로운 크기 응답
위상 응답	선형
스텝 응답	오버슈트 없음
극점 위치	왼쪽 절반 평면에 위치

응용

분야	통신 시스템 오디오 처리 의료 장비 계측 장비
목적	신호 필터링 데이터 평활화 위상 왜곡 최소화

장단점

장점	선형 위상 응답 일정한 군지연 오버슈트 없는 스텝 응답
단점	차단 대역 감쇠율 낮음 특정 응용 분야에 최적화 필요

설계

차수 결정	응용 분야의 요구 사항에 따라 결정
극점 배치	베셀 다항식의 근을 사용하여 배치
회로 구현	능동 필터 (연산 증폭기 기반) 수동 필터 (저항, 커패시터, 인덕터 사용)

관련 필터	버터워스 필터 체비쇼프 필터 타원 필터
관련 함수	베셀 함수

2. 전달 함수

베셀 저역 통과 필터는 다음과 같은 전달 함수로 특징지어진다.

: $H(s) = \frac{\theta_n(0)}{\theta_n(s/\omega_0)}\,$

여기서 $\theta_n(s)$ 는 필터의 이름을 따온 베셀 다항식의 역수이며, $\omega_0$ 는 원하는 차단 주파수를 제공하기 위해 선택된 주파수이다. 이 필터는 $1 / \omega_0$ 의 저주파 군 지연을 갖는다. $\theta_n (0)$ 는 역 베셀 다항식의 정의에 의해 결정되지 않지만 제거 가능한 특이점이므로 $\theta_n (0) = \lim_{x \rightarrow 0} \theta_n (x)$ 로 정의된다.

3차 베셀 저역 통과 필터의 전달 함수는 다음과 같다.

: $H(s)=\frac{15}{s^3+6s^2+15s+15}\,$

이득은 다음과 같다.

: $G(\omega) = |H(j\omega)| = \frac{15}{\sqrt{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}}$

위상은 다음과 같다.

: $\phi(\omega)=-\mathrm{arg}(H(j\omega))=-\mathrm{arctan}\left(\frac{15\omega-\omega^3}{15-6\omega^2}\right)\,$

그러면, 군 지연은 다음과 같다.

: $D(\omega)=-\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm d\omega} =\frac{6 \omega^4+ 45 \omega^2+225}{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}$

군 지연을 테일러 전개하면, 다음을 얻는다.

: $D(\omega) = 1-\frac{\omega^6}{225}+\frac{\omega^8}{1125}+\cdots$

$\omega = 0$ 일 때, $\omega^2$ 과 $\omega^4$ 의 항이 0이 되기 때문에 매우 평탄한 군 지연을 얻을 수 있다. 전달 함수의 분자를 상수로 하고, 분모를 최고 3차의 다항식으로 하면, 총 4개의 계수가 있지만, $\omega = 0$ 에서 이득이 변하지 않는 것을 요구하고, 또한 $\omega = \infty$ 에서 이득이 0이 되는 것을 요구하면, 자유도는 2개 남게 되며, 3차 베셀 필터는 이 조건 하에서 군 지연이 최대한 평탄해진다는 것을 알 수 있다. 일반적으로 $n$ 차 베셀 필터의 군 지연을 전개하면, 처음 $n - 1$ 개의 항은 0이 되며, $\omega = 0$ 에서의 군 지연의 평탄성이 최대화된다.

3. 베셀 다항식

베셀 필터의 전달 함수는 분모가 역 베셀 다항식인 유리 함수이다. 역 베셀 다항식은 다음과 같이 주어진다.

: $\theta_n(s)=\sum_{k=0}^n a_ks^k,$

여기서

: $a_k=\frac{(2n-k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!} \quad k=0,1,\ldots,n.$

다음은 차수(n)에 따른 역 베셀 다항식의 예시이다.

: $n=1: \quad s+1$
: $n=2: \quad s^2+3s+3$
: $n=3: \quad s^3+6s^2+15s+15$
: $n=4: \quad s^4+10s^3+45s^2+105s+105$
: $n=5: \quad s^5+15s^4+105s^3+420s^2+945s+945$

4. 차단 감쇠 설정

베셀 필터에는 표준 감쇠 값이 정해져 있지 않지만, -3.0103 dB가 일반적으로 사용된다. 다른 응용 분야에서는 -1 dB 또는 -20 dB와 같이 더 높거나 낮은 감쇠 값을 사용할 수도 있다. 차단 감쇠 주파수를 설정하려면 먼저 원하는 감쇠를 얻을 수 있는 주파수( $\omega_c$ )를 찾은 다음, $H(s)$ 다항식을 해당 주파수의 역수로 스케일링해야 한다. 다항식을 스케일링하는 방법은 아래의 3극 베셀 필터 예시와 같이 각 계수의 $s$ 항에 $\omega_c$ 를 추가하는 것이다.

$\begin{align}H(s) &= \frac{15}{s^3+6s^2+15s+15}\\H(s)'&=H(s)_{\text{desired dB at }\omega=1}=\frac{15}{(\omega_cs)^3+6(\omega_cs)^2+15\omega_cs+15}\\\end{align}$

$\omega_c$ 는 뉴턴 방법 또는 근 찾기를 사용하여 찾을 수 있다.

4.1. 뉴턴 방법을 이용한 감쇠 주파수 찾기

뉴턴 방법은 $|H(j\omega_c )|$ 에 대한 알려진 크기 값과 미분 크기 값이 필요하다. 그러나 $|H(j\omega_c)H(-j\omega_c)|$ 를 사용하여 원하는 컷오프 이득의 제곱을 사용하는 것이 더 쉽고 정확도도 동일하므로 제곱 항이 사용된다.

$\omega_c$ 를 얻으려면 다음 단계를 따른다.

1. $H(s)H(-s)$ 가 아직 없으면 $H(s)$ 에 $H(-s)$ 를 곱하여 $H(s)H(-s)$ 를 얻는다.
2. $(n+2)$ 가 $4$ 로 나누어 떨어질 때 $s^n$ 의 모든 항을 부정한다. 즉, $s^2$ , $s^6$ , $s^{10}$ 등이다. 수정된 함수는 $H_2(s)H_2(-s)$ 라고 하며, 이 수정으로 다항식과 그 도함수를 평가할 때 복소수가 아닌 실수를 사용할 수 있다. 이제 복소수 $j\omega_a$ 대신 실수 $\omega_a$ 를 사용할 수 있다.
3. 원하는 감쇠를 dB 단위( $A_{dB}$ )에서 제곱 산술 이득 값( $B^2_{arith}$ )으로 변환한다. $B^2_{arith} = 10^{A_{dB}/10}$ 을 사용한다. 예를 들어, 3.010 dB는 0.5로, 1 dB는 0.79432823 등으로 변환된다.
4. 실수 값 $\omega_a$ 를 사용하여 뉴턴 방법에서 수정된 $|H_2(s)H_2(-s)|$ 를 계산한다. 항상 절댓값을 취한다.
5. 실수 값 $\omega_a$ 에 대해 수정된 $H_2(\omega_a)H_2(-\omega_a)$ 의 도함수를 계산한다. 도함수의 절댓값은 취하지 않는다.

1) 단계부터 4) 단계까지 완료되면 뉴턴 방법을 포함하는 식은 다음과 같이 작성할 수 있다.

: $\omega_a = \omega_a - (|H_2(\omega_a)H_2(-\omega_a)| - B^2)/(d[H_2(\omega_a)H_2(-\omega_a)]/d\omega_a)$

복소수 산술이 필요 없이 $\omega_a$ 에 대한 실수 값을 사용한다. $\omega_a$ 의 이동은 신뢰성을 높이기 위해 반복 초기에 음수가 되지 않도록 제한해야 한다. 완료되면, $\omega_a$ 는 원래 $H(s)$ 전달 함수의 분모를 스케일링하는 데 사용할 수 있는 $\omega_c$ 에 사용될 수 있다. 그런 다음 수정된 $G(s)$ 의 감쇠는 1 rad/sec에서 원하는 값과 거의 정확하게 일치한다. 적절하게 수행하면 작고 매우 큰 차수의 필터에 대한 다양한 원하는 감쇠 값 범위를 통해 감쇠를 설정하는 데 단지 몇 번의 반복만 필요하다.

4.2. 근 찾기를 이용한 감쇠 주파수 찾기

전달 함수를 $H(-s)$ 로 곱하고 수정하여 원하는 감쇠의 제곱을 얻는 주파수를 찾을 수 있다. 이를 위해 다음 단계를 따른다.

1. $H(s)H(-s)$ 가 아직 사용 가능하지 않은 경우, $H(s)$ 에 $H(-s)$ 를 곱하여 $H(s)H(-s)$ 를 얻는다.
2. 원하는 감쇠를 dB( $A_{dB}$ )에서 제곱 산술 이득 값( $B^2_{arith}$ )으로 변환한다. $B^2_{arith} = 10^{A_{dB}/10}$ 을 사용한다. 예를 들어, 3.010 dB는 0.5로 변환되고, 1 dB는 0.79432823 등으로 변환된다.
3. $P(S) = H_{num}(S)H_{num}(-S) - B^2_{arith}H_{den}(S)H_{den}(-S)$ 를 구한다.
4. 근 찾기 알고리즘을 사용하여 P(S)의 근을 찾는다.
5. 위의 근 집합에서, 홀수 차수 필터의 경우 양의 허수 근을 선택하고, 짝수 차수 필터의 경우 양의 실수 근을 선택한다.
* 통과 대역 리플보다 높거나 저지 대역 리플보다 낮은 차단 감쇠는 여러 근으로 반환되므로, 올바른 근을 선택해야 한다.

3차 베셀 필터를 사용한 20dB 차단 주파수 감쇠 예시는 다음과 같다.

$\begin{align}&H(s)=\frac{15}{s^3+6s^2+15s+15} \\&B^2_{arith} = 10^{20/10} = 0.01 \text{ (산술적 이득 제곱)}\\&\\&\text{ω=1에서 }|H(s)'| = -20\text{ dB가 되도록 }H(s)'\text{를 구하라.} \\&H(s)H(-s)=\frac{225}{-s^6+6s^4-45s^2+225} \\&P(s) = 225-B^2_{arith}(-s^6+6s^4-45s^2+225)=0.01s^6 - 0.06s^4+0.45s^2 + 222.75 \text{ (인수분해할 다항식)}\\&R = j5.0771344 \text{ (위 다항식의 양의 허수 근)}\\&\text{짝수 차수 필터의 경우, 양의 실수 근을 사용한다.} \\&\\&\omega_{-20\text{ dB 감쇠}} = \omega_c = 5.0771344\text{ rad/sec (20 dB 감쇠 주파수)} \\&H(s)' = H(s)_{A=20\text{ dB at }\omega=1 } =\frac{15}{(5.0771344^3)s^3+(6\times5.0771344^2)s^2+(15\times5.0771344)s+15} \\&=\frac{15}{130.87478s^3+154.66376s^2+76.157016s+15} \\&\\&\text{확인:} \\&|H(j)'|=\bigg|\frac{15}{130.87478j^3+154.66376j^2+76.157016j+15}\bigg| = 0.1 = -20\text{ dB 이득}\end{align}$

5. 예제

$\omega_0 = 1$ 인 3차(3극) 베셀 저역 통과 필터의 전달 함수는 다음과 같다.

: $H(s)=\frac{15}{s^3+6s^2+15s+15}$

분자는 영 주파수( $s = 0$ )에서 단위 이득을 갖도록 선택되었다. 분모 다항식의 근인 필터의 극은 $s=-2.3222$ 에서 실수 극과 $s = -1.8389 \pm j1.7544$ 에서 복소 켤레 극을 포함한다.

이득은 다음과 같다.

: $G(\omega) = |H(j\omega)| = \frac{15}{\sqrt{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}}$

$|H(j\omega)| = \frac{1}\sqrt{2}$ 인 -3dB 지점은 $\omega = 1.756$ 에서 발생한다. 이것은 일반적으로 차단 주파수라고 한다.

위상은 다음과 같다.

: $\phi(\omega)=-\arg(H(j\omega))=\arctan\left(\frac{15\omega-\omega^3}{15-6\omega^2}\right)$

그룹 지연은 다음과 같다.

: $D(\omega)=-\frac{d\phi}{d\omega} =\frac{6 \omega^4+ 45 \omega^2+225}{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}$

그룹 지연의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.

: $D(\omega) = 1-\frac{\omega^6}{225}+\frac{\omega^8}{1125}+\cdots$

$\omega^2$ 및 $\omega^4$ 의 두 항이 0이므로 $\omega=0$ 에서 그룹 지연이 매우 평탄하다. 이것은 0으로 설정할 수 있는 최대 항의 수인데, 3차 베셀 다항식에는 총 4개의 계수가 있어서 정의하기 위해 4개의 방정식이 필요하기 때문이다. 하나의 방정식은 $\omega=0$ 에서 이득이 1이 되도록 지정하고, 두 번째 방정식은 $\omega=\infty$ 에서 이득이 0이 되도록 지정하므로 급수 전개의 두 항을 0으로 지정하기 위해 두 개의 방정식이 남는다. 이것은 $n$ 차 베셀 필터의 그룹 지연의 일반적인 속성이다. 그룹 지연 급수의 첫 번째 $n-1$ 항은 0이므로 $\omega=0$ 에서 그룹 지연의 평탄도를 최대화한다.

6. 디지털 베셀 필터

쌍선형 변환은 연속 시간(아날로그) 필터를 주파수 응답이 유사한 이산 시간(디지털) 무한 임펄스 응답(IIR) 필터로 변환하는 데 사용되지만, 쌍선형 변환으로 얻은 IIR 필터는 일정한 군 지연을 갖지 않는다. 베셀 필터의 중요한 특징은 최대 평탄 군 지연이므로, 아날로그 베셀 필터를 디지털 형태로 변환하는 데 쌍선형 변환은 적합하지 않다.

디지털에 해당하는 필터는 최대 평탄 군 지연을 갖는 모든 극점 저역 통과 필터인 티란 필터이다. 티란 필터는 분수 지연을 구현하기 위해 전 통과 필터로 변환될 수도 있다.