뉴턴 방법

3. 이론

아이작 뉴턴은 1669년경 자신의 저서에서 뉴턴 방법을 처음 제시했지만, 그가 제시한 방법은 현대적인 방법과는 차이가 있었다.^[1] 뉴턴은 초기 근사값을 바탕으로 오차를 수정하는 과정을 반복하여 다항식에만 이 방법을 적용했다. 각 수정값을 통해 남은 오차를 기준으로 다항식을 다시 작성하고, 고차항을 무시하여 새로운 수정값을 구했다. 뉴턴은 이 방법을 미분과 명시적으로 연결하거나 일반적인 공식을 제시하지는 않았다. 그는 수치적 문제와 대수적 문제 모두에 이 방법을 적용했으며, 후자의 경우 테일러 급수를 생성했다.

뉴턴은 프랑수아 비에트의 방법에서 아이디어를 얻었을 수 있지만, 두 방법은 동일하지 않다.^[2] 비에트의 방법은 샤라프 알딘 알투시와 자마시드 알 카시의 연구에서 찾을 수 있다. 그들은 $x^P - N = 0$을 풀어 $N$의 근을 구하는 뉴턴 방법의 한 형태를 사용했다. 헨리 브리그스의 ''삼각법 브리타니카''에서도 유사한 방법을 찾을 수 있었다.^[3]

1680년대에 일본 수학자 세키 고와는 뉴턴 방법을 사용하여 단일 변수 방정식을 풀었지만, 미적분과의 연결은 없었다.^[4]

1685년 존 왈리스의 ''대수학 논문 (역사적 및 실용적)'에서 뉴턴 방법이 처음 출판되었고,^[5] 1690년 조지프 랩슨은 ''보편 방정식 분석''에서 단순화된 설명을 출판했다.^[6] 랩슨은 각 반복 과정을 원래 다항식에서 추출하여 뉴턴의 복잡한 재작성 과정을 피했다. 1740년 토마스 심프슨은 뉴턴 방법을 미적분을 사용하여 일반적인 비선형 방정식을 푸는 반복적인 방법으로 설명했다.

아서 케일리는 1879년 ''뉴턴-푸리에 허수 문제''에서 뉴턴 방법을 차수가 2보다 큰 다항식의 복소수 근과 복소수 초기 값으로 일반화하는 데 어려움이 있음을 처음으로 지적했다.

3. 1. 局所収束定理 (국소 수렴 정리)

3. 2. 半局所収束定理 (반국소 수렴 정리)

3. 3. 수렴 속도

• 만약 `f`가 연속적으로 미분 가능하고 그 도함수가 `α`에서 0이 아니고, `α`에서 이계 도함수를 가진다면, 수렴은 2차 또는 그 이상이다. 만약 2계 도함수가 `α`에서 0이 아니라면, 수렴은 2차이다. 3계 도함수가 존재하고 `α`의 근방에서 유계라면, 다음이 성립한다.

• 만약 도함수가 `α`에서 0이라면, 수렴은 일반적으로 선형이다. 구체적으로, `f`가 두 번 미분 가능하고, `f'(α) = 0`이고, `f''(α) ≠ 0`이면, `α`의 근방이 존재하여, 그 근방의 모든 시작값 `x_0`에 대해, 반복 수열은 속도 1/2로 선형적으로 수렴한다.^[9]

4. 성질

뉴턴 방법은 몇 가지 성질을 갖는다.

만약 $f$가 2번 연속 미분 가능 함수라면, 점렬의 항과 영점 사이의 오차에 대하여 부등식을 만족하는 상수 $c$가 존재한다. 또한, $f\text{'}(x)f\text{'}\text{'}(x)$의 부호에 따라 점렬 $(x\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$은 증가하거나 감소하는 수열이 된다.

$f(x)$가 어떤 구간에서 오목 함수이며 엄격히 증가하고, 구간 내에 영점이 존재한다면, 뉴턴 반복은 단조 함수이고 수렴하며, 영점에 수렴한다.^[10] 조제프 푸리에는 오른쪽 끝점에서 시작하는 뉴턴 방법의 변형을 도입했는데, 이 수열은 단조 감소하고 수렴한다.^[10] 영점을 갖는 오목 증가 함수의 경우, 초기화는 거의 관련이 없으며, 반복의 어느 단계에서든 정확도는 왼쪽과 오른쪽에서 반복 위치의 차이로부터 결정될 수 있다. $f$가 두 번 연속 미분 가능하다면, 위치의 차이가 2차적으로 0으로 수렴함을 보일 수 있다.^[10]

이러한 내용은 여러 변수를 가진 연립 방정식으로 확장될 수 있으며, 단일 변수의 경우 뉴턴 방법의 단조 수렴은 $f$의 고차 도함수에 대한 조건으로 일반화될 수 있다.^[11][12]

4. 1. 오차

4. 2. 점렬의 단조성

• 임의의 $x\backslash in\; U$에 대하여 라면, $(x\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$은 증가 수열이다.
• 임의의 $x\backslash in\; U$에 대하여 $f\text{'}(x)f\text{'}\text{'}(x)>0$라면, $(x\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$은 감소 수열이다.

5. 고차원에서의 확장

뉴턴 방법은 여러 개의 변수와 방정식을 가진 연립 비선형 방정식의 해를 찾는 데에도 사용될 수 있다. 이 경우, 스칼라 미분 대신 야코비 행렬의 역행렬을 사용한다. 점화식은 다음과 같다.^[17]

:$$\backslash mathbf\{x\}\_\{n+1\}\; =\; \backslash mathbf\{x\}\_\{n\}\; -\; J\_F(\backslash mathbf\{x\}\_n)^\{-1\}\; F(\backslash mathbf\{x\}\_n)\; .$$

여기서 $\mathbf{x}_n$은 벡터, $F$는 벡터 값을 갖는 함수, $J_F$는 $F$의 야코비 행렬이다.

이는 연립 일차 방정식

:$$J\_F(\backslash mathbf\{x\}\_n)\; (\backslash mathbf\{x\}\_\{n+1\}\; -\; \backslash mathbf\{x\}\_n)\; =\; -F(\backslash mathbf\{x\}\_n)$$

에서 미지수 $\mathbf{x}_{n+1} - \mathbf{x}_n$를 풀어서 얻을 수도 있다.

뉴턴 방법의 $k$차원 변형은 $k$개 이상의 (비선형) 방정식 시스템을 푸는 데에도 사용될 수 있다. 이때는 야코비 행렬 $J$의 일반화 역행렬을 사용한다. 만약 비선형 시스템에 해가 없다면, 이 방법은 비선형 최소 제곱법의 의미에서 해를 찾으려고 시도한다. (자세한 내용은 가우스-뉴턴 알고리즘 참조)

예를 들어, 다음과 같은 방정식 집합을 생각해 보자.^[17]

:$$

\begin{array}{lcr}

5\ x_1^2 + x_1\ x_2^2 + \sin^2( 2\ x_2 ) &= \quad 2 \\

e^{ 2\ x_1 - x_2 } + 4\ x_2 &= \quad 3

\end{array}

이 방정식은 알려진 값 벡터 $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$이 주어질 때 점 벡터 $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$에 대해 풀어야 한다.

이때, 함수 벡터 $F(X_k)$와 야코비 행렬 $J(X_k)$는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash begin\{align\}$

~ & F(X_k) ~ = ~

\begin{bmatrix}

\begin{align}

~ & f_{1}(X_{k}) \\

~ & f_{2}(X_{k})

\end{align}

\end{bmatrix} ~ = ~

\begin{bmatrix}

\begin{align}

~ & 5\ x_{1}^2 + x_{1}\ x^2_{2} + \sin^2( 2\ x_{2} ) \\

~ & e^{ 2\ x_{1}-x_{2} } + 4\ x_{2}

\end{align}

\end{bmatrix}_k

\\

~ & J(X_k) =

\begin{bmatrix}

~ \frac{\ \partial{ f_{1}(X) }\ }{ \partial{x_{1}} }\ , & ~ \frac{\ \partial{ f_{1}(X) }\ }{ \partial{x_{2}} } ~\\

~ \frac{\ \partial{ f_{2}(X) }\ }{ \partial{x_{1}} }\ , & ~ \frac{\ \partial{ f_{2}(X) }\ }{ \partial{x_{2}} } ~

\end{bmatrix}_k

~ = ~

\begin{bmatrix}

\begin{align}

~ & 10\ x_{1} + x^2_{2}\ , & & 2\ x_1\ x_2+4\ \sin( 2\ x_{2} )\ \cos( 2\ x_{2} ) \\

~ & 2\ e^{ 2\ x_{1} - x_{2} }\ , & &-e^{ 2\ x_{1} - x_{2}} + 4

\end{align}

\end{bmatrix}_k

\end{align}

각 반복에 대해 풀어야 할 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\begin{bmatrix}

\begin{align}

~ & ~ 10\ x_{1} + x^2_{2 }\ , & & 2 x_1 x_2 + 4\ \sin( 2\ x_{2} )\ \cos( 2\ x_{2} ) ~\\

~ & ~ 2\ e^{ 2\ x_{1} - x_{2} }\ , & & -e^{ 2\ x_{1} - x_{2} } + 4 ~

\end{align}

\end{bmatrix}_k

\begin{bmatrix}

~ c_{1} ~\\

~ c_{2} ~

\end{bmatrix}_{k+1}

=

\begin{bmatrix}

~ 5\ x_{1}^2 + x_{1}\ x^2_{2} + \sin^2( 2\ x_{2} ) - 2 ~\\

~ e^{ 2\ x_{1} - x_{2} } + 4\ x_{2} - 3 ~

\end{bmatrix}_k

\end{align}

그리고

:$X\_\{\; k+1\; \}\; ~=~\; X\_k\; -\; C\_\{\; k+1\; \}$

와 같이 계산한다.

초기값 $X_0$를 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$로 설정하고, 허용 오차 $E$를 $10^{-3}$로 설정하면, 4번의 반복 후에 $X_4 = \begin{bmatrix} 0.567297 \\ -0.309442 \end{bmatrix}$로 수렴한다.

다음 표는 해를 구하는 과정에서의 반복 과정을 나타낸다.^[17]

6. 응용

뉴턴 방법은 함수의 최댓값 또는 최솟값을 찾는 데에도 응용될 수 있다. 어떤 함수의 미분값은 그 함수의 최댓값 또는 최솟값에서 0이 되므로, 뉴턴 방법을 미분값에 적용하여 지역 최솟값과 최댓값을 찾을 수 있다.^[35] 이때 사용되는 점화식은 다음과 같다.

$$x\_\{n+1\}\; =\; x\_n\; -\; \backslash frac\{f\text{'}(x\_n)\}\{f\text{'}\text{'}(x\_n)\}.$$

예를 들어 함수 는 0에서 근을 갖는다.^[1] 가 근에서 연속적으로 미분 가능하므로, 뉴턴 방법이 근처에서 초기화되면 수렴한다. 그러나 도함수 가 근에서 0이므로 2차 수렴은 보장되지 않는다. 이 경우 뉴턴 반복은 이다. 따라서 뉴턴 방법은 어디에서 초기화되든 0으로 수렴하지만, 1차 수렴 속도로만 수렴한다.

함수 도 0에서 근을 가지며, 연속적으로 미분 가능하다. 그러나 두 번째 도함수 는 존재하지 않으므로 2차 수렴을 보장할 수 없다. 실제로 뉴턴 반복은 {3+4x^{1/3}}}}이므로, 수렴 속도는 초선형이지만 2차 미만이다.

다음 표는 와 에 적용된 뉴턴 방법의 수렴 속도를 비교하여 보여준다.

오른쪽의 2차 수렴은 반복에서 참 근(0, 1, 2, 3, 5, 10, 20, 39, ...)까지의 거리에서 크기의 순서가 행별로 약 2배 증가하는 반면, 왼쪽의 초선형 수렴은 크기의 순서가 행별로 약 4/3배 증가한다(0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13, ...).

뉴턴 방법은 뉴턴-랩슨 나눗셈에서처럼, 곱셈과 뺄셈만 사용하여 어떤 수 의 역수를 빠르게 찾는 데에도 활용될 수 있다. 즉, 를 만족하는 수 를 찾는 것이다. 이는 의 영점을 찾는 문제로 변환할 수 있으며, 이다.

이때 뉴턴 반복 공식은 다음과 같다.

$$x\_\{n+1\}\; =\; x\_n-\backslash frac\{f(x\_n)\}\{f\text{'}(x\_n)\}\; =\; x\_n+\backslash frac\{\backslash frac\{1\}\{x\_n\}-a\}\{\backslash frac\{1\}\{x\_n^2\}\}\; =\; x\_n(2-ax\_n).$$

따라서 뉴턴 반복은 곱셈 두 번과 뺄셈 한 번만으로 역수를 계산할 수 있다. 이 방법은 멱급수의 곱셈 역원을 계산하는 데에도 매우 효율적이다.

또한, 뉴턴 방법은 초월 방정식을 임의의 정밀도로 푸는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 정규 분포와 같이 닫힌 형식으로 풀 수 없는 적분 함수를 포함하는 누적 확률 밀도 함수에서 알려진 확률에 해당하는 값을 찾는 문제에 적용할 수 있다. 뉴턴 방법으로 수치적 해를 구하기 위해 필요한 도함수는 일반적으로 알려져 있어, 수치적 해를 구할 수 있다.

6. 1. 루트값 구하기

몇 번의 반복만으로도 소수점 이하 자릿수까지 정확한 해를 얻을 수 있다. 뉴턴 반복은 매우 부정확한 추측값으로 초기화된 경우에도 빠르게 수렴하는것을 볼수 있다.

6. 2. 초월 방정식의 해

6. 3. 최적화 문제

6. 4. 역수 계산

7. 한계 및 주의사항

뉴턴 방법은 강력한 수치해석 방법이지만, 몇 가지 한계와 주의사항이 존재한다.
1. 초기값 선정의 중요성뉴턴 방법의 수렴 여부와 속도는 초기값에 크게 의존한다. 초기값이 실제 해에서 너무 멀리 떨어져 있거나, 함수의 도함수가 0에 가까운 지점을 지나게 되면 수렴하지 않거나 매우 느리게 수렴할 수 있다. 예를 들어, 함수 $f(x)\; =\; x^\{20\}\; -\; 1$의 경우 초기값이 0.5이면 수렴 속도가 매우 느리다.^[14] 반면, 함수 $f(x)\; =\; x^\{1/3\}$의 경우 초기값이 0이 아니면 발산한다. 따라서 초기값은 실제 해에 충분히 가깝고, 도함수가 0에 가까워지는 지점을 피하도록 신중하게 선택해야 한다.
2. 도함수 계산의 어려움뉴턴 방법은 도함수를 직접 계산해야 한다. 하지만 도함수의 해석적 표현을 얻기 어렵거나 계산 비용이 큰 경우가 있다. 이 경우 도함수를 근사하여 할선법과 유사한 방법을 사용할 수 있지만, 수렴 속도는 느려진다.^[40] 또한, 야코비 행렬을 명시적으로 알아야 하는 경우가 있는데, 함수에 따라 이를 구하기 어려운 경우도 있다. 이럴 때는 준 뉴턴 방법을 사용한다.^[40]
3. 발산 가능성뉴턴 방법은 특정 조건에서 수렴하지 않고 발산할 수 있다.^[8] 초기값이 함수의 변곡점 근처에 있거나, 함수가 진동하는 형태이거나, 함수의 정의역이 불완전한 경우 등이 이에 해당한다.^[9][16]

• 변곡점 근처: 초기값이 변곡점에 너무 가까우면 다음 반복값이 매우 멀어져 발산할 수 있다.
• 진동하는 함수: 반복값이 두 값 사이를 오가며 수렴하지 않을 수 있다. 예를 들어, 어떤 함수에 뉴턴 방법을 적용하면 0과 1 사이에서 진동하는 경우가 발생할 수 있다.^[16]

• 함수의 정의역: 반복값이 정의역 밖으로 벗어나 계산이 불가능해질 수 있다.^[16] 예를 들어, 자연 로그 함수에서 초기값이 e보다 크면 다음 반복값이 음수가 되어 계산이 불가능하다.

7. 1. 초기값 선정의 중요성

7. 2. 도함수 계산의 어려움

7. 3. 발산 가능성

• 변곡점 근처: 초기값이 변곡점에 너무 가까우면, 접선이 x축과 평행하거나 거의 평행하게 되어 다음 반복값이 매우 멀어질 수 있다.
• 진동하는 함수: 함수가 특정 구간에서 진동하는 형태를 가지면, 뉴턴 방법의 반복값이 두 값 사이를 오가며 수렴하지 않을 수 있다. 예를 들어, 어떤 함수에 뉴턴 방법을 적용하면 0과 1 사이에서 진동하는 경우가 발생할 수 있다.^[16]

• 함수의 정의역: 함수가 불완전한 정의역을 가지는 경우, 뉴턴 방법의 반복값이 정의역 밖으로 벗어나 더 이상 반복을 진행할 수 없는 경우가 발생할 수 있다.^[16] 예를 들어, 자연 로그 함수는 양수 x에 대해서만 정의되는데, 초기값이 e보다 크면 다음 반복값이 음수가 되어 계산이 불가능하다.

8. 개선된 방법

뉴턴 방법의 아이디어를 개선하여, 다음 식을 사용하는 방법을 얻을 수 있다.^[41]

:$$

x_{k+1}=x_k-\frac{\Bigl[f(x_k)\Bigr]^2}

{\; f^{\boldsymbol\prime}(x_k) \Bigl[f(x_k)-f \Bigl(

x_k-\dfrac{f(x_k)}{f^{\boldsymbol\prime}(x_k)} \Bigr) \Bigr]\;}



이 방법은 경우에 따라 기존 방법보다 빠르다.^[41]

8. 1. 간이 뉴턴 방법 (Simplified Newton Method)

8. 2. 히라노 변형 뉴턴법 (Hirano's Modified Newton Method)

8. 3. 구간 뉴턴법 (Interval Newton's Method)

9. 프로그램 예제 (Python)

python

def f(x):

return x**2 - 2 # f(x) = x^2 - 2

def f_prime(x):

return 2*x # f'(x) = 2x

def newtons_method(x0, f, f_prime, tolerance, epsilon, max_iterations):

"""뉴턴 방법

Args:

x0: 초기 추측값

f: 근을 찾으려는 함수

f_prime: 함수의 도함수

tolerance: 반복 간 변화가 이 값보다 작으면 중단

epsilon: 이 값보다 작은 수로 나누지 않음

max_iterations: 최대 반복 횟수

"""

for _ in range(max_iterations):

y = f(x0)

yprime = f_prime(x0)

if abs(yprime) < epsilon: # 분모가 너무 작으면 중단

break

x1 = x0 - y / yprime # 뉴턴 계산 수행

if abs(x1 - x0) <= tolerance: # 결과가 허용 오차 이내면 중단

return x1 # x1은 허용 오차 및 최대 반복 횟수 내의 해

x0 = x1 # 다음 반복을 위해 x0 업데이트

return None # 뉴턴 방법이 수렴하지 않음

```

다음은 도함수 `f_prime`을 갖는 함수 `f`의 근을 찾기 위한 파이썬 (버전 3.x) 프로그래밍 언어로 구현한 뉴턴 방법의 예시이다.

초기 추측값은 $x\_0\; =\; 1$이고 함수는 $f(x)\; =\; x^2\; -\; 2$이므로 $f\text{'}(x)\; =\; 2x$이다.

뉴턴 방법의 각 새로운 반복은 `x1`으로 표시된다. 계산 중에 분모(`yprime`)가 너무 작아지는지(`epsilon`보다 작은지) 확인하는데, 이는 $f\text{'}(x\_n)\; \backslash approx\; 0$인 경우에 해당하며, 그렇지 않으면 많은 양의 오류가 발생할 수 있기 때문이다.

참조

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<sub>[5]</sub> 서적 A Treatise of Algebra, both Historical and Practical http://www.e-rara.ch[...] Richard Davis 1685
<sub>[6]</sub> 서적 Analysis Æequationum Universalis https://archive.org/[...] Thomas Bradyll 1697
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