별모양 집합

1. 개요

별모양 집합은 유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$에서 적어도 하나의 점 $\backslash mathbf\; x\_0$가 존재하여, 집합 내의 모든 점 $\backslash mathbf\; x$와 0과 1 사이의 모든 실수 $\backslash alpha$에 대해 $\backslash alpha(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; x\_0)+\backslash mathbf\; x\_0$가 집합에 속하는 집합이다. 별모양 집합의 폐포는 별모양 집합이지만, 내부는 별모양이지 않을 수 있다. 모든 별모양 집합은 축약 가능 공간이며, 단일 연결 공간이다. 볼록 집합은 별모양 집합이지만, 별모양 집합이라고 해서 반드시 볼록 집합인 것은 아니다.

2. 정의

유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$ 속의 별모양 집합 $S\backslash subset\backslash mathbb\; R^n$은 다음 성질을 만족한다. 적어도 하나의 어떤 $\backslash mathbf\; x\_0\backslash in\; S$가 존재하여, 모든 $\backslash mathbf\; x\backslash in\; S$와 $\backslash alpha\backslash in[0,1]$에 대하여,
:$\backslash alpha(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; x\_0)+\backslash mathbf\; x\_0\backslash in\; S$
이다.

마찬가지로 복소수 벡터 공간 $\backslash mathbb\; C^n$에 대해서도 유사하게 별모양 집합을 정의할 수 있다.

두 점 $x$와 $y$가 유클리드 공간 $\backslash R^n$과 같은 벡터 공간 $X$에 주어졌을 때, $\backslash \{x,\; y\backslash \}$의 볼록 껍질은 점 $x$와 $y$를 끝점으로 하는 닫힌 구간이라고 불리며 다음과 같이 표기한다.

:$$\backslash left[x,\; y\backslash right]\; ~:=~\; \backslash left\backslash \{t\; x\; +\; (1\; -\; t)\; y\; :\; 0\; \backslash leq\; t\; \backslash leq\; 1\backslash right\backslash \}\; ~=~\; x\; +\; (y\; -\; x)\; [0,\; 1],$$

여기서 모든 벡터 $z$에 대해 $z\; [0,\; 1]\; :=\; \backslash \{z\; t\; :\; 0\; \backslash leq\; t\; \backslash leq\; 1\backslash \}$이다.

벡터 공간 $X$의 부분 집합 $S$가 모든 $s\; \backslash in\; S$에 대해 닫힌 구간 $\backslash left[s\_0,\; s\backslash right]\; \backslash subseteq\; S$일 때, $s\_0\; \backslash in\; S$에서 별 모양이라고 한다.

3. 성질

* 별모양 집합의 폐포는 별모양 집합이지만, 별모양 집합의 내부는 반드시 별모양 집합은 아니다.
* 모든 별모양 집합은 축약 가능 공간이며, 따라서 단일 연결 공간이다.
* 모든 별모양 집합은 "자기 자신 안으로 축소"될 수 있다. 즉, 모든 팽창 비율 에 대해, 별모양 집합은 팽창된 별모양 집합이 원래의 별모양 집합에 포함되도록 비율 $r$로 팽창될 수 있다.
* 별모양 집합들의 합집합이나 교집합은 별모양이 아닐 수 있다.
* $\backslash mathbb\; R^n$ 속에서, 공집합이 아닌 열린 별모양 집합은 $\backslash mathbb\; R^n$과 미분동형이다.
* $W\; \backslash subseteq\; X$가 주어졌을 때, 집합 $\backslash bigcap\_\{|u|=1\}\; u\; W$(여기서 $u$는 모든 단위 길이 스칼라를 나타낸다)는 $W$가 원점에서 별 모양일 때 균형 집합이다.
* 만약 $A$와 $B$가 별모양 집합이라면, 데카르트 곱 $A\backslash times\; B$와 합 $A\; +\; B$도 별모양 집합이다.
* 만약 $A$가 별모양 집합이라면, $A$의 모든 선형 변환도 별모양 집합이다.

3.1. 볼록 집합과의 관계

비어 있지 않은 모든 볼록 집합은 별모양 집합이다. 집합이 볼록 집합인 것은 그 집합의 각 점에 대해 별모양 집합인 것과 동치이다.

4. 예시

$\backslash R^n$^영어의 모든 선 또는 평면은 별모양 집합이다. 단일 점이 제거된 선 또는 평면은 별모양 집합이 아니다. 만약 $A$가 $\backslash R^n$^영어에 있는 집합이면, $A$의 모든 점을 원점과 연결하여 얻은 집합 $B\; =\; \backslash \{t\; a\; :\; a\; \backslash in\; A,\; t\; \backslash in\; [0,\; 1]\backslash \}$는 별모양 집합이다. 십자형 도형은 별모양 집합이지만 볼록 집합은 아니다. 별모양 다각형은 경계가 연결된 선분들의 시퀀스인 별모양 집합이다.