별모양 집합

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 볼록 집합과의 관계
4. 예시
참조

1. 개요

별모양 집합은 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 에서 적어도 하나의 점 $\mathbf x_0$ 가 존재하여, 집합 내의 모든 점 $\mathbf x$ 와 0과 1 사이의 모든 실수 $\alpha$ 에 대해 $\alpha(\mathbf x-\mathbf x_0)+\mathbf x_0$ 가 집합에 속하는 집합이다. 별모양 집합의 폐포는 별모양 집합이지만, 내부는 별모양이지 않을 수 있다. 모든 별모양 집합은 축약 가능 공간이며, 단일 연결 공간이다. 볼록 집합은 별모양 집합이지만, 별모양 집합이라고 해서 반드시 볼록 집합인 것은 아니다.

더 읽어볼만한 페이지

유클리드 기하학 - 결정계
결정계는 결정 구조의 대칭성에 따라 7가지(삼사, 단사, 사방, 정방, 삼방, 육방, 입방)로 분류되며, 각 결정계는 고유한 대칭 요소와 점군의 대칭성을 갖는다.
유클리드 기하학 - 퐁슬레-슈타이너 정리
퐁슬레-슈타이너 정리는 자와 주어진 원(중심 포함)만 사용하여 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 것을 작도할 수 있다는 기하학적 정리이다.

별모양 집합
정의
설명	유클리드 공간에서 어떤 점 집합이 별 모양이라는 것은 그 집합 내에 있는 한 점에서 그 집합 내의 모든 점으로 가는 선분이 그 집합에 완전히 포함된다는 것을 의미한다.
추가 정보
중심점	별 모양 집합 내부의 모든 점에 대해 해당 점을 볼 수 있는 점들의 집합 (즉, 선분이 집합 내에 완전히 포함되는 점)
예시
별 모양 집합	선분 평면 볼록 집합 한 점을 중심으로 하는 별다각형
비-예시
별 모양이 아닌 집합	고리
성질
교집합	별 모양 집합들의 교집합은 항상 별 모양이다.
중심점
중심점들의 집합	별 모양 집합의 중심점들의 집합은 항상 볼록 집합이다.
호모토피
연결성	별 모양 집합은 항상 수축 가능하므로 단순 연결이다.
일반화
일반화	별 모양 집합의 개념은 L 공간으로 일반화될 수 있다.
참고 문헌

2. 정의

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 속의 '''별모양 집합''' $S\subset\mathbb R^n$ 은 다음 성질을 만족한다. 적어도 하나의 어떤 $\mathbf x_0\in S$ 가 존재하여, 모든 $\mathbf x\in S$ 와 $\alpha\in[0,1]$ 에 대하여,

: $\alpha(\mathbf x-\mathbf x_0)+\mathbf x_0\in S$

이다.

마찬가지로 복소수 벡터 공간 $\mathbb C^n$ 에 대해서도 유사하게 별모양 집합을 정의할 수 있다.

두 점 $x$ 와 $y$ 가 유클리드 공간 $\R^n$ 과 같은 벡터 공간 $X$ 에 주어졌을 때, $\{x, y\}$ 의 볼록 껍질은 점 $x$ 와 $y$ 를 끝점으로 하는 닫힌 구간이라고 불리며 다음과 같이 표기한다.

: $\left[x, y\right] ~:=~ \left\{t x + (1 - t) y : 0 \leq t \leq 1\right\} ~=~ x + (y - x) [0, 1],$

여기서 모든 벡터 $z$ 에 대해 $z [0, 1] := \{z t : 0 \leq t \leq 1\}$ 이다.

벡터 공간 $X$ 의 부분 집합 $S$ 가 모든 $s \in S$ 에 대해 닫힌 구간 $\left[s_0, s\right] \subseteq S$ 일 때, $s_0 \in S$ 에서 별 모양이라고 한다.

3. 성질

별모양 집합의 폐포는 별모양 집합이지만, 별모양 집합의 내부는 반드시 별모양 집합은 아니다.
모든 별모양 집합은 축약 가능 공간이며, 따라서 단일 연결 공간이다.
모든 별모양 집합은 "자기 자신 안으로 축소"될 수 있다. 즉, 모든 팽창 비율 $r < 1$ 에 대해, 별모양 집합은 팽창된 별모양 집합이 원래의 별모양 집합에 포함되도록 비율 $r$ 로 팽창될 수 있다.^[2]
별모양 집합들의 합집합이나 교집합은 별모양이 아닐 수 있다.
$\mathbb R^n$ 속에서, 공집합이 아닌 열린 별모양 집합은 $\mathbb R^n$ 과 미분동형이다.
$W \subseteq X$ 가 주어졌을 때, 집합 $\bigcap_$

3. 1. 볼록 집합과의 관계

비어 있지 않은 모든 볼록 집합은 별모양 집합이다. 집합이 볼록 집합인 것은 그 집합의 각 점에 대해 별모양 집합인 것과 동치이다.^[2]

4. 예시

\R^n

|R^n^영어의 모든 선 또는 평면은 별모양 집합이다. 단일 점이 제거된 선 또는 평면은 별모양 집합이 아니다. 만약

A

가

\R^n

|R^n^영어에 있는 집합이면,

A

의 모든 점을 원점과 연결하여 얻은 집합

B = \{t a : a \in A, t \in [0, 1]\}

는 별모양 집합이다. 십자형 도형은 별모양 집합이지만 볼록 집합은 아니다. 별모양 다각형은 경계가 연결된 선분들의 시퀀스인 별모양 집합이다.

참조

_[1] 학술지 From Arrow–Debreu condition to star shape preferences https://www.tandfonl[...] 2020-11-01
_[2] 웹사이트 What polygons can be shrinked into themselves? https://mathoverflow[...] 2014-10-02
_[3] 웹사이트 What polygons can be shrinked into themselves? http://mathoverflow.[...] 2014-10-02

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com