단일 연결 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 복소해석학에서의 중요성
참조

1. 개요

단일 연결 공간은 위상 공간의 한 종류로, 경로 연결 공간이면서 기본군이 자명군인 공간을 의미한다. 단일 연결 공간은 호모토피 이론에서 중요한 개념이며, 공간 내의 모든 닫힌 경로는 한 점으로 변형될 수 있다. 복소해석학에서 코시 적분 정리와 리만 맵 정리에 중요한 역할을 하며, 유클리드 공간, 초구, 볼록 집합 등이 단일 연결 공간에 해당한다. 반면, 원환면, 뫼비우스 띠 등은 단일 연결 공간이 아니다.

2. 정의

위상 공간 $X$ 에 대해 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 위상 공간을 '''단일 연결 공간'''이라고 한다.^[3]

X는 경로 연결 공간이고, X의 기본군은 자명군이다.
X 내의 모든 닫힌 경로가 어떤 상수 경로(적당한 c∈X와 모든 t∈[0, 1]에 대해 C:[0, 1]→X, C(t) = c를 만족하는 경로 C)에 대해 호모토픽하다.

어떤 위상 공간의 부분 집합 가운데, 단일 연결 공간을 이루는 것을 '''단일 연결 집합'''이라고 한다.

위상 공간

X

가 경로 연결되어 있고

f : S^1 \to X

로 정의된

X

의 모든 루프가 점으로 축소될 수 있다면, 즉

f

를

S^1

에 제한한

F : D^2 \to X

와 같은 연속 함수

F

가 존재한다면 단일 연결 공간이라고 한다. 여기서

S^1

과

D^2

는 각각 유클리드 공간의 단위 원과 닫힌 단위 원판을 나타낸다.

단일 연결 공간에 대한 동등한 표현은 다음과 같다.

X

는 경로 연결되어 있고,

p : [0, 1] \to X

와

q : [0, 1] \to X

가 시작점과 끝점이 같은 두 경로(즉, 연속 함수)일 때(

p(0) = q(0)

및

p(1) = q(1)

),

p

는 두 끝점을 고정한 채로

q

로 연속적으로 변형될 수 있다. 명시적으로,

F(x,0) = p(x)

이고

F(x,1) = q(x)

인 호모토피

F : [0,1] \times [0,1] \to X

가 존재한다.

위상 공간

X

는

X

가 경로 연결되어 있고 각 점에서

X

의 기본군이 자명군, 즉 항등원만으로 구성된 경우에만 단순 연결이다. 마찬가지로,

X

는 모든 점

x, y \in X

에 대해,

X

의 기본 군범주에서 사상

\operatorname{Hom}_{\Pi(X)}(x,y)

의 집합이 하나의 원소만 갖는 경우에만 단순 연결이다.^[2]

복소해석학에서: 열린 부분 집합

X \subseteq \Complex

는

X

와 리만 구에서 그 여집합이 모두 연결되어 있는 경우에만 단순 연결이다. 허수부가 0보다 크고 1보다 작은 복소수의 집합은 보이지 않는 연결된 열린 부분 집합의 예시를 제공하며, 그 여집합은 연결되지 않는다. 그럼에도 불구하고 단순 연결이다.

X

가 연결되어야 한다는 요구 사항을 완화하면 연결된 확장된 여집합을 갖는 평면의 열린 부분 집합을 탐구하게 된다. 예를 들어, (필수적으로 연결되지 않은) 열린 집합은 각 연결 성분이 단순 연결일 때 정확히 연결된 확장된 여집합을 갖는다.

비공식적으로, 어떤 공간의 객체가 한 조각으로 이루어져 있고 전체를 관통하는 "구멍"이 없다면 단순 연결되어 있다고 한다. 예를 들어, 도넛이나 커피 잔(손잡이가 있는)은 단순 연결되어 있지 않지만, 속이 빈 고무공은 단순 연결되어 있다. 2차원에서는 원은 단순 연결되어 있지 않지만, 원반과 선은 단순 연결되어 있다. 연결 공간이지만 단순 연결되어 있지 않은 공간을 '''비단순 연결''' 또는 '''다중 연결'''이라고 한다.

구는 모든 루프가 점으로 수축될 수 있기 때문에 (표면에서) 단순 연결되어 있다.

이 정의는 핸들 분해 모양의 구멍만을 배제한다. 구(또는 그와 동등하게 속이 빈 중심을 가진 고무공)는 단순 연결되어 있는데, 이는 구의 표면의 모든 루프가 속이 빈 중심에 "구멍"이 있음에도 불구하고 점으로 수축될 수 있기 때문이다. 객체에 어떤 차원의 구멍도 없다는 더 강력한 조건은 수축 가능 공간이라고 한다.

어떤 호상 연결 공간의 기본군이 항등원만을 원소로 갖는 자명군일 때, 그 공간을 '''단일 연결'''이라고 한다. 기본군의 경우 기점에 머무는 정값 경로를 대표원으로 하는 루프의 호모토피 형이 항등원이 된다. 즉, 그 공간상에서 (주어진 기점에 대해) 임의의 루프가 항상 호모토피적인 연속 변형에 의해 1점(기점)으로 수축될 수 있으면 단일 연결이라는 것이다. 호상 연결이라는 가정으로부터, 임의의 루프가 1점으로 수축될 수 있는지 여부는 기점의 선택에 의존하지 않고 정해진다.

3. 성질

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이고, 이 조건을 만족시키는 위상 공간을 '''단일 연결 공간'''이라고 한다.^[3]

X는 경로 연결 공간이고, X의 기본군은 자명군이다.
X 내의 모든 닫힌 경로가 어떤 상수 경로(적당한 c∈X와 모든 t∈[0, 1]에 대해 C:[0, 1]→X, C(t) = c를 만족하는 경로 C)에 대해 호모토픽하다.

어떤 위상 공간의 부분 집합 가운데, 단일 연결 공간을 이루는 것을 '''단일 연결 집합'''이라고 한다. 표면(2차원 위상 다양체)은 연결되어 있고 종수(표면의 손잡이 개수)가 0일 때에만 단일 연결 공간이다.

만약

X

와

Y

가 호모토피 동치이고

X

가 단일 연결 공간이면

Y

도 단일 연결 공간이다.

연속 함수 아래에서 단일 연결 집합의 이미지는 단일 연결 공간일 필요는 없다. 예를 들어, 지수 맵 아래의 복소 평면을 살펴보면, 그 이미지는

\Complex \setminus \{ 0 \},

인데 이것은 단일 연결 공간이 아니다.

다음 사실 때문에 단순 연결성의 개념은 복소 해석학에서 중요하다.

코시 적분 정리는 $U$ 가 복소수 평면 $\Complex$ 의 단일 연결 열린 부분 집합이고, $f : U \to \Complex$ 가 정칙 함수이면 $f$ 는 $U$ 에서 부정 적분 $F$ 를 가지며, 피적분 함수 $f$ 를 갖는 $U$ 내의 모든 선 적분의 값은 경로의 끝점 $u$ 와 $v$ 에만 의존하며 $F(v) - F(u)$ 로 계산할 수 있다고 한다. 따라서 적분은 $u$ 와 $v$ 를 연결하는 특정 경로에 의존하지 않는다.
리만 맵 정리는 $\Complex$ 의 비어 있지 않은 열린 단일 연결 부분 집합 ( $\Complex$ 자체는 제외)은 등각 사상에 의해 단위 원판과 등각 동치라고 한다.

단순 연결성의 개념은 또한 푸앵카레 추측에서 중요한 조건이다.

단일 연결된 열린집합 ''A, B''가 전체 공간 ''X''를 피복하고, 교집합 ''A'' ∩ ''B''가 공이 아니고 호상 연결일 때, ''X''도 단일 연결이다.
단일 연결 공간의 직곱 역시 단일 연결이다.
가약 공간은 단일 연결이다.

4. 예시

모든 차원의 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 은 단일 연결 공간이다. 여기서 원점을 뺀 집합은 단일 연결 공간이 아니지만, $n>1$ 인 경우 경로 연결 공간이다.
2차원 이상의 모든 초구 $S^n$ 은 단일 연결 공간이다.
임의 차원 유클리드 공간의 볼록집합은 단일 연결 공간이다.
바나흐 공간과 힐베르트 공간을 포함한 모든 위상 벡터 공간은 단일 연결 공간이다.
유클리드 평면 $\R^2$ 는 단일 연결 공간이지만, 원점 $(0, 0)$ 을 제외한 $\R^2$ 는 단일 연결 공간이 아니다. $n > 2$ 인 경우, $\R^n$ 과 원점을 제외한 $\R^n$ 모두 단일 연결 공간이다.
유사하게: ''n''차원 구 $S^n$ 은 $n \geq 2$ 일 때만 단일 연결 공간이다.
$\R^n$ 의 모든 볼록 집합은 단일 연결 공간이다.
원환면, (타원) 원통, 뫼비우스 띠, 사영 평면, 클라인 병은 단일 연결 공간이 아니다.
모든 위상 벡터 공간은 단일 연결 공간이며, 여기에는 바나흐 공간과 힐베르트 공간이 포함된다.
$n \geq 2$ 인 경우, 특수 직교군 $\operatorname{SO}(n, \R)$ 은 단일 연결 공간이 아니고, 특수 유니타리군 $\operatorname{SU}(n)$ 은 단일 연결 공간이다.
$\R$ 의 일점 컴팩트화는 단일 연결 공간이 아니다(비록 $\R$ 이 단일 연결 공간일지라도).
긴 직선 $L$ 은 단일 연결 공간이지만, 그 컴팩트화인 확장된 긴 직선 $L^*$ 은 단일 연결 공간이 아니다(경로 연결조차 되지 않기 때문에).

선분, 원판, 구나 n차원 유클리드 공간, 2차원 이상의 구면 등은 단일 연결 공간이다. 반면, 토러스, 환면, 뫼비우스의 띠, 원주, 매듭의 여공간 등은 단일 연결 공간이 아니다.

예를 들어 토러스의 경우, 한 점으로 수축할 수 있는 루프도 존재하지만, 오른쪽 그림과 같이 메리디안이나 롱지튜드와 같은 닫힌 곡선을 한 바퀴 도는 루프를 택하면 이것은 한 점으로 수축할 수 없게 된다. 실제로 토러스의 기본군은

:

\pi_{1} (T) = \langle\, a , b \mid aba^{-1}b^{-1} = 1 \,\rangle \cong \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1)

이며, 자명군이 아니다.

5. 복소해석학에서의 중요성

단순 연결성의 개념은 복소 해석학에서 다음과 같은 사실 때문에 중요하다.

코시 적분 정리에 따르면, 복소수 평면 ℂ^영어의 단일 연결 열린 부분 집합 U^영어에 대해, f : U → ℂ^영어가 정칙 함수이면 f^영어는 U^영어에서 부정 적분 F^영어를 갖는다. 또한, 피적분 함수 f^영어를 갖는 U^영어 내의 모든 선 적분의 값은 경로의 끝점 u^영어와 v^영어에만 의존하며 F(v) - F(u)^영어로 계산할 수 있다. 따라서 적분은 u^영어와 v^영어를 연결하는 특정 경로에 의존하지 않는다.
리만 맵 정리에 따르면, ℂ^영어 자체를 제외한 ℂ^영어의 비어 있지 않은 열린 단일 연결 부분 집합은 등각 사상에 의해 단위 원판과 등각 동치이다.

참조

_[1] 웹사이트 n-connected space in nLab https://ncatlab.org/[...] 2017-09-17
_[2] 서적 Topology and Groupoids. CreateSpace 2006-06
_[3] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall 2000

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com