볼록 집합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 다각 연결 집합
3. 성질
- 3.1. 부분 집합의 극대 볼록 집합
4. 예
5. 역사
6. 볼록 껍질과 민코프스키 합
- 6.1. 볼록 껍질
- 6.2. 민코프스키 합
7. 일반화 및 확장
참조

1. 개요

볼록 집합은 실수체 또는 복소수체 위상 벡터 공간의 부분 집합으로, 집합 내의 임의의 두 점을 잇는 선분이 집합에 포함되는 경우를 말한다. 볼록 집합의 교집합은 볼록 집합이며, 닫힌 볼록 집합은 닫힌 반공간의 교집합으로 특징지을 수 있다. 볼록 집합은 실수선에서는 구간, 유클리드 평면에서는 정다각형, 3차원 유클리드 공간에서는 아르키메데스 입체 등이 있으며, 비볼록 집합은 오목 집합이라고도 한다. 볼록성은 직교 볼록성, 측지선 볼록성, 순서 위상 등 다양한 방식으로 일반화될 수 있으며, 볼록 공간이라는 추상적인 개념으로도 확장된다.

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볼록 집합
개요
정의	유클리드 공간의 부분 집합으로, 집합 내 임의의 두 점을 연결하는 선분이 그 집합에 완전히 포함되는 경우, 해당 집합을 볼록 집합이라고 한다.
다른 표현	선형 공간에서, 부분 집합 가 볼록하다는 것은 안의 임의의 두 점 , 와 0 ≤ t ≤ 1인 임의의 실수 t에 대해, 점 (1 − t) + t가 안에 있다는 것을 의미한다. 즉, 는 와 를 잇는 선분 전체를 포함한다.
일반화	볼록 집합의 개념은 유클리드 공간뿐만 아니라, 더 일반적인 공간에서도 정의될 수 있다. 예를 들어, 위상 공간이나 벡터 공간에서도 볼록 집합을 정의할 수 있다.
성질
교집합	볼록 집합들의 교집합은 항상 볼록 집합이다.
선형 변환	볼록 집합에 선형 변환을 적용한 결과는 볼록 집합이다.
볼록 껍질	임의의 집합에 대해, 그 집합을 포함하는 가장 작은 볼록 집합을 볼록 껍질이라고 한다.
예시
유클리드 공간	직선 평면 반평면 정사각형 정육면체 구
볼록하지 않은 예	별모양 다각형 도넛 모양

2. 정의

$K$ 가 실수체 또는 복소수체일 때, $K$ -위상 벡터 공간 $V$ 의 부분 집합 $S$ 가 다음 조건을 만족하면 '''볼록 집합'''이라고 한다.

임의의 $u, v \in S$ 및 $t \in [0, 1]$ 에 대하여, $(1-t)u + tv \in S$

즉,

S

안의 임의의 두 점

u

와

v

를 선택했을 때, 두 점을 잇는 선분 상의 모든 점이

S

에 포함되면

S

는 볼록 집합이다.

실수 또는 순서체 위의 벡터 공간이나 아핀 공간에서도 비슷하게 정의할 수 있다. 예를 들어, 유클리드 공간에서 두 점을 잇는 선분이 그 집합에 포함되는 집합을 볼록 집합이라고 한다.

실수 또는 복소수 위상 벡터 공간의 볼록 집합은 경로 연결되어 있고, 따라서 연결 공간이다.

집합

C

가 '''엄밀히 볼록'''하다는 것은, 끝점을 제외하고

x

와

y

를 연결하는 선분의 모든 점이

C

의 위상적 내부에 있는 경우를 말한다. 닫힌 볼록 부분 집합은 경계의 모든 점이 극점인 경우에만 엄밀히 볼록하다.^[3]

볼록하고 균형 집합인 집합은 '''절대 볼록'''하다.

유클리드 평면에서 채워진 정다각형, 채워진 삼각형 등은 볼록 집합의 예시이다. 3차원 유클리드 공간에서 아르키메데스 입체, 플라톤의 입체 등도 볼록 집합이다. 반면, 케플러-푸앵소 다면체는 비볼록 집합의 예시이다. 볼록 집합이 아닌 집합은 '''비볼록 집합'''이라고 하며, 오목 다각형과 같이 사용되기도 한다.

'''국소 볼록 집합'''은 임의의 점이 (그 부분 집합에서의) 볼록 근방을 갖는 부분 집합이다.

2. 1. 다각 연결 집합

실수 위상 벡터 공간의 부분 집합

S

에 대해,

S

에 속하는 임의의 두 점

u

와

v

를 잇는 유한 개의 선분들로 이루어진 경로가 존재하면,

S

를 '''다각 연결 집합'''(polygonally connected set^영어)이라고 한다. 즉, 다음 조건을 만족하는 유한 개의 점

u_0, u_1, \dots, u_n \in S

가 존재한다.

$u_0 = u$
$u_n = v$
각 $i \in \{1, 2, \dots, n\}$ 에 대해, 선분 $(1-t)u_{i-1} + tu_i$ ( $t \in [0, 1]$ ) 위의 모든 점이 $S$ 에 속한다.

만약

n

개의 선분으로 이루어진 경로가 존재하면, '''

n

-다각 연결 집합'''(

n

-polygonally connected set^영어)이라고 한다. 볼록 집합은 1-다각 연결 집합과 동치이다.

볼록 함수가 볼록하다는 것은, 함수의 그래프의 (녹색) 영역이 함수의 그래프 위에 있는 함수는 (아래로) 볼록하다는 것을 의미한다.

볼록 집합은 임의의 두 점을 잇는 선분이 그 집합에 포함되는 성질을 가지므로, 볼록 집합은 항상 다각 연결 집합이다. 또한, 실수 또는 복소 위상 선형 공간에서의 볼록 집합은 호상 연결이며, 따라서 연결이다.

3. 성질

볼록 집합들의 교집합은 볼록 집합이다. 볼록 집합들의 상향 집합의 합집합은 볼록 집합이며, 볼록 집합의 폐포와 내부 역시 볼록 집합이다.

모든 다각 연결 집합은 경로 연결 공간이며, 모든 $n$ -다각 연결 집합은 다각 연결 집합이다. 모든 별모양 집합은 2-다각 연결 집합이고, 모든 (공집합이 아닌) 볼록 집합은 별모양 집합이다.

실수 노름 공간의 연결 열린집합은 항상 다각 연결 집합이다.^[35]

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 의 부분 집합 $S\subseteq\mathbb R^n$ 에 대하여, $S$ 가 닫힌집합이며 연결 공간이고 국소 볼록 집합이라면, $S$ 는 볼록 집합이다. ('''티체-나카지마 정리''', Tietze–Nakajima theorem^영어).^[36] $S$ 가 닫힌집합이며 연결 집합이고, $n$ 개 이하의 국소 비볼록점을 갖는다면, $S$ 는 $(n+1)$ -다각 연결 집합이다.^[36] $S$ 가 닫힌집합이며 연결 집합이고, $S$ 의 국소 비볼록점의 집합이 (서로소일 필요가 없는) $n$ 개의 볼록 집합의 합집합이라면, $S$ 는 $(2n+1)$ -다각 연결 집합이다.^[36]

3. 1. 부분 집합의 극대 볼록 집합

실수 위상 벡터 공간

V

의 부분 집합

S\subseteq V

가 주어졌을 때,

S

의 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그 극대 원소를

S

의 '''볼록 성분'''(convex component^영어)이라고 한다.

S

의 임의의 볼록 집합은

S

의 볼록 성분에 포함되며, 임의의 볼록 성분은 연결 집합이므로,

S

의 유일한 연결 성분에 포함된다. 그러나 연결 성분과 달리, 볼록 성분들은 서로소일 필요가 없다. 다시 말해,

S

의 주어진 볼록 집합을 포함하는 극대 볼록 집합은 유일하지 않을 수 있다.

만약

S

가 닫힌집합이라면, 모든 볼록 성분 역시 닫힌집합이다.

실수 위상 벡터 공간

V

의 부분 집합

S\subseteq V

가 가산 개의

S

의 서로소 볼록 닫힌집합

S_i

들의 합집합이라면,

S

의 볼록 성분들은 정확히

S_i

들이며, 특히

S

의 볼록 성분들은

S

의 분할을 이룬다.^[37]

4. 예

실수선의 볼록 집합은 구간이다. 유클리드 평면의 볼록 부분 집합의 예로는 정다각형, 정삼각형, 정삼각형들의 교집합 등이 있다. 3차원 유클리드 공간의 볼록 부분 집합의 예로는 아르키메데스 입체, 정다면체가 있다. 케플러-푸앵소 다면체는 비볼록 집합의 한 예이다.^[22]

5. 역사

티체-나카지마 정리는 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(1880~1964)^[38]와 나카지마(S. Nakajima|S. 나카지마^영어)^[39]가 1928년 논문에서 독립적으로 증명하였다.

6. 볼록 껍질과 민코프스키 합

실수 선형 공간에서 두 개의 공집합이 아닌 집합 의 민코프스키 합 은, 더해지는 각 집합의 원소별 합의 집합으로 정의된다.

:

S_1 + S_2 = \{x_1 + x_2 : x_1 \in S_1, \,x_2 \in S_2\}

보다 일반적으로, 공집합이 아닌 부분 집합의 유한족 의 민코프스키 합은, 마찬가지로 원소별 합을 취하여

:

\sum_n S_n := \Bigl\{\sum_n x_n : x_n \in S_n\Bigr\}

로 주어진다.

민코프스키 합과 관련하여, 영벡터만으로 구성된 집합 이 특히 중요하다. 공집합이 아닌 임의의 부분 집합 에 대해

:;

대수적 용어로 말하면 은 (공집합이 아닌 집합족에 대한) 민코프스키 합의 항등원이다.^[14]

6. 1. 볼록 껍질

벡터 공간의 모든 부분 집합 A는 A를 포함하는 가장 작은 볼록 집합(A의 볼록 껍질이라고 함)에 포함되며, 이는 A를 포함하는 모든 볼록 집합의 교집합이다. 볼록 껍질 연산자 Conv()는 껍질 연산자의 특성을 갖는다.

'''광역성''':
'''단조 증가''': 이면 이다.
'''멱등성''':

두 볼록 집합의 합집합의 볼록 껍질을 결합 연산으로 하는 볼록 집합들의 집합은 격자를 형성한다. 이때 볼록 껍질 연산이 필요하다.

볼록 집합의 모든 모임의 교집합은 그 자체가 볼록하므로 (실수 또는 복소수) 벡터 공간의 볼록 부분 집합은 완전한 격자를 형성한다.

6. 2. 민코프스키 합

세 개의 사각형이 데카르트 평면의 음이 아닌 사분면에 표시됩니다. 사각형 Q1

실수 벡터 공간에서 두 개의 비어 있지 않은 집합 과 의 민코프스키 합은 각 집합의 원소를 더한 집합으로 정의된다.

:

S_1+S_2=\{x_1+x_2: x_1\in S_1, x_2\in S_2\}.

일반적으로, 유한 집합족 의 민코프스키 합은 각 집합 원소들의 합으로 구성된다.

:

\sum_n S_n = \left \{ \sum_n x_n : x_n \in S_n \right \}.

민코프스키 합에서 영벡터만 있는 집합 은 항등원 역할을 한다. 즉, 벡터 공간의 모든 비어 있지 않은 부분 집합 S에 대해 다음이 성립한다.

:

S+\{0\}=S;

(비어 있지 않은 집합들에 대한) 민코프스키 합의 항등원은 이다.^[14]

를 실수 벡터 공간의 부분 집합이라 할 때, 이들의 민코프스키 합의 볼록 껍질은 각 집합의 볼록 껍질을 민코프스키 합한 것과 같다.

:

\operatorname{Conv}(S_1+S_2)=\operatorname{Conv}(S_1)+\operatorname{Conv}(S_2).

이 결과는 유한 개의 비어 있지 않은 집합들에 대해서도 일반적으로 성립한다.

:

\operatorname{Conv}\left ( \sum_n S_n \right ) = \sum_n \operatorname{Conv} \left (S_n \right).

즉, 민코프스키 합 연산과 볼록 껍질 연산은 교환 가능하다.^[15]^[16]

두 개의 콤팩트 볼록 집합의 민코프스키 합은 콤팩트 집합이다. 콤팩트 볼록 집합과 닫힌 볼록 집합의 합은 닫힌 집합이다.^[17]

다음 정리는 1966년 디외도네가 증명했으며, 두 닫힌 볼록 부분 집합의 차가 닫힐 충분 조건을 제공한다.^[18] 이 정리는 빈 볼록 부분 집합 ''S''의 재세션 콘(recession cone) 개념을 사용하며, 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{rec} S = \left\{ x \in X \, : \, x + S \subseteq S \right\},

이 집합은

0 \in X

를 포함하고

S + \operatorname{rec} S = S

를 만족하는 볼록 콘이다. ''S''가 닫힌 볼록 집합이면

\operatorname{rec} S

는 닫혀 있고, 모든

s_0 \in S

에 대해 다음이 성립한다.

:

\operatorname{rec} S = \bigcap_{t > 0} t (S - s_0).

'''디외도네 정리''': ''A''와 ''B''가 국소 볼록 위상 벡터 공간에서 비어 있지 않고 닫힌 볼록 부분 집합이고, $\operatorname{rec} A \cap \operatorname{rec} B$ 가 선형 부분 공간이며, ''A'' 또는 ''B''가 국소 콤팩트 공간이면, ''A'' − ''B''는 닫힌 집합이다.

7. 일반화 및 확장

유클리드 공간에서의 볼록성은 정의를 수정하여 여러 방식으로 일반화될 수 있다. 이러한 일반화는 결과적으로 얻어지는 대상들이 볼록 집합의 특정 성질을 유지하기 때문에 "일반화된 볼록성"이라고 통칭한다.

실수체(또는 적절한 순서체) 위의 벡터 공간 (예: 유클리드 공간)에서, 집합 가 볼록하다는 것은, 임의의 와 에 대해, 점 도 에 속하는 것을 의미한다. 즉, 와 를 잇는 선분 위의 모든 점이 에 속한다. 이는 실수 또는 복소 위상 선형 공간에서의 볼록 집합이 호상 연결이며, 따라서 연결임을 나타낸다.

집합 가 엄밀히 볼록하다는 것은, 와 를 잇는 선분 위의 각 점이 양 끝점을 제외하고 의 내부에 포함될 때를 말한다.

집합 가 절대 볼록하다는 것은 볼록하면서 균형일 때를 의미한다.

실수 전체 집합 의 볼록 부분 집합은 의 구간이다. 유클리드 평면의 볼록 부분 집합의 예로는 채워진 정다각형, 채워진 삼각형, 채워진 삼각형들의 교차점 등이 있다. 3차원 유클리드 공간의 볼록 부분 집합의 예로는 아르키메데스 입체, 플라톤의 입체 등이 있다. 케플러-푸앵소 다면체는 비볼록 집합의 예이다.

7. 1. 별 모양 집합

실수 또는 복소수 벡터 공간에서 집합 가 주어졌을 때, 내의 가 존재하여 내의 임의의 점 에 대해 에서 까지의 선분이 에 포함되면 는 '''별 모양'''을 가진다고 한다. 따라서 공집합이 아닌 볼록 집합은 항상 별 모양을 가지지만, 별 모양을 가진 집합이 항상 볼록 집합인 것은 아니다.

7. 2. 직교 볼록성

일반화된 볼록성의 한 예는 '''직교 볼록성'''이다.^[19]

유클리드 공간의 집합 S는 S의 두 점을 연결하는 좌표축에 평행한 모든 선분이 S 내부에 완전히 포함되면 '''직교 볼록''' 또는 '''직교-볼록'''이라고 한다. 직교 볼록 집합의 모든 모음의 교집합은 직교 볼록임이 쉽게 증명된다. 볼록 집합의 다른 몇 가지 속성도 마찬가지로 유효하다.^[19]

7. 3. 비유클리드 기하학

볼록 집합과 볼록 껍질의 정의는 측지선 볼록 집합을 집합 내의 임의의 두 점을 잇는 측지선을 포함하는 집합으로 정의함으로써 유클리드 기하학이 아닌 기하학으로 자연스럽게 확장할 수 있다.

7. 4. 순서 위상

전순서 집합에 순서 위상을 부여하여 볼록성을 확장할 수 있다.^[20]

라고 하자. 부분 공간 는 에 속하는 모든 두 점 에 대해 이고, 구간 가 에 포함되면 볼록 집합이다. 즉, 는 의 모든 에 대해 가 를 의미하는 경우에만 볼록하다.

볼록 집합은 일반적으로 연결되어 있지 않다. 반례는 에서 {1, 2, 3} 부분 공간으로 주어지는데, 이는 볼록하고 연결되어 있지 않다.

순서 위상을 갖는 공간 에 대해서도, 그 공간의 전순서 를 사용하여 볼록성의 개념을 정의할 수 있다.^[32]^[33]

일 때, 부분 공간 가 볼록 집합이라는 것은, 의 임의의 두 점 에 대해 를 만족하는 경우, 구간 가 에 포함될 때를 말한다. 즉, 가 볼록이 되기 위한 필요충분 조건은 임의의 에 대해, 이면 가 성립하는 것이다.

7. 5. 볼록 공간

집합 에 대한 '''볼록성'''은 다음 공리를 만족하는 의 부분 집합 모음 이다:^[9]^[10]^[21]

# 공집합과 는 에 속한다.

# 의 임의의 모음의 교집합은 에 속한다.

# 의 원소의 전순서 (포함 관계에 관하여)의 합집합은 에 속한다.

의 원소를 볼록 집합이라고 하며, 쌍 를 '''볼록 공간'''이라고 한다. 일반적인 볼록성의 경우, 처음 두 공리가 성립하며, 세 번째 공리는 자명하다.

이산 기하학에 더 적합한 추상 볼록성의 대안적인 정의는 반매트로이드와 관련된 ''볼록 기하학''을 참조하라.

볼록성은 추상적인 대수 구조로 일반화될 수 있다. 즉, 공간 내 점들의 볼록 조합을 취할 수 있다면 그 공간은 볼록하다.

주어진 집합 에 대해, 위의 '''볼록형''' (''convexity'')이란 의 부분 집합족 로서 다음 공리계를 만족하는 것을 말한다^[34]^[26]^[27]:

# 공집합 및 는 에 속한다.

# 의 원소로 이루어진 임의의 집합족의 교집합은 에 속한다.

# 의 원소로 이루어진 (포함 관계에 관해) 전순서 집합족의 합집합은 에 속한다.

볼록형 의 원소를 볼록 집합이라고 부르며, 쌍 를 '''볼록형 공간''' (''convexity space'')이라고 부른다. 통상의 의미의 볼록성에 대해, 앞의 두 공리가 성립한다(세 번째는 자명하다).

이처럼 추상적인 볼록성의, 보다 이산 기하학에 적합한 다른 정의는 (추상적 볼록 기하)와 관련된 '''볼록 기하학'''을 참조하라.

참조

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_[2] 간행물 History of Convexity and Mathematical Programming http://www.mathunion[...] 2017-04-05
_[3] 서적 A Hilbert Space Problem Book
_[4] 서적 Computer Graphics: Theory Into Practice https://archive.org/[...] Jones & Bartlett Learning
_[5] 웹사이트 Concave
_[6] 서적 Analytical Methods in Economics https://books.google[...] University of Michigan Press
_[7] 서적 An Introduction to Mathematical Analysis for Economic Theory and Econometrics https://books.google[...] Princeton University Press
_[8] 간행물 The validity of a family of optimization methods https://minds.wiscon[...]
_[9] 문서 Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity Ştiinţa
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_[11] 간행물 Approximation of convex bodies by rectangles
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_[16] 서적 Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory https://archive.org/[...] Cambridge University Press
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_[38] 저널 Über Konvexheit im kleinen und im großen und über gewisse den Punkten einer Menge zugeordnete Dimensionszahlen 1928
_[39] 저널 Über konvexe Kurven und Flächen 1928

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