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보존적 확장

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목차

1. 개요

보존적 확장은 1차 논리 언어의 확장과 관련된 개념으로, 확장된 언어에서 기존 언어로 표현 가능한 문장의 증명 가능성이 유지되는 경우를 의미한다. 증명 이론적 보존적 확장과 모형 이론적 보존적 확장 두 가지 유형이 있으며, 모형 이론적 확장이 더 강력한 개념으로 간주된다. 보존적 확장은 이론의 무모순성을 보존하며, 역수학, 집합론 등 다양한 분야에서 예시를 찾을 수 있다.

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보존적 확장
보존적 확장
정의
유형수학의 논리
설명어떤 이론에 새로운 기호와 공리를 추가하여 확장하는 것. 이때, 원래 이론의 언어로 표현된 문장에 대해서는 증명 가능성이 변하지 않아야 함.
상세 내용
보존적 확장원래 이론의 언어로 표현된 문장에 대해, 확장된 이론에서 증명 가능하면 원래 이론에서도 증명 가능해야 함. 즉, 확장으로 인해 '새로운' 증명이 추가되지 않아야 함.
비보존적 확장보존적 확장의 반대. 확장된 이론에서만 증명 가능한 문장이 존재함.
적절한 확장새로운 정리를 추가하는 확장. (이때, 정리는 원래 이론의 언어로 표현될 필요는 없음)
Γ-보존적특정 문장 집합 Γ에 대해서만 보존적인 확장. 즉, Γ에 속하는 문장에 대해서는 증명 가능성이 변하지 않음.
예시
이론 T에 새로운 상수 기호 c 추가만약 "∃x P(x)"가 T에서 증명 가능하면, "P(c)"를 추가하는 것은 보존적 확장이 아님. (c에 대한 정보가 없으므로)
폭발률Principle of explosion은 고전 논리에서는 성립하지만, 일부 비고전 논리에서는 성립하지 않으므로, 고전 논리를 비고전 논리로 확장하는 것은 비보존적 확장일 수 있음.

2. 정의

1차 논리 언어 \(\mathcal L\)과 그 확장 \(\mathcal L'\supseteq\mathcal L\)이 주어졌을 때, \(\mathcal L\)-문장들의 집합 \(\mathcal T\)와 \(\mathcal L'\)-문장들의 집합 \(\mathcal T'\supseteq\mathcal T\)에 대하여 \(\mathcal T'\)이 \(\mathcal T\)의 '''보존적 확장'''이 되는 경우를 정의한다. 보존적 확장은 크게 증명 이론적 보존적 확장과 모형 이론적 보존적 확장으로 나뉜다.[8]

증명 이론적 보존적 확장은 \(\mathcal L\)로 서술 가능한 문장에 대해 \(\mathcal T\)-증명 가능성과 \(\mathcal T'\)-증명 가능성이 동치인 경우를 말한다. 모형 이론적 보존적 확장은 임의의 \(\mathcal L\)-구조 \(M\)에 대하여 \(M\models\mathcal T\)일 때, \(M'|_{\mathcal L}=M\)이며 \(M'\models\mathcal T'\)인 \(\mathcal L'\)-구조 \(M'\)이 항상 존재하는 경우(단, 유일할 필요는 없다)를 의미한다.

2. 1. 증명 이론적 보존적 확장

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 1차 논리 언어 \mathcal L과 그 확장 \mathcal L'\supseteq\mathcal L
  • \mathcal L-문장들의 집합 \mathcal T와 \mathcal L'-문장들의 집합 \mathcal T'\supseteq\mathcal T


만약 다음 조건이 성립한다면, \mathcal T'이 \mathcal T의 '''(증명 이론적) 보존적 확장'''(proof-theoretic conservative extension영어)이라고 한다.[8]

:\{\phi\in\operatorname{Sent}(\mathcal L)\colon \mathcal T\vdash\phi\}=\{\phi\in\operatorname{Sent}(\mathcal L)\colon \mathcal T'\vdash\phi\}

즉, \mathcal L로 서술할 수 있는 문장에 대하여, \mathcal T-증명 가능성은 \mathcal T'-증명 가능성과 동치이다.

2. 2. 모형 이론적 보존적 확장

1차 논리 언어 \mathcal L과 그 확장 \mathcal L'\supseteq\mathcal L이 주어졌다고 하자. \mathcal L-문장들의 집합 \mathcal T와 \mathcal L'-문장들의 집합 \mathcal T'\supseteq\mathcal T에 대해, 다음 조건이 성립한다면 \mathcal T'이 \mathcal T의 '''모형 이론적 보존적 확장'''라고 한다.

  • 임의의 \mathcal L-구조 M에 대하여 M\models\mathcal T라면, M'|_{\mathcal L}=M이자 M'\models\mathcal T'인 \mathcal L'-구조 M'이 항상 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요는 없다.)[3]


모형론적 방법을 통해 더 강력한 개념을 얻을 수 있다. 이론 T_1의 확장 T_2가 T_1 \subseteq T_2이고 T_1의 모든 모형이 T_2의 모형으로 확장될 수 있다면, 이를 '''모형론적 보존적 확장'''이라고 한다. 각 모형론적 보존적 확장은 (증명론적) 보존적 확장 역시 된다. 모형론적 개념은 관련된 언어에 크게 의존하지 않는다는 점에서 증명론적 개념보다 유리하다. 반면에 모형론적 보존성을 확립하기는 일반적으로 더 어렵다.

3. 성질

보존적 확장은 기존 이론의 무모순성을 유지한다. 즉, 원래 이론이 무모순이라면 보존적 확장된 이론도 무모순이다. 괴델의 불완전성 정리에 따르면, 어떤 이론의 무모순성을 증명하는 확장은 보존적 확장이 될 수 없다.

4. 예시


  • 역수학에서 연구되는 2차 산술의 하위 시스템인 ACA₀는 1차 페아노 산술의 보존적 확장이다.
  • 역수학의 2차 산술 하위 시스템인 RCA₀*와 WKL₀*는 EFA에 대해 Π₂⁰ 보존적이다.[1]
  • 하위 시스템 WKL₀는 RCA₀의 Π₁¹ 보존적 확장이며, 원시 재귀 산술인 PRA에 대해 Π₂⁰ 보존적이다.[1]
  • 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 선택 공리가 있는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 보존적 확장이다.
  • 내부 집합론은 선택 공리가 있는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 보존적 확장이다.
  • 정의에 의한 확장은 보존적이다.
  • 제약이 없는 술어 또는 함수 기호에 의한 확장은 보존적이다.
  • ( Σ₁⁰-공식에 대해서만 귀납법을 사용하는 페아노 산술의 하위 시스템) IΣ₁는 PRA의 Π₂⁰ 보존적 확장이다.[2]
  • ZFC는 쇤필드의 절대성 정리에 의해 ZF의 Σ₃¹ 보존적 확장이다.
  • 연속체 가설이 있는 ZFC는 ZFC의 Π₂¹ 보존적 확장이다.

참조

[1] 논문 Factorization of polynomials and \Sigma_1^0-induction https://www.scienced[...] Annals of Pure and Applied Logic 1986
[2] 논문 A Simple Proof of Parsons' Theorem https://projecteucli[...] Notre Dame Journal of Formal Logic 2005
[3] 서적 A shorter model theory Cambridge University Press
[4] 문서 英語の直訳であり、この訳語は定着していない。
[5] 웹사이트 第２章と第５章 http://fe.math.kobe-[...] 2023-02-15
[6] 문서 日本語でも、照井一成「直観主義論理への招待」（数学基礎論サマースクール 2013 講義資料 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/summer2013.pdf {{Accessdate|2023-02-15}}）の定理 5.10において、\Pi_2^0論理式の集合に対する保存拡大を「\Pi_2^0保存拡大」と呼んでいる。
[7] 문서 例: 博物資料の記述に用いるオントロジ CIDOC CRM のドキュメント（7.1.2版） https://www.cidoc-crm.org/sites/default/files/cidoc_crm_version_7.1.2.pdf において Extensions of CIDOC CRM の節でそのような説明がされている。
[8] 서적 Set theory: an introduction to independence proofs https://archive.org/[...] North-Holland


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