폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론

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1. 개요
2. 역사
3. 공리화
4. 정의
5. 성질
6. 다른 집합론과의 관계
- 6.1. ZFC와의 관계
- 6.2. MK와의 관계
7. 범주론
참조

1. 개요

폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 집합론의 한 종류로, 집합과 모임(클래스)이라는 두 가지 객체를 사용하여 집합론적 역설을 해결하고 ZFC보다 강력한 선택 공리를 포함한다. 폰 노이만, 베르나이스, 괴델에 의해 발전되었으며, ZFC의 보존적 확장으로 ZFC와 상호 일관적이다. NBG는 ZFC보다 표현력이 풍부하여 클래스에 대한 진술이 가능하지만, 집합에 대한 동일한 진술을 함축한다. NBG는 범주론에서 큰 범주를 다루는 데 유용하게 사용될 수 있다.

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폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론

2. 역사

존 폰 노이만은 1925년에 함수와 변수(argument) 개념을 사용하여 모임 개념을 정의하고 집합론에 도입하려 했다.^[176] 이후 파울 베르나이스는 모임과 집합을 기초 개념으로 받아들인 채 폰 노이만의 이론을 재공식화했다.^[177] 쿠르트 괴델은 선택 공리와 일반화된 연속체 가설 간의 상대적 무모순성을 증명할 때 베르나이스의 이론을 단순화했다.^[178]

2. 1. 폰 노이만의 공리계 (1925)

존 폰 노이만은 함수와 변수(argument) 개념을 사용하여 모임 개념을 정의하고, 이를 집합론에 도입하려 하였다.^[176] 폰 노이만은 집합이 되기에는 너무 큰 모임을 식별하는 기준을 제시하여 집합론적 역설 문제를 해결하고자 했다.

폰 노이만의 집합론 연구는 게오르크 칸토어의 논문, 에른스트 체르멜로의 1908년 집합론 공리, 체르멜로의 집합론에 대한 아브라함 프렌켈과 토랄프 스콜렘의 1922년 비판에 영향을 받았다. 폰 노이만은 체르멜로 집합론의 문제점에 대해 연구했으며, 그 중 일부에 대한 해결책을 제시했다.

'''서수 이론'''
'''문제''': 칸토어의 서수 이론은 치환 공리가 없기 때문에 체르멜로 집합론에서 개발될 수 없었다.^[43]
'''해결''': 폰 노이만은 ∈-관계에 의해 전순서가 있는 집합을 사용하여 서수를 정의하고,^[44] 치환 공리를 사용하여 모든 전순서 집합이 서수와 순서 동형이라는 것과 같은 서수에 대한 핵심 정리를 증명함으로써 칸토어의 이론을 회복했다.^[45]
'''집합이 되기에는 너무 큰 클래스를 식별하는 기준'''
'''문제''': 체르멜로는 그러한 기준을 제공하지 않았다. 그의 집합론은 역설로 이어지는 큰 클래스를 피하지만, 프렌켈과 스콜렘이 언급한 것과 같은 많은 집합을 생략한다.^[46]
'''해결''': 폰 노이만은 다음과 같은 기준을 도입했다. 클래스 ''C''가 모든 집합 ''V''의 클래스에 전사될 수 있다면, 그 클래스는 집합이 되기에는 너무 크다. 폰 노이만은 집합론적 역설이 그러한 큰 클래스가 어떤 클래스의 구성원이 되는 것을 허용하지 않음으로써 피할 수 있다는 것을 깨달았다. 이 제약과 그의 기준을 결합하여 그는 그의 크기 제한 공리를 얻었다.^[48]
'''유한 공리화'''
'''문제''': 체르멜로는 분리 공리에서 "확정적인 명제 함수"라는 부정확한 개념을 사용했다.
'''해결''': 폰 노이만은 유한 개의 공리만 필요로 하는 함수를 사용하여 "확정적인 명제 함수" 개념을 공식화함으로써 공리 도식을 피했다. 이것은 그의 집합론이 유한 개의 공리를 갖도록 이끌었다.^[51]
'''정칙성 공리'''
'''문제''': 체르멜로 집합론은 잘 정의되지 않은 집합을 허용한다.^[53]
'''해결''': 폰 노이만은 정칙성 공리를 잘 정의되지 않은 집합을 제외하는 방법으로 제안했지만, 자신의 공리계에 포함시키지 않았다.^[54]

폰 노이만은 자신의 공리계에 관한 입문적인 논문을 1925년에 발표했다. 1928년, 그는 공리계에 대한 상세한 설명을 제공했다.^[127] 폰 노이만의 공리계는 함수와 인수라는 두 가지 영역에 기반한다. 함수는 NBG에서의 클래스에 대응하고, 인수 함수는 집합에 대응한다. 폰 노이만의 원시적 연산은 ''a''(''x'')가 아닌 [''a'', ''x'']로 표시되는 함수 적용이다. 여기서 ''a''는 함수, ''x''는 인수를 나타낸다. 폰 노이만은 클래스와 집합을 ''A''와 ''B''의 두 개의 값의 인수 함수를 사용하여 정의했다. 또한, [''a'', ''x''] ≠ ''A''이면 ''x'' ∈ ''a''라고 정의했다.^[128]

2. 2. 베르나이스의 공리계

파울 베르나이스는 존 폰 노이만의 이론을 재구성하고, 모임과 집합을 기초적 개념으로 받아들였다.^[177] 베르나이스는 폰 노이만의 이론을 수정하여 체르멜로 집합론의 구조에 더 가깝게 만들고, 슈뢰더 논리와 ''수학 원리''의 집합론적 개념을 활용하고자 했다.^[60] 베르나이스는 2-소트 논리를 통해 집합과 클래스를 다루었고, 집합과 클래스의 포함 관계에 대한 두 가지 기본적인 관계를 도입했다. 이러한 기본 관계를 바탕으로 폰 노이만의 1929년 공리들을 다시 작성하고 단순화하였다. 또한 베르나이스는 자신의 공리계에 정칙성 공리를 포함시켰다.^[61]

2. 3. 괴델의 공리계 (NBG)

쿠르트 괴델은 선택 공리와 일반화된 연속체 가설 간의 상대적 무모순성을 증명하기 위해 파울 베르나이스의 이론을 단순화하였다.^[178] 괴델은 베르나이스의 이론을 수정하여, 하나의 종류와 하나의 멤버십 기본 요소만 사용할 수 있게 했다.^[151]

NBG에서 클래스는 여러 용도로 사용된다.

"선택 공리의 매우 강력한 형태"를 명시하는 데 사용된다.^[5] 즉, 전역 선택 공리: 모든 공집합이 아닌 집합의 클래스에 정의된 전역 선택 함수 $G$ 가 존재하여 모든 공집합이 아닌 집합 $x$ 에 대해 $G(x) \in x$ 가 성립한다. 이는 ZFC의 선택 공리보다 강력하다.
집합론적 역설은 일부 클래스가 집합이 될 수 없다는 것을 인식하여 처리된다. 예를 들어, 모든 서수의 클래스 $Ord$ 가 집합이라고 가정하면, $Ord$ 는 진클래스가 된다.^[6]
진클래스는 구성에 유용하다. 괴델은 전역 선택 공리 및 일반화된 연속체 가설의 상대적 무모순성을 증명하기 위해 진클래스를 사용하여 구성 가능 우주를 구축했다.^[7]

괴델은 전역 선택 공리를 도입하여, ZFC 선택 공리보다 강력한 형태의 선택 공리를 제시했다.^[151]

'''전역 선택 공리.''' 모든 공집합이 아닌 집합에서 원소를 선택하는 함수가 존재한다.

:

\exists G\,[G \text{는 함수이다}\, \land \forall x(x \ne \empty \implies \exists y(y \in x \land (x,y) \in G))].

refer to caption — 쿠르트 괴델(Kurt Gödel), 1926년경

1931년, 베르나이스는 자신의 집합론을 담은 편지를 쿠르트 괴델에게 보냈다.^[36] 괴델은 베르나이스의 이론을 단순화하여 모든 집합을 클래스로 만들었고, 이를 통해 하나의 종류와 하나의 멤버십 기본 요소만 사용할 수 있게 했다. 그는 또한 베르나이스의 몇몇 공리를 약화시키고 폰 노이만의 선택 공리를 전역 선택 공리의 동등한 공리로 대체했다.^[62] 괴델은 1940년 전역 선택과 일반화된 연속체 가설의 상대적 일관성에 대한 논문에서 자신의 공리를 사용했다.^[63]

3. 공리화

폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 집합과 모임이라는 두 가지 종류의 대상을 다룬다. 모든 집합은 모임이지만, 집합이 아닌 모임을 고유 모임이라고 한다. NBG는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 보존적 확장이며, 유한 공리화가 가능하다는 특징이 있다.

NBG는 1차 이론이며, 유일한 이항 관계 $\in$ 을 갖는다. $\exists Y\colon X\in Y$ 가 참이라면(즉, 모임 $X$ 가 어떤 모임의 원소라면), 모임 $X$ 는 '''집합'''이다. 소문자 변수 $x, y, z, \dots$ 는 집합을 나타내며, 대문자 변수 $X, Y, Z, \dots$ 는 모임(집합이거나 고유 모임)을 나타낸다.

NBG는 집합과 모임 두 가지 객체를 다룰 수 있으며, 모든 집합은 모임이다. 집합론적 역설을 피하기 위해 모임을 사용하며, 베르나이스와 괴델의 방법이 있다. 이 둘은 근본적인 차이는 없으며 주로 괴델의 방식이 쓰인다.

파울 베르나이스는 두 개념에 서로 다른 '타입'을 부여하여 다루는 다중-소트 논리 기법을 사용했다. 이 경우 포함 관계도 집합 간의 포함 관계(∈)와 집합과 모임 간의 포함 관계(η) 두 가지로 구분해야 했다. 이는 직관적으로 보일 수 있지만, 집합론 구성에 불편을 야기한다.

괴델은 기초 술어를 도입하여 분류를 피했다. $\mathfrak{Cls}(A)$ 는 " $A$ 는 모임이다", $\mathfrak{M}(A)$ 는 " $A$ 는 집합이다"를 의미한다. 괴델은 모든 집합이 모임이라는 공리와 모임 A가 어떤 모임의 원소라면 A는 집합이 된다는 공리를 추가했다.^[173] 엘리엇 멘델슨은 이를 수정하여 모든 것을 모임으로 정의하고 집합 술어 $M(A)$ 를 $\exists C(A \in C)$ 로 정의했다.^[174] 이렇게 하면 모임 술어와 두 공리가 생략된다.

전역 선택 공리는 ZFC의 선택 공리보다 강력하다.^[175] 모든 비공집합들의 모임 위에 전역 선택 함수 $G$ 가 존재하여 모든 비공집합 $x$ 에 대해 $G(x) \in x$ 가 성립한다.

NBG를 정의하는 방법은 다양하며, 여기에서는 논의 대상의 종류를 구분하지 않는 방법을 소개한다.

(확장 공리) $\forall X\forall Y\colon(\forall x\colon x\in X\iff x\in Y)\implies X=Y$
짝 공리, 합집합 공리, 무한 공리는 ZFC와 같다. (모든 한정 기호는 집합에 대한 한정.)
(분류 공리꼴) 모든 한정이 집합에 국한된, $Y$ 를 자유 변수로 갖지 않는 논리식 $\phi$ 에 대하여, $\phi$ 의 자유 변수가 $X_1,\dots,X_n,x$ 일 때, $\forall X_1\cdots\forall X_n\exists Y\forall x\colon x\in Y\iff\phi$
(치환 공리) $\forall F\colon V\to V\forall a\exists b\forall x\in a\colon F(x)\in b$
(멱집합 공리) $\forall x\exists y\forall X\colon X\subseteq x\implies X\in y$
(정칙성 공리) $\forall X\colon X\ne\varnothing\implies(\exists x\in X\colon x\cap X=\varnothing)$
(대역적 선택 공리) $\exists F\colon V\to V\forall x\colon x\ne\varnothing\implies F(x)\in x$

3. 1. 베르나이스의 방법

파울 베르나이스는 집합과 모임을 구분하기 위해 서로 다른 '타입'을 부여하는 다중-소트 논리 기법을 사용했다. 이 경우, 변수의 정의역이 겹치지 않으므로 포함 관계도 두 가지로 구분해야 했다. 하나는 집합 간의 포함 관계인 ∈이고, 다른 하나는 집합과 모임 간의 포함 관계인 η이다.^[97] 이러한 방식은 직관적으로 보일 수 있지만, 집합론 구성에 많은 불편을 야기한다.

베르나이스의 이론에서는 모든 집합이 집합으로서, 그리고 클래스로서의 두 가지 표현을 가진다. 두 귀속 관계가 있는데, "∈"는 두 집합 사이의 관계이고, "η"는 집합과 클래스 사이의 관계이다.^[97]

괴델의 접근 방식에서는

A

와

C

가 클래스일 때

A \in C

는 유효한 표현이지만, 베르나이스의 접근 방식에서는 의미가 없다. 그러나

A

가 집합이라면, 집합과 클래스가 같은 집합을 원소로 가질 때 "집합

a

는 클래스

A

를 대표한다"라고 정의한다. 즉,

\forall x(x \in a \iff x \;\eta \;A)

이다. 집합

a

가 클래스

A

를 대표한다는 표현

a \;\eta \;C

는 괴델의

A \in C

와 같다.^[98]

3. 2. 괴델의 방법

괴델은 기초 술어를 도입하여 집합과 모임을 구분하는 방법을 사용했다. 여기서 기초 술어는 다음과 같다:^[1]

$\mathfrak{Cls}(A)$ : " $A$ 는 모임이다"
$\mathfrak{M}(A)$ : " $A$ 는 집합이다"

괴델은 이 기초 술어를 사용하여 다음과 같은 두 가지 공리를 추가했다.^[1]

# 모든 집합은 모임이다.

# 모임 A가 어떤 모임의 원소라면 A는 집합이다.

엘리엇 멘델슨(Elliott Mendelson)은 괴델의 방법을 수정하여, 모든 것을 모임으로 정의하고 집합 술어

M(A)

를

\exists C(A \in C)

로 정의했다.^[174] 이렇게 하면 모임 술어와 두 개의 공리를 생략할 수 있어 이론이 간결해진다.

괴델의 방법은 베르나이스의 방법과 비교했을 때, 집합론의 구성에 있어서 더 편리하다는 장점이 있다. 베르나이스는 집합과 모임을 서로 다른 타입으로 분류하는 many-sorted logic 기법을 사용했는데, 이는 집합론 구성에 많은 불편을 야기했다.^[1]

괴델의 방법은 1931년 베르나이스가 보낸 편지를 통해 그의 집합론을 단순화하면서 발전되었다. 괴델은 모든 집합을 클래스로 만들고, 하나의 종류와 하나의 멤버십 기본 요소만 사용할 수 있게 했다. 또한 베르나이스의 공리 중 일부를 약화시키고, 폰 노이만의 선택 공리를 전역 선택 공리의 동등한 공리로 대체했다.^[62]

3. 3. 공리

NBG는 다음과 같은 공리들로 구성된다.

확장 공리: 두 클래스가 같은 원소를 가지면 그 둘은 동일하다.
짝 공리: $x$ 와 $y$ 가 집합이면, $x$ 와 $y$ 만을 원소로 갖는 집합 $p$ 가 존재한다.
합집합 공리: $a$ 가 집합이면, $\cup a$ 를 포함하는 집합이 존재한다.
무한 공리: 모든 $x$ 에 대해, $a$ 에 속하는 $x$ 에 대해 $x$ 가 $y$ 의 진부분집합인 $a$ 에 속하는 $y$ 가 존재하는 비어 있지 않은 집합 $a$ 가 존재한다.
분류 공리꼴: 모든 한정이 집합에 국한된, $Y$ 를 자유 변수로 갖지 않는 논리식 $\phi$ 에 대하여, $\phi$ 의 자유 변수가 $X_1,\dots,X_n,x$ 라고 할 때, $\forall X_1\cdots\forall X_n\exists Y\forall x\colon x\in Y\iff\phi$
치환 공리: $F$ 가 함수이고 $a$ 가 집합이면 $F[a]$ , 즉 $F$ 에 대한 $a$ 의 상은 집합이다.
멱집합 공리: $a$ 가 집합이면 $\mathcal{P}(a)$ 를 포함하는 집합이 존재한다.
정칙성 공리: 모든 비어 있지 않은 집합은 공통 요소가 없는 적어도 하나의 요소를 갖는다.
대역적 선택 공리: $\exists F\colon V\to V\forall x\colon x\ne\varnothing\implies F(x)\in x$

집합은 적어도 하나의 클래스에 속하는 클래스이다.

A

가 집합일 필요충분조건은

\exist C(A \in C)

이다.

집합이 아닌 클래스를 고유 클래스라고 한다.

A

가 고유 클래스일 필요충분조건은

\forall C(A \notin C)

이다.^[12]

따라서 모든 클래스는 집합이거나 고유 클래스이며, 두 가지를 모두 만족하는 클래스는 없다.

괴델(Gödel)은 대문자 변수는 클래스를, 소문자 변수는 집합을 나타내는 관례를 도입했다.^[9] 괴델은 또한 대문자로 시작하는 이름을 사용하여 모든 집합의 클래스에 정의된 함수와 관계를 포함한 특정 클래스를 나타냈다.

'''멤버십.''' 첫 번째 구성 요소가 두 번째 구성 요소의 멤버인 모든 순서쌍을 포함하는 클래스

E

가 존재한다.

:

\exists E \,\forall x \,\forall y \,[(x,y) \in E \iff x \in y]\!

^[18]

'''교집합 (논리 접속).''' 임의의 두 클래스

A

와

B

에 대해

A

와

B

모두에 속하는 집합으로 구성된 클래스

C

가 존재한다.

:

\forall A \,\forall B \,\exists C \,\forall x \,[x \in C \iff (x \in A \,\land\, x \in B)]

^[19]

'''여집합 (부정).''' 임의의 클래스

A

에 대해

A

에 속하지 않는 집합으로 구성된 클래스

B

가 존재한다.

:

\forall A \,\exists B \,\forall x \,[x \in B \iff \neg(x \in A)]

^[20]

'''정의역 (존재 한정사).''' 임의의 클래스

A

에 대해

A

의 순서쌍의 첫 번째 구성 요소로 구성된 클래스

B

가 존재한다.

:

\forall A \,\exists B \,\forall x \,[x \in B \iff \exists y((x,y) \in A)]

^[21]

'''

V

에 의한 곱.''' 임의의 클래스

A

에 대해 첫 번째 구성 요소가

A

에 속하는 순서쌍으로 구성된 클래스

B

가 존재한다.

:

\forall A \,\exists B \,\forall u \,[u \in B \iff \exists x \, \exists y \,(u = (x, y) \land x \in A)]

^[23]

'''원형 순열.''' 임의의 클래스

A

에 대해, 3튜플에 원형 순열

(y,z,x) \mapsto (x,y,z)

을

A

의 3튜플에 적용하여 얻은 클래스

B

가 존재한다.

:

\forall A \,\exists B \,\forall x \,\forall y \,\forall z \,[(x,y,z) \in B \iff (y,z,x) \in A]

^[24]

'''전치.''' 임의의 클래스

A

에 대해, 3튜플에

A

의 3튜플의 마지막 두 구성 요소를 전치하여 얻은 클래스

B

가 존재한다.

:

\forall A \,\exists B \,\forall x \,\forall y \,\forall z \,[(x,y,z) \in B \iff (x,z,y) \in A]

^[25]

4. 정의

NBG는 종류를 갖지 않는 1차 이론이며, 유일한 이항 관계 $\in$ 을 갖는다. 모임 $X$ 가 어떤 모임의 원소라면, 즉 $\exists Y\colon X\in Y$ 가 참이라면, 모임 $X$ 는 '''집합'''이다.^[1]

편의상 대문자 변수 $X,Y,Z,\dots$ 와 소문자 변수 $x,y,z,\dots$ 를 사용한다. 소문자 변수 $x$ 에 대하여, $\forall x\colon\phi(x)$ 와 $\exists x\colon\phi(x)$ 는 각각

: $\forall x\colon(\exists Y\colon x\in Y)\implies\phi(x){}$

: $\exists x\colon(\exists Y\colon x\in Y)\land\phi(x){}$

를 뜻한다 (즉, 집합에 국한된 한정이다). 소문자 변수는 집합을, 대문자 변수는 집합일 수도, 고유 모임일 수도 있는 모임을 나타낸다.^[1]

괴델은 대문자 변수는 클래스를, 소문자 변수는 집합을 나타내는 관례를 도입했다.^[9] 또한 모든 집합의 클래스에 정의된 함수와 관계를 포함한 특정 클래스를 대문자로 시작하는 이름으로 나타냈다.^[9]

5. 성질

NBG는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 보존적 확장이며, 유한 공리화 가능 이론이다. 대역적 선택 공리를 제거한 NBG ( $\mathsf{NBG}-\mathsf{GC}$ )는 ZF의 유한 공리화 가능 보존적 확장이다. 특히, ZFC와 ZF가 등무모순적이므로 이 네 이론은 서로 등무모순적이다.^[4]

NBG가 ZFC의 보존적 확장임에도 불구하고, NBG에서 정리가 ZFC보다 더 짧고 우아한 증명을 가질 수 있다 (또는 그 반대의 경우도 마찬가지).^[4]

모스-켈리 집합론은 양화사가 클래스에 걸쳐 있는 공식을 포함하는 클래스 이해의 공리 체계를 가지고 있다. MK는 NBG보다 더 강력한 이론인데, MK는 NBG의 일관성을 증명하는 반면,^[76] 괴델의 불완전성 정리에 따르면 NBG는 NBG의 일관성을 증명할 수 없다.

6. 다른 집합론과의 관계

폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 게오르크 칸토어의 집합론과 에른스트 체르멜로의 체르멜로 집합론(ZF)의 문제점을 해결하기 위해 존 폰 노이만이 제시한 공리계이다. 폰 노이만은 1925년 자신의 공리계에 대한 입문 논문을 발표했고, 1928년에 더 상세한 설명을 제공했다.^[127]

폰 노이만의 공리계는 함수와 인수라는 두 가지 개념에 기반한다. 함수는 NBG에서 클래스에 대응하고, 인수 함수는 집합에 대응한다. 그는 클래스와 집합을 정의하고, 집합론적 역설을 피하기 위한 기준을 제시했다.^[128]

아돌프 프렝켈과 토랄프 스콜렘은 체르멜로 집합론의 공리가 특정 집합(예: {''Z''₀, ''Z''₁, ''Z''₂, ...})의 존재를 증명할 수 없다고 지적하고, 치환 공리를 도입했다.^[129] 폰 노이만은 체르멜로 집합론의 문제점에 대처하고, 순서수 이론, 집합으로서는 너무 큰 클래스를 특정하는 기준, 유한 공리화, 정칙성 공리 등의 해결책을 제시했다.

폰 노이만은 1929년 NBG로 이어지는 공리를 포함하는 논문을 발표했다. 이 논문은 크기 제한 공리의 무모순성에 대한 우려에서 비롯되었다.^[146] 그는 크기 제한 공리를 치환 공리와 선택 공리로 대체하고, 자신의 1925년 공리계가 1929년 공리계와 상대적으로 무모순임을 증명했다.

파울 베르나이스는 1929년 폰 노이만의 새로운 공리계를 수정하여, 1937년부터 1954년까지 일련의 논문으로 발표했다.^[148] 그는 집합과 클래스를 2-소트 논리로 취급하고, 폰 노이만의 공리계를 단순화했으며, 정칙성 공리를 도입했다.^[150]

쿠르트 괴델은 1931년 베르나이스의 집합론을 더욱 간략화하고, 폰 노이만의 선택 공리를 대역 선택 공리와 동등한 것으로 대체했다.^[151] 그는 1940년 대역 선택과 일반화된 연속체 가설의 상대적 무모순성에 관한 연구에서 자신의 공리계를 사용했다.^[152]

1963년 폴 코언은 강제법을 사용하여 ZF의 독립성을 증명했고,^[161] 그 후 ZFC가 NBG보다 더 일반적인 집합론으로 자리 잡았다.

6. 1. ZFC와의 관계

NBG는 ZFC의 보존적 확장이며, 유한 공리화 가능 이론이다. 이 두 이론은 집합에 대해 동일한 내용을 함축한다. NBG는 ZFC보다 표현력이 뛰어나 클래스에 대한 내용을 다룰 수 있지만, ZFC와 상호 일관적이다. NBG의 정리는 ZFC보다 간결하고 우아하게 증명될 수 있다(물론 그 반대도 가능하다).^[4]

클래스 개념을 통해 NBG는 ZFC보다 더 강력한 선택 공리를 가질 수 있다. ZFC의 선택 공리는 공집합이 아닌 집합들의 집합에 대한 선택 함수가 존재함을 의미하지만, NBG의 전역 선택 공리는 모든 공집합이 아닌 집합들의 클래스에 대한 전역 선택 함수가 존재함을 의미한다. 이는 ZFC의 선택 공리보다 강력하다.^[5] 1964년, 윌리엄 B. 이스턴은 강제법을 사용하여 전역 선택 공리가 선택 공리보다 더 강력함을 증명했다.^[38]

NBG가 ZFC의 보존적 확장이라는 사실은 두 이론이 상호 일관적임을 의미한다. 즉, 한 이론에서 모순이 발견되면 다른 이론에서도 모순이 발견된다. NBG는 더 표현력이 풍부하지만, ZFC와 상호 일관적이다.^[76]

모스-켈리 집합론은 클래스에 대한 양화를 허용하는 공리 도식을 포함하여 NBG보다 더 강력한 이론이다. MK는 NBG의 일관성을 증명할 수 있지만, 괴델의 불완전성 정리에 따르면 NBG는 자신의 일관성을 증명할 수 없다.

6. 2. MK와의 관계

모스-켈리 집합론(MK)은 양화사의 범위가 클래스인 논리식을 포함하는 클래스 내포 공리 도식을 갖는다. MK는 NBG의 일관성을 증명할 수 있어 NBG보다 강력한 이론이다.^[76] 반면, 괴델의 불완전성 정리에 따르면 NBG는 NBG 자신의 일관성을 증명할 수 없다.^[166]

7. 범주론

NBG의 존재론은 역설의 위험 없이 "큰 대상"에 대해 이야기할 수 있는 발판을 제공한다. 예를 들어, 범주론의 일부 발전에서 "큰 범주"는 그 대상과 사상이 진정한 클래스를 구성하는 것으로 정의된다. 반면에 "작은 범주"는 대상과 사상이 집합의 구성원인 범주이다. 따라서 NBG가 큰 범주를 지원하기 때문에 역설의 위험 없이 "모든 집합의 범주" 또는 "모든 작은 범주의 범주"에 대해 말할 수 있다.^[83]

그러나 NBG는 큰 범주가 그 구성원이 될 수 있고, NBG가 진정한 클래스가 어떤 것의 구성원이 되는 것을 허용하지 않기 때문에 "모든 범주의 범주"를 지원하지 않는다. 이러한 "범주"에 대해 공식적으로 이야기할 수 있게 해주는 존재론적 확장은 클래스의 모음인 합류이다. 그러면 "모든 범주의 범주"는 그 대상으로 모든 범주의 합류를, 그리고 사상으로 ''A''와 ''B''가 대상일 때 ''A''에서 ''B''로 가는 모든 사상의 합류를 갖는 것으로 정의된다.^[83]^[172]

참조

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