셈

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1. 개요

셈은 진행 상황을 추적하기 위해 숫자를 소리 내거나 마음속으로 말하는 행위를 의미하며, 다양한 형태와 방법으로 이루어진다. 구두 셈, 눈금표, 손가락 셈 등 다양한 방법이 있으며, 특히 손가락 셈은 아이들이 숫자를 배우는 데 유용하다. 셈은 교육 및 발달의 중요한 이정표로, 수학의 기본 아이디어를 형성하며, 수학적 귀납법을 통해 유한 집합을 세는 방법의 일관성을 보장한다. 수학에서는 집합의 원소 개수를 세는 것을 일대일 대응을 설정하는 것으로 정의하며, 가산 무한 집합과 비가산 집합으로 구분한다. 비둘기집 원리는 셈과 관련된 중요한 원리 중 하나이며, 열거 조합론은 유한 집합의 원소 수를 계산하는 방법을 다룬다.

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셈
셈 (Counting)
설명	셈은 유한 집합의 원소의 수를 찾는 과정이다.
역사	셈은 선사 시대부터 사용된 기술이다. 가장 오래된 셈 도구는 레봄보 뼈이다. 셈은 수학의 기초이다.
응용
음악	음악에서 박자를 세는 데 사용된다.

2. 셈의 여러 형태

포괄적 셈과 배타적 셈은 두 가지 다른 셈 방법이다. 배타적 셈은 각 간격의 끝에서 단위 간격을 계산한다. 포괄적 셈은 첫 번째 간격의 시작부터 마지막 간격의 끝까지 단위 간격을 계산한다. 따라서 같은 집합을 세더라도 포괄적 셈을 사용하면 배타적 셈을 사용할 때보다 항상 1이 더 크다. 숫자 0을 수직선에 도입하여 이러한 어려움을 해결했지만, 포괄적 셈은 여전히 일부 작업에 유용하다. 울타리 기둥 오류 (하나 차이 오류의 한 유형)도 참고할 수 있다.

현대 수학적 영어 사용에서 "포괄적"이라는 용어는 실제로는 배타적으로 계산되는 집합을 가리키는 데 사용되기도 한다. 예를 들어, 3부터 8까지의 집합에 포함된 숫자는 몇 개인지 물을 때, "포괄적"이라는 단어를 사용하면 집합은 배타적으로 계산되어 6개(8-3+1)가 된다. 여기서 +1은 조정된 배타적 셈을 포괄적 셈과 수치적으로 같게 만들기 위한 것이다. 따라서 "포괄적 셈"과 "포괄적"이라는 용어의 용법 차이를 구별해야 한다.

포괄적 셈은 로마 달력과 로망스어군에서 시간을 다룰 때 주로 나타난다.^[4] 고대 로마 달력에서 ''nones''( "아홉"을 의미)는 ''ides''보다 8일 전이다. 일반적으로 날짜는 다음 명명된 날까지 포괄적으로 계산된 날로 지정된다.^[4]

기독교 전례 달력에서 사순절 전 주일](Quinquagesima, meaning 50)]은 부활절 일요일보다 49일 전이다. "포괄적으로" 계산하면 일요일(시작일)은 1일이 되고, 다음 일요일은 8일이 된다. "

2. 1. 구두 셈

구두 셈은 진행 상황을 추적하기 위해 순차적인 숫자를 소리 내거나 마음속으로 말하는 것을 포함한다. 일반적으로 이러한 셈은 10진법 숫자로 수행된다. 예를 들면 "1, 2, 3, 4" 등과 같다. 구두 셈은 시간의 흐름에 따라 사물을 세는 것보다는 현재 존재하는 물체를 세는 데 자주 사용된다. 왜냐하면 중단이 발생하면 셈을 중단했던 지점부터 재개해야 하며, 이 숫자는 기록하거나 기억해야 하기 때문이다.

특히 시간이 지남에 따라 작은 집합의 물체를 세는 것은 눈금표로 효율적으로 수행할 수 있다. 각 숫자에 대해 표시를 하고 셈을 완료했을 때 모든 표시를 세는 것이다. 눈금표는 1진법 셈이다.

손가락 셈은 작은 숫자에 편리하고 일반적이다. 아이들은 손가락으로 셈을 하여 눈금표를 쉽게 만들고 간단한 수학 연산을 수행한다. 오래된 손가락 셈 방법은 네 손가락과 각 손가락의 세 개의 뼈(지골)를 사용하여 12까지 셀 수 있었다.^[3] 다른 손 제스처 시스템도 사용되고 있으며, 예를 들어 중국 시스템은 한 손의 제스처만으로 10까지 셀 수 있다. 손가락 이진법을 사용하면 1023 (2¹⁰ − 1)까지 손가락으로 셀 수 있다.

눈금 계산기 및 주판과 같은 다양한 장치를 사용하여 셈을 용이하게 할 수도 있다.

2. 2. 눈금표

특히 시간이 지남에 따라 작은 집합의 물체를 세는 것은 눈금표로 효율적으로 수행할 수 있다. 각 숫자에 대해 표시를 하고 셈을 완료했을 때 모든 표시를 세는 것이다. 눈금표는 1진법 셈이다.

손가락 셈은 작은 숫자에 편리하고 일반적이다. 아이들은 손가락으로 셈을 하여 눈금표를 쉽게 만들고 간단한 수학 연산을 수행한다. 오래된 손가락 셈 방법은 네 손가락과 각 손가락의 세 개의 뼈(지골)를 사용하여 12까지 셀 수 있었다.^[3] 다른 손 제스처 시스템도 사용되고 있으며, 예를 들어 중국 시스템은 한 손의 제스처만으로 10까지 셀 수 있다. 손가락 이진법을 사용하면 1023 (2¹⁰ − 1)까지 손가락으로 셈을 할 수 있다.

2. 3. 손가락 셈

손가락 셈은 작은 숫자를 세는 데 편리하고 일반적인 방법이다. 아이들은 손가락으로 셈을 하여 눈금표를 쉽게 만들고 간단한 수학 연산을 수행한다. 오래된 손가락 셈 방법은 네 손가락과 각 손가락의 세 개의 뼈(지골)를 사용하여 12까지 셀 수 있었다.^[3] 다른 손 제스처 시스템도 사용되고 있으며, 예를 들어 중국 시스템은 한 손의 제스처만으로 10까지 셀 수 있다. 손가락 이진법을 사용하면 1023 (2¹⁰ − 1)까지 손가락으로 셈을 할 수 있다.

2. 4. 도구를 이용한 셈

시간이 지남에 따라 작은 집합의 물체를 셀 때 눈금표를 사용하면 효율적이다. 각 숫자에 대해 표시를 하고 셈을 완료했을 때 모든 표시를 세는 것이다. 눈금표는 1진법 셈이다.

손가락 셈은 작은 숫자를 세는 데 편리하고 일반적이다. 아이들은 손가락으로 셈을 하여 눈금표를 쉽게 만들고 간단한 수학 연산을 수행한다. 오래된 손가락 셈 방법은 네 손가락과 각 손가락의 세 개의 뼈(지골)를 사용하여 12까지 셀 수 있었다.^[3] 다른 손 제스처 시스템도 사용되고 있으며, 예를 들어 중국 시스템은 한 손의 제스처만으로 10까지 셀 수 있다. 손가락 이진법을 사용하면 1023 (2¹⁰ - 1)까지 손가락으로 셀 수 있다.

눈금 계산기 및 주판과 같은 다양한 장치를 사용하여 셈을 용이하게 할 수도 있다.

3. 포괄적 셈과 배타적 셈

포괄적 셈과 배타적 셈은 수를 세는 두 가지 방법이다. 배타적 셈은 각 간격의 끝에서 단위를 세는 반면, 포괄적 셈은 첫 간격의 시작부터 마지막 간격의 끝까지 세기 때문에 항상 배타적 셈보다 1이 더 많다. 이러한 문제는 0을 도입하면서 해결되었지만, 포괄적 셈은 여전히 유용하게 사용된다.

현대 영어에서 "포괄적"이라는 단어가 실제로는 배타적으로 계산되는 집합을 가리키는 데 사용되어 혼란을 주기도 한다. 예를 들어, "3부터 8까지의 숫자는 몇 개인가?"라는 질문에 "포괄적"이라는 단어를 사용하면 실제로는 배타적으로 계산하여 6이 된다.

포괄적 셈은 로마 달력과 로망스어군에서 시간을 계산할 때 주로 사용된다.^[4] 고대 로마 달력에서는 ''nones''(''아홉''을 의미)가 ''ides''보다 8일 전으로 계산되었는데, 이는 날짜를 포괄적으로 계산했기 때문이다.^[4] 기독교 전례 달력에서 사순절 전 주일](Quinquagesima)]은 부활절 49일 전인데, 포괄적으로 계산하면 시작일인 일요일이 1일이 되고 다음 일요일은 8일이 된다.

3. 1. 포괄적 셈

포괄적 셈은 두 가지 셈 방법 중 하나이다. 배타적 셈에서는 각 간격의 끝에서 단위 간격을 계산하는 반면, 포괄적 셈에서는 첫 번째 간격의 시작부터 시작하여 마지막 간격의 끝에서 끝나는 단위 간격을 계산한다. 따라서 동일한 집합에 대해 배타적 셈을 사용하는 경우보다 포괄적 셈을 사용할 때 항상 1이 더 큰 셈이 된다. 이러한 문제는 숫자 0을 수직선에 도입하여 해결되었지만, 포괄적 셈은 여전히 일부 작업에 유용하다.

울타리 기둥 오류는 하나 차이 오류의 한 유형으로, 포괄적 셈과 관련이 있다.

현대 수학적 영어 사용법에서는 "포괄적"이라는 용어가 실제로는 배타적으로 계산되는 집합을 지칭하는 데 사용되는 경우가 있어 혼란을 야기한다. 예를 들어, "3부터 8까지의 집합에 포함된 숫자는 몇 개입니까?"라는 질문에서 "포괄적"이라는 단어를 사용하면 집합은 배타적으로 계산되어 6 (8-3+1)이 된다. 여기서 +1은 조정된 배타적 셈을 포괄적 셈과 수치적으로 동일하게 만들기 위한 것이다.

포괄적 셈은 로마 달력과 로망스어군에서 시간을 다룰 때 주로 나타난다.^[4] 고대 로마 달력에서는 ''nones''( "아홉"을 의미)가 ''ides''보다 8일 전으로 계산되었는데, 이는 날짜를 포괄적으로 계산했기 때문이다.^[4]

기독교 전례 달력에서 사순절 전 주일](Quinquagesima)]은 부활절 일요일 49일 전이다. 포괄적으로 계산하면 일요일(시작일)이 1일이 되고, 다음 일요일은 8일이 된다. "

3. 2. 배타적 셈

배타적 셈은 각 간격의 끝에서 단위 간격을 계산하는 방법이다. 예를 들어 "일요일부터" 8일을 셀 때, 배타적 셈을 사용하는 영어에서는 월요일이 '1일', 화요일이 '2일'이 되고, 다음 월요일이 '8일'이 된다. 과거 영국에서는 "날짜부터"라는 구문이 "해당 날짜 다음 날부터 시작"을 의미하는 법률의 표준 관행이었으나, 오해의 위험이 높아 현재는 쓰이지 않는다.^[5]

동아시아 나이 계산법에서는 신생아가 출생 시 1세로 간주되는데, 이는 배타적 셈과 유사한 방식이다.

3. 3. 울타리 기둥 오류

울타리 기둥 오류는 하나 차이 오류의 한 유형이다. 포괄적 셈은 로마 달력과 로망스어군에서 시간을 다룰 때 주로 사용된다.^[4] 고대 로마 달력에서 ''nones''(''아홉''을 의미)는 ''ides''보다 8일 전으로, 날짜는 다음 명명된 날까지 포괄적으로 계산된 날로 지정된다.^[4]

기독교 전례 달력에서 사순절 전 주일](Quinquagesima, meaning 50)]은 부활절 일요일보다 49일 전이다. "포괄적으로" 계산하면 일요일(시작일)은 ''1일''이 되고, 다음 일요일은 ''8일''이 된다. "

3. 4. 한국어에서의 셈과 관련된 표현

울타리 기둥 오류는 하나 차이 오류의 한 유형이다.

포괄적 셈은 로마 달력과 로망스어군에서 시간을 다룰 때 발생한다.^[4] 고대 로마 달력에서 ''nones''(''아홉''을 의미)는 ''ides''보다 8일 전이다. 일반적으로 날짜는 다음 명명된 날까지 포괄적으로 계산된 날로 지정된다.^[4]

기독교 전례 달력에서 사순절 전 주일](Quinquagesima, meaning 50)]은 부활절 일요일보다 49일 전이다. "포괄적으로" 계산할 때 일요일(시작일)은 ''1일''이 되며, 따라서 다음 일요일은 ''8일''이 된다. 예를 들어, "

4. 교육과 발달

셈을 배우는 것은 세계 대부분의 문화권에서 중요한 교육 및 발달적 이정표이다. 셈은 아이가 수학에 발을 들여놓는 첫걸음이며, 수학의 가장 기본적인 아이디어를 구성한다. 그러나 아마존과 호주 내륙의 일부 문화권에서는 셈을 하지 않으며,^[6]^[7] 그들의 언어에는 숫자 단어가 없다.

대부분의 2세 아이들은 "하나, 둘, 셋, ..."과 같이 셈 목록을 암송하는 기술을 가지고 있으며, "셋 다음에 뭐가 나올까?"와 같은 작은 숫자에 대한 서수 질문에 답할 수 있다. 심지어 세트의 각 물체를 가리키며 단어를 차례대로 암송하는 데 능숙할 수도 있다. 많은 부모와 교육자들은 아이가 세트의 크기를 결정하기 위해 셈을 사용하는 방법을 알고 있다고 생각하지만,^[8] 연구에 따르면 아이들이 이러한 기술을 배우고 나서 그 의미와 절차가 수행되는 이유를 이해하기까지 약 1년이 걸린다고 한다.^[9]^[10] 그동안 아이들은 순시할 수 있는 기수성을 명명하는 방법을 배운다.

4. 1. 셈의 발달 단계

셈을 배우는 것은 세계 대부분의 문화권에서 중요한 교육/발달적 이정표이다. 셈은 아이가 수학에 발을 들여놓는 첫걸음이며, 수학의 가장 기본적인 아이디어를 구성한다. 그러나 아마존과 호주 내륙의 일부 문화권에서는 셈을 하지 않으며,^[6]^[7] 그들의 언어에는 숫자 단어가 없다.

대부분의 2세 아이들은 셈 목록( "하나, 둘, 셋, ...")을 암송하는 기술을 가지고 있다. 또한, 그들은 작은 숫자에 대한 서수 질문, 예를 들어 "셋 다음에 뭐가 나올까?"와 같은 질문에 답할 수 있다. 심지어는 세트의 각 물체를 가리키며 단어를 차례대로 암송하는 데 능숙할 수도 있다. 이러한 점 때문에 많은 부모와 교육자들은 아이가 세트의 크기를 결정하기 위해 셈을 사용하는 방법을 알고 있다고 결론 내린다.^[8] 연구에 따르면 이러한 기술을 배우고 나서 아이가 그 의미와 절차가 수행되는 이유를 이해하기까지 약 1년이 걸린다고 한다.^[9]^[10] 그동안 아이들은 순시할 수 있는 기수성을 명명하는 방법을 배운다.

4. 2. 셈과 관련된 문화적 차이

셈을 배우는 것은 세계 대부분의 문화권에서 중요한 교육/발달적 이정표이다. 셈을 배우는 것은 아이가 수학에 발을 들여놓는 첫걸음이며, 수학의 가장 기본적인 아이디어를 구성한다. 그러나 아마존과 호주 내륙의 일부 문화권에서는 셈을 하지 않으며,^[6]^[7] 그들의 언어에는 숫자 단어가 없다.

대부분의 2세 아이들은 셈 목록( "하나, 둘, 셋, ...")을 암송하는 기술을 가지고 있다. 또한, 그들은 작은 숫자에 대한 서수 질문("셋 다음에 뭐가 나올까?")에 답할 수 있다. 심지어는 세트의 각 물체를 가리키며 단어를 차례대로 암송하는 데 능숙할 수도 있다. 이러한 점 때문에 많은 부모와 교육자들은 아이가 세트의 크기를 결정하기 위해 셈을 사용하는 방법을 알고 있다고 결론 내린다.^[8] 연구에 따르면 이러한 기술을 배우고 나서 아이가 그 의미와 절차가 수행되는 이유를 이해하기까지 약 1년이 걸린다고 한다.^[9]^[10] 그동안 아이들은 순시할 수 있는 기수성을 명명하는 방법을 배운다.

4. 3. 셈 교육의 중요성

셈을 배우는 것은 세계 대부분의 문화권에서 중요한 교육 및 발달적 이정표이다. 셈은 아이가 수학에 발을 들여놓는 첫걸음이며, 수학의 가장 기본적인 아이디어를 구성한다.^[6]^[7]

대부분의 2세 아이들은 "하나, 둘, 셋, ..."과 같이 셈 목록을 암송하는 기술을 가지고 있다. 또한, "셋 다음에 뭐가 나올까?"와 같은 작은 숫자에 대한 서수 질문에 답할 수 있다. 심지어 세트의 각 물체를 가리키며 단어를 차례대로 암송하는 데 능숙할 수도 있다. 이러한 점 때문에 많은 부모와 교육자들은 아이가 세트의 크기를 결정하기 위해 셈을 사용하는 방법을 알고 있다고 결론 내린다.^[8] 그러나 연구에 따르면 아이들이 이러한 기술을 배우고 나서 그 의미와 절차가 수행되는 이유를 이해하기까지 약 1년이 걸린다고 한다.^[9]^[10] 그동안 아이들은 순시할 수 있는 기수성을 명명하는 방법을 배운다.

5. 수학에서의 셈

수학에서 셈은 대상 집합과 양의 정수 }의 부분 집합 사이에 일대일 대응(전단사)을 설정하여 그 결과를 ''n''으로 찾는 것이다. 수학적 귀납법으로 증명할 수 있는 기본적인 사실은 $n \neq m$ 이 아니고서는 }과 } 사이에 전단사가 존재할 수 없다는 것이다.

이러한 종류의 셈은 유한 집합의 셈과는 근본적으로 다르다. 집합에 새로운 요소를 추가해도 크기가 반드시 커지지는 않기 때문이다. 원래 집합과의 전단사 가능성이 배제되지 않기 때문이다. 예를 들어, 음수를 포함하는 모든 정수 집합은 자연수 집합과 전단사를 가질 수 있다. 겉보기에는 훨씬 더 커 보이는 모든 유한 수열의 유리수 집합조차도 가산 무한 집합이다. 그럼에도 불구하고, 실수 집합과 같이 자연수와의 전단사를 허용하기에는 "너무 큰" 집합이 있으며, 이러한 집합을 비가산 집합이라고 한다.

두 유한 집합 ''X''와 ''Y''가 같은 수의 원소를 갖고, 함수 ''f'': ''X'' → ''Y''^영어가 단사 함수이면 전사 함수이고 그 반대도 마찬가지라는 중요한 원리가 있다. 이와 관련된 비둘기집 원리는 유한한 원소의 수를 가진 두 집합 ''X''와 ''Y''에 대해, ''X''의 원소 수 ''n''이 ''Y''의 원소 수 ''m''보다 크면 ($n>m$), 모든 사상 ''f'': ''X'' → ''Y''^영어는 단사가 아니라는 것을 보여준다.

5. 1. 조합론

수학에서 집합을 세고 그 결과를 ''n''으로 찾는 것은 대상 집합과 양의 정수 {1, 2, ..., ''n''}의 부분 집합 사이에 일대일 대응을 설정하는 것이다. Mathematical induction|수학적 귀납법^영어으로 증명할 수 있는 기본적인 사실은 $n \neq m$ 이 아니고서는 {1, 2, ..., ''n''}과 {1, 2, ..., ''m''} 사이에 일대일 대응이 존재할 수 없다는 것이다. 이 사실은 두 일대일 대응을 함수 합성하여 다른 일대일 대응을 만들 수 있다는 사실과 함께, 동일한 집합을 다른 방식으로 셀 때 (오류가 발생하지 않는 한) 항상 동일한 숫자가 나온다는 것을 보장한다. 유한 집합을 어떻게 세든 답은 같으며, 더 넓은 맥락에서 이 정리는 (유한) 조합론 분야의 정리의 예이다. 따라서 (유한) 조합론은 때때로 "세기의 수학"이라고도 한다.

수학에서 발생하는 많은 집합은 ''어떤'' 자연수 ''n''에 대해서도 {1, 2, ..., ''n''}과의 일대일 대응을 설정하는 것을 허용하지 않는다. 이러한 집합은 무한 집합이라고 불리는 반면, (일부 ''n''에 대해) 그러한 일대일 대응이 존재하는 집합은 유한 집합이라고 불린다. 무한 집합은 일반적인 의미로 셀 수 없다. 우선, 유한 집합에 대한 이러한 일반적인 의미의 기초가 되는 수학적 정리는 무한 집합에 대해 거짓이다. 또한, 이러한 정리가 진술되는 개념의 다른 정의는 유한 집합에 대해 동등하지만 무한 집합의 맥락에서는 비동등하다.

세기의 개념은 잘 이해된 집합과의 (존재) 일대일 대응을 설정하는 의미에서 확장될 수 있다. 예를 들어, 집합이 모든 자연수의 집합과 일대일 대응이 될 수 있다면 "가산 무한"이라고 불린다. 이러한 종류의 세기는 유한 집합의 세기와 근본적으로 다르다. 집합에 새로운 요소를 추가하는 것이 반드시 크기를 증가시키지 않기 때문이다. 원래 집합과의 일대일 대응의 가능성이 배제되지 않기 때문이다. 예를 들어, 모든 정수의 집합 (음수 포함)은 자연수의 집합과 일대일 대응이 될 수 있으며, 모든 유한 시퀀스의 유리수 집합과 같이 겉보기에는 훨씬 더 큰 집합조차도 (단지) 가산 무한이다. 그럼에도 불구하고, 실수의 집합과 같이 자연수와 일대일 대응을 허용하기에는 "너무 큰" 집합이 있다는 것을 보여줄 수 있으며, 이러한 집합은 "비가산 집합"이라고 불린다. 이들 간에 일대일 대응이 존재하는 집합은 동일한 기수를 갖는다고 하며, 가장 일반적인 의미에서 집합을 세는 것은 그 기수를 결정하는 것을 의미할 수 있다. 각 자연수에 의해 주어진 기수를 넘어, 무한 기수의 무한 계층이 있지만, 이러한 기수는 일반적인 수학 (즉, 가능한 기수를 명시적으로 연구하는 집합론 밖)에서 매우 적게 발생한다.

대부분 유한 집합의 세기는 수학에서 다양한 응용 분야를 가지고 있다. 한 가지 중요한 원리는 두 집합 ''X''와 ''Y''가 동일한 유한 수의 요소를 가지고 있고, 함수 $f: X \rightarrow Y$가 단사 함수인 것으로 알려져 있다면, 또한 전사 함수이고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 관련된 사실은 비둘기집 원리로 알려져 있는데, 이는 두 집합 ''X''와 ''Y''가 유한 수의 요소 ''n''과 ''m''을 가지고 $n>m$ 일 경우, 모든 맵 $f: X \rightarrow Y$ 가 ''단사''가 아니라는 것을 명시한다 (따라서 ''X''의 두 개의 서로 다른 요소가 ''Y''의 동일한 요소로 전송됨). 이는 전자의 원리에서 파생된다. ''f''가 단사 함수인 경우, ''m''개의 요소를 가진 ''X''의 엄격한 부분 집합 ''S''에 대한 제한도 단사 함수가 될 것이고, 이 제한은 전사 함수가 될 것이며, 이는 ''S'' 외부에 있는 ''X''의 ''x''에 대해 ''f''(''x'')가 제한의 이미지에 있을 수 없다는 사실과 모순된다. 유사한 세기 인수는 명시적으로 예를 제공하지 않고도 특정 객체의 존재를 증명할 수 있다. 무한 집합의 경우, 이는 예를 제공하는 것이 불가능한 상황에도 적용될 수 있다.

열거 조합론의 영역은 실제로 세지 않고 유한 집합의 요소 수를 계산하는 것을 다룬다. 후자는 일반적으로 유한 집합의 무한 패밀리가 한 번에 고려되기 때문에 불가능합니다. 예를 들어, 모든 자연수 ''n''에 대해 {1, 2, ..., ''n''}의 순열 집합이 있다.

5. 2. 가산 집합과 비가산 집합

수학에서 많은 집합은 어떤 자연수 ''n''에 대해서도 {1, 2, ..., ''n''}과의 일대일 대응을 허용하지 않는다. 이러한 집합은 무한 집합이라고 불리는 반면, 그러한 일대일 대응이 존재하는 집합은 유한 집합이라고 불린다. 무한 집합은 일반적인 의미로 셀 수 없다.

세기의 개념은 잘 이해된 집합과의 일대일 대응을 설정하는 의미에서 확장될 수 있다. 예를 들어, 집합이 모든 자연수의 집합과 일대일 대응이 될 수 있다면 가산 무한이라고 불린다. 정수의 집합 (음수 포함)은 자연수의 집합과 일대일 대응이 될 수 있으며, 모든 유한 시퀀스의 유리수 집합과 같이 겉보기에는 훨씬 더 큰 집합조차도 가산 무한이다. 그럼에도 불구하고, 실수의 집합과 같이 자연수와 일대일 대응을 허용하기에는 "너무 큰" 집합이 있다는 것을 보여줄 수 있으며, 이러한 집합은 비가산 집합이라고 불린다.

5. 3. 비둘기집 원리

수학에서 두 집합 ''X''와 ''Y''가 같은 수의 유한한 원소를 갖고, 함수 ''f'': ''X'' → ''Y''^영어가 단사 함수이면 전사 함수이고, 그 반대도 마찬가지라는 중요한 원리가 있다. 이와 관련된 비둘기집 원리는 두 집합 ''X''와 ''Y''가 각각 ''n''개와 ''m''개의 유한한 원소를 가질 때, ''n'' > ''m''^영어이면 모든 함수 ''f'': ''X'' → ''Y''^영어는 단사 함수가 아니라는 것을 보여준다. 즉, ''X''의 서로 다른 두 원소가 ''Y''의 같은 원소로 대응된다는 것이다. 이는 ''f''가 단사 함수일 때, ''m''개의 원소를 갖는 ''X''의 진부분집합 ''S''에 대한 제한 역시 단사 함수가 되지만, 이 제한은 전사 함수가 될 수 없다는 사실에서 비롯된다. 이는 ''S'' 밖에 있는 ''X''의 원소 ''x''에 대해 ''f''(''x'')가 제한의 상(image)에 포함될 수 없다는 것과 모순되기 때문이다. 이와 유사한 셈 논증은 특정 대상의 존재를 명시적인 예시 없이도 증명할 수 있게 해준다. 무한 집합의 경우, 예시를 제시하는 것이 불가능한 상황에서도 적용될 수 있다.

5. 4. 열거 조합론

수학에서 집합의 원소 개수를 세고 그 결과를 ''n''으로 나타내는 것은, 해당 집합과 양의 정수 집합 {1, 2, ..., ''n''}의 부분 집합 사이에 일대일 대응(전단사)을 설정하는 것과 같습니다. 수학적 귀납법으로 증명할 수 있는 중요한 사실은, = 이 아닌 이상 {1, 2, ..., ''n''}과 {1, 2, ..., ''m''} 사이에 전단사가 존재할 수 없다는 것입니다. 이 사실은 두 전단사를 함수 합성하여 또 다른 전단사를 만들 수 있다는 사실과 함께, 같은 집합을 다른 방식으로 셀 때 (오류가 없다면) 항상 같은 숫자가 나온다는 것을 보장합니다. 이것은 세기의 목적을 부여하는 기본적인 수학적 정리이며, 유한 집합을 어떻게 세든 답은 같습니다. 더 넓은 맥락에서 이 정리는 (유한) 조합론 분야의 정리의 예이며, 따라서 (유한) 조합론은 때때로 "세기의 수학"이라고도 불립니다.

열거 조합론은 실제로 세지 않고 유한 집합의 요소 수를 계산하는 것을 다룹니다. 예를 들어 모든 자연수 ''n''에 대해 {1, 2, ..., ''n''}의 순열 집합을 들 수 있습니다.

6. 셈과 관련된 한국의 역사적 사례 (추가)

(참조할 원본 소스가 제공되지 않았으므로, 내용을 작성할 수 없습니다.)

참조

_[1] 서적 An Introduction to the History of Mathematics
_[2] 웹사이트 Early Human Counting Tools https://mathtimeline[...] 2018-04-26
_[3] 서적 The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure https://books.google[...] University of Georgia Press
_[4] 서적 The History and Practice of Ancient Astronomy Oxford University Press
_[5] 웹사이트 Drafting bills for Parliament https://www.gov.uk/g[...] Office of the Parliamentary Counsel 2020-06-18
_[6] 간행물 Numerical thought with and without words: Evidence from indigenous Australian children
_[7] 간행물 Numerical cognition without words: Evidence from Amazonia
_[8] 서적 Children's counting and concepts of number Springer–Verlag
_[9] 간행물 One, two, three, four, nothing more: An investigation of the conceptual sources of the verbal counting principles
_[10] 간행물 Re-visiting the competence/performance debate in the acquisition of the counting principles
_[11] 서적 수학, 천상의 학문
_[12] 서적 An Introduction to the History of Mathematics

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