부정논리합

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1. 개요

부정논리합(NOR)은 두 논리값의 논리 연산으로, 두 피연산자 모두 거짓일 경우에만 참 값을 생성하며, 적어도 하나의 피연산자가 참일 경우에는 거짓 값을 생성한다. NOR 연산은 논리합의 부정으로, 논리곱(AND), 논리합(OR), 부정(NOT)을 포함한 모든 논리 연산을 NOR 연산만으로 표현할 수 있는 기능적 완전성을 갖는다. NOR 연산은 교환 법칙은 성립하지만 결합 법칙은 성립하지 않으며, 다양한 표기법으로 표현되어 왔다. NOR 게이트는 집적 회로 설계의 효율성을 높이는 데 기여한다.

부정논리합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 진리표
- 2.2. 논리식
3. 성질
- 3.1. 다른 논리 연산 표현
- 3.2. 교환 법칙 및 결합 법칙
4. 표기법
5. 응용

2. 정의

NOR 연산은 두 논리값, 일반적으로 두 명제의 값을 대상으로 하는 논리 연산으로, 두 피연산자 모두 거짓일 경우에만 참 값을 생성한다. 즉, 적어도 하나의 피연산자가 참일 경우에만 거짓 값을 생성한다. 일반적으로 NOR는 다음과 같이 정의된다.

A NOR B = NOT (A OR B)

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명제 P	명제 Q	P NOR Q
참	참	거짓
참	거짓	거짓
거짓	참	거짓
거짓	거짓	참

NOR 연산(

\downarrow

)은 논리합의 부정이다. 즉,

P \downarrow Q

는

\neg (P \lor Q)

와 같다.

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\Leftrightarrow

\neg

2.1. 진리표

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명제 P	명제 Q	P NOR Q
참	참	거짓
참	거짓	거짓
거짓	참	거짓
거짓	거짓	참

2.2. 논리식

NOR 연산( $\downarrow$ )은 논리합의 부정이다. 즉, $P \downarrow Q$ 는 $\neg (P \lor Q)$ 와 같다.

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\Leftrightarrow

\neg

3. 성질

NOR 연산은 기능적으로 완전한 연결사 집합이다. 즉, 논리곱(AND), 논리합(OR), 부정(NOT)의 구성으로 표현 가능한 모든 논리 연산을 NOR 만으로 표현할 수 있다.

진리표를 사용하여 ¬A^영어 가 A ↓ A^영어와 진리 함수적으로 동등함을 보일 수 있다. 그리고 A ↓ B^영어는 ¬ (A ∨ B)^영어와 진리 함수적으로 동등하며, A ∨ B^영어는 ¬(¬A ∧ ¬B)^영어와 동등하므로, 논리합 부정은 {∧, ∨, ¬^영어} 연결사 집합을 정의하기에 충분하며, 이는 선언적 정규형 정리에 의해 진리 함수적으로 완전한 것으로 나타난다.

이는 또한 논리합 부정 연산자가 기능적으로 완전한 연산자 집합의 최소한 하나의 구성원이 부재해야 하는 다섯 가지 특성(진리 보존, 거짓 보존, 선형, 단조, 자기 쌍대) 중 어느 것도 갖추지 못한다는 사실에서 알 수 있다.

부정 논리곱 (NAND)과 마찬가지로 완전성(만능성이라고도 함)을 가지며, NOR만으로 임의의 논리 함수를 표현할 수 있다.

*NOT A = A NOR A
* A AND B = ( NOT A ) NOR ( NOT B ) = ( A NOR A ) NOR ( B NOR B )
* A OR B = NOT ( A NOR B ) = ( A NOR B ) NOR ( A NOR B )

NOR 연산으로 표현되는 명제 논리의 일반적인 연산은 다음과 같다.

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연산	표현
$\neg P$	$P \downarrow P$
36px	36px
$P \rightarrow Q$	$\Big( (P \downarrow P) \downarrow Q \Big) \downarrow \Big( (P \downarrow P) \downarrow Q \Big)$
50px	50px $\downarrow$ 50px
$P \land Q$	$(P \downarrow P) \downarrow (Q \downarrow Q)$
50px	50px $\downarrow$ 50px
$P \lor Q$	$(P \downarrow Q) \downarrow (P \downarrow Q)$
50px	50px $\downarrow$ 50px

NOR을 이용해 다른 논리 연산을 표현하면 다음과 같다.

* NOT A = A NOR A
* A AND B = (A NOR A) NOR (B NOR B)
* A OR B = (A NOR B) NOR (A NOR B)

3.1. 다른 논리 연산 표현

NOR 연산은 논리곱(AND), 논리합(OR), 부정(NOT)의 조합으로 표현 가능한 모든 논리 연산을 대신할 수 있다. 논리 NAND 연산자 또한 이와 같은 특징을 갖는다.

NOR ( $\downarrow$ ) 연산으로 표현되는 명제 논리의 일반적인 연산은 다음과 같다.

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연산	표현
$\neg P$	$P \downarrow P$
36px	36px
$P \rightarrow Q$	$\Big( (P \downarrow P) \downarrow Q \Big) \downarrow \Big( (P \downarrow P) \downarrow Q \Big)$
50px	50px $\downarrow$ 50px
$P \land Q$	$(P \downarrow P) \downarrow (Q \downarrow Q)$
50px	50px $\downarrow$ 50px
$P \lor Q$	$(P \downarrow Q) \downarrow (P \downarrow Q)$
50px	50px $\downarrow$ 50px

NOR을 이용해 다른 논리 연산을 표현하면 다음과 같다.

* NOT A = A NOR A
* A AND B = (A NOR A) NOR (B NOR B)
* A OR B = (A NOR B) NOR (A NOR B)

3.2. 교환 법칙 및 결합 법칙

NOR 연산은 교환 법칙이 성립한다. 즉, $P \downarrow Q \leftrightarrow Q \downarrow P$ 는 성립한다. 하지만, 결합 법칙은 성립하지 않는다. $(P \downarrow Q) \downarrow R \not\leftrightarrow P \downarrow (Q \downarrow R)$ 는 성립하지 않는다.

4. 표기법

퍼스는 부정논리합의 기능적 완전성을 처음으로 보였지만, 그 결과를 발표하지는 않았다. 퍼스는 부정논리합에 $\curlywedge$ 를 사용했고, 이를 (고대 그리스어 amphēkēs/ἀμφήκης^{고대 그리스어}, "양쪽으로 자르다")라고 불렀다.

1911년, Stamm/Edward Stamm^폴란드어은 부정논리합에 $*$ 를 사용(Stamm의 별)하여 그 기능적 완전성을 보였다.

1913년, 셰퍼는 부정논리합을 설명하고 그 기능적 완전성을 보였다. 셰퍼는 부정논리합에 $\wedge$ 를 사용했다.

1935년, 웹은 $n$ -값 논리에 대한 부정논리합을 설명하고, 연산자로 $\mid$ 를 사용했다. 그래서 어떤 사람들은 이를 웹 연산자, 웹 연산, 또는 웹 함수라고 부른다.

1940년, 콰인은 부정논리합을 설명하고, 연산자로 $\downarrow$ 를 사용했다. 그래서 어떤 사람들은 이 연산자를 퍼스의 화살표 또는 콰인 대거라고 부른다.

1944년, 처치는 부정논리합을 설명하고, 연산자로 $\overline{\vee}$ 를 사용했다.

1954년, 보헨스키는 폴란드 표기법에서 부정논리합에 $X$ 를 $Xpq$ 로 사용했다.

5. 응용

논리 NAND 연산자처럼, NOR 연산자는 다른 모든 논리 연산자를 교차된 NOR 연산으로 표현할 수 있다. 논리곱(AND), 논리합(OR), 부정(NOT)의 구성으로 표현 가능한 논리 연산은 NOR만으로도 표현할 수 있다.

*NOT A = A NOR A
*A AND B = ( NOT A ) NOR ( NOT B ) = ( A NOR A ) NOR ( B NOR B )
*A OR B = NOT ( A NOR B ) = ( A NOR B ) NOR ( A NOR B )

이러한 NOR 게이트의 특징은 집적 회로 설계에서 효율성을 높이는 데 기여한다.