부정논리합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 진리표
- 2.2. 논리식
3. 성질
- 3.1. 다른 논리 연산 표현
- 3.2. 교환 법칙 및 결합 법칙
4. 표기법
5. 응용
참조

1. 개요

부정논리합(NOR)은 두 논리값의 논리 연산으로, 두 피연산자 모두 거짓일 경우에만 참 값을 생성하며, 적어도 하나의 피연산자가 참일 경우에는 거짓 값을 생성한다. NOR 연산은 논리합의 부정으로, 논리곱(AND), 논리합(OR), 부정(NOT)을 포함한 모든 논리 연산을 NOR 연산만으로 표현할 수 있는 기능적 완전성을 갖는다. NOR 연산은 교환 법칙은 성립하지만 결합 법칙은 성립하지 않으며, 다양한 표기법으로 표현되어 왔다. NOR 게이트는 집적 회로 설계의 효율성을 높이는 데 기여한다.

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부정논리합

2. 정의

'''NOR 연산'''은 두 논리값, 일반적으로 두 명제의 값을 대상으로 하는 논리 연산으로, 두 피연산자 모두 거짓일 경우에만 ''참'' 값을 생성한다. 즉, 적어도 하나의 피연산자가 참일 경우에만 ''거짓'' 값을 생성한다. 일반적으로 NOR는 다음과 같이 정의된다.

'''A''' NOR '''B''' = NOT ('''A''' OR '''B''')

명제 P	명제 Q	P NOR Q
참	참	거짓
참	거짓	거짓
거짓	참	거짓
거짓	거짓	참

NOR 연산( $\downarrow$ )은 논리합의 부정이다. 즉, $P \downarrow Q$ 는 $\neg (P \lor Q)$ 와 같다.

\Leftrightarrow

\neg

2. 1. 진리표

wikitable

명제 P	명제 Q	P NOR Q
참	참	거짓
참	거짓	거짓
거짓	참	거짓
거짓	거짓	참

2. 2. 논리식

NOR 연산(

\downarrow

)은 논리합의 부정이다. 즉,

P \downarrow Q

는

\neg (P \lor Q)

와 같다.

\Leftrightarrow

\neg

3. 성질

NOR 연산은 기능적으로 완전한 연결사 집합이다.^[9] 즉, 논리곱(AND), 논리합(OR), 부정(NOT)의 구성으로 표현 가능한 모든 논리 연산을 NOR 만으로 표현할 수 있다.

진리표를 사용하여 ¬A^영어 가 A ↓ A^영어와 진리 함수적으로 동등함을 보일 수 있다.^[10] 그리고 A ↓ B^영어는 ¬ (A ∨ B)^영어와 진리 함수적으로 동등하며,^[10] A ∨ B^영어는 ¬(¬A ∧ ¬B)^영어와 동등하므로,^[10] 논리합 부정은 {∧, ∨, ¬}^영어 연결사 집합을 정의하기에 충분하며,^[10] 이는 선언적 정규형 정리에 의해 진리 함수적으로 완전한 것으로 나타난다.^[10]

이는 또한 논리합 부정 연산자가 기능적으로 완전한 연산자 집합의 최소한 하나의 구성원이 부재해야 하는 다섯 가지 특성(진리 보존, 거짓 보존, 선형, 단조, 자기 쌍대) 중 어느 것도 갖추지 못한다는 사실에서 알 수 있다.

부정 논리곱 (NAND)과 마찬가지로 완전성(만능성이라고도 함)을 가지며, NOR만으로 임의의 논리 함수를 표현할 수 있다.

NOT '''A''' = '''A''' NOR '''A'''
'''A''' AND '''B''' = ( NOT '''A''' ) NOR ( NOT '''B''' ) = ( '''A''' NOR '''A''' ) NOR ( '''B''' NOR '''B''' )
'''A''' OR '''B''' = NOT ( '''A''' NOR '''B''' ) = ( '''A''' NOR '''B''' ) NOR ( '''A''' NOR '''B''' )

NOR 연산으로 표현되는 명제 논리의 일반적인 연산은 다음과 같다.

연산	표현
$\neg P$	$P \downarrow P$
36px	36px
$P \rightarrow Q$	$\Big( (P \downarrow P) \downarrow Q \Big) \downarrow \Big( (P \downarrow P) \downarrow Q \Big)$
50px	50px $\downarrow$
$P \land Q$	$(P \downarrow P) \downarrow (Q \downarrow Q)$
50px	50px $\downarrow$ 50px
$P \lor Q$	$(P \downarrow Q) \downarrow (P \downarrow Q)$
	$\downarrow$

NOR을 이용해 다른 논리 연산을 표현하면 다음과 같다.

NOT A = A NOR A
A AND B = (A NOR A) NOR (B NOR B)
A OR B = (A NOR B) NOR (A NOR B)

3. 1. 다른 논리 연산 표현

NOR 연산은 논리곱(AND), 논리합(OR), 부정(NOT)의 조합으로 표현 가능한 모든 논리 연산을 대신할 수 있다. 논리 NAND 연산자 또한 이와 같은 특징을 갖는다.

NOR (

\downarrow

) 연산으로 표현되는 명제 논리의 일반적인 연산은 다음과 같다.

연산	표현
$\neg P$	$P \downarrow P$

$P \rightarrow Q$	$\Big( (P \downarrow P) \downarrow Q \Big) \downarrow \Big( (P \downarrow P) \downarrow Q \Big)$
	$\downarrow$
$P \land Q$	$(P \downarrow P) \downarrow (Q \downarrow Q)$
	$\downarrow$
$P \lor Q$	$(P \downarrow Q) \downarrow (P \downarrow Q)$
	$\downarrow$

NOR을 이용해 다른 논리 연산을 표현하면 다음과 같다.

NOT A = A NOR A
A AND B = (A NOR A) NOR (B NOR B)
A OR B = (A NOR B) NOR (A NOR B)

3. 2. 교환 법칙 및 결합 법칙

NOR 연산은 교환 법칙이 성립한다. 즉,

P \downarrow Q \leftrightarrow Q \downarrow P

는 성립한다.^[8] 하지만, 결합 법칙은 성립하지 않는다.

(P \downarrow Q) \downarrow R \not\leftrightarrow P \downarrow (Q \downarrow R)

는 성립하지 않는다.^[8]

4. 표기법

퍼스는 부정논리합의 기능적 완전성을 처음으로 보였지만, 그 결과를 발표하지는 않았다.^[2]^[3] 퍼스는 부정논리합에 $\curlywedge$ 를 사용했고, 이를 ''''''(고대 그리스어 amphēkēs/ἀμφήκης^grc, "양쪽으로 자르다")라고 불렀다.^[3]

1911년, Stamm/Edward Stamm^pl은 부정논리합에 $*$ 를 사용(Stamm의 별)하여 그 기능적 완전성을 보였다.^[4]

1913년, 셰퍼는 부정논리합을 설명하고 그 기능적 완전성을 보였다. 셰퍼는 부정논리합에 $\wedge$ 를 사용했다.

1935년, 웹은 $n$ -값 논리에 대한 부정논리합을 설명하고, 연산자로 $\mid$ 를 사용했다. 그래서 어떤 사람들은 이를 '''웹 연산자''', '''웹 연산''', 또는 '''웹 함수'''라고 부른다.

1940년, 콰인은 부정논리합을 설명하고, 연산자로 $\downarrow$ 를 사용했다.^[5] 그래서 어떤 사람들은 이 연산자를 '''퍼스의 화살표''' 또는 '''콰인 대거'''라고 부른다.

1944년, 처치는 부정논리합을 설명하고, 연산자로 $\overline{\vee}$ 를 사용했다.^[6]

1954년, 보헨스키는 폴란드 표기법에서 부정논리합에 $X$ 를 $Xpq$ 로 사용했다.^[7]

5. 응용

논리 NAND 연산자처럼, NOR 연산자는 다른 모든 논리 연산자를 교차된 NOR 연산으로 표현할 수 있다. 논리곱(AND), 논리합(OR), 부정(NOT)의 구성으로 표현 가능한 논리 연산은 NOR만으로도 표현할 수 있다.

NOT '''A''' = '''A''' NOR '''A'''
'''A''' AND '''B''' = ( NOT '''A''' ) NOR ( NOT '''B''' ) = ( '''A''' NOR '''A''' ) NOR ( '''B''' NOR '''B''' )
'''A''' OR '''B''' = NOT ( '''A''' NOR '''B''' ) = ( '''A''' NOR '''B''' ) NOR ( '''A''' NOR '''B''' )

이러한 NOR 게이트의 특징은 집적 회로 설계에서 효율성을 높이는 데 기여한다.

참조

_[1] 서적 Logic with trees: an introduction to symbolic logic Routledge 1997
_[2] 간행물 A Boolian Algebra with One Constant Harvard University Press 1933
_[3] 간행물 The Simplest Mathematics Harvard University Press 1933
_[4] 웹사이트 Sheffer stroke before Sheffer: Edward Stamm https://richardzach.[...] 2023-02-18
_[5] 서적 Mathematical Logic Harvard University Press 1981
_[6] 서적 Introduction to Mathematical Logic Princeton University Press 1996
_[7] 서적 Précis de logique mathématique F. G. Kroonder, Bussum, Pays-Bas 1954
_[8] 서적 Mathematical Foundations of Computer Science https://books.google[...] I. K. International Pvt Ltd 2006
_[9] 서적 First-order logic Dover 1995
_[10] 서적 Logic with trees: an introduction to symbolic logic Routledge 1997

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