부정 도입

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1. 개요

부정 도입은 기호 논리학에서 사용되는 추론 규칙으로, (P → Q) ∧ (P → ¬Q) → ¬P 로 표현된다. 이는 P가 참일 경우 Q도 참이고 Q가 거짓이라는 두 가지 전제로부터 P가 거짓이라는 결론을 도출하는 방법이다. 부정 도입은 귀류법을 사용하는 증명에서 핵심적인 추론 절차로 활용된다.

부정 도입

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1. 개요
2. 형식적 표기
- 2.1. 기호 표현
- 2.2. 설명
3. 증명
4. 예시
5. 귀류법과의 관계
- 5.1. 귀류법에서의 활용

2. 형식적 표기

부정 도입은 기호 논리학에서 사용되는 추론 규칙이다.

2.1. 기호 표현

Indirect proof^영어은 다음과 같이 기술될 수 있다. $(P \rightarrow Q) \land (P \rightarrow \neg Q) \rightarrow \neg P$ .

부정 도입을 사용하는 예시로, 하나의 사실로부터 두 개의 모순되는 명제를 증명하려고 하는 것을 생각해 볼 수 있다. 예를 들어, 어떤 사람이 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하다"고 주장할 뿐만 아니라, "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하지 않다"고도 주장한다면, 이로부터 그 사람은 전화벨이 울리는 것을 절대 듣지 않음을 추론할 수 있다.

귀류법을 사용하는 많은 증명들이 부정 도입을 추론 절차로써 사용한다. 즉, ¬P를 증명하기 위해, 모순인 P를 가정한 뒤, P로부터 두 개의 모순되는 추론인 Q와 ¬Q를 유도한다. 이 모순은 P를 불가능하게 만드므로, ¬P가 반드시 성립한다.

2.2. 설명

부정 도입(Introduction of negation^영어)은 다음과 같이 기술될 수 있다.

: $(P \rightarrow Q) \land (P \rightarrow \neg Q) \rightarrow \neg P$

부정 도입을 사용하는 예시로는, 하나의 사실로부터 두 개의 모순되는 명제를 증명하려고 하는 것을 생각해 볼 수 있다. 예를 들어, 어떤 사람이 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하다"고 주장할 뿐만 아니라, "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하지 않다"고도 주장한다면, 이로부터 이 사람은 전화벨이 울리는 것을 절대 듣지 않음을 추론할 수 있다.

귀류법을 사용하는 많은 증명들이 부정 도입을 추론 절차로써 사용한다. 즉, ¬P를 증명하기 위해서, 모순인 P를 가정한 뒤, P로부터 두 개의 모순되는 추론인 Q와 ¬Q를 유도하는 것이다. 이 모순은 P를 불가능하게 만드므로, ¬P가 반드시 성립한다.

3. 증명

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좌우로 밀어서 보기

단계	명제	유도
1	$(P \to Q) \land (P \to \neg Q)$	주어진 식
2	$(\neg P \lor Q) \land (\neg P \lor \neg Q)$	단순함언
3	$\neg P \lor (Q \land \neg Q)$	분배법칙
4	$\neg P \lor F$	비모순율
5	$\neg P$	선언적 삼단 논법 (3, 4)

4. 예시

어떤 사람이 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하다"고 주장하면서 동시에 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하지 않다"고 주장한다면, 이 사람은 전화벨이 울리는 것을 절대 듣지 않음을 추론할 수 있다. 이는 모순되는 두 주장에서 전제의 부정을 도출하는 부정 도입의 한 예시이다.

5. 귀류법과의 관계

귀류법은 어떤 명제를 증명하기 위해 그 명제의 부정을 가정한 뒤 모순을 이끌어내는 증명 방법이다. 부정 도입은 귀류법에서 모순을 통해 부정을 증명하는 핵심적인 추론 절차로 사용된다. 예를 들어, 어떤 사람이 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하다"고 주장하면서 동시에 "전화벨이 울리는 걸 들을 때마다 나는 행복하지 않다"고 주장한다면, 이 사람은 전화벨이 울리는 것을 절대 듣지 않음을 추론할 수 있다.

5.1. 귀류법에서의 활용

귀류법을 사용하는 많은 증명은 부정 도입을 추론 절차로 사용한다. 즉, '¬P'를 증명하기 위해 모순인 'P'를 가정하고, 'P'로부터 'Q'와 '¬Q'라는 두 개의 모순되는 추론을 유도한다. 이 모순은 'P'가 불가능함을 보이고, 따라서 '¬P'가 반드시 성립한다.