불가촉 수
1. 개요
불가촉수는 어떤 양의 정수의 진약수의 합으로 나타낼 수 없는 양의 정수를 의미한다. 예를 들어 5는 불가촉수이지만, 4는 9의 진약수의 합으로 표현되므로 불가촉수가 아니다. 2, 5, 52, 88 등이 불가촉수에 해당하며, 폴 에르되시는 불가촉수가 무한히 많음을 증명했다. 5는 유일한 홀수 불가촉수로 여겨지며, 완전수, 친화수, 사교수, 메르센 수 등은 불가촉수가 아니다.
| 영어 이름 | Untouchable number |
|---|---|
| 다른 이름 | Nonaliquot number |
| 정의 | 자신을 제외한 약수들의 합으로 표현할 수 없는 자연수 |
| 예시 | 5는 불가촉수이다. 5의 자신을 제외한 약수는 1이며, 1은 다른 수의 자신을 제외한 약수들의 합으로 표현될 수 없다. |
| 최소 불가촉수 | 2 |
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| 발견 | 아랍의 수학자 이븐 알 하이탐 (알하젠으로도 알려짐)이 발견하였다. |
| 밀도 | 불가촉수의 집합은 점근적 밀도를 가진다. 불가촉수의 밀도는 자연수 밀도의 약 0.31 정도이다. |
| 개수 | 1000 미만의 불가촉수는 5개, 10,000 미만의 불가촉수는 81개, 1,000,000 미만의 불가촉수는 7427개 존재한다. |
| 짝수 여부 | 모든 불가촉수는 짝수이다. |
| 홀수 불가촉수 존재 여부 | 홀수 불가촉수는 존재하지 않는다고 추측되지만, 아직 증명되지는 않았다. 만약 홀수 불가촉수가 존재한다면, 10^18보다 큰 수여야 한다. |
| 수열 | 2, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100 (OEIS A005114]]) |
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| 참고 문헌 | [https://doi.org/10.1007/BF00348408 |
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정수열 -
실베스터 수열
실베스터 수열은 각 항이 이전 항들의 곱에 1을 더한 값으로 정의되는 정수 수열로서, 재귀적으로 정의되며 이중 지수 함수적으로 증가하고, 이집트 분수 및 탐욕 알고리즘과 관련이 있으며, 역수 합은 1로 수렴한다. -
정수열 -
소수 (수론)
소수는 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 1보다 큰 자연수이며, 무한히 많고 정수론의 기본 정리에서 중요한 역할을 하며 다양한 분야에 응용된다. -
수론 -
타원곡선
타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다. -
수론 -
최소공배수
최소공배수는 둘 이상의 정수들의 공배수 중 가장 작은 양의 정수로서, 소인수분해나 최대공약수와의 관계를 이용하여 구할 수 있으며, 분수 통분이나 기어 회전 수 계산 등 여러 분야에 응용된다.
2. 정의
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3. 예시
* 4는 9의 진약수의 합(1 + 3 = 4)과 같으므로 불가촉 수가 아니다.
* 6은 6 자체의 진약수의 합(1 + 2 + 3 = 6)과 같으므로 불가촉 수가 아니다.
* 5는 어떤 양의 정수의 진약수의 합도 아니므로 불가촉 수이다. 5를 1을 포함한 서로 다른 양의 정수의 합으로 나타내는 유일한 방법은 1 + 4이지만, 4가 어떤 수를 나누면 2도 나누므로 1 + 4는 어떤 수의 모든 진약수의 합이 될 수 없다. (약수 목록에는 4와 2가 모두 포함되어야 하기 때문이다.)
불가촉수의 예는 다음과 같다.
: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ...
3.1. 불가촉수인 경우
* 5는 어떤 양의 정수의 진약수의 합도 아니므로 불가촉 수이다. 5를 1을 포함한 서로 다른 양의 정수의 합으로 나타내는 유일한 방법은 1 + 4이지만, 4가 어떤 수를 나누면 2도 나누므로 1 + 4는 어떤 수의 모든 진약수의 합이 될 수 없다(약수 목록에는 4와 2가 모두 포함되어야 하기 때문이다).
처음 몇 개의 불가촉 수는 다음과 같다.
: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ...
3.2. 불가촉수가 아닌 경우
* 4는 9의 진약수(1, 3)의 합(1 + 3 = 4)으로 표현되므로 불가촉수가 아니다.
* 6은 6 자체의 진약수(1, 2, 3)의 합(1 + 2 + 3 = 6)으로 표현되므로 불가촉수가 아니다.
4. 성질
불가촉수는 소수보다 1 큰 수가 될 수 없다. p가 소수라면, p2의 진약수의 합은 p + 1이기 때문이다. 5를 제외하고, 불가촉수는 소수보다 3 큰 수가 될 수 없는데, p가 홀수 소수라면, 2p의 진약수의 합은 p + 3이기 때문이다.
4.1. 홀수 불가촉수
5는 유일한 홀수 불가촉수로 여겨지지만, 아직 증명되지 않았다. 이는 골드바흐의 추측의 약간 더 강력한 버전으로부터 유도될 수 있는데, pq의 진약수(여기서 p, q는 서로 다른 소수)의 합은 1 + p + q이기 때문이다. 따라서, 숫자 n이 서로 다른 두 소수의 합으로 표현될 수 있다면, n + 1은 불가촉수가 아니다. 6보다 큰 모든 짝수는 서로 다른 두 소수의 합으로 나타낼 수 있을 것으로 예상되므로, 아마도 7보다 큰 홀수는 불가촉수가 아니며, , , 이므로, 5만이 홀수 불가촉수가 될 수 있다.
4.2. 불가촉수와 합성수
2와 5를 제외한 모든 불가촉수는 합성수로 추정된다(2를 제외한 모든 짝수는 합성수이므로).
4.5. 소수와의 관계
불가촉수는 소수보다 1 큰 수가 될 수 없다. p가 소수라면, p2의 진약수의 합은 p + 1이기 때문이다. 5를 제외하고, 불가촉수는 소수보다 3 큰 수가 될 수 없다. p가 홀수 소수라면, 2p의 진약수의 합은 p + 3이기 때문이다.