실베스터 수열

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1. 개요

실베스터 수열은 다음과 같은 두 가지 방법으로 정의할 수 있다. 첫 번째는 s_n = 1 + ∏_i=0^n-1 s_i, 두 번째는 재귀 관계 s_i = s_i-1(s_i-1 - 1) + 1 (s₀ = 2)이다. 이 수열은 이중 지수적으로 증가하며, 이집트 분수와 관련이 있다. 또한, 사사키안 다양체, 빈 포장 문제, 절단 재고 문제, Znám 문제 등 다양한 분야에 응용된다.

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실베스터 수열

2. 형식적 정의

실베스터 수열은 다음 두 가지 방법으로 정의할 수 있다.^[1]^[2]

점화식 정의: $s_n = 1 + \prod_{i=0}^{n-1} s_i.$ (공곱은 1이므로 이 공식은 별도의 기저 사례 없이 ''s''₀ = 2를 제공한다.)
재귀 관계 정의: $\displaystyle s_i = s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1$ (단, $s_0 = 2$ )

2. 1. 점화식 정의

실베스터 수열은 다음 공식으로 정의할 수 있다.^[1]

:

s_n = 1 + \prod_{i=0}^{n-1} s_i.

공곱은 1이므로 이 공식은 별도의 기저 사례 없이 ''s''₀ = 2를 제공한다.

또는, 재귀 관계로 수열을 정의할 수도 있는데, 다음과 같다.

:

\displaystyle s_i = s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,

(여기서 기저 사례는 ''s''₀ = 2이다.)

귀납법을 사용하여 이것이 다른 정의와 동등함을 쉽게 보일 수 있다.^[2]

2. 2. 재귀 관계 정의

실베스터 수열은 다음 재귀 관계로 정의할 수 있다.^[2]

:

\displaystyle s_i = s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1

(단,

s_0 = 2

)

귀납법을 사용하면 이 정의가 다른 정의와 동등함을 보일 수 있다.^[2]

3. 닫힌 형식 표현과 점근적 성질

실베스터 수는 이중 지수적으로 증가하며, 이는 페르마 수와 비교할 만하다. ''E'' ≈ 1.26408473530530...^[3]을 사용하여 다음과 같은 닫힌 형식으로 표현할 수 있다.

: $s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac{1}{2} \right\rfloor$

이 공식을 이용해 실베스터 수를 계산하는 것은, ''E'' 값을 정확하게 구하는 더 효율적인 방법이 있다면, ''s''_''n''을 계산하고 반복적으로 제곱근을 구하는 것보다 더 실용적일 수 있다.^[3]

3. 1. 닫힌 형식

실베스터 수는 ''n''의 함수로 이중 지수적으로 증가한다. 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac{1}{2} \right\rfloor

여기서 ''E''는 대략 1.26408473530530...이다.^[3] 이 공식은 다음과 같은 알고리즘의 효과를 가진다.

''s''₀는 ''E''²에 가장 가까운 정수이다.
''s''₁는 ''E''⁴에 가장 가까운 정수이다.
''s''₂는 ''E''⁸에 가장 가까운 정수이다.
''s_n''에 대해서는, ''E''²을 취하고, 이를 ''n''번 더 제곱하여 가장 가까운 정수를 취한다.

3. 2. 페르마 수와의 관계

실베스터 수열의 이중 지수적인 증가는 페르마 수 ''F''_''n''과 비교했을 때 놀라운 일이 아니다. 페르마 수는 일반적으로 이중 지수 공식

2^{2^n} \!+ 1

으로 정의되지만, 다음과 같은 곱셈 공식으로도 정의할 수 있다.^[4]

:

F_n = 2 + \prod_{i=0}^{n-1} F_i.

4. 이집트 분수와의 관계

실베스터 수열의 역수로 구성된 무한 급수는 1로 수렴하며, 이는 이집트 분수 표현과 관련된다.^[5]

: $1 = \frac12 + \frac13 + \frac17 + \frac1{43} + \frac1{1807} + \cdots$

이 급수를 적절히 끊어서 마지막 분모에서 1을 빼면, 다양한 길이의 1에 대한 유한한 이집트 분수 표현을 얻을 수 있다.

: $1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16, \quad 1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac17 + \tfrac1{42}, \quad 1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac17 + \tfrac1{43} + \tfrac1{1806},\quad \dots.$

무한 급수의 첫 ''k''개 항의 합은 ''k''개 항으로 이루어진 이집트 분수 중 1보다 작은 가장 큰 값을 제공한다.^[6] 예를 들어 처음 네 항의 합은 1805/1806이므로, 열린 구간 (1805/1806, 1)에 있는 숫자의 이집트 분수는 최소 5개 항이 필요하다.

4. 1. 부분합 공식

실베스터 수열의 역수로 형성된 단위 분수는 다음과 같은 무한 급수를 생성한다.^[5]

:

\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{s_i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{43} + \frac{1}{1807} + \cdots.

이 급수의 부분 합은 간단한 형태를 가진다.

:

\sum_{i=0}^{j-1} \frac1{s_i} = 1 - \frac{1}{s_j-1} = \frac{s_j-2}{s_j-1}.

이것은 귀납법으로 증명될 수 있으며, 다음의 재귀 관계를 통해 증명할 수도 있다.

:

\frac{1}{s_i-1}-\frac{1}{s_{i+1}-1} = \frac{1}{s_i}.

따라서 합은 소거 급수가 된다.

:

\sum_{i=0}^{j-1} \frac{1}{s_i} = \sum_{i=0}^{j-1} \left( \frac{1}{s_i-1}-\frac{1}{s_{i+1}-1} \right) = \frac{1}{s_0-1} - \frac{1}{s_j-1} = 1 - \frac{1}{s_j-1}.

4. 2. 무한 이집트 분수 표현

실베스터 수열의 역수로 형성된 단위 분수는 다음과 같은 무한 급수를 생성한다.^[5]

:

\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{s_i} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{43} + \frac{1}{1807} + \cdots.

이 급수의 부분 합은 간단한 형태를 가진다.

:

\sum_{i=0}^{j-1} \frac1{s_i} = 1 - \frac{1}{s_j-1} = \frac{s_j-2}{s_j-1},

이것은 이미 기약 분수 형태이다. 이는 귀납법으로 증명될 수 있으며, 재귀 관계가 다음을 의미한다는 것을 직접적으로 주목하여 증명할 수도 있다.

:

\frac{1}{s_i-1}-\frac{1}{s_{i+1}-1} = \frac{1}{s_i},

따라서 합은 소거 급수가 된다.

:

\sum_{i=0}^{j-1} \frac{1}{s_i} = \sum_{i=0}^{j-1} \left( \frac{1}{s_i-1}-\frac{1}{s_{i+1}-1} \right) = \frac{1}{s_0-1} - \frac{1}{s_j-1} = 1 - \frac{1}{s_j-1}.

부분 합 (''s''_''j'' − 2)/(''s''_''j'' − 1)의 이 수열이 1로 수렴하므로, 전체 급수는 숫자 1의 무한한 이집트 분수 표현을 형성한다.

:

1 = \frac12 + \frac13 + \frac17 + \frac1{43} + \frac1{1807} + \cdots.

이 급수를 잘라서 마지막 분모에서 1을 빼면 임의의 길이의 1의 유한한 이집트 분수 표현을 찾을 수 있다.

:

1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16, \quad 1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac17 + \tfrac1{42}, \quad 1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac17 + \tfrac1{43} + \tfrac1{1806},\quad \dots.

무한 급수의 처음 ''k''개 항의 합은 모든 ''k''항 이집트 분수로 1을 가능한 가장 가깝게 과소 평가하는 값을 제공한다.^[6] 예를 들어, 처음 네 개의 항을 더하면 1805/1806이 되므로, 열린 구간 (1805/1806, 1)에 있는 숫자에 대한 이집트 분수는 최소 5개의 항이 필요하다.

실베스터 수열은 각 단계에서 급수의 부분 합이 1보다 작게 만드는 가장 작은 가능한 분모를 선택하는 이집트 분수에 대한 탐욕 알고리즘의 결과로 해석할 수 있다.

4. 3. 탐욕 알고리즘

실베스터 수열은 각 단계에서 급수의 부분 합이 1보다 작게 만드는 가장 작은 분모를 선택하는 이집트 분수에 대한 탐욕 알고리즘의 결과로 해석될 수 있다.^[6]

5. 빠르게 증가하는 유리 역수열의 유일성

실베스터 수열은 빠르게 증가하면서도 그 역수들의 합이 유리수로 수렴하는 거의 유일한 수열이다.

바데아(Badea)의 연구 결과에 따르면,^[15] 정수 수열 $a_n$ 이 다음 부등식을 만족하며 충분히 빠르게 증가하고,

: $a_n\ge a_{n-1}^2-a_{n-1}+1,$

그 역수들의 합

: $A=\sum\frac1{a_i}$

이 유리수 ''A''로 수렴한다면, 충분히 큰 ''n''에 대해 이 수열은 실베스터 수열을 정의하는 점화식과 동일한

: $a_n= a_{n-1}^2-a_{n-1}+1$

로 정의되어야 한다.

에르되시와 그레이엄은 수열 $a_n$ 이

: $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}^2}=1.$

을 만족할 때, 역수 합이 유리수가 된다면, 충분히 큰 ''n''에 대하여 $a_n= a_{n-1}^2-a_{n-1}+1$ 이 성립한다고 추측했다.^[15] 바데아(Badea)는 이 추측과 관련된 진전을 조사했다.

6. 나눗셈과 인수분해

실베스터 수열은 서로소 성질을 가지며, 이는 소수가 무한히 존재함을 증명하는 데 사용된다. 각 소수는 실베스터 수열에서 최대 하나의 수만 나눌 수 있기 때문이다. 실베스터 수의 소인수는 6으로 나눌 때 5와 합동일 수 없으며, 이를 통해 12로 나눌 때 7과 합동인 소수가 무한히 많음을 증명할 수 있다.^[7]

실베스터 수의 인수분해에 대해서는 알려지지 않은 부분이 많다. 예를 들어, 모든 실베스터 수가 제곱-없는 수인지 여부는 알려져 있지 않지만, 현재까지 알려진 모든 항은 제곱-없는 수이다.^[7]

바르디에 따르면, 주어진 소수 ''p''가 어떤 실베스터 수를 나누는지 판별하는 것은 간단하다. ''p''로 나눈 나머지가 0이 되는 수를 찾거나, 반복되는 나머지를 찾을 때까지 실베스터 수열을 ''p''로 나눈 나머지를 계산하면 된다. 이 방법을 통해 바르디는 처음 300만 개의 소수 중 1166개가 실베스터 수의 약수임을 발견했으며, 이 소수들 중 어떤 것도 실베스터 수를 제곱으로 나누지 않음을 확인했다.^[8]

실베스터 수의 인수로 나타나는 소수의 집합은 모든 소수의 집합에서 밀도가 0이다. 실제로, ''x''보다 작은 그러한 소수의 수는 $O(\pi(x) / \log\log\log x)$ 이다.

다음 표는 처음 네 개 항을 제외한 실베스터 수의 알려진 인수분해를 보여준다.^[9]

n	s_n의 인수
4	13 × 139
5	3263443 (소수)
6	547 × 607 × 1033 × 31051
7	29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
8	5295435634831 × 31401519357481261 × 77366930214021991992277
9	181 × 1987 × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851
10	2287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × (156자리의 소수)
11	73 × (416자리의 수)
12	2589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × (785자리의 수)
13	52387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × (1600자리의 수)
14	13999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × (3293자리의 수)
15	17881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × (6618자리의 수)
16	128551 × (13335자리의 수)
17	635263 × 1286773 × 21269959 × (26661자리의 수)
18	50201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × (53313자리의 수)
19	775608719589345260583891023073879169 × (106685자리의 수)
20	352867 × 6210298470888313 × (213419자리의 수)
21	387347773 × 1620516511 × (426863자리의 수)
22	91798039513 × (853750자리의 수)

여기서 P''n''은 ''n''자리 소수, C''n''은 ''n''자리 합성수를 의미한다.

6. 1. 서로소 성질

i^영어 < j^영어이면, s_j^영어 ≡ 1 (mod s_i^영어)이다. 따라서 실베스터 수열의 모든 두 수는 서로소이다.^[7] 이 수열은 무한히 많은 소수가 존재함을 증명하는 데 사용될 수 있는데, 그 이유는 소수는 수열에서 최대 하나의 수만 나눌 수 있기 때문이다. 더 나아가, 수열에 있는 수의 소인수는 6으로 나눌 때 5와 합동일 수 없으며, 이 수열은 12로 나눌 때 7과 합동인 소수가 무한히 많음을 증명하는 데 사용될 수 있다.^[7]

다음 표는 처음 몇 개의 실베스터 수에 대한 알려진 인수분해를 보여준다 (처음 네 개는 모두 소수이므로 제외).^[9]

n	s_n의 인수
4	13 × 139
5	3263443 (소수)
6	547 × 607 × 1033 × 31051
7	29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
8	5295435634831 × 31401519357481261 × 77366930214021991992277
9	181 × 1987 × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851
10	2287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × P156
11	73 × C416
12	2589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × C785
13	52387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × C1600
14	13999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × C3293
15	17881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × C6618
16	128551 × C13335
17	635263 × 1286773 × 21269959 × C26661
18	50201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × C53313
19	775608719589345260583891023073879169 × C106685
20	352867 × 6210298470888313 × C213419
21	387347773 × 1620516511 × C426863
22	91798039513 × C853750

여기서 P''n''은 ''n''자리 소수, C''n''은 ''n''자리 합성수를 의미한다.

6. 2. 소인수분해 관련 미해결 문제

실베스터 수열의 수의 인수분해에 대해서는 아직 알려지지 않은 부분이 많다. 예를 들어, 수열의 모든 수가 제곱-없는 수인지 여부는 알려져 있지 않지만, 알려진 모든 항은 그렇다.^[7]

바르디가 설명한 바와 같이, 주어진 소수 ''p''가 어떤 실베스터 수를 나누는지(있는 경우) 결정하는 것은 간단하다. 0과 합동인 수(mod ''p'')를 찾거나 반복되는 모듈러스를 찾을 때까지 숫자를 정의하는 재귀를 ''p''로 나눈 나머지를 계산하기만 하면 된다. 이 기술을 사용하여 그는 처음 300만 개의 소수 중 1166개가 실베스터 수의 약수임을 발견했고,^[8] 이러한 소수 중 어느 것도 실베스터 수를 나누는 제곱을 가지고 있지 않았다.

실베스터 수의 인수로 나타날 수 있는 소수의 집합은 모든 소수의 집합에서 밀도가 0이다. 실제로, ''x''보다 작은 그러한 소수의 수는

O(\pi(x) / \log\log\log x)

이다.

다음 표는 처음 네 개 항을 제외한 실베스터 수의 알려진 인수분해를 보여준다.^[9]

n	s_n의 인수
4	13 × 139
5	3263443 (소수)
6	547 × 607 × 1033 × 31051
7	29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
8	5295435634831 × 31401519357481261 × 77366930214021991992277
9	181 × 1987 × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851
10	2287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × (156자리의 소수)
11	73 × (416자리의 수)
12	2589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × (785자리의 수)
13	52387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × (1600자리의 수)
14	13999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × (3293자리의 수)
15	17881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × (6618자리의 수)
16	128551 × (13335자리의 수)
17	635263 × 1286773 × 21269959 × (26661자리의 수)
18	50201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × (53313자리의 수)
19	775608719589345260583891023073879169 × (106685자리의 수)
20	352867 × 6210298470888313 × (213419자리의 수)
21	387347773 × 1620516511 × (426863자리의 수)
22	91798039513 × (853750자리의 수)

6. 3. 소인수 판별

Vardi^영어가 설명한 바와 같이, 주어진 소수 가 실베스터 수를 나누는지 여부를 판별하는 것은 간단하다. 를 법으로 0과 합동이 되는 수 또는 주기적인 수열 중 하나를 찾을 때까지, 법 아래에서 실베스터 수열을 계산하면 된다.^[8] 이 방법을 사용하여 Vardi^영어는 처음 300만 개의 소수 중 1166개가 실베스터 수의 약수임을 발견했고, 이러한 수의 제곱이 실베스터 수의 인수가 되지 않는다는 것을 밝혀냈다.

실베스터 수의 인수로 나타나는 소수의 집합은 모든 소수의 집합에서 밀도가 0(Natural density^영어의 의미)이다.^[9] 실제로, 보다 작은 그러한 소수의 수는

O(\pi(x) / \log\log\log x)

이다.

다음 표는 실베스터 수의 알려진 인수분해를 보여준다. (처음 네 개는 모두 소수이므로 제외)^[9]

	의 인수
4	13 × 139
5	3263443 (소수)
6	547 × 607 × 1033 × 31051
7	29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
8	5295435634831 × 31401519357481261 × 77366930214021991992277
9	181 × 1987 × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851
10	2287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × (156자리의 소수)
11	73 × (416자리의 수)
12	2589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × (785자리의 수)
13	52387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × (1600자리의 수)
14	13999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × (3293자리의 수)
15	17881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × (6618자리의 수)
16	128551 × (13335자리의 수)
17	635263 × 1286773 × 21269959 × (26661자리의 수)
18	50201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × (53313자리의 수)
19	775608719589345260583891023073879169 × (106685자리의 수)
20	352867 × 6210298470888313 × (213419자리의 수)
21	387347773 × 1620516511 × (426863자리의 수)
22	91798039513 × (853750자리의 수)

6. 4. 소인수의 밀도

실베스터 수의 인수로 나타날 수 있는 소수의 집합은 모든 소수의 집합에서 밀도가 0이다.^[8] 실제로, ''x''보다 작은 그러한 소수의 수는

O(\pi(x) / \log\log\log x)

이다.^[8]

다음 표는 알려진 실베스터 수의 인수분해를 보여준다 (처음 네 개는 모두 소수이므로 제외).^[9]

n	s_n의 인수
4	13 × 139
5	3263443 (소수)
6	547 × 607 × 1033 × 31051
7	29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
8	5295435634831 × 31401519357481261 × 77366930214021991992277
9	181 × 1987 × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851
10	2287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × (156자리의 소수)
11	73 × (416자리의 수)
12	2589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × (785자리의 수)
13	52387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × (1600자리의 수)
14	13999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × (3293자리의 수)
15	17881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × (6618자리의 수)
16	128551 × (13335자리의 수)
17	635263 × 1286773 × 21269959 × (26661자리의 수)
18	50201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × (53313자리의 수)
19	775608719589345260583891023073879169 × (106685자리의 수)
20	352867 × 6210298470888313 × (213419자리의 수)
21	387347773 × 1620516511 × (426863자리의 수)
22	91798039513 × (853750자리의 수)

7. 응용

실베스터 수열은 여러 분야에 활용된다.

보이어, 갈리키, 콜라는 실베스터 수열의 속성을 사용하여 사사키 아인슈타인 다양체를 대량으로 만들었다.^[19]^[20]
갈람보스와 뵈징거는 브라운과 리앙이 실베스터 수열에서 파생된 값을 사용하여 온라인 알고리즘 빈 포장 알고리즘에 대한 하한 예시를 구성했다고 설명했다.^[10]
시든과 뵈징거는 이 수열을 사용하여 2차원 절단 재고 문제 알고리즘의 성능에 대한 하한을 설정했다.^[10]
Znám 문제는 집합 내의 각 숫자가 다른 모든 숫자의 곱에 1을 더한 값을 나누지만, 그 값과 같지는 않은 숫자들의 집합에 관한 것이다. 부등식 조건이 없다면, 실베스터 수열의 값들이 이 문제의 해가 될 수 있다. 부등식 조건이 있는 경우에도, 실베스터 수열을 정의하는 재귀와 유사한 다른 해들이 존재한다.^[10]^[22]
커티스는 단일 분수의 ''k''항 합에 의한 1에 가장 가까운 근사가 모든 완전수의 약수의 수를 하한으로 정하는데 사용되며, 밀러는 동일한 속성을 사용하여 특정 군의 크기를 상한으로 정한다고 설명했다.

7. 1. 사사키안 다양체

Boyer, Galicki, Kollár|보이어, 갈리키, 콜라^영어는 실베스터 수열의 속성을 사용하여 사사키안 다양체 아인슈타인 다양체를 대량 생성했으며, 이는 차동 위상수학의 홀수 차원 초구 또는 이국적인 구를 갖는다.^[19]^[20] 그들은 2''n'' − 1 차원의 위상적 구에 대한 서로 다른 Sasakian 아인슈타인 리만 계량의 수는 적어도 ''s''_''n''에 비례하며 따라서 ''n''에 대해 이중 지수적으로 증가함을 보여준다.

7. 2. 빈 포장 문제

갈람보스와 뵈징거가 설명한 바와 같이, 브라운과 리앙은 실베스터 수열에서 파생된 값을 사용하여 온라인 알고리즘 빈 포장 알고리즘에 대한 하한 예시를 구성했다.^[10]

7. 3. 절단 재고 문제

Seiden^영어과 Woeginger^영어는 실베스터 수열을 사용하여 2차원 절단 재고 문제 알고리즘의 성능에 대한 하한을 설정한다.^[10]

7. 4. Znám 문제

Znám 문제는 집합 내의 각 숫자가 다른 모든 숫자의 곱에 1을 더한 값을 나누지만, 그 값과 같지는 않은 숫자들의 집합에 관한 문제이다. 부등식 조건이 없다면, 실베스터 수열의 값들이 이 문제의 해가 될 수 있다. 부등식 조건이 있는 경우에도, 실베스터 수열을 정의하는 재귀와 유사한 다른 해들이 존재한다. Znám 문제의 해는 표면 특이점의 분류 및 비결정적 유한 오토마타 이론에 적용된다.^[10]^[22]

7. 5. 기타 응용

보이어(Boyer), 갈리키(Galicki), 콜라(Kollár) (2005)는 실베스터 수열의 속성을 이용하여 사사키 아인슈타인 다양체를 대량 생성했으며, 이는 차분 위상수학의 홀수 차원 초구 또는 이국적인 구를 갖는다고 밝혔다. 그들은 2''n'' - 1 차원의 위상적 구에 대한 서로 다른 사사키 아인슈타인 리만 계량의 수는 적어도 ''s''_''n''에 비례하며 따라서 ''n''에 대해 이중 지수적으로 증가함을 보여주었다.^[19]^[20]

갈람보스(Galambos)와 보깅거(Woeginger)(1995)가 설명한 바와 같이, 브라운(Brown)(1979) 및 리앙(Liang)(1980)은 실베스터 수열에서 파생된 값을 사용하여 온라인 알고리즘 빈 포장 알고리즘에 대한 하한 예시를 구성했다. 시든(Seiden)과 보깅거(Woeginger)(2005)는 유사하게 이 수열을 사용하여 2차원 절단 재단 알고리즘의 성능에 대한 하한을 설정한다.^[10]

Znám의 문제는 집합 내의 각 숫자가 다른 모든 숫자의 곱에 더하기 1을 나눌 수 있지만 같지는 않은 숫자들의 집합에 관한 것이다. 부등식 요구 사항이 없으면 실베스터 수열의 값이 문제를 해결할 수 있다. 해당 요구 사항이 있으면 실베스터 수열을 정의하는 재귀와 유사한 다른 해를 갖는다. Znám의 문제에 대한 해결책은 표면 특이점의 분류(브렌턴(Brenton)과 힐(Hill) 1988) 및 비결정적 유한 오토마타 이론에 적용된다.^[22]

커티스(Curtiss)(1922)는 단일 분수의 ''k''항 합에 의한 1에 가장 가까운 근사의 응용을 설명하며, 이는 모든 완전수의 약수의 수를 하한으로 정하는데 사용하며, 밀러(Miller)(1919)는 동일한 속성을 사용하여 특정 군의 크기를 상한으로 정한다.

참조

_[1] OEIS Sylvester's sequence
_[2] 논문 1880
_[3] 서적 formula 4.17, exercise 4.37 1989
_[4] OEIS Fermat numbers
_[5] 논문 1880
_[6] 논문 1922
_[7] 서적 research problem 4.65 1989
_[8] 문서 This appears to be a typo, as Andersen finds 1167 prime divisors in this range.
_[9] 웹사이트 a list of factorizations of Sylvester's sequence http://primerecords.[...] 2014-06-13
_[10] 논문
_[11] 서적 2003
_[12] 논문 1963
_[13] 논문 1922
_[14] 서적 1980
_[15] 논문 1980
_[16] 논문 2007-2020
_[17] 논문 2006a
_[18] 논문 2006b
_[19] 문서 Sasaki manifold
_[20] 논문 2005
_[21] 논문
_[22] 논문 1988
_[23] 웹사이트 Znam's Problem http://mathworld.wol[...]

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