소수 (수론)

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1. 개요

소수(素數)는 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 1보다 큰 자연수이다. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 등과 같이 무한히 많으며, 소수가 아닌 1보다 큰 자연수는 합성수라고 한다. 소수는 고대 이집트 시대부터 연구되었으며, 유클리드는 소수가 무한히 많다는 것을 증명했다. 소수는 정수론의 기본 정리에서 중요한 역할을 하며, 모든 자연수는 소수의 곱으로 유일하게 표현될 수 있다. 소수의 분포는 소수 정리로 설명되며, 소수는 암호학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에 응용된다.

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소수 (수론)
개요
정의	1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 자연수
다른 이름	씨수 (문화어)
영어	prime number (프라임 넘버)
예시
처음 10개 소수	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
가장 큰 소수 (2024년 10월 21일 기준)	2^136,279,841 − 1
성질
짝수 소수	2 (유일)
소인수 분해	모든 자연수는 소수의 곱으로 표현 가능
소수의 개수	무한히 많음
활용
암호학	RSA 암호 등 공개 키 암호 방식의 핵심 요소
정보 기술	해시 테이블 등 다양한 알고리즘에 활용
참고
관련 항목	소인수 분해 소수 정리 메르센 소수 페르마 소수 쌍둥이 소수

2. 정의 및 예시

1과 자기 자신만으로 나누어 떨어지는 1보다 큰 자연수를 소수라고 정의한다. 1보다 크고 소수가 아닌 수는 합성수라고 한다.^[3] 2는 유일한 짝수 소수이며, 2를 제외한 모든 소수는 홀수이다.^[10]

예를 들어, 1부터 6까지의 숫자 중에서 2, 3, 5는 나머지가 없이 나누어 떨어지는 다른 숫자가 없기 때문에 소수이다.^[6] 1은 정의에 따라 소수가 아니다. 4 = 2 × 2, 6 = 2 × 3 이므로 4와 6은 합성수이다.

캡션 참조 — 7이 소수임을 퀴즈네르 막대로 시연. 2, 3, 4, 5 또는 6으로 나누어 떨어지지 않음

100 이하의 소수는 다음과 같다.^[9]

100 이하의 소수 목록
2	3	5	7
11	13	17	19	23	29	31	37
41	43	47	53	59	61	67	71	73	79
83	89	97

3. 역사

소수에 대한 최초의 기록은 고대 이집트 파피루스에서 찾을 수 있는데, 여기에는 소수와 합성수를 구분하여 다른 형태로 표기하였다. 그러나 소수에 대한 본격적인 연구는 고대 그리스에서 시작되었다. 유클리드의 《유클리드 원론(기원전 300년경)에는 소수가 무한히 많다는 내용(소수의 무한성)과 정수론의 기본 정리가 포함되어 있다. 유클리드는 메르센 소수로부터 완전수를 만드는 방법도 설명하였다. 에라토스테네스의 체는 소수 목록을 만드는 고대 그리스의 방법이다.^[16]^[17]

자연수를 나선형으로 배열하고 소수만 검게 칠한 것 (울람 나선).
소수가 고밀도로 모인 대각선, 수평선, 수직선을 볼 수 있다. 소수의 분포가 극도로 난해하기 때문에, 이 소수 패턴이 나타내는 사실에 대해서는 아직 밝혀지지 않았다.

유클리드 이후 17세기까지 소수에 대한 연구는 별로 없었다. 페르마는 1640년에 페르마 소정리를 증명 없이 발표하였고, 이후 라이프니츠와 오일러가 증명하였다.^[19] 페르마는 페르마 수

2^{2^n}+1

의 소수성을 연구했으며,^[20] 마린 메르센은

p

자체가 소수인 형태의 소수인 메르센 소수

2^p-1

을 연구했다.^[21]

많은 수학자들이 나눗셈 시도가 실제로 적용 가능한 숫자보다 큰 숫자에 대한 소수 판별법에 대해 연구했다. 특정 숫자 형태에만 제한된 방법으로는 페팽의 검증법 (1877),^[27] 프로스의 정리 (1878년경),^[28] 루카스-르머 소수 판별법 (1856년 시작)과 일반화된 루카스 소수 판별법 등이 있다.^[17]

1951년 이후로 알려진 모든 가장 큰 소수는 컴퓨터를 사용하여 발견되었다. 더욱 큰 소수를 찾는 것은 거대 인터넷 메르센 소수 찾기 및 기타 분산 컴퓨팅 프로젝트를 통해 수학계 밖에서도 관심을 불러일으켰다.^[9]^[30]

3. 1. 한국에서의 소수 연구

한국 수학사에서 소수 연구에 대한 기록은 현재까지 명확하게 발견되지 않았다. 다만, 조선 시대 산학서에는 분수 계산과 관련된 내용이 존재하며, 이는 소수의 초등적인 성질에 대한 이해가 있었음을 짐작하게 한다.

현대 한국 사회에서 소수는 정보 보안 및 암호학 분야에서 핵심적인 역할을 담당한다. 특히, 공개 키 암호 방식은 큰 소수를 기반으로 한 암호화 알고리즘을 사용하며, 이는 인터넷 뱅킹, 전자 상거래 등 다양한 분야에서 안전한 데이터 전송을 가능하게 한다.

최근 한국에서는 소수와 관련된 다양한 연구가 진행되고 있다. 소수의 분포, 소수 판별 알고리즘, 암호학적 응용 등이 주요 연구 분야이며, 이는 정보 통신 기술 발전에 기여하고 있다.

4. 기본 성질

자연수 (1, 2, 3, 4, 5, 6 등)가 1보다 크고 두 개의 작은 자연수의 곱으로 표현될 수 없을 때, 이를 소수라고 부른다. 1보다 크고 소수가 아닌 수는 합성수라고 한다.^[3] 즉, $n$ 개의 항목을 한 개 이상의 항목으로 구성된 작은 동일 크기 그룹으로 나눌 수 없거나,^[4] $n$ 개의 점을 너비와 높이가 모두 1개 이상인 직사각형 격자로 배열할 수 없는 경우 $n$ 은 소수이다.^[5] 예를 들어, 1부터 6까지의 숫자 중에서 2, 3, 5는 소수인데,^[6] 나머지가 없이 나누어 떨어지는 다른 숫자가 없기 때문이다. 1은 정의에서 명시적으로 제외되었기 때문에 소수가 아니다. 4 = 2 × 2와 6 = 2 × 3는 모두 합성수이다.

자연수 $n$ 의 약수는 $n$ 을 나누어 떨어지게 하는 자연수이다. 모든 자연수는 1과 자기 자신을 약수로 갖는다. 다른 약수가 있으면 소수가 될 수 없다. 이것은 소수의 동등한 정의로 이어지는데, 즉 정확히 두 개의 양의 약수를 갖는 숫자(1과 자기 자신)이다. 1은 자기 자신이라는 하나의 약수만 가지므로 이 정의에 따르면 소수가 아니다.^[7] 같은 내용을 표현하는 또 다른 방법은 숫자 $n$ 이 1보다 크고 숫자 $2, 3, \dots, n-1$ 중 어떤 숫자도 $n$ 을 나누어 떨어지게 하지 않는 경우 소수라는 것이다.^[8]

처음 25개의 소수 (100보다 작은 모든 소수)는 다음과 같다.^[9]

: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

2보다 큰 어떤 짝수 $n$ 도 소수가 아닌데, 그러한 숫자는 $2\times n/2$ 의 곱으로 표현될 수 있기 때문이다. 따라서 2를 제외한 모든 소수는 홀수이며, 홀수 소수라고 불린다.^[10] 마찬가지로, 일반적인 십진법으로 표기했을 때 5보다 큰 모든 소수는 1, 3, 7 또는 9로 끝난다. 다른 숫자로 끝나는 숫자는 모두 합성수이다. 0, 2, 4, 6 또는 8로 끝나는 십진수는 짝수이고, 0 또는 5로 끝나는 십진수는 5로 나누어 떨어진다.^[11]

모든 소수의 집합은 때때로 $\mathbf{P}$ (굵은 글꼴 대문자 P)^[12] 또는 $\mathbb{P}$ (블랙보드 볼드 대문자 P)로 표시된다.^[13]

소수의 역수의 합은 (무한대로) 발산한다. 이 명제는 '소수는 무수히 존재한다'는 명제를 포함하며, 소수의 분포에 관하여 더 많은 정보를 제공한다. 이 결과는 처음에 레온하르트 오일러에 의해 제타 함수를 연구함으로써 얻어졌다. 폴 에르되시는 더 직접적이고 간결한 증명을 제시했다.

쌍둥이 소수의 역수 합은 브륀 상수에 수렴한다.

$(a, m) = 1$ 일 때, 등차수열: $a, a + m, a + 2m, …$ 에는 소수인 항이 무수히 많이 포함되어 있다. (디리클레 정리)

::

m = 10

으로 하면, 십진법 표기에서 일의 자리가 1, 3, 7, 9인 소수는 모두 무수히 많다는 것을 알 수 있다.

소수 $p$ 에 대해, $(a, p) = 1 \Rightarrow a^{p-1} \equiv 1 (mod p)$ (페르마의 소정리)
$p$ 가 소수 $\Leftrightarrow (p - 1)! \equiv -1 (mod p)$ (윌슨의 정리)
소수의 제곱 차는 5의 배수, 3의 배수, 8의 배수 중 하나이다.

:

5 (= 3^2 - 2^2), 16 (= 5^2 - 3^2), 21 (= 5^2 - 2^2), 24 (= 7^2 - 5^2), 40 (= 7^2 - 3^2), …

약수의 합이 소수가 되는 자연수는, 2와 소수 또는 그 거듭제곱수의 제곱수이다. 그러나, 소수나 그 거듭제곱수의 자승이라도 약수의 합이 소수가 된다는 보장은 없다. 약수의 합이 소수가 되는 수가 무한히 존재하는지에 대한 증명은 아직 없다.
7진법 표기에서, 5 이상의 소수의 숫자근은 반드시 1 또는 5가 된다.

4. 1. 소인수 분해의 유일성

정수론의 기본 정리에 의해, 모든 자연수는 꼭 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 표현할 수 있으며, 이를 소인수 분해의 일의성이라고 한다. 즉, 곱셈의 관점에서 소수는 자연수를 이루는 성분이다.^[46]

예를 들면 다음과 같다.

:

23244 = 2^2 \times 3 \times 13 \times 149

23244는 (약수의 순서를 무시하면) 단 한 가지 방법으로 소인수 분해된다. 이 정리의 중요성은 소수들의 집합에서 1을 제외하는 이유 중 하나이다. 만일 1이 소수라면 이 정리의 엄밀한 진술을 위해 추가적인 제한 조건이 필요하기 때문이다.

숫자를 소수의 곱으로 나타내는 것을 그 숫자의 ''소인수분해''라고 한다. 예를 들면 다음과 같다.

:

\begin{align}50 &= 2\times 5\times 5\\&=2\times 5^2.\end{align}

곱의 각 항을 ''소인수''라고 부른다. 같은 소인수가 여러 번 나타날 수 있는데, 이 예시에서는 소인수

5

가 두 번 나타난다. 소수가 여러 번 나타날 경우, 거듭제곱을 사용하여 같은 소수의 여러 복사본을 묶을 수 있다. 예를 들어, 위의 곱을 쓰는 두 번째 방법에서

5^2

는

5

의 제곱 또는 2제곱을 나타낸다.

수론, 더 나아가 일반적인 수학에서 소수의 중심적인 중요성은 ''산술의 기본 정리''에서 비롯된다.^[46] 이 정리는 1보다 큰 모든 정수는 하나 이상의 소수의 곱으로 나타낼 수 있다고 말한다. 더 강력하게는, 이 곱은 같은 숫자의 소인수분해가 같은 수의 같은 소수의 복사본을 가질 것이라는 점에서 고유하다.^[47] 따라서, 정수 인수분해 알고리즘을 사용하여 인수분해를 찾는 다양한 방법이 있지만, 모두 같은 결과를 생성해야 한다.

소인수분해의 고유성에 대한 몇몇 증명은 유클리드의 보조정리에 기반한다. 만약

p

가 소수이고

p

가 정수

a

와

b

의 곱

ab

를 나눈다면,

p

는

a

또는

b

를 나눈다 (또는 둘 다).^[49] 반대로, 어떤 숫자

p

가 어떤 곱을 나눌 때 항상 그 곱의 적어도 하나의 인수를 나누는 성질을 가지고 있다면,

p

는 소수여야 한다.^[50]

4. 2. 소수의 무한성

소수는 무한하다. 이 명제를 유클리드의 정리라고 하며, 가장 오래된 증명은 그리스 수학자 유클리드의 《유클리드 원론》(제9권, 정리 20)에서 볼 수 있다. 유클리드의 증명은 “어느 주어진 유한한 소수들 보다 더 많다.”라는 결론으로 표현된다.^[54]

유클리드는 유한 개의 소수가 존재한다고 가정하고, 이 유한 개의 소수들을 모두 곱한 값에 1을 더하는 방식을 사용했다. (유클리드 수 참조) 이렇게 만들어진 수는 다른 어떤 소수로 나누어도 나머지가 1이므로 어떤 소수로도 나누어떨어지지 않는다. 따라서 이 수가 소수라면 기존의 최대 소수보다 큰 소수가 있다는 것이 증명되고, 이 수가 소수가 아니라고 해도 또 다른 소수가 있어야 한다는 것을 의미하기 때문에 소수가 유한하다는 애초 가정에 모순이 있음을 보였다.^[54]

다른 수학자들도 각자의 증명을 내놓았다. 오일러는 모든 소수들의 역수의 합이 발산한다는 증명으로부터 소수의 개수가 무한함을 보였다.^[54] 골드바흐는 페르마 수를 기반으로 증명했고,^[51] 푸르스텐버그는 일반 위상수학을 사용한 증명을 제시했다.^[52]

소수를 나열하면 다음과 같다.

: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

이 수열은 결코 끝나지 않는다.

유클리드의 증명은 주어진 소수 목록을 모두 곱한 다음 1을 더하는 것이 핵심 아이디어이다. 만약 소수 목록이 $p_1, p_2, ..., p_n$으로 구성되어 있다면, 다음 수 $N$을 생각한다.

:$ N = 1 + p_1 \cdot p_2 \cdots p_n $

소인수분해의 기본 정리에 따라, $N$은 소인수분해를 가지는데, 이 소인수들은 주어진 목록에 있을 수 없다. 왜냐하면 $N$은 주어진 목록에 있는 어떤 소수로 나누어도 나머지가 1이기 때문이다. 따라서 모든 소수를 포함하는 유한 목록은 없기 때문에, 소수는 무한히 많아야 한다.

가장 작은 소수들의 곱에 1을 더하여 형성된 수들은 유클리드 수라고 불린다.^[55] 그 중 처음 다섯 개는 소수이지만, 여섯 번째 수 $1+(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13) = 30031 = 59 \cdot 509$는 합성수이다.

4. 3. 소수 공식

현재까지 효율적인 소수 생성 공식은 알려져 있지 않다. 여러 변수를 포함하더라도 소수 값만을 반환하는 비상수 다항식은 존재하지 않는다.^[57] 그러나 모든 소수 또는 소수만을 표현하는 다양한 공식들이 존재한다.

윌슨의 정리를 기반으로 한 공식은 숫자 2를 여러 번 생성하고 다른 모든 소수를 정확히 한 번 생성한다.^[56] 또한, 9개의 변수와 1개의 매개변수를 갖는 디오판토스 방정식 시스템이 있는데, 이 매개변수가 자연수 해를 가질 경우에만 소수가 된다. 이를 통해 모든 양수 값이 소수인 공식을 얻을 수 있다.^[57]

밀스의 정리와 라이트의 정리에 따르면, 다음과 같은 실수 상수

A>1

과

\mu

가 존재한다.

:

\left \lfloor A^{3^n}\right \rfloor \text{ and } \left \lfloor 2^{\cdots^{2^{2^\mu}}} \right \rfloor

이는 첫 번째 공식에서는 모든 자연수

n

에 대해, 두 번째 공식에서는 지수의 개수에 관계없이 소수가 된다.^[58] 여기서

\lfloor {}\cdot{} \rfloor

는 해당 숫자보다 작거나 같은 가장 큰 정수인 바닥 함수를 나타낸다. 그러나

A

또는

\mu

의 값을 계산하려면 먼저 소수를 생성해야 하므로, 이러한 공식들은 소수를 생성하는 데 실질적으로 유용하지 않다.^[57]

1964년 윌런스(Willans C.P.)가 보고한 윌슨의 정리에 기초한 공식은

n

번째 소수

p(n)

를 구할 수 있다.

:

p(n)=1+ \textstyle\sum\limits_{m=1}^{2^n} \left\lfloor \sqrt[n]{ \dfrac{n}{\sum\limits_{k=1}^m \left\lfloor \cos^2 \frac{\left(k-1 \right)! +1}{k} \pi \right\rfloor}} \right\rfloor

^[215]

하지만, 밀스의 상수를 사용하는 공식과 같이, 이러한 공식들 중에서 실질적으로 계산 가능한 것은 알려져 있지 않다.^[214]

오일러가 발견한 다음 식도 있다.

$f(n) = n^2 - n + 41$

이 식은

n

이

n < 41

일 때 모두 소수가 된다. 이는 허이차 체

\mathbb{Q}(\sqrt{-163})

의 류수가 1인 것과 관련이 있다.^[216]^[217]

일반적으로,

0 \le n < p

에서 다항식

f(n) = n^2 - n + p

가 소수 값을 가질 때, 소수

p

의 값을 '오일러의 행운수'^[218]라고 한다. 오일러의 행운수는 2, 3, 5, 11, 17, 41의 6개뿐이며, 이들은 모두 헤그너 수와 대응한다.

이 외에도 여러 가지 다항식들이 존재한다.

루비의 다항식: $f(n) = 36n^2 - 810n + 2753$ 는 $n = 0, \dots, 44$ 에서 모두 소수가 된다.
$103n^2 - 3945n + 34891$ (Ruby)
$47n^2 - 1701n + 10181$ (Fung)

: 위 두 식은

n = 0, \dots, 42

에서 모두 소수가 된다.

$36n^2 - 2358n + 36809$ (Willium)는 $n = 0, \dots, 44$ 에서 절대값은 모두 소수가 된다.

고차 다항식은 별로 알려져 있지 않지만 다음의 식이 있다.

$n^3 - 34n^2 + 381n - 1511$ (Goetgheluck)
$2n^3 - 45n^2 + 331n - 3191$ (Goetgheluck)

: 위 두 식은

n = 0, \dots, 25

에서 절대값은 모두 소수가 된다.

단,

n^3 - 34n^2 + 381n - 1511

의

n = 9, 12, 13

에서

-107

을 취하는 등 같은 소수가 여러 번 나타나는 경우가 있다.

5. 소수의 분포

해석적 수론은 연속 함수, 극한, 무한 급수 등의 수학적 도구를 통해 수론을 연구하는 분야이다. 이 분야는 레온하르트 오일러가 바젤 문제를 해결하면서 시작되었는데, 이 문제는 무한 합의 값을 구하는 문제였고, 오늘날에는 리만 제타 함수의 값( $\zeta(2)$ )으로 알려져 있다. 이 함수는 소수와 리만 가설과 밀접하게 관련되어 있다. 오일러는 이 값이 $\pi^2/6$ 임을 보였다.^[72] 이 수의 역수( $6/\pi^2$ )는 큰 범위에서 임의로 선택된 두 수가 서로소일 확률과 같다.^[73]

주어진 큰 수보다 작은 소수가 얼마나 많은지에 대한 문제는 소수 정리로 설명되지만, n번째 소수를 구하는 효율적인 소수 공식은 아직 알려져 있지 않다. 디리클레의 산술 급수 정리는 서로소인 두 정수 $a$ 와 $b$ 에 대해 $p(n) = a + bn$ 형태의 식이 무한히 많은 소수 값을 갖는다고 말한다. 더 강력한 정리에 따르면, 이러한 소수 값의 역수 합은 발산하며, 같은 $b$ 를 갖는 서로 다른 선형 다항식은 소수의 비율이 거의 같다. 고차 다항식에서 소수의 비율에 대한 추측은 있지만, 아직 증명되지 않았으며, 이차 다항식이 무한히 많은 경우 소수인지 여부는 알려져 있지 않다.

5. 1. 소수 정리

소수 계량 함수

\pi(n)

은

n

보다 크지 않은 소수의 개수로 정의된다.^[77] 예를 들어, 11보다 작거나 같은 소수가 5개이므로

\pi(11)=5

이다. 마이젤-레머 알고리즘과 같은 방법은

n

까지의 각 소수를 나열하는 것보다 더 빠르게

\pi(n)

의 정확한 값을 계산할 수 있다.^[78] 소수 정리는

\pi(n)

이

n/\log n

에 점근한다는 것을 나타내며, 이는 다음과 같이 표시된다.

:

\pi(n) \sim \frac{n}{\log n},

이는

n

이 무한대로 커짐에 따라

\pi(n)

과 우변 분수의 비율이 1에 접근한다는 것을 의미한다.^[79] 이는

n

보다 작은 임의로 선택된 숫자가 소수일 확률이 (대략)

n

의 자릿수에 반비례함을 의미한다.^[80]

상대 오차 $\tfrac{n}{\log n}$ 과 로그 적분 $\operatorname{Li}(n)$ 가 소수 계량 함수를 근사하는 경우. 두 상대 오차 모두 $n$ 이 증가함에 따라 0으로 감소하지만, 로그 적분에 대한 0으로의 수렴이 훨씬 더 빠르다.

\pi(n)

에 대한 더 정확한 추정치는 오프셋 로그 적분에 의해 제공된다.^[79]

:

\pi(n)\sim \operatorname{Li}(n) = \int_2^n \frac{dt}{\log t}.

5. 2. 등차수열과 소수

디리클레의 등차수열 정리에 따르면, 서로소인 두 정수 a와 q에 대해 a + nq 형태의 등차수열은 무한히 많은 소수를 포함한다.^[85] 예를 들어, a=3, q=9인 등차수열 3, 12, 21, 30, 39, ...는 3이라는 소수를 단 하나만 포함하는데, 이는 a와 q가 서로소가 아니기 때문이다. a와 q가 서로소라면, 해당 등차수열은 무한히 많은 소수를 포함한다.

그린-타오 정리는 소수만으로 구성된 임의로 긴 유한 등차수열이 존재함을 보여준다.^[36]^[86]

5. 3. 이차 다항식과 소수

오일러는

n^2 - n + 41

형태의 다항식이

1\le n\le 40

범위에서 소수를 생성하지만, 그 이후 값에서는 합성수가 나타난다는 것을 발견했다.^[87]^[88] 이러한 현상은 히그너 수와 유수 문제에 대한 심오한 대수적 수론 연구로 이어졌다.^[89] 하디-리틀우드 추측 F는 정수 계수를 가진 이차 다항식의 값 중 소수의 밀도를 로그 적분과 다항식 계수를 사용하여 예측한다. 하지만 무한히 많은 소수 값을 갖는 것으로 증명된 이차 다항식은 아직 없다.^[90]

울람 나선은 자연수를 2차원 격자에 배열하여 원점을 중심으로 동심원 사각형으로 나선형으로 배열하고 소수를 강조 표시하는 방식이다.^[91]

울람 나선의 모습. 소수(빨간색)는 특정 대각선에 밀집되어 있지만 다른 대각선에는 그렇지 않다. $4n^2 - 2n + 41$ 의 소수 값은 파란색으로 표시되어 있다.

시각적으로 소수는 특정 대각선에 밀집되어 나타나고 다른 대각선에는 그렇지 않아, 일부 이차 다항식이 다른 다항식보다 더 자주 소수 값을 갖는다는 것을 보여준다.^[90]

오일러가 발견한 다항식

f(n) = n^2 - n + 41

은

n < 41

인 모든 자연수에 대해 소수가 된다. 이는 허이차 체

\mathbb{Q}(\sqrt{-163})

의 류수가 1인 것과 관련이 있다.^[216]^[217] 일반적으로,

0 ≤ n < p

에서 다항식

f(n) = n^2 - n + p

가 소수 값을 가질 때, 소수

p

의 값을 "오일러의 행운수"라고 한다.^[218] 오일러의 행운수는 2, 3, 5, 11, 17, 41의 6개뿐이며, 이들은 모두 헤그너 수와 대응한다.

특정 범위에서 모두 소수가 되는 다항식은 다음과 같다.

다항식	n의 범위	비고
$f(n) = 36n^2 - 810n + 2753$	$n = 0, …, 44$	루비
$103n^2 - 3945n + 34891$	$n = 0, …, 42$	루비
$47n^2 - 1701n + 10181$	$n = 0, …, 42$	Fung
$36n^2 - 2358n + 36809$	$n = 0, …, 44$	Willium, 절대값이 소수

고차 다항식에 대해서는 알려진 바가 많지 않지만,

$n^3 - 34n^2 + 381n - 1511$ (Goetgheluck)
$2n^3 - 45n^2 + 331n - 3191$ (Goetgheluck)

는

n = 0, …, 25

에서 절대값이 모두 소수가 된다. 단,

n^3 - 34n^2 + 381n - 1511

의

n = 9, 12, 13

에서 -107을 취하는 등 같은 소수가 여러 번 나타나는 경우가 있다.

6. 미해결 문제

골드바흐의 추측은 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 쓸 수 있다는 추측이다.^[60] 이 추측은 $n=4\cdot 10^{18}$ 까지의 모든 숫자에 대해 확인되었다.^[61] 이보다 약한 명제는 증명되었는데, 예를 들어 비노그라도프의 정리는 충분히 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 쓸 수 있다고 말한다.^[62] 첸의 정리는 충분히 큰 모든 짝수는 소수와 준소수 (두 소수의 곱)의 합으로 표현될 수 있다고 말한다.^[63]

쌍둥이 소수 추측은 차이가 2인 소수 쌍(쌍둥이 소수)이 무한히 많다는 추측이다. 폴리냑의 추측은 더 일반적으로 모든 양의 정수 $k$ 에 대해 차이가 $2k$ 인 연속적인 소수 쌍이 무한히 많다고 명시한다.^[68]

르장드르 추측은 모든 $n$ 에 대해, $n^2$ 과 $(n+1)^2$ 사이에 소수가 존재한다는 추측이다.

메르센 소수의 무한성은 메르센 소수 (2ⁿ - 1 형태의 소수)가 무한히 존재하는지에 대한 추측이다.

이 외에도 다음과 같은 미해결 문제들이 있다.

홀수 완전수의 존재성^[59]
알려진 페르마 소수 (3^영어, 5^영어, 17^영어, 257^영어, 65537^영어) 이외에, 페르마 수에 페르마 소수가 존재하는가?
소피 제르맹 소수, 안전 소수는 무수히 존재하는가?
피보나치 수 열에는, 소수인 항이 무수히 나타나는가? (피보나치 소수)
행운수이면서 소수인 수는 무수히 존재하는가?
해피 소수는 무수히 존재하는가?
$n^2 + 1$ 형태의 소수는 무수히 존재하는가? (분야코프스키 추측)
약수의 합 열이 되는 소수는 무수히 존재하는가?

7. 추상 대수에서의 소수

오래전부터 수학자들은 소수 개념이 자연수나 정수의 범위에만 국한될 필요가 없다고 생각했다. 다항식 이론이 체계화되면서 기약다항식과 같이 소수와 유사한 개념을 분석에 도입할 필요성이 생겼고, 추상대수학의 발전으로 연산이 정의된 대수 구조의 일반적인 관점에서 소수 개념을 다룰 필요성이 제기되었다.

수학자들은 소수의 개념을 분석하면서, 자연수 범위에서 사용되던 소수의 두 가지 정의가 일반적인 경우에는 서로 동치 조건이 아니라는 것을 발견했다. 예를 들어 자연수 범위에서 소수는 다음과 같이 두 가지 방식으로 정의될 수 있다.

$p$ 가 소수일 필요충분조건은, $p$ 가 $1$ 이 아니면서 $p|m$ 이고 $m=ab$ 를 만족하는 임의의 자연수 $a$ , $b$ 에 대해 , $p|a$ 이거나 $p|b$ 인 것이다.
$p$ 가 소수일 필요충분조건은, $p$ 가 $1$ 이 아니면서 양의정수 $a$ , $b$ 에 대해 $p=ab$ 이면 $a$ 나 $b$ 둘 중에 오직 하나만이 1인 것이다.

이 정의를 정수 범위로 확장하기 위해서는 0을 제외하고, 정의에 있는 1을 +1, -1을 포함하는 것으로 생각하면 된다. 이는 정수환에서 덧셈에 대한 항등원과 단원의 조건이다. 가우스 정수를 예로 들면, 단위 순허수도 단원에 포함된다.

7. 1. 소수와 기약수

환(ring)에서 소수의 개념은 소원(prime element)과 기약원(irreducible element)으로 확장된다. 정역(integral domain)에서는 모든 소원이 기약원이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 주 아이디얼 정역(PID)에서는 소원과 기약원이 동치이다.

가환환은 덧셈, 뺄셈 및 곱셈이 정의된 대수 구조이다. 정수는 환이고, 정수의 소수는 ''소원''과 ''기약원'' 두 가지 방식으로 환으로 일반화되었다. 환

R

의 원소

p

가 소수이려면 0이 아니고, 곱셈 역원이 없으며(즉, 단위가 아님), 다음 요구 사항을 충족해야 한다.

p

가

R

의 두 원소

x

와

y

의 곱

xy

를 나누면

x

또는

y

중 적어도 하나도 나눈다. 기약원소는 단위도 아니고 다른 두 비단위 원소의 곱도 아니다. 정수 환에서 소수와 기약원소는 동일한 집합을 형성한다.

:

\{ \dots, -11, -7, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 7, 11, \dots \}\, .

임의의 환에서 모든 소원소는 기약원소이다. 반대는 일반적으로 성립하지 않지만 고유 인수 분해 정역에서는 성립한다.^[111]

소수의 개념을 분석하던 중, 수학자들은 자연수 범위에서만 사용되던 소수의 두 가지 정의가 좀 더 일반적인 경우에는 서로 동치 조건이 아니게 된다는 사실을 발견하였다. 그러므로 일반화된 정의를 서술하면 다음과 같다.(이하에서

0

이란 주어진 환의 덧셈 연산에 해당하는 항등원이라는 의미이다)

$p$ 가 소수일 필요충분조건은, $p$ 가 $0$ 이나 단원이 아니면서 $p|ab$ 이면 $p|a$ 이거나 $p|b$ 인 것이다.
$p$ 가 기약수일 필요충분조건은, $p$ 가 $0$ 이나 단원이 아니면서 $p=ab$ 이면 $a$ 나 $b$ 의 둘 중 하나는 반드시 단원인 것이다.

이와 같은 정의는, 종래의 정수환과 가우스 정수환, 다항식환을 포괄하는 넓은 의미에서 적용될 수 있다.

위와 같은 소수와 기약수에 대해, 어떤 1을 가진 가환 환

R

위에서 다음 성질들이 성립한다.

만약 $R$ 이 정역이면, $R$ 위에서 소수는 모두 기약수이다.(역은 일반적으로 성립하지 않는다)
만약 $R$ 이 주 아이디얼 정역이면, $R$ 위에서 소수와 기약수는 동치이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로 정수환 위에서 소수와 기약수는 같다.
만약 $R$ 이 체이면, $R$ 에 의해 유도된 다항식환 $R[x]$ 은 주 아이디얼 정역이므로, 윗 명제에 의해 $R[x]$ 위에서 소수와 기약수는 동치이다.

7. 2. 소 아이디얼

소 아이디얼은 소수의 개념을 일반화한 것으로, 가환대수, 대수적 수론, 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 정수환의 소 아이디얼은 (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... 과 같이 표현된다. 소 아이디얼은 소원이 생성하는 주 아이디얼이 소 아이디얼이라는 점에서 소 원소를 일반화한다.^[114]

모든 환이 유일 인수 분해 정역인 것은 아니다. 예를 들어,

a+b\sqrt{-5}

(

a

와

b

는 정수) 형태의 수로 이루어진 환에서 숫자

21

은

21=3\cdot7=(1+2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{-5})

로 두 가지 인수 분해를 가지며, 네 개의 인수 중 어느 것도 더 이상 줄일 수 없으므로 유일한 인수 분해를 갖지 않는다. 유일 인수 분해를 더 넓은 범위의 환으로 확장하기 위해, 숫자의 개념을 아이디얼의 개념으로 대체할 수 있다. 아이디얼은 환의 원소들의 부분 집합으로, 원소 쌍의 모든 합과 환 원소와의 모든 곱을 포함한다.

산술의 기본 정리는 라스커-노이터 정리로 일반화되는데, 이 정리는 모든 아이디얼을 뇌터 가환환에서 일차 아이디얼의 교집합으로 표현하며, 일차 아이디얼은 소수 거듭제곱의 적절한 일반화이다.^[114]

환의 스펙트럼은 점이 환의 소 아이디얼인 기하학적 공간이다.^[115] 산술 기하학 역시 이 개념의 혜택을 받으며, 많은 개념이 기하학과 수론 모두에 존재한다. 예를 들어, 확대체로 끌어올릴 때 소 아이디얼의 인수 분해 또는 분기는 기하학적 분기와 어느 정도 유사하다.

이러한 개념은 정수에만 관련된 수론적 질문에도 도움이 될 수 있다. 예를 들어, 이차 수체의 정수환에 있는 소 아이디얼은 정수 소수를 법으로 한 제곱근의 존재에 관한 진술인 2차 상호 법칙을 증명하는 데 사용될 수 있다.^[116] 페르마의 마지막 정리를 증명하려는 초기 시도는 쿠머가 원분 정수에서 유일 인수 분해의 실패와 관련된 정수 소수인 정규 소수를 도입하도록 이끌었다.^[117] 대수적 수체에서 얼마나 많은 정수 소수가 여러 소 아이디얼의 곱으로 인수 분해되는지에 대한 질문은 체보타레프 밀도 정리에 의해 해결되며, 이 정리는 (원분 정수에 적용될 때) 산술 수열의 소수에 관한 디리클레의 정리를 특별한 경우로 가진다.^[118]

8. 계산적 방법

주어진 수가 소수인지 판별하는 방법을 소수 판별법이라고 한다. 기본적인 소수 판별법으로는 나눗셈 시도법이 있다. 이 방법은 주어진 정수 ''n''을 2부터 ''n''의 제곱근까지의 각 정수로 나누어, 나누어 떨어지는 정수가 있으면 ''n''은 합성수이고, 그렇지 않으면 소수이다. 예를 들어 37이 소수인지 확인하려면 2, 3, 5로 나누어 보면 된다.

에라토스테네스의 체는 주어진 범위 내의 모든 소수를 찾는 방법이다. 방법은 다음과 같다.

# 찾고자 하는 범위의 자연수를 나열한다.

# 1은 지운다.

# 2부터 시작하여, 2의 배수를 지워나간다.

# 다음 소수의 배수를 모두 지운다.

이를 반복하여 마지막까지 지우면 남는 수들이 소수가 된다. 이 과정은 어떤 자연수 ''n''이 소수임을 판정하기 위해 $\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ 까지만 진행하면 된다.^[233]

다음은 에라토스테네스의 체를 활용하여 100 이하의 소수를 찾는 예시이다. (4, 6, 8, 10은 합성수이므로 제외^[234])

소수 표
1^[235]	2	3	5	7	9^[236]
11	12^[237]	13	15^[238]	17	19
21^[239]	22^[240]	23	25^[241]	27^[242]	29
31	32^[243]	33^[244]	35^[245]	37	39^[246]
41	42^[247]	43	45^[248]	47	49^[249]
51^[250]	52^[251]	53	55^[252]	57^[253]	59
61	62^[254]	63^[255]	65^[256]	67	69^[257]
71	72^[258]	73	75^[259]	77^[260]	79
81^[261]	82^[262]	83	85^[263]	87^[264]	89
91^[265]	92^[266]	93^[267]	95^[268]	97	99^[269]

현대에는 확률적 알고리즘 (밀러-라빈 소수 판별법, 솔로베이-스트라센 소수 판별법)과 결정론적 알고리즘 (AKS 소수 판별 검사) 등 다양한 소수 판별법이 사용된다.

다음은 소수 판별법의 일부를 나타낸 표이다.

검사	개발 연도	유형	실행 시간	참고	참고 문헌
AKS 소수 판별 검사	2002	결정적	$O((\log n)^{6+\varepsilon})$		^[133]^[135]
타원 곡선 소수 증명	1986	라스베가스	$O((\log n)^{4+\varepsilon})$ (휴리스틱)		^[136]
Baillie–PSW 소수 판별 검사	1980	몬테 카를로	$O((\log n)^{2+\varepsilon})$		^[137]^[138]
밀러-라빈 소수 판별법	1980	몬테 카를로	$O(k(\log n)^{2+\varepsilon})$	오류 확률 $4^{-k}$	^[139]
솔로베이-스트라센 소수 판별 검사	1977	몬테 카를로	$O(k(\log n)^{2+\varepsilon})$	오류 확률 $2^{-k}$	^[139]

''n''은 테스트할 숫자, ''k''는 수행된 검사 횟수, ''ε''는 임의로 작은 양수, log는 지정되지 않은 밑의 로그이다.

합성수의 소인수를 찾는 알고리즘을 소인수 분해 알고리즘이라고 하며, 소수 판별보다 훨씬 어렵다.

9. 응용

오랫동안 수론, 특히 소수에 관한 연구는 그 분야 외에는 아무런 응용이 없는 순수 수학의 전형으로 여겨졌다. 특히 영국의 수론 연구자인 하디는 자신의 연구가 군사적으로 아무런 중요성도 없다는 것을 자랑했다.^[207] 그러나 이러한 시각은 1970년대에 뒤집어졌다. 소수가 공개 키 암호 알고리즘에 사용될 수 있다는 것이 널리 알려졌기 때문이다.

RSA 암호나 디피-헬만 키 교환과 같은 공개 키 암호 알고리즘은 큰 수의 소인수 분해가 어렵다는 성질에 기초를 두고 있다. RSA 암호는 두 개의 (큰) 소수의 곱셈은 비교적 간단하게 (효율적으로) 할 수 있지만, 그 곱을 소인수 분해하여 원래의 두 소수를 구하는 것은 어렵다는 사실에 기반한다.

현재 소수는 해시 테이블이나 의사 난수 생성에도 사용되며, 공학적 응용상 중요도가 높은 것이 되었다.

10. 기타

정수론의 기본 정리에 의해, 모든 자연수는 꼭 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 표현할 수 있다. 이를 소인수 분해의 일의성이라고 한다. 곱셈의 관점에서 소수는 자연수를 이루는 성분이라고 할 수 있다.^[3]

오랫동안 수학자들은 자연수 혹은 정수의 테두리 안에서만 소수 개념이 적용될 필요는 없다고 생각했다. 다항식에 관한 이론이 체계화되면서 '기약다항식' 등 소수와 유사한 개념을 분석에 도입할 필요가 생겼다. 또한 추상대수학에 대한 기초적인 발전이 이루어지면서, 어떤 연산이 정의된 대수 구조에 대한 일반적 관점에서 소수 개념을 다룰 필요성 역시 생겨났다.

소수의 개념을 분석하던 중, 수학자들은 자연수 범위에서만 사용되던 소수의 두 가지 정의가 일반적인 경우에는 서로 동치 조건이 아니게 된다는 것을 발견하였다. 예를 들어 자연수 범위 내에서 소수는 다음과 같이 두 가지 방식으로 정의될 수 있다.

$p$ 가 소수일 필요충분조건은, $p$ 가 $1$ 이 아니면서 $p|m$ 이고 $m=ab$ 를 만족하는 임의의 자연수 $a$ , $b$ 에 대해, $p|a$ 이거나 $p|b$ 인 것이다.
$p$ 가 소수일 필요충분조건은, $p$ 가 $1$ 이 아니면서 양의 정수 $a$ , $b$ 에 대해 $p=ab$ 이면 $a$ 나 $b$ 둘 중에 오직 하나만이 1인 것이다.

이 정의를 정수 범위로 확장시키기 위해서는 먼저

0

을 제외하고, 단순히 정의에 들어 있는

1

을

+1, -1

모두 포함하는 것으로 생각하면 된다. 이는 바로 정수환 상에서 각각 덧셈에 대한 항등원과 단원의 조건이다. (이 일반화를 직관적으로 좀 더 명확하게 받아들이기 위해서는, 가우스 정수에 대한 경우를 생각하면 된다. 이 때는 단위 순허수들까지 단원의 영역에 포함된다)

소수는 수론에서 중요할 뿐만 아니라, 추상대수학과 기하학을 포함한 다른 수학 분야에도 널리 응용된다. 예를 들어 소수 개의 점을 2차원 격자에 배치하여 세 점이 일직선상에 놓이지 않도록 하거나, 세 점으로 만들어지는 모든 삼각형이 넓이가 크게 만들 수 있다.^[165] 아이젠슈타인 판정법은 소수와 그 제곱으로 계수의 나누어지는지에 기초하여 다항식의 기약 여부를 판별한다.^[166]

소수의 개념은 매우 중요하여, 여러 수학 분야에서 다양하게 일반화되었다. 보통 "소수"는 적절한 의미에서 최소성 또는 분해 불가능성을 뜻한다. 예를 들어, 주어진 체의 소수체는 0과 1을 모두 포함하는 가장 작은 부분체이다. 이는 유리수의 체이거나 소수 개의 원소를 가진 유한체이며, 여기서 이름이 나왔다.^[167] "소수"라는 단어는 모든 대상을 소수 성분으로 분해할 수 있다는 의미로도 쓰인다. 매듭 이론에서 소수 매듭은 두 개의 비자명 매듭의 연결 합으로 표현될 수 없다는 의미에서 분해 불가능한 매듭이다. 모든 매듭은 소수 매듭의 연결 합으로 유일하게 표현될 수 있다.^[168] 3차원 다양체의 소수 분해도 이러한 예시 중 하나이다.^[169]

소수는 양자역학과 관련이 있으며, 예술과 문학에서 은유적으로 사용되기도 한다. 또한 진화 생물학에서 매미의 생애 주기를 설명하는 데 사용된다.

휴 몽고메리와 프리먼 다이슨의 1970년대 연구를 시작으로, 수학자들과 물리학자들은 양자 계의 에너지 준위와 리만 제타 함수의 영점 사이에 연관성이 있을 것이라고 추측해 왔다.^[175]^[176] 소수는 양자 정보 과학에서 상호 비편향 기저 및 대칭 정보 완전 양의 연산자 값 측정과 같은 수학적 구조 덕분에 중요하다.^[177]^[178]

자연에서 소수가 나타나는 예로, 소수 매미라고 불리는 매미의 일종이 있다. 미국에 분포하는 이 매미의 성충은 13년 또는 17년의 주기로 대량 발생한다. 성충이 된 후에는 몇 주 동안만 지상에서 지내며 교배와 산란을 한다. 이 매미가 소수 주기로 발생하는 이유로는 기생충이나 포식자에 대항하기 위한 진화라는 설과 근연종과의 교잡을 피하기 위한 것이라는 설이 있다. 즉, 만약 이 매미가 12년의 발생 주기를 가지고 있다면, 12의 약수인 2, 3, 4, 6년의 수명을 가진 포식자와 동시에 발생하여 포식 대상이 되기 쉽다. 또한 지리적으로 가까운 곳에 12년 주기와 15년 주기의 매미가 존재할 경우, 60년마다 2종은 동시에 발생하여 교잡될 가능성이 있다. 그러면 잡종은 발생 주기가 어긋나게 되어 동종의 매미와의 교미 기회를 잃게 된다. 소수의 주기를 가진 것은 교잡이 일어나기 어렵고, 도태되기 어렵다고 생각된다.^[227]

제타 함수상의 영점 분포의 수식이 원자핵의 에너지 간격을 나타내는 식과 일치하여, 소수와 핵물리 현상과의 관련성이 시사되고 있다.

10. 1. 소수의 종류

가우스 소수, 메르센 소수, 쌍둥이 소수, 사촌 소수, 섹시 소수, 소피 제르맹 소수, 페르마 소수 등 다양한 종류의 소수가 존재한다.

가우스 소수
메르센 소수: (n은 소수)
쌍둥이 소수: 차가 2인 두 소수
사촌 소수: 차가 4인 두 소수
섹시 소수: 차가 6인 두 소수
소피 제르맹 소수: p와 2p+1이 모두 소수일 때의 p
페르마 소수:
프로트 소수
Pythagorean prime|피타고라스 소수^영어
오일러 소수:
계승 소수
형
형
소수 계승 소수: (p는 소수, p#는 p의 소수 계승)
레퓨닛: (R_n은 1이 n개 이어지는 수, 일반적으로 기수를 10으로 취함)
세쌍둥이 소수: 세 소수의 묶음 (p, p+2, p+6) 또는 (p, p+4, p+6) ((p, p+2, p+4)형은 (3, 5, 7)뿐.)
사중 소수: (p, p+2, p+6, p+8)이 모두 소수
안전 소수: p와 2p+1이 모두 소수일 때의 2p+1
슈퍼 소수: 소수열에서 소수 번째인 소수
절단 가능 소수: "소수인 소수". 주어진 기수에서 0을 포함하지 않고, 좌우 한쪽 끝에서 차례대로 수를 제거한 수가 모두 소수인 소수
첸 소수: p+2가 반소수 또는 둘 다 소수
정규 소수: 원의 p분체의 류수를 나누지 않는 홀수 소수
비정규 소수: 원의 p분체의 류수를 나누는 홀수 소수
피보나치 소수: 피보나치 수의 수열에 포함된 소수
비헤리히 소수: 를 만족하는 소수 p
그로텐디크 소수: 57 (그로텐디크가 연설하는 중에 "알기 쉬운 예를 들어 달라"고 해서 합성수인 57을 말해버렸다.)
기타 소수
형으로 나타낼 수 있는 소수^[220]: 2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, …
형으로 나타낼 수 있는 소수^[221]: 2, 17, 257, 1297, 65537, 160001, …
형으로 나타낼 수 있는 소수^[222]: 17, 97, 337, 881, 3697, …
어떤 수의 약수의 합이 되는 소수^[223]: 3, 7, 13, 31, 127, 307, 1093, …

10. 2. 소수 개념의 확장

정수론의 기본 정리에 의해, 모든 자연수는 꼭 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 표현할 수 있다. 이를 소인수 분해의 일의성이라고 한다. 곱셈의 관점에서 소수는 자연수를 이루는 성분이라고 할 수 있다.^[3]

오랫동안 수학자들은 자연수 혹은 정수의 테두리 안에서만 소수 개념이 적용될 필요는 없다고 생각했다. 다항식에 관한 이론이 체계화되면서 '기약다항식' 등 소수와 유사한 개념을 분석에 도입할 필요가 생겼기 때문이다. 또한 추상대수학에 대한 기초적인 발전이 이루어지면서, 어떤 연산이 정의된 대수 구조에 대한 일반적 관점에서 소수 개념을 다룰 필요성 역시 생겨났다.

소수의 개념을 분석하던 중, 수학자들은 자연수 범위에서만 사용되던 소수의 두 가지 정의가 일반적인 경우에는 서로 동치 조건이 아니게 된다는 것을 발견하였다. 예를 들어 자연수 범위 내에서 소수는 다음과 같이 두 가지 방식으로 정의될 수 있다.

$p$ 가 소수일 필요충분조건은, $p$ 가 $1$ 이 아니면서 $p|m$ 이고 $m=ab$ 를 만족하는 임의의 자연수 $a$ , $b$ 에 대해, $p|a$ 이거나 $p|b$ 인 것이다.
$p$ 가 소수일 필요충분조건은, $p$ 가 $1$ 이 아니면서 양의 정수 $a$ , $b$ 에 대해 $p=ab$ 이면 $a$ 나 $b$ 둘 중에 오직 하나만이 1인 것이다.

이 정의를 정수 범위로 확장시키기 위해서는 먼저

0

을 제외하고, 단순히 정의에 들어 있는

1

을

+1, -1

모두 포함하는 것으로 생각하면 된다. 이는 바로 정수환 상에서 각각 덧셈에 대한 항등원과 단원의 조건이다. (이 일반화를 직관적으로 좀 더 명확하게 받아들이기 위해서는, 가우스 정수에 대한 경우를 생각하면 된다. 이 때는 단위 순허수들까지 단원의 영역에 포함된다)

10. 3. 다른 분야와의 관련성

소수는 수론에서 중요할 뿐만 아니라, 추상대수학과 기하학을 포함한 다른 수학 분야에도 널리 응용된다. 예를 들어 소수 개의 점을 2차원 격자에 배치하여 세 점이 일직선상에 놓이지 않도록 하거나, 세 점으로 만들어지는 모든 삼각형이 넓이가 크게 만들 수 있다.^[165] 아이젠슈타인 판정법은 소수와 그 제곱으로 계수의 나누어지는지에 기초하여 다항식의 기약 여부를 판별한다.^[166]

소수의 개념은 매우 중요하여, 여러 수학 분야에서 다양하게 일반화되었다. 보통 "소수"는 적절한 의미에서 최소성 또는 분해 불가능성을 뜻한다. 예를 들어, 주어진 체의 소수체는 0과 1을 모두 포함하는 가장 작은 부분체이다. 이는 유리수의 체이거나 소수 개의 원소를 가진 유한체이며, 여기서 이름이 나왔다.^[167] "소수"라는 단어는 모든 대상을 소수 성분으로 분해할 수 있다는 의미로도 쓰인다. 매듭 이론에서 소수 매듭은 두 개의 비자명 매듭의 연결 합으로 표현될 수 없다는 의미에서 분해 불가능한 매듭이다. 모든 매듭은 소수 매듭의 연결 합으로 유일하게 표현될 수 있다.^[168] 3차원 다양체의 소수 분해도 이러한 예시 중 하나이다.^[169]

소수는 양자역학과 관련이 있으며, 예술과 문학에서 은유적으로 사용되기도 한다. 또한 진화 생물학에서 매미의 생애 주기를 설명하는 데 사용된다.

휴 몽고메리와 프리먼 다이슨의 1970년대 연구를 시작으로, 수학자들과 물리학자들은 양자 계의 에너지 준위와 리만 제타 함수의 영점 사이에 연관성이 있을 것이라고 추측해 왔다.^[175]^[176] 소수는 양자 정보 과학에서 상호 비편향 기저 및 대칭 정보 완전 양의 연산자 값 측정과 같은 수학적 구조 덕분에 중요하다.^[177]^[178]

자연에서 소수가 나타나는 예로, 소수 매미라고 불리는 매미의 일종이 있다. 미국에 분포하는 이 매미의 성충은 13년 또는 17년의 주기로 대량 발생한다. 성충이 된 후에는 몇 주 동안만 지상에서 지내며 교배와 산란을 한다. 이 매미가 소수 주기로 발생하는 이유로는 기생충이나 포식자에 대항하기 위한 진화라는 설과 근연종과의 교잡을 피하기 위한 것이라는 설이 있다. 즉, 만약 이 매미가 12년의 발생 주기를 가지고 있다면, 12의 약수인 2, 3, 4, 6년의 수명을 가진 포식자와 동시에 발생하여 포식 대상이 되기 쉽다. 또한 지리적으로 가까운 곳에 12년 주기와 15년 주기의 매미가 존재할 경우, 60년마다 2종은 동시에 발생하여 교잡될 가능성이 있다. 그러면 잡종은 발생 주기가 어긋나게 되어 동종의 매미와의 교미 기회를 잃게 된다. 소수의 주기를 가진 것은 교잡이 일어나기 어렵고, 도태되기 어렵다고 생각된다.^[227]

제타 함수상의 영점 분포의 수식이 원자핵의 에너지 간격을 나타내는 식과 일치하여, 소수와 핵물리 현상과의 관련성이 시사되고 있다.

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