브릴루앙 영역

1. 개요

브릴루앙 영역은 1930년 레옹 브릴루앙에 의해 도입되었다. 이는 파수 공간에서 결정 내 전자의 파동함수를 설명하는 데 사용되는 개념으로, 블로흐 정리를 통해 파수 벡터 k와 등가인 k+G를 고려하여 제1 브릴루앙 영역만을 다룬다. 브릴루앙 영역 내의 고대칭점은 임계점이라고 불리며, X, L, Δ, Λ, Σ 등의 기호로 표시된다. 브릴루앙 영역 내부는 그리스 문자로, 표면은 알파벳으로 표기하며, k점은 브릴루앙 영역 내의 메시로 구분된 점을 의미한다.

2. 역사

프랑스의 물리학자 레옹 브릴루앙이 1930년에 도입하였다.

3. 결정 내 전자와 브릴루앙 영역

여러 고대칭점들이 특별한 관심을 갖는 지점들인데, 이들을 임계점(critical points)이라고 한다.

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📌 열 고정 해제

기호	설명
Γ	브릴루앙 영역의 중심
단순 입방
M	모서리의 중심
R	모서리의 끝점
X	면의 중심
면심입방
K	두 개의 육각형 면을 잇는 모서리의 중간
L	육각형 면의 중심
U	육각형 면과 정사각형 면을 잇는 모서리의 중간
W	모서리의 끝점
X	정사각형 면의 중심
체심입방
H	네 개의 모서리를 잇는 끝점
N	면의 중심
P	세 개의 모서리를 잇는 끝점
육방
A	육각형 면의 중심
H	모서리의 끝점
K	두 개의 직사각형 면을 잇는 모서리의 중간
L	육각형 면과 직사각형 면을 잇는 모서리의 중간
M	직사각형 면의 중심

다른 격자들은 다른 종류의 고대칭점들을 갖는다. 아래 그림에서 찾아볼 수 있다.

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📌 열 고정 해제

브릴루앙 영역의 종류

결정계	브라베 격자 (약어)
삼사정계	단순 삼사정계 (TRI)
단사정계	단순 단사정계 (MCL)
	저면심 단사정계 (MCLC)
사방정계	단순 사방정계 (ORC)
	저면심 사방정계 (ORCC)
	체심 사방정계 (ORCI)
	면심 사방정계 (ORCF)
정방정계	단순 정방정계 (TET)
	체심 정방정계 (BCT)
능면체정계	단순 능면체정계 (RHL)
육방정계	단순 육방정계 (HEX)
입방정계	단순 입방정계 (CUB)
	체심 입방정계 (BCC)
	면심 입방정계 (FCC)

양자역학에서 파동함수를 ψ라고 하고, R을 실공간에서의 결정 내 적절한 실격자 벡터라고 하면,

:$\backslash psi\_\{\backslash mathbf\{k\}\}\; (\backslash mathbf\{r\}\; +\; \backslash mathbf\{R\})\; =\; e^\{i\; \backslash mathbf\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{R\}\; \}\; \backslash psi\_\{\backslash mathbf\{k\}\}\; (\backslash mathbf\{r\})$

이 성립하는 k가 존재한다. 이 k는 파수 벡터이다(참조: 블로흐 정리).

파수 벡터 k의 집합을 [[파수 공간]](k공간)이라고 한다. 또한, 임의의 역격자 벡터 G와 R은

:$e^\{i\; \backslash mathbf\{G\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{R\}\; \}\; =\; 1$

이라는 관계가 있으므로, k와 k+G는 등가이며, 이는 제1 브릴루앙 영역만을 고려하면 된다는 것을 의미한다.

4. 임계점

여러 고대칭점들이 특별한 관심을 갖는 지점들인데, 이들을 임계점(critical points)이라고 한다.

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📌 열 고정 해제

기호	설명
Γ	브릴루앙 영역의 중심
단순 입방
M	모서리의 중심
R	모서리의 끝점
X	면의 중심
면심입방
K	두 개의 육각형 면을 잇는 모서리의 중간
L	육각형 면의 중심
U	육각형 면과 정사각형 면을 잇는 모서리의 중간
W	모서리의 끝점
X	정사각형 면의 중심
체심입방
H	네 개의 모서리를 잇는 끝점
N	면의 중심
P	세 개의 모서리를 잇는 끝점
육방
A	육각형 면의 중심
H	모서리의 끝점
K	두 개의 직사각형 면을 잇는 모서리의 중간
L	육각형 면과 직사각형 면을 잇는 모서리의 중간
M	직사각형 면의 중심

다른 격자들은 다른 종류의 고대칭점들을 갖는다.

5. k점

브릴루앙 영역 내에서 메시로 구분된 각 점(Sampling points)을 k점(k-point)이라고 부른다. 브릴루앙 영역 상의 k점 중에서 대칭성이 좋은 점에는 특히 명칭이 붙어 있으며, X, L, Δ, Λ, Σ 등의 기호를 붙인다. 브릴루앙 영역 내부는 그리스 문자로, 표면은 알파벳으로 표기한다.

대문자 K점은 k점과 의미가 다르며, 대칭성을 나타내는 기호 K를 의미한다.

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📌 열 고정 해제

기호	설명
Γ	브릴루앙 영역의 중심(원점)
단순 입방체
M	변의 중심
R	꼭짓점
X	면의 중심
면심 입방
K	두 개의 육각형 면을 잇는 변의 중심
L	육각형 면의 중심
U	육각형 면과 정사각형 면을 잇는 변의 중심
W	꼭짓점
X	정사각형 면의 중심
체심 입방
H	네 개의 변을 잇는 꼭짓점
N	면의 중심
P	세 개의 변을 잇는 꼭짓점
육방정계
A	육각형 면의 중심
H	꼭짓점
K	두 개의 직사각형 면을 잇는 변의 중심
L	육각형 면과 직사각형 면을 잇는 변의 중심
M	직사각형 면의 중심