비오트 수

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1. 개요
2. 정의
3. 비오 수의 크기에 따른 현상
- 3.1. Bi << 0.1
- 3.2. Bi > 0.1
4. 응용
5. 추가 설명
참조

1. 개요

비오 수(Biot number)는 고체 내부의 열전도 저항과 고체 표면에서의 열 대류 저항의 비를 나타내는 무차원 수이다. 비오 수는 대류 열전달 계수, 대표 길이, 물체의 열전도율을 사용하여 정의되며, 비오 수가 0.1보다 작으면 물체 내부의 온도 구배를 무시할 수 있어 집중 정수 모델을 사용할 수 있다. 반면, 비오 수가 0.1보다 크면 물체 내부의 온도 변화를 고려하여 열 방정식을 풀어야 한다. 또한, 물질 전달 과정에서도 유사한 개념인 물질 전달 비오 수가 사용된다.

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비오트 수

2. 정의

비오트 수( $\mathrm{Bi}$ )는 고체 내부의 열전도 저항과 고체 표면에서의 대류 열전달 저항 간의 비율을 나타내는 무차원 수이다.

비오트 수는 다음과 같이 정의된다.

: $\mathrm{Bi} = \frac{h L_C}{\ k_b}$

여기서,

h는 대류열전달계수이다.
L_C는 대표길이(characteristic length)로, 물체의 부피(V_body)를 표면적(A_surface)으로 나눈 값( $\mathit{L_C} = \frac{V_{\rm body}}{A_{\rm surface}}$ )이다.
k_b는 물체의 열전도율이다.

위 식은 전도 저항(R_cond)과 대류 저항(R_conv)의 비율로도 표현할 수 있다.

:

\mathrm{Bi} = \frac{h L_C}{\ k_b} = \frac{L}{kA}\frac{hA}{1}= \frac{R_{cond}}{R_{conv}}

^[5]

즉, 비오트 수가 커지면 상대적으로 전도 저항의 비중이 커지고, 비오트 수가 작아지면 상대적으로 대류 저항의 비중이 커진다.

예를 들어, 뜨거운 금속 구를 차가운 액체에 담그는 경우, 열은 금속 내부에서 전도되고 표면에서 액체로 대류를 통해 전달된다. 이때 비오트 수가 1보다 작으면 액체와 구 사이의 열 저항이 금속 내부의 열 저항보다 크다는 것을 의미한다. 이 경우, 구 내부의 온도는 비교적 균일하게 유지되며, 뉴턴의 냉각 법칙에 따라 온도 변화를 예측할 수 있다.

반대로 비오트 수가 1보다 크면, 구 내부의 열 기울기가 중요해진다. 이는 구가 크거나 열전도율이 낮은 재료(예: 나무, 스티로폼)로 만들어진 경우에 해당한다.

3. 비오 수의 크기에 따른 현상

비오 수(Bi) 값은 과도 열전달 문제를 해결하는 특정 방법의 적용 가능성을 나타낸다. 비오 수가 약 0.1보다 작으면 물체 내부의 열전도가 표면의 열 대류보다 훨씬 낮은 열 저항을 제공하여 물체 내부의 온도 기울기가 무시할 수 있음을 의미한다('열적으로 얇은' 물체). 이러한 상황에서는 간단한 집중 정수 모델을 사용하여 물체의 과도 온도 변화를 평가할 수 있다. 반대로, 비오 수가 약 0.1보다 크면 물체 내부의 열 저항이 무시할 수 없음을 나타내며, 물체로의 열 전달 또는 물체로부터의 열 전달을 분석하는 데 더 복잡한 방법이 필요하다('열적으로 두꺼운' 물체).^[1]^[2]

열전도율 λ, 두께 ''L''인 판에서 한쪽 면의 온도가 ''T''₁으로 유지되고, 다른 쪽 면에 온도 ''T''_∞의 유체가 접하여 열전달률 ''h''의 대류 열전달이 발생한다고 가정한다. 유체가 접하는 쪽의 벽면 온도를 ''T''_w, 전열 면적을 ''A''라고 할 때, "고체 내부의 열전도" = "유체의 열전달"이므로, 다음 식이 성립한다.^[5]

: $\lambda\frac{A(T_1-T_\mathrm{w})}{L} = hA(T_\mathrm{w}-T_\infty)$

이를 무차원 형식으로 다시 쓰면

: $\frac{T_1-T_\mathrm{w}}{T_\mathrm{w}-T_\infty} = \frac{h L}{\lambda} = Bi$

가 되어, 이 전열 현상은 비오 수로 기술할 수 있다.

3. 1. Bi << 0.1

Bi << 0.1 인 경우, 대류저항이 전도저항보다 상대적으로 크다. 따라서 전도가 일어나는 물체 내부에서의 온도 차가 대류가 일어나는 물체 표면과 물체 외부의 온도 차보다 작다. (온도 차 = 열량 * 저항) 그러므로 물체를 온도가 일정한 한 덩어리로 가정할 수 있다.

비오트 수(Bi)가 약 0.1보다 작다는 것은 물체 내부의 전도 저항이 표면에서의 열 대류보다 훨씬 작아서 물체 내부의 온도 구배가 무시할 수 있음을 보여준다. 이 경우, 과도 열전달의 집중 정수 모델을 사용할 수 있다. (비오 수가 0.1 미만이면 일반적으로 집중 정수 모델을 사용할 때 3% 미만의 오차가 발생함을 나타낸다.^[3])

유체 온도의 단계적 변화에 대한 가장 단순한 유형의 집중 용량 해는, 물체의 내부 에너지가 물체의 온도에 정비례하고, 물체 온도와 유체 온도 간의 차이가 물체로의 열 전달 속도에 선형적으로 비례하기 때문에, 물체의 온도가 시간에 따라 지수적으로 감소함을 보여준다("뉴턴" 냉각 또는 가열). 이러한 관계를 열역학 제1법칙과 결합하면 간단한 1차 선형 미분 방정식이 도출된다.

마이크로 캡슐화된 상변환 슬러리에서 열전달 연구는 비오 수가 유용한 응용 분야이다. 마이크로 캡슐화된 상변환 슬러리의 분산상, 즉 마이크로 캡슐화된 상변환 물질 자체에 대해 비오 수는 0.1 미만으로 계산되므로 분산상 내의 열 구배는 무시할 수 있다고 가정할 수 있다.^[4]

3. 2. Bi > 0.1

대류저항이 전도저항보다 상대적으로 작으므로, 전도가 일어나는 물체 내부에서의 온도 차가 대류가 일어나는 물체 표면과 물체 외부의 온도 차보다 크다. (온도 차= 열량*저항)^[1]^[2]

따라서 온도가 일정한 한 덩어리로 가정할 수 없다.

Lumped capacitance model|럼프드 커패시턴스 모델^영어

비오 수(Bi)가 0.1 이상이면, 물체 내의 시간 변화 및 공간적으로 불균일한 온도장을 결정하기 위해 열 방정식을 풀어야 한다. 간단한 기하학적 형태와 균일한 재료의 열 전도율에 대해 존재할 수 있는 이러한 문제를 처리하기 위한 분석적 방법은 열 방정식에 대한 문서에 설명되어 있다. 검증된 분석 해와 정확한 수치 값을 포함한 예가 제공된다.^[1]^[2]

대개 이러한 문제는 열 전달에 대한 컴퓨터 모델을 사용하여 수치적으로 처리하는 것 외에는 너무 어렵다.

4. 응용

비오 수 값은 과도 열전달 문제를 해결하는 특정 방법의 적용 가능성, 또는 적용 불가능성을 나타낸다. 예를 들어, 비오 수가 약 0.1보다 작으면 물체 내부의 열전도가 표면의 열 대류보다 훨씬 낮은 열 저항을 제공하여 물체 내부의 온도 기울기가 무시할 수 있음을 의미한다. 이러한 물체를 "열적으로 얇은" 물체라고 부르기도 한다. 이 경우, 간단한 집중 정수 모델을 사용하여 물체의 과도 온도 변화를 평가할 수 있다. 반대로 비오 수가 약 0.1보다 크면 물체 내부의 열 저항이 무시할 수 없음을 나타내며, 물체로의 열 전달 또는 물체로부터의 열 전달을 분석하는 데 더 복잡한 방법이 필요하다. 이러한 물체는 "열적으로 두꺼운" 물체라고 부르기도 한다.^[5]

열전도율 λ, 두께 ''L''의 판에서 한쪽 면의 온도가 ''T''₁으로 유지되고, 다른 쪽 면에 온도 ''T''_∞의 유체가 접하여 열전달률 ''h''의 대류 열전달이 발생한다고 가정한다. 유체가 접하는 쪽의 벽면 온도를 ''T''_w, 전열 면적을 ''A''라고 하면, "고체 내부의 열전도" = "유체의 열전달"이므로 다음 식이 성립한다.

: $\lambda\frac{A(T_1-T_\mathrm{w})}{L} = hA(T_\mathrm{w}-T_\infty)$

이를 무차원 형식으로 다시 쓰면

: $\frac{T_1-T_\mathrm{w}}{T_\mathrm{w}-T_\infty} = \frac{h L}{\lambda} = Bi$

가 되어, 이 전열 현상은 비오 수로 기술할 수 있다.

물질 확산 과정에서는 "물질 전달 비오 수" ( $\mathrm{Bi}_m$ )라는 비오 수와 유사한 수가 사용된다.^[1]

: $\mathrm{Bi}_m=\frac{k_c}{D} L$

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같다.

기호	설명
${k_c}$	대류 물질 전달 계수 (열 전달 문제의 h에 해당)
$D$	물질 확산도 (열 전달 문제의 k에 해당)
${L}$	특성 길이

4. 1. Bi << 0.1 인 경우

앞서 언급했듯이, 비오트 수가 약 0.1보다 작다는 것은 물체 내부의 전도 저항이 표면에서의 열 대류보다 훨씬 작아서 물체 내부의 온도 구배가 무시할 수 있음을 보여준다. 이 경우, 과도 열전달의 집중 정수 모델을 사용할 수 있다. (비오 수가 0.1 미만이면 일반적으로 집중 정수 모델을 사용할 때 3% 미만의 오차가 발생함을 나타낸다.^[3])

유체 온도의 단계적 변화에 대한 가장 단순한 유형의 집중 용량 해는, 물체의 내부 에너지가 물체의 온도에 정비례하고, 물체 온도와 유체 온도 간의 차이가 물체로의 열 전달 속도에 선형적으로 비례하기 때문에, 물체의 온도가 시간에 따라 지수적으로 감소함을 보여준다("뉴턴" 냉각 또는 가열). 이러한 관계를 열역학 제1법칙과 결합하면 간단한 1차 선형 미분 방정식이 도출된다.

마이크로 캡슐화된 상변환 슬러리에서 열전달 연구는 비오 수가 유용한 응용 분야이다. 마이크로 캡슐화된 상변환 슬러리의 분산상, 즉 마이크로 캡슐화된 상변환 물질 자체에 대해 비오 수는 0.1 미만으로 계산되므로 분산상 내의 열 구배는 무시할 수 있다고 가정할 수 있다.^[4]

4. 2. Bi > 0.1 인 경우

Lumped capacitance model|럼프드 커패시턴스 모델^영어

4. 3. 물질 전달

물질 확산 과정에서는 "물질 전달 비오 수" (

\mathrm{Bi}_m

)라고 하는 비오 수와 유사한 수가 사용된다.^[1]

:

\mathrm{Bi}_m=\frac{k_c}{D} L

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같다.

기호	설명
${k_c}$	대류 물질 전달 계수 (열 전달 문제의 h에 해당)
$D$	물질 확산도 (열 전달 문제의 k에 해당)
${L}$	특성 길이

5. 추가 설명

열전도율 λ, 두께 ''L''인 판을 생각해 보자. 한쪽 면의 온도는 ''T''₁으로 유지되고, 다른 쪽 면에는 온도 ''T''_∞의 유체가 접해 열전달률 ''h''의 대류 열전달이 발생한다고 가정한다. 유체가 접하는 쪽의 벽면 온도를 ''T''_w, 전열 면적을 ''A''라고 하면, "고체 내부의 열전도" = "유체의 열전달"이므로 다음 식이 성립한다.^[5]

: $\lambda\frac{A(T_1-T_\mathrm{w})}{L} = hA(T_\mathrm{w}-T_\infty)$

이를 무차원 형식으로 다시 쓰면 다음과 같다.

: $\frac{T_1-T_\mathrm{w}}{T_\mathrm{w}-T_\infty} = \frac{h L}{\lambda} = Bi$

따라서 이 전열 현상은 비오수로 기술할 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 EXACT http://exact.unl.edu University of Nebraska 2013-01-01
_[2] 논문 Intrinsic verification and a heat conduction database
_[3] 논문 Simple Explicit Equations for Transient Heat Conduction in Finite Solids 2009-01-01
_[4] 논문 Review on phase change material emulsions and microencapsulated phase change material slurries: Materials, heat transfer studies and applications 2012-01-01
_[5] 서적 伝熱工学の基礎日新出版

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