뉴턴의 냉각 법칙

3. 냉각 메커니즘과의 관계

대류 냉각은 때때로 "뉴턴의 냉각 법칙"에 의해 지배된다고 알려져 있다. 열전달 계수가 물체와 환경 사이의 온도 차이에 대해 독립적이거나 상대적으로 독립적인 경우, 뉴턴의 법칙이 성립한다. 이 법칙은 유체 속도가 온도 차이 증가에 따라 증가하지 않는 강제 공기 및 펌프식 액체 냉각에 잘 적용된다. 뉴턴의 법칙은 순수한 전도형 냉각에서 가장 잘 적용된다.^[5]

하지만, 열전달 계수는 자연 대류(부력에 의해 구동되는) 열전달에서 온도 차이의 함수이다. 이 경우, 뉴턴의 법칙은 온도 차이가 상대적으로 작을 때만 결과를 근사적으로 나타낸다. 뉴턴 자신도 이러한 한계를 인식하고 있었다.^[5]

1817년 둘롱과 쁘띠는 지수를 포함하여 더 큰 온도 차에 대한 대류에 관한 뉴턴의 법칙에 대한 수정을 제시하였다.^[5]

뉴턴의 법칙을 따르지 않는 또 다른 상황은 복사 열전달이다. 복사 냉각은 물체와 환경의 절대 온도의 4제곱 차이에 따라 열전달률이 변하는 슈테판-볼츠만 법칙으로 더 잘 설명된다.

4. 수학적 표현

열전달 분야에서 사용되는 뉴턴의 냉각 법칙은 "물체의 열 손실률은 물체와 주변 환경 간의 온도 차이에 비례한다"는 개념을 수학적으로 표현한 것이다. 온도에 무관한 열전달 계수에 대해, 그 식은 다음과 같다.

:$q=\; h\; \backslash left(T(t)\; -\; T\_\backslash text\{env\}\backslash right)\; =\; h\; \backslash ,\; \backslash Delta\; T(t),$

여기서

• $q$는 물체에서 전달되는 열속(SI 단위: 와트/m²)이다.
• $h$는 열전달계수(T에 무관하고 표면에 대해 평균된 값으로 가정)(SI 단위: W/(m²⋅K))이다.
• $T$는 물체 표면의 온도(SI 단위: K)이다.
• $T\_\backslash text\{env\}$는 환경 온도, 즉 표면으로부터 충분히 떨어진 곳의 온도(SI 단위: K)이다.
• $\backslash Delta\; T(t)\; =\; T(t)\; -\; T\_\backslash text\{env\}$는 환경과 물체 사이의 시간에 따른 온도 차이(SI 단위: K)이다.

• $\backslash dot\{Q\}$는 물체에서의 열전달률(SI 단위: 와트)이며, $\backslash dot\{Q\}\; =\; \backslash oint\_A\; q\; d\; A$이다.
• $h$는 열전달계수(T에 무관하고 표면에 대해 평균된 값으로 가정)(SI 단위: W/(m²⋅K))이다.
• $A$는 열전달 표면적(SI 단위: m²)이다.
• $T$는 물체 표면의 온도(SI 단위: K)이다.
• $T\_\backslash text\{env\}$는 환경 온도, 즉 표면으로부터 충분히 떨어진 곳의 온도(SI 단위: K)이다.
• $\backslash Delta\; T(t)\; =\; T(t)\; -\; T\_\backslash text\{env\}$는 환경과 물체 사이의 시간에 따른 온도 차이(SI 단위: K)이다.

4. 1. 비오트 수 (Biot number)

• h*는 대류 열전달 계수,
• L_C는 특성 길이 (물체의 부피를 표면적으로 나눈 값),
• k_b는 물체의 열전도율이다.

5. 뉴턴 냉각 법칙의 응용

물체의 과도냉각에 대한 간단한 해법은 물체 내부의 열 저항이 물체 표면으로부터의 열전달 저항(외부 전도 또는 대류에 의해)에 비해 작을 때 얻을 수 있다. 이는 비오트 수가 약 0.1 미만인 조건이다. 이 조건은 물체 내부의 단일하고 거의 균일한 온도를 가정할 수 있게 해준다. 이 온도는 시간에 따라 변하지만 위치에 따라 변하지는 않는다. 이 단일 온도는 일반적으로 시간이 지남에 따라 지수적으로 변한다.

낮은 비오트 수 조건은 소위 집중정전용량 모델로 이어진다. 이 모델에서 내부 에너지(물체 내 열에너지의 양)는 일정한 열용량을 가정하여 계산된다. 이 경우 물체의 내부 에너지는 물체의 단일 내부 온도에 대한 선형 함수이다.

다음의 집중정전용량 해는 강제 대류의 경우와 같이 일정한 열전달 계수를 가정한다. 자유 대류의 경우, 온도차에 따라 변하는 열전달 계수를 사용하여 집중정전용량 모델을 풀 수 있다.^[8] 뉴턴의 냉각 법칙을 이용하면 매질 속에 놓인 고체의 냉각 과정에서의 온도를 알 수 있다. 물체의 열용량을 C라고 하면 다음과 같은 관계가 성립한다.

:\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t=C\mathrm{d}T/\mathrm{d}t

이것을 냉각 법칙에 적용하면 다음 방정식을 얻을 수 있다.

:-C\mathrm{d}T/\mathrm{d}t=\alpha S(T-T_\mathrm{m})

이것을 물체의 온도 T에 대해 풀면 다음 해를 얻을 수 있으며, 물체의 온도 변화 양상을 구할 수 있다.

:T = (T_0-T_\mathrm{m}) \exp\left(-\frac{\alpha S}{C}t\right) + T_\mathrm{m}

여기서 T₀는 시간 t = 0일 때의 고체 온도이다. 즉, 고체와 매질의 온도 차이는 지수적으로 감쇠한다.

또한, 시간 t까지의 열량 변화 ΔQ, 즉 고체에 출입한 열량은

:\Delta Q = C(T-T_m) = C (T_0-T_m) \left( \exp\left(-\frac{\alpha S}{C} t \right)-1 \right)

이 된다.

5. 1. 집중정전용량 모델

5. 2. 표준 공식

• $\backslash dot\{T\}$는 열 손실률 (SI 단위: K/초)이다.
• $T$는 물체 표면의 온도 (SI 단위: K)이다.
• $T\_\backslash text\{env\}$는 환경 온도, 즉 표면에서 충분히 떨어진 곳의 온도 (SI 단위: K)이다.
• $r$은 열전달 계수 (SI 단위: 초$^\{-1\}$)이다.

참조

_[1] 논문 VII. Scala graduum caloris https://royalsociety[...]
_[2] 논문 VII. Scala graduum Caloris https://archive.org/[...] 1701
_[3] 웹사이트 History of Newton's cooling law http://paginas.fisic[...] 2015-06-14
_[4] 논문 Newton's Law of Cooling: Follow up and exploration 2021
_[5] 서적 History of the Inductive Sciences from the Earliest to the Present Times https://books.google[...]
_[6] 서적 A Heat Transfer Textbook http://ahtt.mit.edu Dover Publications 2019
_[7] 서적 Fundamentals of Heat and Mass Transfer https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[8] 서적 A Heat Transfer Textbook http://ahtt.mit.edu Dover Publications 2019