레이놀즈 수

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1. 개요

레이놀즈 수는 유체 흐름에서 관성력과 점성력의 상대적인 크기를 나타내는 무차원 수이다. 유체의 평균 속도, 특성 길이, 밀도, 점성 계수를 사용하여 정의되며, 층류와 난류의 발생을 예측하는 데 사용된다. 레이놀즈 수는 유체 역학 문제의 스케일링, 배관 시스템, 항공기 날개 설계 등 다양한 분야에서 활용되며, 유체의 흐름 상태를 파악하는 데 중요한 지표로 작용한다. 오즈번 레이놀즈의 실험을 통해 층류에서 난류로의 전이 조건이 밝혀졌으며, 다양한 유동 조건과 물체 형태에 따라 다르게 정의된다.

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레이놀즈 수
개요
다양한 유체 흐름에서 나타나는 레이놀즈 수의 예시.
정의	유체 흐름에서 관성력과 점성력의 비율
기호	Re
차원	1 (무차원)
SI 단위	1 (무차원)
상세 정보
정의	레이놀즈 수는 유체 역학에서 관성력과 점성력의 비율을 나타내는 무차원 수이다.
활용	유체 흐름의 성질 (층류 또는 난류)을 예측하는 데 사용된다.
공식	Re = (ρVL)/μ = (VL)/ν
변수	ρ: 유체의 밀도 V: 유체의 속도 L: 특성 길이 μ: 유체의 점성 계수 ν: 동점성 계수 (ν = μ/ρ)
역사
이름 유래	오스본 레이놀즈의 이름을 따서 명명됨.
레이놀즈의 업적	1883년, 레이놀즈는 파이프 내 유체의 흐름이 층류에서 난류로 바뀌는 조건을 실험적으로 밝혀냈다.
흐름의 특징
낮은 레이놀즈 수 (Re < 2300)	층류: 유체가 층을 이루며 부드럽게 흐른다.
높은 레이놀즈 수 (Re > 4000)	난류: 유체가 불규칙하고 혼란스럽게 흐른다.
임계 레이놀즈 수	층류에서 난류로의 전이가 일어나는 레이놀즈 수 값. 이는 유체의 종류와 흐름 조건에 따라 달라진다.
응용 분야
유체 흐름 예측	레이놀즈 수를 이용하여 다양한 유체 시스템 (예: 파이프라인, 항공기 날개)에서의 흐름을 예측하고 설계할 수 있다.
선박 설계	선박의 저항을 줄이고 효율을 높이기 위해 레이놀즈 수를 고려한다.
항공기 설계	항공기 날개의 공기 흐름을 제어하고 양력을 증가시키기 위해 레이놀즈 수를 활용한다.
추가 정보
무차원 수	레이놀즈 수는 무차원 수이므로 단위에 독립적이다.
중요성	유체 역학 문제를 분석하고 스케일링하는 데 중요한 역할을 한다.

2. 정의

레이놀즈 수(

Re

)는 유체 내에서 발생하는 관성력과 점성력의 비율을 나타내는 무차원 수이다. 이는 유체의 흐름 특성을 예측하고, 층류와 난류를 구분하는 데 중요한 지표로 사용된다.

레이놀즈 수는 다음과 같이 정의된다.^[13]

:

\mathit{Re} = {\rho v_{s}^2/L \over \mu v_{s}/L^2} = {\rho v_{s} L\over \mu} = {v_{s} L\over \nu} = \frac{\mbox{Inertial forces}}{\mbox{Viscous forces}}

또는,

:

Re = \frac{u L}{\nu} = \frac{\rho u L}{\mu}

$v_s$ 또는 $u$ 는 유동의 평균 속도 (m/s)
$L$ 은 특성 길이 (m)
$\mu$ 는 유체의 점성 계수 (Pa·s 또는 N·s/m² 또는 kg/(m·s))
$\nu$ 는 유체의 동점성 계수 (m²/s)
$\rho$ 는 유체의 밀도 (kg/m³)

위 식은 관성력(분자)과 점성력(분모)의 비, 또는 전체 운동량 수송과 분자 운동량 수송의 비로 해석할 수 있다.^[27]

레이놀즈 수는 유체가 표면에 대해 상대 운동을 하는 여러 가지 상황에 대해 정의될 수 있다.^[2]

낮은 레이놀즈 수에서는 점성력이 지배적이며, 유체는 부드럽고 일정한 층류 운동을 보인다. 반면, 높은 레이놀즈 수에서는 관성력이 지배적이며, 혼돈스러운 와류와 소용돌이가 발생하는 난류가 나타난다.^[13]

레이놀즈 수는 난류 발생의 시작을 예측하는 데 중요한 설계 도구로 사용되며, 유체 역학 문제의 스케일링과 서로 다른 유체 흐름 간의 동적 상사성을 결정하는 데에도 활용된다.

2. 0. 1. 특성 길이

예를 들어 단면이 원형인 파이프 내의 유동에 대해서는 특성 길이는 파이프의 지름이 된다. 단면이 원형이 아닌 경우 특성 길이는 수력학적 직경으로 정의된다. 평판 위를 흐르는 유동의 경우, 특성 길이는 평판의 길이이며, 특성 속도는 자유류(free stream)의 속도이다. 평판 위의 경계층 내에서는, 유동이 층류인가 난류인가 하는 것은 평판의(leading edge)부터 측정한 길이에 대한 레이놀즈 수에 의해서 결정된다.^[2]

레이놀즈 수 ''Re''는 표면을 향하는 상대 운동 속의 흐름을 갖는 다양한 상황에서 정의된다. 이러한 정의는 일반적으로 밀도, 점성, 그리고 속도 및 특성 길이 또는 특성 치수 등의 유체 특성을 포함한다. 이 특성 길이는 관례에 따라 결정되며, 예를 들어 반지름이나 지름은 구나 원에 대해 동등하게 유효하지만, 둘 중 하나가 관례적으로 선택된다. 항공기나 선박의 경우, 세로 길이 또는 너비가 특성 길이로 사용된다. 배관 내부의 흐름이나 흐름 속의 구의 운동의 경우, 내경이 현재 일반적으로 사용된다. 직사각형 배관이나 구체 이외의 둥근 물체와 같은 다른 형상에 대해서는 정의된 '''등가 직경'''을 사용한다. 압축성 기체나 비뉴턴 유체와 같이 점성이나 밀도가 일정하지 않은 유체의 경우에는 특별한 규칙이 적용된다. 속도에 대해서도 특정 환경, 특히 교반조에서는 관례에 따라 정의된다.^[19]

레이놀즈 수(Re)는 다음과 같이 정의된다.

${\bold \mathrm v}$ : 물체의 흐름에 대한 상대적인 평균 속도(국제단위계 m/s)
${L}$ : 특성 길이(유체가 흐른 거리 등)(m)
${\mu}$ : 유체의 점성 계수 (Pa·s 、 N·s/m² 、 kg/(m·s))
${\bold \nu}$ : 동점성 계수(ν = μ/ρ)(m²/s)
${\rho}\,$ : 유체의 밀도(kg/m³)

3. 유도

비압축성 나비어-스토크스 방정식 (대류 형태)은 다음과 같다.^[1]

: $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} - \nu \,\nabla^2 \mathbf{u} = - \frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g}$

중력항 g를 제거하면, 좌변은 관성력 $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}$ 와 점성력 $\nu \,\nabla^2 \mathbf{u}$ 로 구성된다. 이들의 비는 $\frac{(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}}{\nu \,\nabla^2 \mathbf{u} } \sim \frac{u^2/L}{\nu u/L^2} = \frac{uL}{\nu}$ , 즉 레이놀즈 수의 크기를 갖는다. 이 논증은 조개껍질 정리에 자세히 설명되어 있다.^[1]

3. 1. 버킹엄 파이 정리

물리계에서 관련된 물리량이 ρ, u, L, μ 뿐이라면, 레이놀즈 수는 본질적으로 버킹엄 파이 정리에 의해 결정된다.^[1]

4개의 물리량 ρ, u, L, μ이 있지만, 이들은 길이, 시간, 질량의 3가지 차원만 가지므로, ρ^x₁u^x₂L^x₃μ^x₄ (x₁, ..., x₄는 실수)를 고려할 수 있다. ρ^x₁u^x₂L^x₃μ^x₄의 세 가지 차원을 0으로 설정하면, 3개의 독립적인 선형 제약 조건을 얻게 되므로, 해 공간은 1차원이며, 벡터 (1, 1, 1, -1)에 의해 생성된다.^[1]

따라서 ρ, u, L, μ로 구성된 무차원 수는 레이놀즈 수인 ρuLμ⁻¹의 함수이다.^[1]

레이놀즈수는 버킹엄의 파이 정리에 기초한 차원 해석으로부터 유도된 것이며, 유사한 것으로 마하수가 있다.^[1]

버킹엄의 Π정리란,^[1]

“물리 현상을 나타내는 매개변수가 n개, 거기에 나타나는 단위(차원)가 m종류일 때, n-m개의 무차원량 Π₁, ..., Π_n-m과 관계식 f가 존재하여

:f(π₁, …, π_n-m) = 0

으로 쓸 수 있다.”

는 정리이다.^[1]

(압축성) 유체의 운동을 생각하면, 현상을 나타내는 매개변수는 밀도 ρ, 점성 μ, 음속 a, 압력 p, 평균 속도 V 및 특성 길이 D의 6개이며, 단위는 kg, m, s의 3종류이다. 따라서 Π정리에 의해 6-3=3개의 무차원량이 존재하는 것을 알 수 있다. 이러한 매개변수를 조합하여 만들어지는 무차원량에는 일반적으로 레이놀즈수 Re, 마하수 Ma 및 압력을 무차원화한 압력 계수 ψ를 취한다.^[1]

:Re = (ρDV)/μ, Ma = V/a, ψ = p/(ρV²)

관계식에는^[1]

:ψ = ψ(Re, Ma)

를 취하는 경우가 많다.^[1]

더 나아가 비압축성이라고 가정한 경우에는, 음속 a→∞이기 때문에 마하수 Ma를 고려할 필요가 없다. 따라서 관계식은^[1]

:ψ = ψ(Re)

이 된다.^[1]

3. 2. 나비에-스토크스 방정식

레이놀즈 수는 나비어-스톡스 방정식을 무차원 형태로 변형하여 얻을 수 있다. 비압축성 뉴턴 유체에 대한 나비어-스톡스 방정식은 라그랑주 미분으로 다음과 같이 표현된다.

:

\rho \frac{D \mathbf{v}}{D t} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{f}.

이 방정식의 각 항은 "체적력"(단위 부피당 힘)의 단위를 가지며, 밀도와 가속도의 곱과 같은 차원을 갖는다. 방정식을 무차원화하면 물리적 크기에 직접적으로 의존하지 않는 형태를 얻을 수 있다. 무차원 방정식을 얻는 한 가지 방법은 전체 방정식에 다음 인자를 곱하는 것이다.

:

\frac{L}{\rho V^2},

여기서

는 유체에 대한 평균 속도 또는 , (m/s)이다.
은 특성 길이 (m)이다.
는 유체 밀도 (kg/m³)이다.

다음과 같이 변수를 무차원화하면,

:

\begin{align}\mathbf{v}' &= \frac{\mathbf{v}}{V}, &p' &= p\frac{1}{\rho V^2}, &\mathbf{f}' &= \mathbf{f}\frac{L}{V^2}, &\frac{\partial}{\partial t'}&= \frac{L}{V} \frac{\partial}{\partial t}, &\nabla' &= L \nabla,\end{align}

차원이 없는 나비어-스톡스 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\frac{D \mathbf{v}'}{D t'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho L V} \nabla'^2 \mathbf{v}' + \mathbf{f}',

여기서 이다.

마지막으로, 읽기 편하게 프라임을 생략하면 다음과 같다.

:

\frac{D \mathbf{v}}{D t} = -\nabla p + \frac{1}{\mathrm{Re}} \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.

보편적인 침강 방정식 — 레이놀즈 수와 형상 계수의 함수인 항력 계수, 2차원 다이어그램

보편적인 침강 방정식 — 레이놀즈 수와 형상 계수의 함수인 항력 계수, 3차원 다이어그램

수학적으로 동일한 레이놀즈 수를 갖는 모든 뉴턴 유체의 흐름은 비교 가능하다. 또한 위 방정식에서 점성 항은 일 때 사라진다. 따라서 레이놀즈 수가 높은 흐름은 자유 유동에서 거의 비점성이다.

또는, 나비어-스토크스 방정식(비압축성이고 외력이 없는 경우)을 무차원 형태로 변형하면, 방정식을 지배하는 유일한 매개변수로 레이놀즈 수를 얻을 수 있다.

:

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v}

위 식의 각 항은 체적력(단위 체적당 힘, N/m³), 또는 가속도와 밀도의 곱(m/s²kg/m³)의 단위를 갖는다. 무차원화를 위해 다음 계수를 식 전체에 곱한다.

:

\frac{D}{\rho V^2}

$V \,$ - 평균 속도 (m/s)
$D \,$ - 특성 길이 (m)
$\rho \,$ - 유체 밀도 (kg/m³)

각 물리량을 다음과 같이 무차원화한다.

:

\mathbf{v'} = \frac{\mathbf{v}}{V},\quadp' = \frac{p}{\rho V^2}, \quad\frac{\partial}{\partial t'} = \frac{D}{V} \frac{\partial}{\partial t}, \quad\nabla' = D \nabla

나비에-스토크스 방정식을 무차원화된 방정식으로 다시 쓰면 다음과 같다.

:

\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho D V} \nabla'^2 \mathbf{v'}

이 식에는 매개변수가 우변 제2항에만 나타나 있으며, 이 매개변수를 레이놀즈 수로 정의한다.

:

Re = \frac{\rho D V}{\mu}

최종적으로 프라임 기호를 생략하고 다시 쓰면 다음과 같다.

:

\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p + \frac{1}{Re} \nabla^2 \mathbf{v}

이 식은 매개변수로 레이놀즈 수 ''Re''만 갖는다. 따라서 같은 레이놀즈 수를 가지고, 경계 조건도 상사 형태인 흐름은 수학적으로 모두 동등하다.

''Re'' → ∞일 때, 점성 항이 사라지므로, 고 레이놀즈 수 흐름은 거의 비점성 자유 흐름과 같게 된다.

4. 임계 레이놀즈 수

유동이 층류에서 난류로 '''전이(transition)'''되는 지점에서의 레이놀즈 수를 '''임계 레이놀즈 수(critical Reynolds number)'''라고 한다. 실제로 이러한 전이는 점차적으로 진행되기 때문에 임계 레이놀즈 수의 값은 대략적인 값으로 보아야 한다.

관수로 흐름에서 원형 파이프 내 유동의 경우 임계 레이놀즈 수는 약 2,100 정도이나, 레이놀즈 수 약 2,100 ~ 4,000 사이에서는 유동의 성질을 정확하게 말할 수 없다고 보아야 한다.(천이 영역)^[3] 원형 관의 경우 레이놀즈 수가 2100 이하이면 층류, 2100에서 4000 사이이면 천이 영역, 4000 이상이면 난류라고 한다. 명확한 구분은 없어서 어떤 경우는 2000에서 4000 사이를 천이 영역으로 보기도 한다.

평판 위의 유동에 대해서는 임계 레이놀즈 수는 약 10⁵ ~ 10⁶ 정도이다.

천이 레이놀즈 수는 ''임계 레이놀즈 수''라고도 하며, 1895년 오즈번 레이놀즈가 연구했다. 임계 레이놀즈 수는 모든 형상에 따라 다르다.

레이놀즈 수의 정의에서 분모는 점성력, 분자는 관성력의 세기를 나타내고 있으며, 레이놀즈 수는 점성력(주변 유체 요소와 마찬가지로 움직이려는 힘)에 대한 관성력(주변과는 별개로 움직이려는 힘)의 세기를 나타낸다고 볼 수 있다. 따라서 레이놀즈 수가 커진다는 것은 각 유체 요소가 개별적으로 운동하고, 흐름장이 난류에 가까워짐을 의미한다.

5. 유동의 상사성

두 유동이 상사이기 위해서는 우선 동일한 기하학적 형상이어야 하며, 두 유동의 레이놀즈 수가 동일하고, 두 유동의 오일러 수가 동일해야 한다.

모델 유동과 실제 크기 유동에서, 균일한 점에서의 유체 거동을 비교하면, 다음과 같은 식이 성립한다.

: $Re^* = Re$

: $Eu^* = Eu \qquad \mbox{i.e.} \qquad {p^* \over \rho^* v^2*} = {p \over \rho v^2}$

여기에서 $*$ 로 표시된 것은 모델 유동에서의 값을 뜻하는 것이며, 나머지는 실제 크기 유동에서의 값이다. 이 식을 이용하면 축소 모델을 수조나 풍동에서 실험하여 그 데이터로 실제 유동에서의 값을 예측할 수 있어 실험의 비용이나 시간을 줄일 수 있다.

엄밀한 동적 상사성을 만족하기 위해서는 다른 무차원 수가 추가적으로 고려되어야 하는 경우도 있다. 압축성 유동에서는 마하 수가 일치하여야 하며 자유 표면 유동(free-surface flow)에서는 프루드 수가 일치하여야 한다. 어떤 유동의 경우는 주어진 실험 장비와 유체로써는 도저히 맞출 수 없는 무차원 수까지도 요구되는 경우가 있기 때문에 이런 경우는 어느 무차원 수가 가장 중요한지를 결정하여야 할 경우도 있다.

6. 다양한 유동에서의 레이놀즈 수

유체 흐름의 정성적 거동은 레이놀즈 수에 크게 의존한다. 유사한 흐름 패턴은 장애물의 형태와 레이놀즈 수가 일치할 때 나타나며, 다른 매개변수로 장애물 표면의 거칠기도 큰 영향을 미친다.

유체 흐름에서 층류와 난류 영역은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

층류는 점성력이 지배적인 낮은 레이놀즈 수에서 발생하며, 부드럽고 일정한 유체 운동이 특징이다.
난류는 높은 레이놀즈 수에서 발생하며, 혼돈스러운 와류, 소용돌이 및 기타 유동 불안정성을 생성하는 경향이 있는 관성력이 지배적이다.^[13]

레이놀즈 수는 유체가 표면에 대해 상대 운동을 하는 여러 가지 상황에 대해 정의할 수 있다.^[2] 이러한 정의에는 일반적으로 유체의 밀도와 점성, 그리고 속도 및 특성 길이 또는 특성 치수(위 방정식의 L)가 포함된다. 이 치수는 관례의 문제이다. 예를 들어 반지름과 지름은 구나 원을 설명하는 데 똑같이 유효하지만, 관례에 따라 하나가 선택된다. 항공기나 선박의 경우 길이 또는 너비를 사용할 수 있다.

실제로 레이놀즈 수를 일치시키는 것만으로는 상사성(相似性)을 보장하기에 충분하지 않다. 유체 흐름은 일반적으로 혼돈스럽고, 경계면의 모양과 표면 거칠기의 아주 작은 변화가 매우 다른 흐름을 초래할 수 있다. 그럼에도 불구하고 레이놀즈 수는 매우 중요한 지침이며 널리 사용된다.

꿀의 높은 점도는 양동이에서 따를 때 완벽한 층류 흐름을 만들어내는 반면, 낮은 표면 장력으로 인해 아래 유체에 도달한 후에도 시트처럼 유지된다. 난류와 유사하게, 흐름이 저항을 만나면 속도가 느려지고 앞뒤로 진동하기 시작하여 스스로 쌓인다.

6. 1. 파이프 내 유동

단면이 원형인 파이프 내 유동에서 특성 길이는 파이프의 지름이다. 단면이 원형이 아닌 경우 특성 길이는 수력학적 직경으로 정의된다. 유동이 층류에서 난류로 전이되는 지점에서의 레이놀즈 수를 임계 레이놀즈 수라고 한다. 원형 파이프 내 유동과 같은 관수로 흐름의 경우 임계 레이놀즈 수는 약 2,100 정도이나, 레이놀즈 수 약 2,100 ~ 4,000 사이에서는 유동의 성질을 정확하게 말할 수 없다(천이 영역).^[14] 원형 관의 경우 레이놀즈 수가 2100 이하이면 층류, 2100에서 4000 사이이면 천이 영역, 4000 이상이면 난류라고 한다.

관내 유동의 경우, 레이놀즈 수는 일반적으로 다음과 같이 정의된다.^[14]

:

\mathrm{Re} = \frac{u D_\text{H}}{\nu} = \frac{\rho u D_\text{H}}{\mu} = \frac{\rho Q D_\text{H}}{\mu A} = \frac{W D_\text{H}}{\mu A},

여기서 각 변수는 다음과 같다.

변수	설명	단위
D_H	수리학적 직경 (원형 관인 경우 내경)	m
Q	체적 유량	m³/s
A	관의 단면적 (πD²/4)	m²
u	유체의 평균 속도	m/s
μ	유체의 동점성계수	Pa·s = N·s/m² = kg/(m·s)
ν	동점성계수 (μ/ρ)	m²/s
ρ	유체의 밀도	kg/m³
W	유체의 질량 유량	kg/s

정사각형, 직사각형 또는 환형 덕트와 같이 높이와 너비가 비슷한 형상의 경우, 내부 유동 상황에 대한 특성 길이는 수리학적 직경 D_H로 간주되며 다음과 같이 정의된다.

: $D_\text{H} = \frac{4 A}{P},$

여기서 A는 단면적이고, P는 습윤 둘레이다. 채널의 습윤 둘레는 유동과 접촉하는 모든 채널 벽의 총 둘레이다. 즉, 공기에 노출된 채널의 길이는 습윤 둘레에 포함되지 않는다.

원형 파이프의 경우, 수리학적 직경은 내부 파이프 직경과 정확히 같다.

: $D_\text{H} = D.$

관-관 열교환기의 외부 채널과 같은 환형 덕트의 경우, 수리학적 직경은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $D_\text{H,annulus} = D_\text{o} - D_\text{i},$

여기서

D_o는 외부 파이프의 내경이다.
D_i는 내부 파이프의 외경이다.

6. 2. 평판 위 유동

평판 위를 흐르는 유동의 경우, 특성 길이는 평판의 길이이며, 특성 속도는 자유류(free stream)의 속도이다. 평판 위의 경계층 내에서는, 유동이 층류인가 난류인가 하는 것은 평판(leading edge)부터 측정한 길이에 대한 레이놀즈 수에 의해서 결정된다. 유동이 층류에서 난류로 '''전이(transition)'''되는 지점에서의 레이놀즈 수를 '''임계 레이놀즈 수(critical Reynolds number)'''라고 한다. 평판 위의 유동에 대해서는 임계 레이놀즈 수는 약 10⁵ ~ 10⁶ 정도이다.^[36]

6. 3. 개수로 유동

자유 수면을 가진 액체의 유량을 계산하기 위해서는 수리반경을 결정해야 한다. 이는 수로의 단면적을 젖은 둘레로 나눈 값이다. 반원형 수로의 경우, 지름의 4분의 1이다(관로가 완전히 찬 경우). 직사각형 수로의 경우, 수리반경은 단면적을 젖은 둘레로 나눈 값이다. 일부 교재에서는 수리반경의 4배인 특성 길이를 사용하는데, 이는 관로 흐름에서와 같이 난류 발생 시 동일한 Re 값을 제공하기 때문이다. 다른 교재에서는 수리반경을 특성 길이 척도로 사용하여 전이 및 난류 흐름에 대해 Re 값을 다르게 사용한다.^[35]

자유 표면을 가진 유체 흐름에 대해서는 수력 직경을 결정할 필요가 있다. 이는 개수로의 단면적을 젖은 둘레로 나눈 값이다. 반원형 수로에서는 지름의 절반이 된다. 직사각형 수로에서는 수력 직경은 단면적을 젖은 둘레로 나눈 값이 된다. 일부 문헌에서는 수력 직경의 4배가 되는 특성 길이를 사용하고 있지만, 이는 배관 흐름에서의 난류 발생에 관한 레이놀즈수가 같은 값이 되도록 선택된 것이다.^[35] 다른 문헌에서는 전이 영역 및 난류 영역에서는 필연적으로 다른 값이 되는 레이놀즈수와 함께, 수로별로 관습적으로 특성 길이로서 수력 직경을 사용하고 있다.

6. 4. 유체 내 물체

유체 속을 움직이는 물체의 레이놀즈 수는 입자 레이놀즈 수라고 하며, 종종 Re_p로 표시된다. 이는 주변 흐름의 특성과 낙하 속도를 특징짓는다.^[2]

낙하하는 구를 지나는 크리핑 유동: 유선, 항력 ''F''_d 및 중력에 의한 힘 ''F''_g.

점성이 자연적으로 높은 경우(예: 고분자 용액, 중합체 용융체)에는 유동은 일반적으로 층류이다. 레이놀즈 수가 매우 작으면 스토크스 법칙을 사용하여 유체의 점도를 측정할 수 있다. 구가 유체를 통해 낙하하면 신속하게 종단 속도에 도달하며, 이를 통해 점도를 결정할 수 있다.^[5]

유체 내 구체의 경우, 특성 길이는 구체의 지름이고, 특성 속도는 구체로부터 어느 정도 떨어진 곳에서 구체와 유체의 상대 속도이다. 이때 구체의 운동은 유체의 기준 부분을 방해하지 않아야 한다. 밀도와 점성은 유체의 속성이다.^[29] 이 정의에 따르면 순수 층류는 Re = 10까지 존재한다.

낮은 Re 조건에서 힘과 운동 속도 사이의 관계는 스토크스 법칙에 의해 주어진다.^[34]

높은 레이놀즈 수에서 구체에 대한 항력은 표면 거칠기에 따라 달라진다. 예를 들어 골프공 표면에 딤플을 추가하면 공의 상류 쪽 경계층이 층류에서 난류로 전이된다. 난류 경계층은 층류 경계층보다 더 오랫동안 공의 표면에 부착될 수 있으므로, 더 좁은 저압 후류를 생성하여 압력 항력을 줄인다. 압력 항력 감소는 공이 더 멀리 날아가게 한다.^[7]

직육면체 물체에 대한 방정식은 구와 동일하며, 물체를 타원체로 근사하고 가장 긴 축을 특징적인 길이로 선택한다. 이러한 고려는 완벽한 구형 입자가 거의 없는 자연 하천 등에서 중요하다. 각 축의 측정이 어려운 입자의 경우, 체 직경을 특징적인 입자 길이로 대신 사용한다. 두 근사 모두 임계 레이놀즈 수 값을 변경시킨다.

입자 레이놀즈 수는 입자의 침강 속도를 결정하는 데 중요하다. 입자 레이놀즈 수가 층류를 나타낼 때는 스토크스 법칙을 사용하여 침강 속도를 계산할 수 있다. 난류를 나타낼 때는 적절한 침강 속도 모델링을 위해 난류 항력 법칙을 구성해야 한다.

6. 5. 충진층

직경 D의 구형 입자가 서로 접촉하여 이루어진 충진층을 통한 유체 흐름에서, 공극률(voidage)이 ε이고 공탑속도가 v_s일 경우, 레이놀즈 수는 다음과 같이 정의할 수 있다.^[29]

:

\mathrm{Re} = \frac{\rho v_\text{s} D}{\mu},

또는

:

\mathrm{Re} = \frac{\rho v_\text{s} D}{\mu \varepsilon},

또는

:

\mathrm{Re} = \frac{\rho v_\text{s} D}{\mu (1 - \varepsilon)}.

어떤 식을 사용할지는 시스템에 따라 달라진다. 첫 번째 식은 다양한 종류의 충진층과 유동층에 대한 데이터 상관관계를 설정하는 데 성공적이며, 두 번째 레이놀즈 수는 액상 데이터에 적합하고, 세 번째 식은 유동층 데이터 상관관계를 설정하는 데 성공적인 것으로 밝혀졌으며, 처음에는 액체 유동층 시스템에 도입되었다.

층류 조건은 Re = 10까지 적용되며, Re = 2000부터 완전 난류가 된다.

6. 6. 교반조

중앙 회전 패들, 터빈 또는 프로펠러에 의해 교반되는 원통형 용기에서 특성 길이는 교반기의 직경 ''D''이다. 속도 ''V''는 ''ND''이며, 여기서 ''N''은 rad/s 단위의 회전 속도이다. 그러면 레이놀즈 수는 다음과 같다.

:

\mathrm{Re} = \frac{\rho N D^2} {\mu} = \frac{\rho V D} {\mu}.

\mathrm{Re}

값이 10000을 초과하면 시스템은 완전히 난류 상태가 된다.^[33]

7. 난류의 최소 규모

난류에서는 시간에 따라 변하는 유체 운동의 크기 범위가 존재한다. 유체 운동의 가장 큰 규모(때때로 와류라고 함)는 유동의 전반적인 기하학적 구조에 의해 결정된다. 예를 들어, 산업용 굴뚝에서는 유체 운동의 가장 큰 규모가 굴뚝 자체의 직경만큼 크다. 가장 작은 규모의 크기는 레이놀즈 수에 의해 결정된다. 레이놀즈 수가 증가함에 따라 더 작은 규모의 흐름이 나타난다. 굴뚝에서는 연기가 큰 와류 외에도 매우 작은 속도 변동이나 와류가 많이 있는 것처럼 보일 수 있다. 이러한 의미에서 레이놀즈 수는 유동의 규모 범위를 나타내는 지표이다. 레이놀즈 수가 높을수록 규모 범위가 커진다. 가장 큰 와류는 항상 같은 크기이며, 가장 작은 와류는 레이놀즈 수에 의해 결정된다.^[9]

큰 레이놀즈 수는 유동의 큰 규모에서 점성력이 중요하지 않음을 나타낸다. 관성력이 점성력에 비해 압도적으로 강하면 유체 운동의 가장 큰 규모는 감쇠되지 않는다. 점성이 그 운동을 소멸시키기에 충분하지 않기 때문이다. 따라서 운동 에너지는 점성이 중요해질 만큼 충분히 작은 규모에 도달할 때까지 점진적으로 더 작은 규모로 "캐스케이드"(전달)되어야 한다(즉, 점성력이 관성력의 크기가 된다). 점성 작용에 의한 에너지 소산이 최종적으로 일어나는 것은 바로 이러한 작은 규모에서이다. 레이놀즈 수는 이러한 점성 소산이 어떤 규모에서 발생하는지를 나타낸다.^[9] 따라서 최대 와류는 흐름의 기하학적 형태에 의해 결정되고 최소 와류는 점성에 의해 결정되므로, 레이놀즈 수는 난류 운동의 최대 규모와 최소 규모의 비율로 이해할 수 있다.

8. 활용 분야

레이놀즈 수는 유체 역학, 생리학, 항공 역학, 선박 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

유체 역학: 레이놀즈 수는 난류 발생을 예측하는 데 사용되는 중요한 설계 도구이다. 배관 시스템이나 항공기 날개와 같은 장비 설계에 활용되며, 유체 역학 문제의 스케일링에도 사용되어 모형과 실제 유체 흐름 사이의 동적 상사성을 결정하는 데 기여한다.
생리학: 인체의 혈액 순환에서 푸아죄유의 법칙은 층류에 의존한다. 레이놀즈 수의 정의에 따르면 혈액의 밀도가 높고 유속이 빠르며 직경이 클수록 난류가 발생하기 쉽다. 혈관 직경의 급격한 변화나 죽상경화증(아테롬성 동맥 경화증) 돌출부는 난류의 원인이 될 수 있으며, 청진기를 통해 난류를 감지할 수 있다.^[11]
항공 역학: 익형 설계에서 레이놀즈 수는 "척도 효과"를 관리하는 데 사용된다. 유체 역학자들은 레이놀즈 수를 통해 익형의 특성을 계산하고 비교한다.^[20]
선박 공학: 고분자 용액의 층류는 물고기와 돌고래가 헤엄치는 동안 몸 위의 흐름을 돕는 데 이용된다. 요트 경주에서는 속도 향상을 위해 저분자량 폴리에틸렌글리콜과 같은 고분자 용액을 선체 접수면에 펌프로 주입하기도 한다.

레이놀즈 수는 정확한 숫자보다는 "10의 몇 승"이라는 자릿수에 주목하는 경우가 많다. 예를 들어, 공기를 비행하는 비행기 주익의 레이놀즈 수는 10⁶ - 10⁸ 정도이며, 모형 비행기와 같이 10⁵ 이하인 경우는 저레이놀즈 수 영역이라고 한다.

8. 1. 유체 역학

레이놀즈 수는 유체 내에서 관성력과 점성력의 비율을 나타내는 수치로, 유체의 흐름 형태를 예측하는 데 중요한 역할을 한다. 즉, 주어진 유동 조건에서 이 두 힘의 상대적인 크기를 정량화하여, 난류 발생 시점을 파악하는 지표로 활용된다.^[13]

레이놀즈 수는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathrm{Re} = \frac{u L}{\nu} = \frac{\rho u L}{\mu}

$\rho$ 는 유체의 밀도 (kg/m³)
$u$ 는 유속 (m/s)
$L$ 는 특성 길이 (m)
$\mu$ 는 유체의 동점성계수 (Pa·s 또는 N·s/m² 또는 kg/(m·s))
$\nu$ 는 유체의 동점성계수 (m²/s)

레이놀즈 수는 유체가 표면에 대해 상대 운동을 하는 다양한 상황에서 정의될 수 있다.^[2] 이 정의에는 유체의 밀도, 점성, 속도, 특성 길이/치수(위 식의 L)가 포함된다. 특성 길이는 관례에 따라 선택되는데, 예를 들어 구나 원은 반지름 또는 지름, 항공기나 선박은 길이 또는 너비, 파이프 내 유동이나 유체 내 구의 경우 내부 직경이 주로 사용된다.

레이놀즈 수 값에 따라 유체 흐름은 층류와 난류로 구분된다.

층류: 낮은 레이놀즈 수에서는 점성력이 지배적이며, 유체는 부드럽고 일정하게 흐른다.
난류: 높은 레이놀즈 수에서는 관성력이 지배적이며, 혼돈스러운 소용돌이와 유동 불안정성이 발생한다.^[13]

하지만 레이놀즈 수를 일치시키는 것만으로는 두 유체 흐름의 유사성을 완전히 보장할 수 없다. 유체 흐름은 일반적으로 혼돈스럽고, 경계면 모양, 표면 거칠기 등의 미세한 변화가 큰 차이를 만들 수 있다. 그럼에도 레이놀즈 수는 유체 흐름의 특성을 파악하고 예측하는 데 매우 중요한 지표로 널리 사용된다.

발달된 유체의 관내 흐름에서 압력 강하는 무디 선도를 통해 예측할 수 있다. 이 선도는 다르시-바이스바흐 방정식의 마찰 계수

f

를 레이놀즈 수

Re

및 상대 조도

\varepsilon/D

에 대해 도시한 것으로, 층류, 천이, 난류 흐름 영역을 명확히 보여준다.

두 흐름이 유사하려면 동일한 기하학적 형태와 더불어 레이놀즈 수 및 오일러 수가 동일해야 한다. 모형과 실제 흐름을 비교할 때 다음 관계가 성립한다.

:

\begin{align}\mathrm{Re}_\text{m} &= \mathrm{Re}, \\\mathrm{Eu}_\text{m} &= \mathrm{Eu},\end{align}

(여기서

\mathrm{Re}_\text{m}

은 모형,

\mathrm{Re}

는 실제 흐름의 레이놀즈 수)

이를 통해 축소 모형을 이용한 수로 또는 풍동 실험으로 실제 흐름과의 데이터를 연관시켜 실험 비용과 시간을 절약할 수 있다.

레이놀즈 수만으로 흐름 유사성(층류 또는 난류)을 판단하기 어려운 예시로는 경계 흐름(벽 등에 의해 제한되는 흐름)이 있다. 테일러-쿠에트 흐름이 대표적인 예시이며, 경계 원통 반지름의 무차원 비율도 중요하며, 이러한 차이는 여러 기술적 응용 분야에서 중요한 역할을 한다.^[17]
일반적인 레이놀즈 수 값:^[8]

대상	레이놀즈 수 (Re)
디크티오스텔륨 아메바	~ 1×10^-6
박테리아	~ 1×10^-4
섬모충	~ 1×10^-1
가장 작은 어류	~ 1
뇌의 혈류	~ 1×10²
대동맥의 혈류	~ 1×10³
난류 발생 시작	파이프 흐름: ~ 2.3×10³ ~ 5×10⁴, 경계층: ~ 10⁶
메이저 리그 베이스볼의 일반적인 피치	~ 2×10⁵
사람 수영	~ 4×10⁶
가장 빠른 어류	~ 1×10⁸
흰긴수염고래	~ 4×10⁸
큰 선박 (퀸 엘리자베스 2호)	~ 5×10⁹
대기 열대성 저기압	~ 1×10¹²

8. 2. 생리학

푸아죄유의 법칙은 인체의 혈액 순환에서 층류에 의존한다.^[10] 난류에서는 유량이 압력 구배의 제곱근에 비례하는 반면, 층류에서는 압력 구배에 직접 비례한다.

레이놀즈 수의 정의를 사용하면 혈액의 밀도가 높은 빠른 유량과 큰 직경이 난류로 이어질 수 있음을 알 수 있다. 혈관 직경의 급격한 변화, 예를 들어 좁은 혈관이 더 넓은 혈관으로 확장되는 경우 난류가 발생할 수 있다. 또한, 죽상경화증 돌출부가 청진기로 들을 수 있는 난류의 원인이 될 수 있다.^[11]

8. 3. 항공 역학

레이놀즈 수는 익형 설계에서 "척도 효과"를 관리하는 데 사용된다. 예를 들어, 매우 작은 날개를 크게 확대하면 성능이 달라지기 때문에, 레이놀즈 수를 통해 특성을 계산하고 비교한다.^[26] 유체 역학자들은 현 익형 레이놀즈 수 (

R

)을 다음과 같이 정의한다.^[20]

:

R = Vc / v

$V$ : 비행 속도 (m/s)
$c$ : 익현(코드) 길이 (m)
$v$ : 동점성계수 (해수면 대기 기준 $1.460 \times 10^{-5} m^2/s$ ) (m²/s)

레이놀즈 수는 정확한 숫자보다는 "10의 몇 승"이라는 자릿수에 주목하는 경우가 많다. 예를 들어, 공기 중을 비행하는 비행기 주익의 레이놀즈 수는 10⁶ - 10⁸ 정도이다. 모형 비행기와 같이 10⁵ 이하인 경우는 저레이놀즈 수 영역이라고 한다.

8. 4. 선박 공학

고분자 용액의 층류는 물고기와 돌고래가 이용하며, 이들은 피부에서 고분자 용액을 스며나오게 하여 헤엄치는 동안 몸 위의 흐름을 돕는다. 이것은 요트 경주에서 이용되며, 요트 소유주는 속도를 높이기 위해 저분자량 폴리에틸렌글리콜과 같은 고분자 용액을 선체의 접수면에 펌프로 주입하기도 한다.

9. 역사

오즈번 레이놀즈는 파이프 내 유체 흐름이 층류에서 난류로 천이되는 조건을 연구한 것으로 유명하다.

1883년 논문에서 레이놀즈는 고전적인 실험을 통해 층류에서 난류로의 천이를 설명했다. 이 실험에서 그는 더 큰 파이프 내 맑은 물 흐름의 중앙에 도입된 염색된 물의 작은 흐름을 사용하여 다양한 유속 하에서 물 흐름의 거동을 조사했다.

더 큰 파이프는 유리로 만들어져 염색된 흐름층의 거동을 관찰할 수 있었다. 이 파이프의 끝에는 관 내부의 수속을 변화시키는 데 사용되는 유량 제어 밸브가 있었다. 속도가 낮으면 염색된 층은 큰 관 전체 길이에 걸쳐 구별된 상태를 유지했다. 속도가 증가하면 특정 지점에서 층이 붕괴되어 유체의 단면 전체에 확산되었다. 이러한 현상이 발생하는 지점이 층류에서 난류로의 천이 지점이었다.

오즈번 레이놀즈의 1883년 실험 장치. 난류 흐름의 시작을 보여준다. 이 장치는 현재 맨체스터 대학교에 있다.

이러한 실험을 통해 동적 상사성을 위한 무차원 레이놀즈 수, 즉 관성력과 점성력의 비율이 나왔다. 레이놀즈는 또한 현재 레이놀즈 평균이라고 알려진 난류 흐름을 제안했는데, 여기서 속도와 같은 양은 평균 및 변동 성분의 합으로 표현된다. 이러한 평균을 통해 예를 들어 레이놀즈 평균 나비어-스톡스 방정식을 사용하여 난류 흐름의 '전체적인' 설명이 가능하다.^[13]

참조

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_[2] 문서 The definition of the Reynolds number is not to be confused with the Reynolds equation or lubrication equation.
_[3] 문서 Full development of the flow occurs as the flow enters the pipe, the boundary layer thickens and then stabilizes after several diameters distance into the pipe.
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_[6] 웹사이트 Not Just Going with the Flow https://www.american[...] 2017-02-06
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_[16] 웹사이트 Major Head Loss - Friction Loss https://www.nuclear-[...]
_[17] 웹사이트 Laminar, transitional and turbulent flow https://rheologic.ne[...]
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_[19] 문서 レイノルズ数の定義や潤滑方程式と混同しないように注意が必要。
_[20] 웹사이트 International Standard Atmosphere http://www-mdp.eng.c[...] ISO 2024-06-10
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_[22] 논문 On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums http://www.nawcc-ind[...]
_[23] 논문 An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels
_[24] 논문 Note on the history of the Reynolds number
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_[27] 서적 An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge University Press
_[28] 웹사이트 Reynolds Number http://www.engineeri[...]
_[29] 서적 Introduction to Particle Technology https://books.google[...] Wiley
_[30] 서적 Heat Transfer McGraw Hill 2012-06-00
_[31] 서적 Heat Transfer McGraw-Hill
_[32] 서적 Fundamentals of Heat and Mass Transfer Wiley
_[33] 서적 Coulson & Richardson's Chemical Engineering, Volume 6: Chemical Engineering Design Butterworth-Heinemann
_[34] 서적 Living at Micro Scale Harvard University Press
_[35] 서적 Fluid Mechanics McGraw-Hill
_[36] 서적 Introduction to Fluid Mechanics John Wiley and Sons

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