산란 단면적

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1. 개요
2. 정의 및 설정
- 2.1. 기본 개념
- 2.2. 수식 표현
3. 유도
4. 추가 설명
참조

1. 개요

산란 단면적은 입자가 다른 입자와 충돌하여 산란될 때, 산란의 정도를 나타내는 물리량이다. 미분 단면적 σ(θ)는 단위 면적당 입사하는 입자 수에 대한 산란각 θ 방향으로 산란되는 입자 수의 비율을 의미하며, 전 단면적 σ_total은 모든 방향으로 산란되는 입자 수의 총 비율을 나타낸다. 탄성 산란의 경우, 미분 단면적은 산란 진폭 f(θ)의 절댓값 제곱으로 주어진다. 산란 단면적은 충격 매개변수를 이용하여 유도할 수 있으며, 입자 물리학에서 중요한 개념으로 사용된다.

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산란 단면적
일반 정보
산란 단면적의 개념도
정의	입사 입자가 표적 입자와 상호작용하여 특정 과정을 일으킬 확률을 나타내는 유효 면적
기호	σ (시그마)
SI 단위	m² (제곱미터)
다른 단위	b (반, 1 b = 10⁻²⁸ m²) fm² (펨토미터 제곱, 1 fm² = 10⁻³⁰ m²)
상세 정보
종류	총 산란 단면적 미분 단면적
관련 개념	산란 이론 감쇠 계수 평균 자유 행로
활용 분야

2. 정의 및 설정

Rutherford^영어 산란 공식은 특정 각도로 산란되는 입자 수와 관련된 미분 단면적을 설명한다. 산란 단면적은 입자가 특정 방향으로 산란될 확률을 나타내는 값이다.

2. 1. 기본 개념

z

축의 양의 방향으로, 그것과 수직인 단위 면적을 통과하여 입사하는 매초당 입자 수를

N

이라 하고, 원점

O

를 중심으로 하는 반지름

r

의 구면상의 면 요소

dS

내에 매초 도달하는 입자 수를

\Delta N

이라고 한다. 이 입자 수

\Delta N

은

\frac{N dS}{r^2}

에 비례한다. 검출기 상의 면 요소

dS

를 원점에서 본 입체각을

d\Omega

라고 하면,

d\Omega = \frac{dS}{r^2}

이므로,

:

\Delta N=\sigma(\theta)N\mathrm d\Omega

이다. 여기서

\theta

는 입자가 충돌에 의해

z

축에서 벗어난 각도이며, 이것을 '''산란각'''이라고 한다. 또한

\sigma(\theta)

는 단위 면적당 매초 1개의 입자가 입사할 때, 산란각

\theta

방향의 단위 입체각 안에 산란되어 오는 입자 수의 비율을 나타내며, 면적의 차원을 가진다. 그래서

\sigma(\theta)

를 산란의 '''미분 단면적'''이라고 한다. 이것을 전 입체각에 걸쳐 적분한

:

\sigma_\mathrm{total}=\int\sigma(\theta)\mathrm d\Omega=2\pi\int_{0}^{\pi}\sigma(\theta)\cdot\sin\theta\mathrm d\theta

를 산란의 '''전 단면적'''이라고 한다. 이것은 단위 면적의 슬릿을 통과하여 매초 1개의 입자가 입사할 때, 산란되어 오는 전체 입자 수의 비율이다.

고전적인 입자가 구형의 표적 입자와 충돌하는 경우, 전 단면적은 구의 기하학적 단면적과 같다. 따라서 원자에 의한 전자의 산란의 경우, 산란의 전 단면적의 크기는 보어 반지름의 제곱 정도의 크기이다.

탄성 산란의 경우, 산란의 미분 단면적은 산란 진폭

f(\theta)

의 절댓값의 제곱으로 주어진다.

:

\sigma(\theta)=|f(\theta)|^2

2. 2. 수식 표현

z

축의 양의 방향으로, 그것과 수직인 단위 면적을 통과하여 입사하는 매초당 입자 수를

N

이라 하고, 원점

O

를 중심으로 하는 반지름

r

의 구면상의 면 요소

dS

내에 매초 도달하는 입자 수를

\Delta N

이라고 한다. 이 입자 수

\Delta N

은

\frac{N dS}{r^2}

에 비례한다. 검출기 상의 면 요소

dS

를 원점에서 본 입체각을

d\Omega

라고 하면,

d\Omega = \frac{dS}{r^2}

이므로,

:

\Delta N=\sigma(\theta)N\mathrm d\Omega

이다. 여기서

\theta

는 입자가 충돌에 의해

z

축에서 벗어난 각도이며, 이것을 '''산란각'''이라고 한다. 또한

\sigma(\theta)

는 단위 면적당 매초 1개의 입자가 입사할 때, 산란각

\theta

방향의 단위 입체각 안에 산란되어 오는 입자 수의 비율을 나타내며, 면적의 차원을 가진다. 그래서

\sigma(\theta)

를 산란의 '''미분 단면적'''이라고 한다. 이것을 전 입체각에 걸쳐 적분한

:

\sigma_\mathrm{total}=\int\sigma(\theta)\mathrm d\Omega=2\pi\int_{0}^{\pi}\sigma(\theta)\cdot\sin\theta\mathrm d\theta

를 산란의 '''전 단면적'''이라고 한다. 이것은 단위 면적의 슬릿을 통과하여 매초 1개의 입자가 입사할 때, 산란되어 오는 전체 입자 수의 비율이다.

고전적인 입자가 구형의 표적 입자와 충돌하는 경우, 전 단면적은 구의 기하학적 단면적과 같다. 따라서 원자에 의한 전자의 산란의 경우, 산란의 전 단면적의 크기는 보어 반지름의 제곱 정도의 크기이다.

탄성 산란의 경우, 산란의 미분 단면적은 산란 진폭

f(\theta)

의 절댓값의 제곱으로 주어진다.

:

\sigma(\theta)=|f(\theta)|^2

3. 유도

러더퍼드 산란 공식을 유도하는 과정은 다음과 같다.

만약 단위 시간 동안 입체각 dΩ로 산란되는 입자 수가 dN 이라면, dΩ로 산란될 확률은 다음과 같다.

: $\sigma(\theta)$ dΩ= $\left ( \frac{dN}{I} \right )$

이때 dΩ= $2\pi\sin(\theta)d\theta$ 이다.

또한, 이 관계식을 충격 매개변수를 이용해서 다시 나타내면 다음과 같다.

: $I2\pi bdb=-I\sigma (\theta)2\pi \sin(\theta)d\theta$

이를 종합하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

: $\sigma(\theta)=\left ( \frac{b}{\sin(\theta)} \right )\left \vert \frac{db}{d\theta} \right \vert$

3. 1. 산란 확률

단위 시간 동안 입체각(솔리드 앵글) dΩ로 산란되는 입자 수가 dN이라면, dΩ로 산란될 확률은 다음과 같다.

:

\sigma(\theta)

dΩ=

\left ( \frac{dN}{I} \right )

이때 dΩ=

2\pi\sin(\theta)d\theta

이다.

또한 이러한 관계식을 충격 매개변수(impact parameter)를 이용해서 다시 나타내면 다음과 같다.

:

I2\pi bdb=-I\sigma (\theta)2\pi sin(\theta)d\theta

이를 종합하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\sigma(\theta)=\left ( \frac{b}{sin(\theta)} \right )\left \vert \frac{db}{d\theta} \right \vert

3. 2. 충격 매개변수 (Impact Parameter)

단위 시간 동안 입자가 특정 입체각(dΩ)으로 산란될 확률은 다음과 같이 표현된다.

:

\sigma(\theta)

d

\Omega

=

\left ( \frac{dN}{I} \right )

여기서 dN은 단위 시간 동안 입체각 dΩ로 산란되는 입자수, I는 입사 입자수, dΩ는

2\pi\sin(\theta)d\theta

이다.

이 관계식을 충격 매개변수(Impact Parameter) b를 사용하여 나타내면 다음과 같다.

:

I2\pi bdb=-I\sigma (\theta)2\pi \sin(\theta)d\theta

위 식을 정리하면 산란 단면적

\sigma(\theta)

는 다음과 같다.

:

\sigma(\theta)=\left ( \frac{b}{\sin(\theta)} \right )\left \vert \frac{db}{d\theta} \right \vert

3. 3. 최종 공식

단위 시간 동안 입체각 dΩ로 산란되는 입자 수를 dN이라 하면, dΩ로 산란될 확률은 다음과 같다.

:

\sigma(\theta)

dΩ=

\left ( \frac{dN}{I} \right )

이때 dΩ=

2\pi\sin(\theta)d\theta

이다.

또한 이러한 관계식을 충격 매개변수(impact parameter)를 이용해서 다시 나타내면 다음과 같다.

:

I2\pi bdb=-I\sigma (\theta)2\pi sin(\theta)d\theta

이를 종합하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\sigma(\theta)=\left ( \frac{b}{sin(\theta)} \right )\left \vert \frac{db}{d\theta} \right \vert

4. 추가 설명

z 축의 양의 방향으로, 그것과 수직인 단위 면적을 통과하여 입사하는 매초당 입자 수를 $N$ 이라 하고, 원점 $O$ 를 중심으로 하는 반지름 $r$ 의 구면상의 면 요소 $dS$ 내에 매초 도달하는 입자 수를 $\Delta N$ 이라고 한다. 이 입자 수 $\Delta N$ 은 $\frac{NdS}{r^2}$ 에 비례한다. 검출기 상의 면 요소 $dS$ 를 원점에서 본 입체각을 $d\Omega$ 라고 하면, $d\Omega = \frac{dS}{r^2}$ 이므로,

: $\Delta N=\sigma(\theta)N d\Omega$

이다. 여기서 $\theta$ 는 입자가 충돌에 의해 $z$ 축에서 벗어난 각도이며, 이것을 '''산란각'''이라고 한다. 또한 $\sigma(\theta)$ 는 단위 면적당 매초 1개의 입자가 입사할 때, 산란각 $\theta$ 방향의 단위 입체각 안에 산란되어 오는 입자 수의 비율을 나타내며, 면적의 차원을 가진다. 그래서 $\sigma(\theta)$ 를 산란의 '''미분 단면적'''이라고 한다. 이것을 전 입체각에 걸쳐 적분한

: $\sigma_\mathrm{total}=\int\sigma(\theta) d\Omega=2\pi\int_{0}^{\pi}\sigma(\theta)\cdot\sin\theta d\theta$

를 산란의 '''전 단면적'''이라고 한다. 이것은 단위 면적의 슬릿을 통과하여 매초 1개의 입자가 입사할 때, 산란되어 오는 전체 입자 수의 비율이다.

고전적인 입자가 구형의 표적 입자와 충돌하는 경우, 전 단면적은 구의 기하학적 단면적과 같다. 따라서 원자에 의한 전자의 산란의 경우, 산란의 전 단면적의 크기는 보어 반지름의 제곱 정도의 크기이다.

탄성 산란Elastic scattering^영어의 경우, 산란의 미분 단면적은 산란 진폭 $f(\theta)$ 의 절댓값의 제곱으로 주어진다.

: $\sigma(\theta)=|f(\theta)|^2$

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