산란 진폭

1. 개요

산란 진폭은 파동이 국소적인 퍼텐셜과 상호 작용하여 산란될 때 나타나는 함수로, 산란된 파동의 진폭을 나타낸다. 이는 입사 평면파와 바깥쪽으로 향하는 구면파의 중첩으로 표현되며, 미분 산란 단면적과 밀접한 관련이 있다. 산란 진폭의 성질로는 차원이 길이이며, 유니타리 조건을 통해 제약이 가해진다. 부분파 전개를 통해 산란 진폭을 부분파의 합으로 나타낼 수 있으며, S-행렬 요소와 산란 위상 이동을 사용하여 표현할 수 있다. X선, 중성자 산란 등 다양한 산란 현상에서 사용되며, 양자역학적 형식으로도 다루어진다. 산란 진폭은 저에너지 영역에서 산란 길이를 통해 측정될 수 있다.

2. 정의

구면 좌표계 $(r,\backslash theta,\backslash phi)$를 쓴다. 편의상 복소 파동 $\backslash psi$를 생각한다. 양자역학의 파동 함수가 이에 해당한다. 진폭이 $A$이고, 파수 벡터가 $\backslash mathbf\; k$이고, 각진동수 $\backslash omega$를 가진 평면파는 다음과 같다.

:$\backslash psi(\backslash mathbf\; r,t)=A\backslash exp(i\backslash mathbf\; k\backslash cdot\backslash mathbf\; r-i\backslash omega\; t)$.

이 평면파가 원점에 위치해 있는 국소적인 퍼텐셜을 만나 산란된다고 하자. 그렇다면 퍼텐셜에서 먼 곳에서 산란된 파동은 일반적으로 구면파의 모양이다. 따라서 총 파동은 다음과 같은 꼴이다.

:$\backslash psi(\backslash mathbf\; r,t)=A\backslash left(\backslash exp(i\backslash mathbf\; k\backslash cdot\backslash mathbf\; r-i\backslash omega\; t)+f(\backslash theta,\backslash phi)\backslash frac\{\backslash exp(i\backslash mathbf\; k\backslash cdot\backslash mathbf\; r-i\backslash omega\; t)\}r\backslash right)$.

여기서 $f(\backslash theta,\backslash phi)$를 산란 진폭이라고 한다.

음파나 파도와 같은 실수 값을 가진 파동일 경우에는 식은 다음과 같다.

:$\backslash psi(\backslash mathbf\; r,t)=A\backslash left(\backslash cos(\backslash mathbf\; k\backslash cdot\backslash mathbf\; r-\backslash omega\; t)+f(\backslash theta,\backslash phi)\backslash frac\{\backslash cos(\backslash mathbf\; k\backslash cdot\backslash mathbf\; r-\backslash omega\; t)\}r\backslash right)$.

산란 과정이 정상적이라고 간주할 수 있는 경우(탄성 산란 등)를 생각한다. 산란 상태의 파동 함수는 입사 평면파와 바깥쪽으로 향하는 구면파의 중첩이라고 생각한다.

:$$
\psi(\mathbf{r}) = e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}

여기서, $\backslash mathbf\{r\}\backslash equiv\backslash \{x,y,z\backslash \}$는 벡터 좌표, $r\backslash equiv|\backslash mathbf\{r\}|$는 벡터 $\backslash mathbf\{r\}$의 길이, $e^\{ikz\}\; \backslash$ 는 $z\; \backslash$축 방향으로 입사한 파수 벡터 $k\; \backslash$의 평면파, $e^\{ikr\}/r\; \backslash$ 는 바깥쪽으로 향하는 구면파, $\backslash theta\; \backslash$ 는 산란각, $f(\backslash theta)\; \backslash$ 는 산란 진폭이다.

3. 성질

산란 진폭은 길이의 차원을 갖는다.

미분 산란 단면적은 다음과 같이 표시된다.

:$\backslash frac\{d\backslash sigma\}\{d\backslash Omega\}\; =\; |f(\backslash theta)|^2$

저에너지 영역에서 산란 진폭은 산란 길이에 의해 결정된다.

3.1. 유니타리 조건

입자 수 보존이 산란 중에 성립하면, 이는 산란 진폭에 대한 유니타리 조건을 이끌어낸다. 일반적인 경우, 다음이 성립한다.

:$f(\backslash mathbf\{n\},\backslash mathbf\{n\}\text{'})\; -f^*(\backslash mathbf\{n\}\text{'},\backslash mathbf\{n\})=\; \backslash frac\{ik\}\{2\backslash pi\}\; \backslash int\; f(\backslash mathbf\{n\},\backslash mathbf\{n\}$)f^*(\mathbf{n},\mathbf{n})\,d\Omega

광학 정리는 여기서 $\backslash mathbf\; n=\backslash mathbf\; n\text{'}$을 설정하여 얻을 수 있다.

중심 대칭장에서는 유니타리 조건이 다음과 같이 된다.

:$\backslash mathrm\{Im\}\; f(\backslash theta)=\backslash frac\{k\}\{4\backslash pi\}\backslash int\; f(\backslash gamma)f(\backslash gamma\text{'})\backslash ,d\backslash Omega$

여기서 $\backslash gamma$와 $\backslash gamma\text{'}$는 $\backslash mathbf\{n\}$과 $\backslash mathbf\{n\}\text{'}$ 사이의 각도이며, 어떤 방향 $\backslash mathbf\{n\}\text{'}\text{'}$이다. 이 조건은 $f(\backslash theta)$의 허용 가능한 형태에 제약을 가한다. 즉, 산란 진폭의 실수부와 허수부는 이 경우 독립적이지 않다. 예를 들어, $f=|f|e^\{2i\backslash alpha\}$에서 $|f(\backslash theta)|$가 알려져 있다면(예: 단면적 측정에서), $f(\backslash theta)\backslash rightarrow\; -f^*(\backslash theta)$의 대안 내에서 $f(\backslash theta)$가 고유하게 결정되도록 $\backslash alpha(\backslash theta)$를 결정할 수 있다.

4. 부분파 전개

부분파 전개에서 산란 진폭은 부분파의 합으로 표현된다.

:$f=\backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\; (2\backslash ell+1)\; f\_\backslash ell\; P\_\backslash ell(\backslash cos\; \backslash theta)$

여기서 $f\_\backslash ell$은 부분 산란 진폭이고, $P\_\backslash ell$은 르장드르 다항식이다. 부분 진폭은 부분파 S-행렬 요소 $S\_\backslash ell\; =\; e^\{2i\backslash delta\_\backslash ell\}$와 산란 위상 이동 $\backslash delta\_\backslash ell$를 통해 표현할 수 있다.

:$f\_\backslash ell\; =\; \backslash frac\{S\_\backslash ell-1\}\{2ik\}\; =\; \backslash frac\{e^\{2i\backslash delta\_\backslash ell\}-1\}\{2ik\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\backslash delta\_\backslash ell\}\; \backslash sin\backslash delta\_\backslash ell\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{k\backslash cot\backslash delta\_\backslash ell-ik\}\; \backslash ;.$

총 단면적 $\backslash sigma\; =\; \backslash int\; |f(\backslash theta)|^2d\backslash Omega$은 다음과 같이 전개될 수 있다.

:$\backslash sigma\; =\; \backslash sum\_\{l=0\}^\backslash infty\; \backslash sigma\_l,\; \backslash quad\; \backslash text\{where\}\; \backslash quad\; \backslash sigma\_l\; =\; 4\backslash pi(2l+1)|f\_l|^2=\backslash frac\{4\backslash pi\}\{k^2\}(2l+1)\backslash sin^2\backslash delta\_l$

여기서 $\backslash sigma\_l$은 부분 단면적이다. 총 단면적은 또한 광학 정리에 의해 $\backslash sigma=(4\backslash pi/k)\backslash ,\backslash mathrm\{Im\}\; f(0)$과 같다.

$\backslash theta\backslash neq\; 0$에 대해, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$f=\backslash frac\{1\}\{2ik\}\backslash sum\_\{\backslash ell=0\}^\backslash infty\; (2\backslash ell+1)\; e^\{2i\backslash delta\_l\}\; P\_\backslash ell(\backslash cos\; \backslash theta).$

부분파 전개에서 산란 진폭은 부분파의 합으로 표현된다。

: $f(\backslash theta)=\backslash sum\_\{l=0\}^\backslash infty\; (2l+1)\; f\_l(k)\; P\_l(\backslash cos(\backslash theta))$

여기서 $P\_l(\backslash cos(\backslash theta))$는 르장드르 다항식, $f\_l(k)$는 부분 진폭이라고 불린다.

부분 진폭은 S 행렬 요소 $S\_l=e^\{2i\backslash delta\_l\}$과 산란에 의한 위상 변화 $\backslash delta\_l$을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $f\_l\; =\; \backslash frac\{S\_l-1\}\{2ik\}\; =\; \backslash frac\{e^\{2i\backslash delta\_l\}-1\}\{2ik\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\backslash delta\_l\}\; \backslash sin\backslash delta\_l\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{k\backslash cot\backslash delta\_l-ik\}$

5. 여러가지 산란

(주어진 원본 소스가 비어있으므로, 작성할 내용이 없습니다.)

5.1. X선 산란

X선의 산란 길이는 톰슨 산란 길이 또는 고전 전자 반경 r^영어₀이다.

5.2. 중성자 산란

핵 중성자 산란 과정은 일관성 있는 중성자 산란 길이, 종종 $b$로 표시되는 값을 포함한다.

6. 양자역학적 형식

구면 좌표계 $(r,\backslash theta,\backslash phi)$를 쓰자. 편의상 복소 파동 $\backslash psi$를 생각하자. 양자역학의 파동 함수가 이에 해당한다. 진폭이 $A$이고, 파수 벡터가 $\backslash mathbf\; k$이고, 각진동수 $\backslash omega$를 가진 평면파는 다음과 같다.

:$\backslash psi(\backslash mathbf\; r,t)=A\backslash exp(i\backslash mathbf\; k\backslash cdot\backslash mathbf\; r-i\backslash omega\; t)$.

이 평면파가 원점에 위치해 있는 국소적인 퍼텐셜을 만나 산란된다고 하자. 그렇다면 퍼텐셜에서 먼 곳에는 산란된 파동은 일반적으로 구면파의 모양이다. 따라서 총 파동은 다음과 같은 꼴이다.

:$\backslash psi(\backslash mathbf\; r,t)=A\backslash left(\backslash exp(i\backslash mathbf\; k\backslash cdot\backslash mathbf\; r-i\backslash omega\; t)+f(\backslash theta,\backslash phi)\backslash frac\{\backslash exp(i\backslash mathbf\; k\backslash cdot\backslash mathbf\; r-i\backslash omega\; t)\}r\backslash right)$.

여기서 $f(\backslash theta,\backslash phi)$를 산란 진폭이라고 한다.

음파나 파도와 같은 실수 값을 가진 파동일 경우에는 식은 다음과 같다.

:$\backslash psi(\backslash mathbf\; r,t)=A\backslash left(\backslash cos(\backslash mathbf\; k\backslash cdot\backslash mathbf\; r-\backslash omega\; t)+f(\backslash theta,\backslash phi)\backslash frac\{\backslash cos(\backslash mathbf\; k\backslash cdot\backslash mathbf\; r-\backslash omega\; t)\}r\backslash right)$.

S 행렬 형식은 양자역학적 접근 방식을 제공한다.

7. 측정

산란 진폭은 저에너지 영역에서 산란 길이를 통해 결정될 수 있다.