맨위로가기

산란 길이

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

산란 길이는 산란 이론에서 사용되는 개념으로, 입자가 퍼텐셜과 상호 작용할 때 산란의 정도를 나타내는 척도이다. 특히 낮은 에너지에서의 산란 현상을 설명하는 데 유용하게 사용된다. 산란 길이는 산란 진폭 또는 위상 변화와 관련되며, 특히 입자의 드브로이 파장이 퍼텐셜의 크기보다 클 때 유효하다. 구체적으로, 산란 길이는 산란 진폭의 크기와 같으며, 위상 변화를 통해 정의될 수도 있다. 무한히 반발하는 구형 퍼텐셜 우물과 같은 특정 퍼텐셜의 경우 산란 길이를 계산할 수 있으며, 이는 저에너지 산란 특성을 이해하는 데 도움이 된다. 산란 길이는 산란 단면적과 밀접한 관련이 있으며, 산란 단면적은 산란 길이의 제곱에 비례한다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 산란 이론 - 산란 행렬
    산란 행렬은 복소 힐베르트 공간에서 자유 및 상호 작용 해밀토니언으로 정의되어 파동 연산자를 통해 산란 연산자를 기술하며, 입자 물리학에서 산란 과정을 분석하는 데 사용되는 수학적 도구이다.
  • 산란 이론 - 윅 정리
    윅 정리는 양자장론에서 시간 순서 연산자의 곱을 정규 순서 연산자와 축약들의 합으로 표현하는 정리로, 상관 함수 및 S-행렬 요소 계산을 간소화하는 데 유용하며, 통계 물리학의 Isserlis' 정리와 유사한 성질을 가진다.
  • 물리학 사이드바 - 파울리 배타 원리
    파울리 배타 원리는 1925년 볼프강 파울리가 제시한 양자역학 원리로, 동일한 페르미온은 동일한 양자 상태에 존재할 수 없으며, 원자의 전자 배치, 화학 결합, 천체 특성 등을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.
  • 물리학 사이드바 - 양자역학
    양자역학은 20세기 초에 개발된 물리학 이론으로, 미시적인 계의 성질과 거동을 설명하며, 불확정성 원리, 파동-입자 이중성 등의 개념을 포함하고, 현대 기술과 현대 물리학에 중요한 영향을 미친다.
  • 역학 - 파울리 배타 원리
    파울리 배타 원리는 1925년 볼프강 파울리가 제시한 양자역학 원리로, 동일한 페르미온은 동일한 양자 상태에 존재할 수 없으며, 원자의 전자 배치, 화학 결합, 천체 특성 등을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.
  • 역학 - 양자역학
    양자역학은 20세기 초에 개발된 물리학 이론으로, 미시적인 계의 성질과 거동을 설명하며, 불확정성 원리, 파동-입자 이중성 등의 개념을 포함하고, 현대 기술과 현대 물리학에 중요한 영향을 미친다.
산란 길이
산란 길이
정의입자 산란에서 파동 함수의 점근적 행동을 기술하는 데 사용되는 매개변수.
기호a
차원길이
물리적 의미산란 포텐셜의 강도와 범위를 나타내는 척도.
상세 정보
저에너지 산란저에너지 영역(파장이 산란 포텐셜의 범위보다 훨씬 큼)에서 산란 진폭은 산란 길이로 근사화할 수 있음.
산란 진폭과 관계산란 진폭 f(k) 는 산란 길이 a 에 의해 다음 관계를 가짐. f(k) ≈ -a. k는 파수 벡터임.
페르미 황금률산란 길이는 페르미 황금률과 관련하여 산란 단면적을 계산하는 데 사용될 수 있음.
산란 길이의 부호
양수 산란 길이일반적으로 인력 포텐셜을 나타냄.
음수 산란 길이일반적으로 척력 포텐셜을 나타냄.
영 산란 길이산란이 거의 없음을 의미함.
응축 물질 물리학
중요성응축 물질 물리학에서 원자 사이의 상호 작용을 특성화하는 데 매우 중요한 양임.
보스-아인슈타인 응축산란 길이는 보스-아인슈타인 응축체(BEC)에서 원자들 사이의 상호 작용을 설명하며, BEC의 안정성과 성질에 영향을 미침.
페르미 기체페르미 기체에서 페르미온들의 산란 길이는 초유체 상태를 이해하는 데 중요함.
핵물리학
핵자 간의 상호작용산란 길이는 핵자(양성자와 중성자) 사이의 핵력의 세기를 측정하는 데 사용됨.
중수소양성자와 중성자로 구성된 중수소의 산란 길이는 핵력에 대한 정보를 제공함.
측정 방법
산란 실험실험적으로 산란 길이를 얻기 위해 중성자, 전자, 원자 등을 사용한 산란 실험이 수행됨.
분광학산란 길이는 분광학적 방법으로도 추정할 수 있음.
관련 항목
유효 범위 이론유효 범위 이론은 산란 길이를 포함하여 산란 매개변수를 체계적으로 분석하는 이론.
산란 이론산란 길이 개념은 산란 이론의 기본적인 개념임.

2. 정의

크기가 대략 r인 퍼텐셜에 의한 산란을 생각할 때, 입사하는 입자의 드브로이 파장이 r보다 매우 크면(즉, 입사하는 입자의 운동 에너지가 \hbar^2/2mr^2보다 매우 작으면) 산란 진폭 \phi는 방향에 관계없이 거의 일정하다. 이 경우 미분 단면적은 다음과 같다.

:\frac{d\sigma}{d\Omega}=|\phi|^2

총 단면적은 다음과 같다.

:\sigma=4\pi|\phi|^2

이 때 a=|\phi|를 '''산란 길이'''라고 정의한다.

2. 1. 낮은 에너지에서의 산란과 위상 변화

부분파 방법에 따라, 산란되는 파동을 각운동량 양자수 (l,m)에 따라 전개할 수 있다. 이 때, 입사하는 입자의 드브로이 파장이 퍼텐셜의 크기 r보다 매우 크다면 (즉, 입사하는 입자의 운동 에너지가 \hbar^2/2mr^2보다 매우 작다면) (l,m)=(0,0) 성분 이외는 무시할 수 있다. 낮은 에너지에서의 산란은 산란 길이뿐만 아니라 '''위상 변화''' (phase shift|페이스 시프트영어)\delta(k)로도 나타낼 수 있다. 이 때 산란 길이 a와 위상 변화 \delta 사이의 관계는 다음과 같다.

:a=\lim_{k\to0}|\delta(k)|/k.

즉, 낮은 k의 경우 위상 변화는 다음과 같은 꼴이다.

:\delta(k)=-ak+\mathcal O(k^2).

3. 일반적인 개념

느린 입자가 단거리 산란체(예: 고체 내 불순물 또는 무거운 입자)에서 산란될 때, 그 입자의 드브로이 파장이 매우 길기 때문에 물체의 구조를 분해할 수 없다. 즉, 어떤 정확한 퍼텐셜에서 산란되는지가 중요한 것이 아니라, 긴 길이 스케일에서 퍼텐셜이 어떻게 보이는지가 중요하다.

낮은 에너지에서의 산란은 산란 길이 대신 '''위상 변화''' (phase shift영어) \delta(k)로도 나타낼 수 있다. 이때 산란 길이 a와 위상 변화 \delta 사이의 관계는 다음과 같다.

:a=\lim_{k\to0}|\delta(k)|/k.

즉, 낮은 k의 경우 위상 변화는 다음과 같은 꼴이다.

:\delta(k)=-ak+\mathcal O(k^2).

3. 1. 부분파 전개

부분파 방법에 따라, 산란되는 파동을 각운동량 양자수 (l,m)에 따라 전개할 수 있다. 이 문제를 해결하기 위해 부분파 전개를 사용하는데, 이는 나가는 파의 각운동량 성분으로 전개하는 것이다. 이는 고전 전자기학의 다극자 전개와 다소 유사하다. 매우 낮은 에너지에서 입사 입자는 어떤 구조도 볼 수 없으므로, 최저차수로는 각운동량 양자수 ''l''=0인 원자 궤도함수와 유사하게 s-파라고 불리는 구형의 나가는 파만 존재한다. 더 높은 에너지에서는 p-파 및 d-파 (''l''=1,2) 산란 등도 고려해야 한다.

3. 2. 재규격화

부분파 전개(고전 전자기학의 다극자 전개와 다소 유사)를 통해 저에너지 특성을 설명하는 개념은 매우 강력하며, 재규격화 개념의 기반이 된다.

몇몇 매개변수와 대칭성을 이용한다.

3. 3. 쿨롱 수정 산란 길이

산란 길이 개념은 r\to \infty일 때 1/r^3보다 느리게 감소하는 퍼텐셜로도 확장될 수 있다. 양성자-양성자 산란과 관련된 유명한 예로는 쿨롱 수정 산란 길이가 있다.

4. 예시: 무한히 반발하는 구형 퍼텐셜 우물

반지름 r_0의 무한히 반발하는 구형 퍼텐셜 우물에 대한 s-파 산란 길이를 계산하는 예시를 통해 산란 길이의 개념을 이해할 수 있다. 이 예시에서는 3차원에서 반지름 r_0를 가지는 무한히 반발하는 구형 퍼텐셜 우물을 고려하며, 각운동량 l=0인 s파 산란 길이를 계산한다.

s파 산란만을 고려하면 미분 산란 단면적은 각도 \theta에 의존하지 않으며, 총 산란 단면적 \sigma는 다음과 같이 주어진다.

:\sigma= \frac{4 \pi}{k^2} \sin^2 \delta_s =4 \pi a_s^2

4. 1. 슈뢰딩거 방정식 풀이

예시로, 주어진 퍼텐셜에 대한 s파(즉, 각운동량 l=0) 산란 길이를 계산하기 위해 3차원에서 반지름 r_0의 무한히 반발하는 구형 퍼텐셜 우물을 고려한다. 우물 바깥 영역의 방사형 슈뢰딩거 방정식(l=0)은 자유 입자와 동일하다.

:-\frac{\hbar^2}{2m} u''(r)=E u(r),

여기서 단단한 코어 퍼텐셜은 파동 함수 u(r)가 r=r_0에서 0이 되어야 함을 요구한다. 즉, u(r_0)=0이다. 해는 쉽게 구할 수 있다.

:u(r)=A \sin(k r+\delta_s).

여기서 k=\sqrt{2m E}/\hbar이고 \delta_s=-k \cdot r_0는 s파 위상 이동(입사파와 굴절파 사이의 위상차)이며, 경계 조건 u(r_0)=0에 의해 결정된다. A는 임의의 정규화 상수이다.

일반적으로 작은 k(즉, 저에너지 산란)에 대해 \delta_s(k)\approx-k \cdot a_s +O(k^2)임을 보일 수 있다. 길이 차원의 매개변수 a_s는 '''산란 길이'''로 정의된다. 따라서 주어진 퍼텐셜에 대해 a=r_0이다. 즉, 단단한 구의 산란 길이는 반지름과 같다. (또는 s파 산란 길이 a_s를 갖는 임의의 퍼텐셜은 반지름 a_s의 단단한 구와 동일한 저에너지 산란 특성을 가진다고 말할 수 있다.)

4. 2. 산란 길이와 산란 단면적

부분파 방법에 따라, 산란되는 파동을 각운동량 양자수 (l,m)에 따라 전개할 수 있다. 이 때, 입사하는 입자의 드브로이 파장이 퍼텐셜의 크기 r보다 매우 크다면 (즉, 입사하는 입자의 운동 에너지가 \hbar^2/2mr^2보다 매우 작다면) (l,m)=(0,0) 성분 이외는 무시할 수 있다. 이 경우에는 산란 진폭 \phi가 방향에 관계없이 거의 일정하다. 따라서 미분 단면적은 방향에 관계없이

:\frac{d\sigma}{d\Omega}=|\phi|^2

이고, 총 단면적은

:\sigma=4\pi|\phi|^2

이다. 이 때 a=|\phi|를 '''산란 길이'''라고 한다.

낮은 에너지에서의 산란은 산란 길이 대신 '''위상 변화'''(phase shift영어) \delta(k)로도 나타낼 수 있다. 이 때 산란 길이 a와 위상 변화 \delta 사이의 관계는 다음과 같다.

:a=\lim_{k\to0}|\delta(k)|/k.

즉, 낮은 k의 경우 위상 변화는 다음과 같은 꼴이다.

:\delta(k)=-ak+\mathcal O(k^2).

일반적으로 작은 k(즉, 저에너지 산란)에 대해 \delta_s(k)\approx-k \cdot a_s +O(k^2)임을 보일 수 있다. 여기서 길이 차원의 매개변수 a_s는 '''산란 길이'''로 정의된다.

산란 단면적 \sigma는 산란 이론에서 점근적 파동 함수를 이용하여 구할 수 있다.

:\psi(r,\theta)=e^{i k z}+f(\theta) \frac{e^{i k r}}{r}

여기서 f는 산란 진폭이다. s파 산란만을 고려하면 미분 산란 단면적은 각도 \theta에 의존하지 않으며, 총 산란 단면적은 \sigma=4 \pi |f|^2이다.

:f=\frac{1}{2 i k}(e^{2 i \delta_s}-1)\approx \delta_s/k \approx - a_s

따라서, 총 산란 단면적은 다음과 같다.

:\sigma= \frac{4 \pi}{k^2} \sin^2 \delta_s =4 \pi a_s^2


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com