산술종수

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1. 개요

산술 종수는 사영 스킴, 복소 사영 다양체, 켈러 다양체 등에서 정의되는 불변량이다. 사영 스킴의 경우 구조층의 오일러 지표를 사용하여 정의되며, 복소 사영 다양체와 켈러 다양체의 경우 호지 수를 통해 정의된다. 표수 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 대수다양체의 산술 종수는 쌍유리 불변량이며, 특이점을 갖는 대수다양체의 경우 쌍유리 불변량이 아니다.

산술종수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질

2. 정의

$n$ 차원 복소 대수다양체의 호지 수(Hodge number)가 $h^{p,q}$ 라고 할 때, 이 대수다양체의 산술 종수 $p_a$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $p_a=h^{n,0}-h^{n-1,0}+h^{n-2,0}-\dotsb+(-1)^{n-1}h^{1,0}$ .

이는 리만 곡면의 종수 정의와 호환되게 하기 위해 마지막 항 $(-1)^nh^{0,0}$ 을 포함하지 않는다.

이 정의는 다른 일부 국소환 달린 공간에도 적용할 수 있다.

2.1. 사영 스킴

X를 체 k 위의 차원 r인 사영 스킴이라고 하자. 이때 X의 산술 종수 $p_a$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $p_a(X)=(-1)^r (\chi(\mathcal{O}_X)-1).$

여기서 $\chi(\mathcal{O}_X)$ 는 구조 층 $\mathcal{O}_X$ 의 오일러 지표이다.

2.2. 복소 사영 다양체

호지 수(Hodge number)가 $h^{p,q}$ 인 n차원 복소 대수다양체의 산술 종수 $p_a$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $p_a=h^{n,0}-h^{n-1,0}+h^{n-2,0}-\dotsb+(-1)^{n-1}h^{1,0}$ .

이는 리만 곡면의 종수 정의와 호환되게 하기 위해 마지막 항 $(-1)^nh^{0,0}$ 을 포함하지 않는다.

복소 사영 다양체의 차원이 n인 산술 종수는 호지 수의 조합으로 정의할 수 있는데, 다음과 같다.

: $p_a=\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^j h^{n-j,0}.$

n=1일 때, 공식은 $p_a=h^{1,0}$ 이 된다. 호지 정리에 따르면, $h^{0,1}=h^{1,0}$ 이다. 따라서 $h^{0,1}=h^1(X)/2=g$ 인데, 여기서 g는 곡면의 종수의 일반적인 (위상수학적) 의미이며, 따라서 정의는 일치한다.

X가 콤팩트 켈러 다양체일 때, h^p,q = h^q,p를 적용하면 사영 다양체의 이전 정의가 복구된다.

2.3. 켈러 다양체

콤팩트 켈러 다양체의 경우 h^p,q = h^q,p를 사용하여 이를 구조층 $\mathcal{O}_M$ 에 대한 코히어런트 코호몰로지에서의 오일러 지표로 재구성할 수 있다.

: $p_a=(-1)^n(\chi(\mathcal{O}_M)-1).$

따라서 이 정의는 다른 일부 국소환 달린 공간에 적용될 수 있다.

3. 성질

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 대수다양체의 산술 종수는 쌍유리 불변량이다. 임의의 표수의 대수적으로 닫힌 체 위에서, 고전적으로는 3차원 이하의 비특이 대수다양체의 산술 종수 역시 쌍유리 불변량이라는 사실이 알려져 있었다. 임의의 표수 및 임의의 차원의 비특이 대수다양체의 산술종수가 쌍유리 불변량이라는 사실은 최근에 증명되었다.

특이점을 갖는 대수다양체의 경우, 산술 종수는 쌍유리 불변량이 아니다. 예를 들어, 특이점을 갖는 대수 곡선에서 특이점을 부풀리면 산술 종수는 감소한다.

복소 사영 다양체의 차원이 n인 산술 종수는 호지 수의 조합으로 정의할 수 있는데, 다음과 같다.

: $p_a=\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^j h^{n-j,0}.$

n=1일 때, 공식은 $p_a=h^{1,0}$ 이 된다. 호지 정리에 따르면, $h^{0,1}=h^{1,0}$ 이다. 따라서 $h^{0,1}=h^1(X)/2=g$ 인데, 여기서 g는 곡면의 종수의 일반적인 (위상수학적) 의미이며, 따라서 정의는 일치한다.

X가 콤팩트 켈러 다양체일 때, h^p,q = h^q,p를 적용하면 사영 다양체의 이전 정의가 복구된다.
콤팩트 켈러 다양체의 경우 h^p,q = h^q,p을 사용하여 이를 구조층 $\mathcal{O}_M$ 에 대한 코히어런트 코호몰로지에서의 오일러 지표로 재구성할 수 있다.

: $p_a=(-1)^n(\chi(\mathcal{O}_M)-1).\,$

따라서 이 정의는 다른 일부 국소환 달린 공간에 적용될 수 있다.